Lilian Hancu, profile picture
Uploaded byLilian Hancu
1,882 views

Econometrie note

Documentul este un curs de econometrie care discută istoria și conceptele fundamentale ale disciplinei, abordând definiții variate ale econometriei și importanța acesteia în economiile moderne. De asemenea, este detaliată metodologia modelării econometrice, inclusiv tipurile de modele econometrice și aplicațiile acestora. În plus, documentul conține informații despre aplicații practice, probleme rezolvate și instrumente utilizate pentru analiza datelor economice.

Embed presentation

Downloaded 47 times
1 / 109
2 / 109
3 / 109
4 / 109
5 / 109
6 / 109
7 / 109
8 / 109
9 / 109
10 / 109
11 / 109
12 / 109
13 / 109
14 / 109
15 / 109
16 / 109
17 / 109
18 / 109
19 / 109
20 / 109
21 / 109
22 / 109
23 / 109
24 / 109
25 / 109
26 / 109
27 / 109
28 / 109
29 / 109
30 / 109
31 / 109
32 / 109
33 / 109
34 / 109
35 / 109
Most read
36 / 109
37 / 109
38 / 109
39 / 109
40 / 109
Most read
41 / 109
42 / 109
Most read
43 / 109
44 / 109
45 / 109
46 / 109
47 / 109
48 / 109
49 / 109
50 / 109
51 / 109
52 / 109
53 / 109
54 / 109
55 / 109
56 / 109
57 / 109
58 / 109
59 / 109
60 / 109
61 / 109
62 / 109
63 / 109
64 / 109
65 / 109
66 / 109
67 / 109
68 / 109
69 / 109
70 / 109
71 / 109
72 / 109
73 / 109
74 / 109
75 / 109
76 / 109
77 / 109
78 / 109
79 / 109
80 / 109
81 / 109
82 / 109
83 / 109
84 / 109
85 / 109
86 / 109
87 / 109
88 / 109
89 / 109
90 / 109
91 / 109
92 / 109
93 / 109
94 / 109
95 / 109
96 / 109
97 / 109
98 / 109
99 / 109
100 / 109
101 / 109
102 / 109
103 / 109
104 / 109
105 / 109
106 / 109
107 / 109
108 / 109
109 / 109
Patache Laura ECONOMETRIE Note de curs Constan a - 2011
2 ISBN 978-606-598-094-5 © Ex Ponto - 2011
3 CUPRINS CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA: ISTORIC ŞI CONCEPTE................................................ 5 1.1. Defini iile econometriei ................................................................................................ 5 1.2. No iuni şi concepte fundamentale ale econometriei....................................................... 7 1.3. Elemente fundamentale privind erorile econometrice.................................................. 13 1.4. Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiin elor economice ....................................... 14 CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI ........ 16 2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric................... 17 2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor ........................................................................... 17 2.1.2 Firma privită ca sistem................................................................................................ 24 2.1.3 Legăturile sistemului econometric cu mediul exterior ................................................. 25 2.2. Comportamentul econometric al firmei....................................................................... 25 2.2.1 Interven ia de reglare prin compensare........................................................................ 26 2.2.2 Modelul „intrări – proces - ieşiri” al produc iei (input-output)..................................... 26 2.2.3 Importan a conceptului de sistem managerial econometric.......................................... 27 2.3. Situa ia decizională econometrică ............................................................................... 27 CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE……………………………………………………………………………………30 3.1. Dependen e şi interdependen e între fenomenele economice în tabloul econometric.... 30 3.2. Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie ..................................... 35 3.2.1 Modele econometrice liniare....................................................................................... 36 3.2.2 Modele econometrice neliniare ................................................................................... 36 3.2.3 Modele unifactoriale................................................................................................... 36 3.2.4 Modele multifactoriale................................................................................................ 36 3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecua ie şi cu ecua ii multiple................................. 37 3.2.6 Modele econometrice euristice sau ra ionale şi modele decizionale sau opera ionale... 37 3.2.7 Modele statice şi modele dinamice.............................................................................. 38 3.2.8 Modele econometrice par iale şi globale (agregate)..................................................... 38
4 CAPITOLUL 4. MODELUL UNIFACTORIAL.................................................................... 40 4.1. Definirea şi identificarea unui model unifactorial........................................................ 40 4.2. Estimarea parametrilor modelului unifactorial............................................................. 45 4.3. Ipotezele modelului liniar ........................................................................................... 53 4.4. Verificarea ipotezelor modelului liniar........................................................................ 55 4.5. Verificarea semnifica iei estimatorilor parametrilor modelului econometric................ 67 4.6. Evaluarea modelului de ajustare.................................................................................. 68 4.7. Cea mai bună regresie................................................................................................. 71 CAPITOLUL 5. APLICA II ŞI PROBLEME ....................................................................... 73 5.1. Instrumente Excel - Regression................................................................................... 73 5.2. Aplica ii practice......................................................................................................... 75 5.3. Probleme rezolvate ..................................................................................................... 81 5.4. Probleme de rezolvat .................................................................................................. 90 5.5. Grile de întrebări......................................................................................................... 92 BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………...99 ANEXE
5 CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA: ISTORIC ŞI CONCEPTE 1.1. Defini iile econometriei Un an de referin ă pentru istoricul Econometriei se consideră a fi anul 1930 când la Cleveland s-a înfiin at Societatea de Econometrie (Econometric Society), avându-i ca ini iatori pe: Irving Fischer – preşedinte, L. V. Bortkiewicz, R. Frisch, H. Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi al ii. Mul i dintre preşedin ii acestei societă i au fost laurea i ai premiului Nobel de-a lungul anilor, precum: K. Arrow, G. Debreu, R. Frisch, T. Haavelmo, L. Klein, T. Koopmans, W. Leontief, R. E. Lucas, Jr., J. Mirrlees, F. Modigliani, P. Samuelson, R. Solow, J. Tinbergen, şi J. Tobin. Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut revista acestei societă i, „Econometrica”, care a apărut trimestrial, începând din ianuarie 1933 şi începând cu anul 1970 emite 6 numere pe an. (pentru detalii pute i accesa http://www.econometricsociety.org) Studierea cantitativă a fenomenelor economice este mult mai veche. Printre precursorii econometriei moderne amintim: F. Quesnay1 , W. Petty2 , Gregory King, A. Cournot, Leon Walras, E. Engel, A. Marshall, R. A. Fisher, K. Pearson şi al ii. Econometria este o disciplină economică de frontieră apărută în domeniile de interferen ă ale teoriei economice, statisticii şi matematicii. Informa ia receptată prin intermediul sim urilor determină universul mental. Metodele statistice şi econometrice exploatează informa iile culese în scopul „obiectivizării” spa iului mintal. Dacă spa iul fizic este limitat la trei dimensiuni, cel mental are proprietatea unei dimensiuni nelimitate, de aceea percep iile noastre sunt diferite, ele fiind consecin a proceselor psihice sub impactul dorin elor, intereselor, aspira iilor etc., astfel: „Lumea exterioară n-ar putea exista fără universul mental care o percepe, iar, în schimb, universul mental îşi împrumută imaginile de la percep ii”3 . Etimologic, termenul de econometrie provine din cuvintele greceşti: eikonomia (economie) şi metren (măsură). El a fost introdus (1926) de către Ragnar A.K. Frisch4 , economist 1 Francois Quesnay (1694 - 1774) a fost economist francez al şcolii fiziocrate. În 1758 a publicat Tableau économique creat pe bazele gândirii fiziocrate marcând, astfel, o prima fază de abordare a economiei în sens analitic. 2 Sir William Petty (1623 - 1687) a fost economist şi filosof englez. El a dezvoltat metode eficiente pentru studiu pământului, în contextul în care acest pământ era confiscat şi dat soldaților lui Oliver Cromwell. A avut contribuții însemnate în teoria fiscalității, teoria monetară, diviziunea muncii şi conturile de venituri. Amintim câteva dintre lucrările sale: A Treatise of Taxes and Contributions (1662); Political Arithmetic posthum. (approx. 1676, pub. 1690); Verbum Sapienti posthum. (1664, pub. 1691); Political Anatomy of Ireland posthum. (1672, pub. 1691); Quantulumcunque Concerning Money posthum. (1682, pub. 1695). 3 P. Culiano, Out of this world, Shambhala Publications, Inc., Boston & London, 1991, citat de Tudorel Andrei, Regis Bourbonnais, în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, pag.20 4 Ragnar Anton Kittil Frisch (1895-1973), economist norvegian cu domenii de studiu econometria şi teoria produc iei a ob inut Premiul Nobel pentru Economie în anul 1969. Amintim următoarele lucrări ale sale: Kvantitativ formulering av den teoretiske økonomikks lover [Quantitative formulation of the laws of economic theory](1926);
6 şi statistician norvegian, prin analogie cu termenul „biometrie”, folosit de Fr. Galton şi K. Pearson la sfârşitul secolului al XIX-lea, care desemna cercetările biologice care utilizau metodele statisticii matematice. Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor defini ii cu privire la domeniul acestei discipline economice.5 Există mai multe categorii de defini ii: a) defini ia istorică; b) defini ia restrictivă; c) defini ia extinsă. Defini ia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei „Econometrica” (ianuarie 1933): „în elegerea efectivă a realită ilor constitutive din economie prin unificarea temei economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice”.6 Defini ia restrictivă (cvasi-stabilă) a econometriei propusă de Cowles Commission for Research in Economics (Chicago, 1940-1950), consideră că există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stocastice). Sus inătorii acestei defini ii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele induc iei statistice (teoria estima iei, verificarea ipotezelor statistice) la verificarea rela iilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele economice cercetate. Conform acestor defini ii, un studiu econometric presupune: existen a prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat; posibilitatea aplicării metodelor induc iei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice; construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia. Această defini ie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările economice care nu se fundamentează pe: o teorie economică – implicită sau explicită privind modelul econometric al fenomenului, procesului sau sistemului studiat; o interpretare aleatoare a modelului respectiv. Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief (Balan a Legăturilor între Ramuri – B.L.R.7 ) ca şi statistica economică (care se fundamentează pe metoda balan elor) nu intră în "Sammenhengen mellem primærinvestering og reinvestering [The relationship between primary investment and reinvestment]"(1927) şi "Correlation and scatter in statistical variables" (1929). 5 Vezi Eugen Ştefan Pecican, Econometrie edi ia a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colec ia Oeconomica, Bucureşti, 2006; Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007 şi al ii 6 R. Frisch citat de Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.15 7 Balan a legăturilor dintre ramuri − BLR − este un model matematic de structură ce oglindeşte trăsăturile esen iale ale reproduc iei, reflectă dezvoltarea economiei na ionale de ansamblu şi, separat, pe ramurile acesteia, conexiunile existente în economie, eviden iază fluxurile de bunuri ce au loc în procesul reproduc iei, ca urmare a legăturilor dintre ramuri, propor iile ce se formează în economia na ională. Preocupat de problema echilibrului economic în contextul crizei mondiale, economistul Wassily Leontief a început, în anul 1931, activitatea de cercetare a legăturilor de produc ie dintre ramurile economiei americane. El divizează economia na ională pe ramuri ale produc iei, ramuri pe care le pune fa ă în fa ă (pe de o parte, producătoare, pe de altă
7 sfera de cuprindere a econometriei: prima, deoarece existen a unei teorii economice nu este necesară, iar ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea metodelor induc iei statistice. Defini ia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ările anglo-saxone, ine seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării opera ionale: teoria optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor, teoria jocurilor etc. Prin econometrie, în sensul larg al termenului, se în elege econometria, definită în mod restrictiv, adică, include domeniile men ionate atunci când ea este în eleasă în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării opera ionale. În prezent, în domeniul econometriei se includ şi tehnicile moderne de analiză a datelor sau analiza marilor tabele. Deoarece încă nu s-a cristalizat o concep ie unitară privind „frontierele” econometriei, în manualele sau tratatele de econometrie, autorii, de regulă, îşi men ionează concep ia pe baza căreia şi-au structurat lucrările. În ara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se fac precizări exprese, cât şi prin structura planurilor de învă ământ de la facultă ile economice, econometria este concepută şi aplicată ca metodă generală de investigare cantitativă a fenomenelor şi proceselor economice – adică, în accep iunea largă a termenului. 1.2. No iuni şi concepte fundamentale ale econometriei Metoda modelelor sau metoda modelării reprezintă principalul instrument de investigare econometrică a fenomenelor econometrice. Dar, modelarea sau metoda modelelor nu constituie o noutate în ştiin a economică. Tabloul economic al economistului fiziocrat F. Quesnay (1738), legile lui Engel (1857), coeficientul de elasticitate formulat de Marshall (1890) reprezintă momente istorice de la care cercetarea economică trece de la etapa descriptivă la etapa de explicare formală a cauzelor şi formelor de manifestare ale fenomenelor economice. Modelele sunt reprezentări ale sistemelor care pot fi studiate fără ca sistemele să fie atinse fizic, social şi economic. Există trei clase mari de modele: iconice, analogice şi analitice. Cele iconice sunt modele vizuale ale obiectivelor reale pe care le reprezintă şi se folosesc cu predilec ie în arhitectură, redând, la scară: clădiri, cartiere, porturi, centrale electrice, aeroporturi ş.a.m.d.. Modelele analogice sunt utilizate mai rar. Ele reproduc fenomene din anumite domenii apelând la tehnici din alte domenii, prin analogie. De exemplu, circuitul monetar na ional se poate reda printr-un sistem hidraulic cu pompe, conducte şi recipiente astfel încât să poată fi examinată circula ia unui lichid, reprezentând fluxul bănesc. Se pot face experimente pe astfel de modele accelerând sau frânând circula ia prin manipularea de robinete sau vane cu care sistemul de conducte este echipat. Aceste modele sunt, evident, mai scumpe decât modelele analitice datorită construc iilor speciale şi proceselor tehnice la care se apelează. În vederea realizării unor scenarii privind evolu ia ocupării în zonă, am recurs la modelarea analitică, specifică activită ii de management. Aceste modele apelează, de regulă, la formule matematice. Cele mai cunoscute modele analitice sunt modelele cercetărilor opera ionale dintre care: programarea liniară, parte, consumatoare pentru a putea produce), oferind, astfel, posibilitatea relevării interdependen elor dintre ele. Balan ele, BLR, pot avea caracter statistic sau previzional, pot fi elaborate în expresie fizică sau valorică, sunt modele statice sau dinamice. (vezi Caracotă D. şi Caracotă C., Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi competitive, Capitolul 5: Analiza input-output, disponibilă la adressa: http://www.biblioteca- digitala.ase.ro/biblioteca/pagina2.asp?id=cap5)
8 programarea dinamică, programarea stocastică, modele de stocare, modele cu fenomene de aşteptare, lan uri Markov ş.a.. Întrucât modelarea, şi în special cea analitică, se realizează prin simplificarea realită ii, există posibilitatea ca această simplificare să afecteze precizia redării faptelor. În consecin ă, luarea oricărei decizii bazate pe modelare implică un anumit grad de risc. De aceea, atunci când se aplică, este necesar ca modelele să fie validate artificial, anterior aplicării practice. Chiar şi în aceste condi ii, este recomandat ca asociat deciziei care se ia în urma folosirii unui model, să se calculeze riscul aferent astfel încât aplicarea deciziei în prezen a riscului să fie eficientă economic. Abilitatea de a construi modele prin care să se reprezinte tot mai adecvat sistemele la care se referă, a crescut considerabil în ultimele decenii, atât ca urmare a dezvoltării cercetărilor opera ionale care pun la dispozi ie tot mai multe tipuri de modele sub formă prefabricată, cât şi, datorită posibilită ilor de a apela la o tehnică de calcul tot mai performantă pentru testarea validită ii şi rezolvării modelelor. Concomitent cu progresele şi facilită ile oferite de ştiin ă şi tehnologie, se lărgeşte şi gama complica iilor care limitează modelele, astfel: se reduc resursele naturale, popula ia globului creşte, se accentuează globalizarea, preten iile cresc în toate domeniile vie ii ş.a.m.d.. 8 În general, modelul reprezintă un instrument de cercetare ştiin ifică, o imagine conven ională, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării. Fiind o construc ie abstractă, în care se neglijează proprietă ile neesen iale, modelul este mai accesibil investiga iei întreprinse de subiect, aceasta fiind una din explica iile multiplelor utilizări pe care modelul le are în epoca contemporană. Utilizat în economie, modelul - imagine abstractă, formală a unui fenomen, proces sau sistem economic – se construieşte în concordan ă cu teoria economică, rezultând modelul economic. Modelul economic, reproducând în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat, prin transformarea sa în model econometric, devine un obiect supus cercetării şi experimentării (verificării), de la care se ob in informa ii noi privind comportamentul fenomenului respectiv. În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de modelele economice care explică structura fenomenului sau procesului economic de pe pozi ia teoriei economice, au întotdeauna o finalitate practică, opera ională, ele devenind instrumente de control şi dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice. Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi: a) variabile economice; b) variabila eroare (aleatoare), u; c) variabila timp, t. a) Variabilele economice, de regulă, se împart în: variabile explicate, rezultative sau ENDOGENE, Yi , i= , şi variabile explicative, factoriale sau EXOGENE, Xj, j = independente de variabilele endogene Yi . unde: n = numărul variabilelor rezultative; k = numărul variabilelor factoriale. 8 Laura Iacob Patache, Pia a muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Editura Universitară, Bucureşti, 2010, 152 şi urm.
9 În cazul modelelor de simulare sau de prognoză, variabilele Xj se mai împart în: variabile exogene predeterminate (variabile de stare a sistemului – capacitatea de produc ie a unei întreprinderi, sau cu lag – xt-1, yt-1) şi variabile instrumentale sau de comandă economică (dobânda, impozitul pe profit etc.) b) Variabila aleatoare, u, sintetizează ansamblul variabilelor, cu excep ia variabilelor Xj, care influen ează variabila endogenă Yi, dar care nu sunt specificate în modelul econometric. Aceste variabile (factori), pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt considerate factori întâmplători (neesen iali), spre deosebire de variabilele Xj, care reprezintă factorii determinan i (esen iali) ai variabilei Yi. De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de măsură – erori întâmplătoare şi nu sistematice – con inute de datele statistice privind variabilele economice. Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila aleatoare „u” urmează o lege de probabilitate L(u), în acest scop formulându-se o serie de ipoteze statistice cu privire la natura distribu iei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu teste statistice adecvate fiecărei ipoteze. c) Variabila timp, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice. Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă (economică), se recurge la această variabilă explicativă (fictivă) din două motive: în primul rând, timpul, ca variabilă econometrică, permite identificarea unor regularită i într-un proces evolutiv, ceea ce constituie un prim pas spre specificarea precisă a unor variabile care ac ionează în timp; în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor variabile care ac ionează asupra variabilei Y care, fiind de natură calitativă, nu pot fi cuantificate şi, ca atare, nici specificate în modelul econometric. Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie func ia de produc ie Cobb-Douglas cu progres tehnic autonom9 : (1.1) unde: Q = volumul fizic al produc iei; K = capitalul; L = for a de muncă; e = numărul natural; t = timpul; u = variabila aleatoare; A, α, (1-α) şi g = parametrii func iei, A este o constantă, α şi (1-α) reprezintă elasticitatea outputului în raport cu capitalul fix şi, respectiv, for a de muncă (cu cât creşte outputul dacă K, respectiv L cresc cu 1%): 9 Vezi, Daniela Lumini a Constantin, Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998, pag.164-167
10 (1.2) (1.3) g este rata progresului tehnic în perioada [0,t]. Sursa de date - Variabilele economice se introduc într-un model econometric cu valorile lor reale sau empirice (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unită ilor observate). Aceste valori ale variabilelor unui model se pot ob ine pe două căi: fie pe baza sistemului informa ional statistic (banca de date), fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor statistice. O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o reprezintă calitatea datelor statistice, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficien e, fiind compromis sub aspect opera ional. Deoarece problema autenticită ii datelor economice ine de domeniul statisticii economice, ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condi iile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune: o colectarea lor de la unită i statistice omogene; o reprezentarea aceloraşi defini ii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spa iu; o descrierea evolu iei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condi iile de desfăşurare a procesului analizat; o exprimarea variabilelor în aceleaşi unită i de măsură, condi ie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în pre uri comparabile sau pre uri reale. „Materia primă” pentru calcule economice o constituie seriile cronologice (serii de timp sau serii dinamice), mai rar seriile teritoriale, ale variabilelor economice respective, preluate sau construite pe baza băncii de date statistice existente. O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică: t 1 2... T xt x1 x2... xT yt y1 y2... yT În compara ie cu aceasta, o serie de spa iu rezultă prin observarea variabilelor Y şi X într-o anumită perioadă de timp - lună, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unită i socio- economice omogene, i= , n = numărul unită ilor de acelaşi profil, ce apar in aceluiaşi sector economic etc. O astfel de serie se prezintă, de regulă, sub următoarea formă: xi x1 x 2 … xn yi y1 y2 … yn
11 Într-un model econometric, un fenomen economic X={xi}, i= , poate fi introdus cu următoarele valori: [1] Valori reale sau empirice, xi = (x1, x2,.., xn), valori exprimate în unită i de măsură specifice naturii fenomenului X, ele fiind mărimi concrete şi pozitive, deci apar in sistemului numerelor ra ionale. Vectorul valorilor lui X, xi = (x1, x2,.., xn), poate fi definit prin doi parametri: - media aritmetică a variabilei X - abaterea medie pătratică a variabilei X unde: = fiind dispersia variabilei. De obicei, se consideră că variabila X urmează o distribu ie normală de medie şi de abatere medie pătratică σx : L(x) = N( ,σx). [2]Valorile centrate : Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele apar in sistemului numerelor reale având atât valori pozitive cât şi negative. Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală cu zero, iar dispersia lor este egală cu dispersia valorilor reale: (1.6) = = = M(x2 ) (1.7) [3] Valori centrate şi normate sau abateri standard: Media şi dispersia acestor valori este: (1.8)
12 = = (1.9) În plus fa ă de aceste două proprietă i L( ) = N(0;1)10 , abaterile standard sunt mărimi abstracte (adimensionale). Aceste calită i conduc, atât la diminuarea calculelor statistice cu aceste valori, cât şi la efectuarea de compara ii între distribu iile mai multor fenomene economice de naturi diferite. Un model econometric poate fi format dintr-o singură rela ie sau dintr-un sistem de rela ii statistice. Aceste rela ii pot fi: rela ii de identitate sau deterministe, rela ii de comportament, rela ii tehnologice şi rela ii institu ionale. Rela iile de identitate sunt de tipul ecua iilor de balan ă folosite în „Sistemul de balan e ale economiei na ionale”. Rela iile de comportament sunt acele ecua ii stocastice care reflectă şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model macroeconomic, rela iile de comportament se referă la dependen e privind consumul, investi iile, importul şi exportul, sistemul de pre uri, cererea monetară etc. Rela iile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic privind produc ia cât şi rela iile tehnico-economice existente în produc ie, for a de muncă şi fondurile de produc ie ale unei unită i, ale unei ramuri sau ale economiei na ionale. Aceste rela ii tehnologice sunt reprezentate de cunoscutele func ii de produc ie de diferite tipuri. Rela iile institu ionale sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stocastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradi ie sau fie de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de exemplu, ecua iile care explică stabilirea impozitelor sau a cotiza iilor în func ie de venit. Tipologia modelelor econometrice este extrem de vastă. Totuşi, un model econometric poate fi construit prin intermediul unei singure ecua ii de comportament, tehnologice sau institu ionale, sau cu ajutorul unui sistem de ecua ii de genul celor patru rela ii, men ionate mai sus, denumite modele cu ecua ii multiple. Testele statistice11 sunt instrumente de lucru indispensabile investiga iei econometrice. Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul că demersul econometric constă într-o înşiruire logică de ipoteze privind semnifica ia variabilelor exogene, a calită ii estima iilor ob inute, a gradului de performan ă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t, testul F etc. Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă, în diverse domenii, se foloseşte frecvent un test denumit „testul erorii”. 10 Rela ia L(x**) = N(0;1) se citeşte: variabila x** = urmează legea de probabilitate normală având media egală cu zero iar abaterea medie pătratică este egală cu unu (legea normală, centrată şi redusă). 11 Vezi – ipoteză statistică, test, eroare de gradul 1 şi gradul 2, prag de semnifica ie, nivel de semnifica ie – Dic ionar statistic-economic, D.C.S., Bucureşti, 1969
13 În general, aplicarea acestui test presupune compararea a două valori: 0 = valoarea observată sau estimată; T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată. Pe baza celor două valori se definesc: - eroarea absolută, = ; - eroarea relativă, = 100 . Se construiesc cele două ipoteze: H0: 0 ≈ T; H1: 0≠ T. Stabilindu-se arbitrar o valoare absolută (Ea) sau relativă (Er)12 de echivalare a celor două valori, (0) şi (T), regula de (alegere) decizie a celor două ipoteze este următoarea: este acceptată ipoteza H0 dacă Ea ≤ ea sau Er ≤ er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), sunt echivalente, adică diferen ele dintre ele sunt întâmplătoare şi nu sistematice; este acceptată ipoteza H1 dacă Ea > ea sau Er > er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), diferă semnificativ şi nu pot fi considerate ca echivalente, respectiv extrase din aceeaşi urnă sau dintr-o colectivitate omogenă. Acest test al erorii este utilizat în mod curent în domeniul analizei statistico-economice a varia iei în timp şi/sau în spa iu a unui fenomen economic, dar poate fi aplicat şi în domeniul econometriei, dar cu discernământ şi nu în mod excesiv. 1.3.Elemente fundamentale privind erorile econometrice Modelarea econometrică prezintă şi anumite limite. Astfel, un model econometric surprinde numai coordonatele principale ale evoluției unui fenomen economic, numai variabilele importante şi relațiile dintre acestea. Intr-adevăr modelul cuprinde şi influen a unei variabile reziduale, numai că, niciodată, nici un model, indiferent cât de performant ar fi el, nu poate copia întreaga realitate. Astfel, putem spune că de fiecare dată când elaborăm un model econometric luăm în calcul şi o anumită probabilitate. Erorile care apar au ca principale surse, pe lângă cele oferite de calculul probabilităților, şi erori care apar din comportamentul uman strict implicat în evoluția unui fenomen economic sau social. Acest aspect afectează eventualele previziuni şi simulări. Eroarea este definită ca diferen a dintre rezultatul x al măsurării (respectiv a eliminării neterminării) şi valoarea reală, adevărată, originară x0. (în cazul econometriei eroarea este numită şi eroare reală econometrică13 ) Cauzele apari iei erorilor în econometrie se regăsesc în insuficien a metodelor de măsurare, a celor de analiză şi interpretare sau calcul, respectiv în sfera subiectiv-umană prin care se percepe multi-variant, n-dimensional, fenomenul economic studiat. Rezolvarea erorilor con ine proceduri de revenire asupra determinărilor respective. 12 Un astfel de test şi criteriu de decizie se utilizează în comer ul cu produse îmbuteliate sau ambalate pentru care, de regulă, criteriul de decizie este de ± 5 % din volumul sau greutatea, T, a ambalajului. 13 vezi Ioan Gâf-Deac, 2007, p.77
14 În prezent, nu putem concepe modelarea proceselor economice fără a apela la utilizarea unor pachete de programe care permit rezolvarea de ecuații simultane, efectuarea de previziuni, prelucrarea statistică a datelor, etc. Dintre acestea, cele mai des utilizate în econometrie sunt: Data Analysis din EXCEL, EVIEWS, SAS, SPSS, STATISTICA, MATLAB şi altele cu performan e diferite şi multiple. 1.4.Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiin elor economice Apari ia şi rapida afirmare a econometriei trebuie în eleasă şi explicată prin prisma raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între elementele acestui raport. Dezvoltarea continuă şi dinamică a for elor de produc ie sub impactul progresului ştiin ific şi tehnic modifică condi iile şi interdependen ele din produc ie, reparti ie, circula ie şi consum, ceea ce, pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea şi dirijarea evolu iei fenomenelor economico-sociale către anumi i indicatori intă, formula i şi urmări i de o anumită politică economică. Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a eficien ei metodelor de organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte, şi succesele metodelor statistico- matematice în alte domenii ale ştiin ei – fizică, chimie, astronomie etc. – pe de altă parte, au determinat adoptarea de către ştiin ele economice a acestor metode. Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de diversificare a ştiin ei economice, ci prin integrarea dintre teoriile economică, matematică şi statistică. În cadrul acestei triade, teorie economică - matematică – statistică, locul central îl ocupă teoria economică. Deşi, penetrarea ştiin ei economice de către metodele statistico-matematice reprezintă un progres calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă componenta lor cuantificabilă, con in aspecte care nu pot fi reprezentate prin cantitate. Aceste particularită i ale fenomenelor economice constituie, în general, limitele econometriei în sistemul ştiin elor economice. De remarcat că raporturile econometriei cu ştiin ele economice nu sunt numai de dependen ă. Într-adevăr, un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie economică a obiectului cercetat. Similitudinea sa formală cu obiectul economic investigat depinde de nivelul de abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi opera ională a no iunilor şi categoriilor economice, de scopurile urmărite de teoria economică - scopuri euristice sau de dirijare privind obiectul studiat. Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între teorie şi realitate. El reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de experimentare pe baza căruia ştiin a economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său de cercetare poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat în laborator. Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric, ştiin ele economice validează, renun ă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de semantică şi semiotică economică, îmbogă indu-şi în felul acesta sistemul de informa ii privind structura şi evolu ia obiectului economic. În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiin ele economice este extrem de vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a acestor modele la investigarea fenomenelor
15 economice se datorează progreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a parametrilor modelelor şi al testelor de verificare pe care se fundamentează acestea şi, nu în ultimul rând, al utilizării calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor mai complexe modele econometrice. Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele economice, este necesar să subliniem coresponden a dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea macro sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele simulării şi, mai ales, ale predic iei econometrice. Activitatea de previziune a economiei este aceea care „oferă” o serie de elemente utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de specificare a acestuia. În această etapă, previziunea defineşte variabilele endogene (rezultative) şi pachetul variabilelor exogene corespunzătoare obiectivelor urmărite în func ie de informa iile statistice existente. Econometria, la rândul ei, contribuie la ob inerea variantelor economice, oferind informa ii cu privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de ac ionare a pârghiilor economice. În acest fel, previziunii economice i se oferă o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferitele variante ale politicii economice care ar putea fi aplicate. Men ionăm, de asemenea, legătura econometriei cu sistemul financiar-contabil, domeniu în care modelarea pătrunde tot mai mult – vezi modelele ARCH. De asemenea, trebuie remarcat faptul că, la elaborarea modelelor econometrice, se recomandă, cu o tot mai mare insisten ă, introducerea rela iilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de semnificative pentru descrierea mecanismelor economice. Domeniul cooperării economice interna ionale, ca, de altfel, şi cel privind comer ul interior, domeniu în care previziunile sunt greu de realizat, altfel decât cu ajutorul metodelor statistice, reprezintă, de asemenea, sectoare ale economiei ce pot beneficia de rezultatele econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea activită ilor desfăşurate. Este totodată necesar să subliniem frecven a tot mai mare a aplicării metodelor econometrice în lucrări din domeniul biologiei, medicinii, demografiei şi, în special, în domeniul marketingului, managementului sau viitorologiei. În concluzie, se poate re ine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau metoda modelelor. Modelul econometric – expresie formală, inductivă a unei legită i economice – reprezintă un mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este o metodă care conduce la ob inerea de cunoştin e sau informa ii noi privind starea, structura (conexiunile dintre elemente) şi evolu ia unui proces sau sistem economic.
16 CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI Diferitele situa ii ce reflectă realită ile dintre variabile se regăsesc în exprimări teoretice economice. În practică apar însă cerin e ce vizează necesitatea cunoaşterii mărimii relative a parametrilor dintre variabile. Totodată, aspectele teoretice enun ate sau formulate într-un anume con inut trebuie testate, pentru ca într-o etapă imediată, rela iile confirmate să fie folosite pentru predic ii cantitative şi calitative. Paul Samuelson (1954) arăta că econometria este „aplicarea statisticii matematice pentru a furniza suport empiric modelelor construite cu ajutorul economiei matematice şi pentru a furniza estimări numerice”. Matematica, statistica şi economia în interferen ă dau atribut complex econometriei, preponderent fiind, aşa cum am mai spus, studiul cantitativ al realită ii micro sau macroeconomice. În sens extins, economia conferă lărgimea semnificativă a econometriei, respectiv limite extreme pentru ac iunile de măsurare ce pot prezenta interes decizional. Obiectul, domeniul şi metodele econometriei sunt subordonate manipulării sistemelor complexe, respectiv stabilirii elementelor decizionale, pentru managementul comportamentului productiv/reproductiv. Înregistrările statistice primare sunt urmate de evaluări intuitive, căutând legăturile între con inutul şi valoarea datelor provenite din observa ii, şi cele măsurate prin modelare. Astfel, se identifică raporturi structurale reale pe baze cauzale, deterministe. Unele valori din serie sunt determinate probabilistic pe baza valorilor precedente. Desluşind mecanismele de transformare a variabilelor între ele se pot preciza rela iile func ionale, aferente structurii reale a obiectului, procesului sau fenomenului economic studiat. Eviden ierea modului şi a formei sub care o variabilă influen ează altă variabilă reprezintă complexitatea de a ac iona a cercetării. De regulă, se urmăreşte reducerea pe cât posibil la rela ii de formă liniară. Prin demersuri econometrice, mecanismul de transformare este descompus până la ob inerea seturilor de date considerate a fi adevărate, atunci când se demonstrează verosimilitatea maximă a acestora. Între realitate şi model se înregistrează un anume izomorfism, în con inutul căruia persistă contradic ii între: 1) structura şi procesul economic cercetat 2) cauze şi manifestările stocastice, şi între 3) situa iile empirice şi cele reale-ra ionale. Constatarea de mai sus marchează diferen ele între econometrie şi economia matematică, respectiv între tratarea cantitativă, empirică a fenomenologiei şi statisticii problemei economice şi, respectiv, cercetarea ra ională a structurii şi cauzelor problemei economice.
17 În sine, econometria prin faptul că „măsoară”, deci induce cuantificări ale informa iilor, determină „cunoaştere”, în în eles general, cognitiv. Dintr-un model ra ional este posibilă construirea, deci generarea, unui model empiric, care „împinge” cunoaşterea în noi areale evolutive, cu ajutorul rezultatelor-imagini. Modelele econometrice reconstituie mecanismele economice în imagini, care sub procesări statistice duc la noi rezultate-imagini, folositoare managementului comportamentului sistemelor complexe. Modelele posibilită ilor sunt generate de statistici specifice, cu ajutorul cărora se experimentează întreg setul de modele alternative, până la stabilirea celui cu verosimilitate maximă. Statisticile reprezintă intrările (inputs) principale în procesele economice cercetate. Reductibilitatea poate afecta predic ia, în măsura în care concentrarea sau simplificările operate prin statistici pierd din calcule variabile cu poten ial permanent de influen ă. În fapt, econometria reprezintă o extensie sau o dezvoltare ulterioară a economiei matematice. Între micro şi macroeconomie sunt marcate raporturi dimensionale, respectiv este formalizat un dualism necontradictoriu. Aplicabilitatea modelelor econometrice este urmărită concomitent ca imagine – rezultat, în cele două niveluri, respectiv micro şi macroeconomic. Ajustarea ecua ională econometrică şi deopotrivă estimarea reprezintă proceduri sau instrumente de căutare a aliniamentelor de predic ie, cu grad cât mai înalt de verosimilitate. Ipotezele simplificatoare nu trebuie să influen eze tendin a de creştere a identificării verosimilită i. 2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric 2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor a) Defini ia sistemului Bertalamffy – părintele teoriei sistemice defineşte sistemul „ca un complex de elemente în interac iune”. În cadrul acestuia, interac iunea se conduce după principii ştiin ifice care ordonează şi face ca ansamblul, în general, să aibă tendin a optimizării permanente a activită ii lui. Pentru scopuri ştiin ifice şi practice sistemul se defineşte astfel: „este un grup, un complet, un ansamblu de elemente naturale şi artificiale, care generează scopuri comune (scopul comun care le reuneşte)”. Sistemul organiza iei sociale este cea mai complexă categorie de sistem; în cadrul acestuia are loc fenomenul de conducere. Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o defini ie mai largă a acestuia: „un ansamblu organizat, o clasă de fenomene care satisfac următoarele exigen e: - să se poată specifica un set, o mul ime de elemente identificabile; - să existe rela ii identificabile cel pu in între unele dintre ele; - anumite rela ii să implice alte rela ii (lan ul infinit de rela ii);
18 - un complex de rela ii, la un timp dat implică un anume complex la un timp următor, aspect ce pune în eviden ă dinamica sistemului.” Structural, sistemele se referă la reunirea păr ilor specifice, din rândul cărora enumerăm: b) Componentele sistemului econometric. Acestea sunt reprezentate de elemente şi conexiuni. Elementul este o calitate (un obiect, un proces, „ceva”) dintr-un fenomen, care este privit ca parte nesupusă analizei. Elementele fixează limitele infinitului din orice concret. Conexiunea este un anumit raport între elemente, care le reuneşte în cadrul func ionării sistemului. Conexiunile pot fi: legături cauzale, de coordonare a func iilor, succesiunii sau simultaneită ii, raporturi de subordonare (fără a fi rela ii cauzale) ş.a. Conexiunile stabilesc limitele sintezei anumitor păr i ale unui fenomen economic în sistem. Pe lângă conexiunile interne dintre elementele sistemului există şi conexiuni externe (legături cu alte sisteme). Sistemele, în realitate, nu există; ele se construiesc în scopul cunoaşterii şi reprezintă o ordonare ce răspunde unui anumit scop epistemologic. La definirea unui sistem econometric este necesară o informa ie prealabilă despre fenomenul studiat şi o formulare foarte riguroasă şi precisă a obiectului cercetării economice. În raport cu el însuşi, sistemul econometric are o structură, stare, repertoare, calendarul şi transformarea. Structura este o ordine relativ stabilă, calitativ determinată a conexiunilor dintre elementele sistemului (structura se mai numeşte şi organizare econometrică). Starea sistemului este definită de mul imea de valori pe care o au variabilele ce caracterizează conexiunile la un moment dat. Transformarea este o trecere de la o stare la alta. Dacă sistemul econometric ac ionează în scopul realizării transformării el se numeşte operator. Dacă sistemul se transformă, el se numeşte operant. Rezultatul oricărei transformări se numeşte imagine econometrică. Repertoarul reprezintă mul imea stărilor posibile ale sistemului econometric într-o perioadă (O-T). Calendarul reprezintă mul imea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică în (O-T). Orice sistem econometric este definit univoc în timp şi spa iu. c) Rela iile sistemului econometric cu mediul exterior În raport cu mediul, sistemul econometric apare ca o incluziune şi are o intrare, o ieşire, o comportare şi o func ie. Conceptul de incluziune semnifică faptul că orice sistem se poate încadra într-o structură mai largă. Limitele unui sistem econometric sunt relative. Sistemele econometrice sunt în toate cazurile deschise (nu pot func iona decât în universul ce le înconjoară, ca o incluziune a acestuia şi aşa cum cere acesta). Pentru a analiza un fenomen economic ca sistem, acesta trebuie să fie separat de alte fenomene, individualizat ca un lucru independent (relativ), definit riguros şi univoc.
19 Numai astfel sistemul econometric devine un câmp, un spa iu obiectiv şi structurat pentru cercetarea problemei economice de interes (fenomenul econometric în cazul de fa ă). Pentru a defini un proces, un obiect sau un fenomen economic ca sistem, el trebuie separat şi opus restului „lumii”, trebuie să i se cunoască grani ele. Intrarea apare ca un dispozitiv ce recep ionează ac iunile exterioare, format din elemente identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recep ionează informa ii (intrarea este informa ională în econometrie). Intrarea mai este definită şi drept capacitatea de a recep iona informa ii exterioare, sau orice ac iune informa ională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior ac ionează aspra sistemului. Ieşirea este definită analog intrării, fiind un dispozitiv prin care sistemul ac ionează asupra altor sisteme, respectiv un grup de elemente identificabile prin care informa iile ies din sistem. Elementele intrării sunt: capacitatea de a transmite informa ii, orice ac iuni informa ionale ale sistemului asupra altor sisteme. d) Caracteristicile şi principiile func ionării sistemelor econometrice. Valoarea de comandă este sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în ansamblu, superior organizat în condi iile unui mediu ce produce perturba ii. Adaptabilitatea este însuşirea de a men ine la ieşire valoarea de comandă neschimbată, în condi iile unui mediu perturbator. Sistemul econometric adaptiv func ionează după principiul independen ei relative a ieşirii, în raport cu intrarea. Rela ia intrare – ieşire în sistemele econometrice adaptive nu mai este explicabilă prin cauzalitatea liniară din viziunea clasică ci rezidă dintr-o cauzalitate specifică, fiind în eleasă prin conceptul de stabilitate. Stabilitatea înseamnă men inerea stării la ieşire, independent de modificările intrării. Stabilitatea se realizează prin echilibru, prin homeostază şi prin perfec ionarea structurii (autoorganizare şi instruire). Echilibrul reprezintă stabilitatea sistemelor econometrice cu o structură slabă (acestea tind să se deplaseze spre un punct propriu de echilibru). Homeostaza reprezintă stabilitatea sistemelor biologice (men inerea unui sistem de organizare ridicat, deja câştigat). Pe calea schimbării interioare a conexiunilor, în anumite limite normale, sistemul econometric îşi permite men inerea comportamentului. Stabilitatea dinamică adaptivă se realizează prin autoorganizare, autoreglare şi instruire. Autoreglarea este capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se depărtează de valoarea de comandă dată. Folosirea capacită ii proprii de reglare impune o altă caracteristică, şi anume autonomia (independen a de a crea şi folosi capacitatea proprie de reglare). Autoorganizarea este un proces de adaptare la perturba ii externe pe calea diversificării structurii, cu scopul de păstrare a stabilită ii, de a nu oscila, de a nu se distruge. Atingerea valorilor de comandă e posibilă numai prin existen a unei structuri func ionale, adaptată, adecvată valorii de comandă. Modificându-se valorile de comandă şi/sau condi iile în care func ionează sistemul econometric se înregistrează schimbări adecvate de structură. Aceste schimbări fac parte din
20 procesul de autoorganizare. Structura nu este ceva static ci este singura, deseori, care trebuie să se schimbe, pentru adaptarea sistemului la perturba ii. Legătura inversă (feed-back) este capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux permanent din spa iu, dinspre punctul terminus (unde se eviden iază ieşirea) spre dispozitivul de reglare. În managementul economic controlul este denumit feed-back. Reglatorul este legat cu intrarea şi cu ieşirea. Ca urmare a conexiunii inverse, acesta intervine asupra stării generale a sistemului econometric (se realizează interven ii directe asupra intrării şi asupra stării sistemului). Mecanismul reglării este redat în figurile de mai jos: Figura nr.1: Schema unui sistem cu legături directe Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47 Figura nr.2: Schema unui sistem cu legături inverse (feed-back) Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47 I IIIIII IIIII
21 Timp mort (Tm) Timp efectiv de reglare a b X+∆X ZX Y+∆Y Y Z Figura nr.3: Schema unui sistem cu autoreglare prin circuitul feed-back a = apari ie, perturbare dispozitiv de comandă; b = timp de stocare + prelucrare informa ii la dispozitivul de comandă şi timpul transmiterii comenzii la efector; - Pentru Tab < Tm perturba ia nu are timp de traversare stabilitate; ∆Y = capacitate de sarcină pentru R Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48 Figura nr.4: Schema unui sistem cu autoreglare şi autoorganizare Valoarea x a intrării în S variază, ajungând xx ∆≠ . Rezultatul y la ieşire trebuie men inut constant. Sesizarea varia iei lui y, care devine yy ∆+ , se transmite prin legătură inversă la regulatorul R. R aplică valorii x la intrare o corec ie Z, care este de natură să restabilească rezultatele la valoarea y. Noua intrare se modifică la Zx şi sistemul îşi men ine y la ieşire la norma dată. Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48 perturbare S reglare R [S] R
22 Timpul mort (Tm) este intervalul dintre apari ia perturba iei la intrare şi până când aceasta se reflectă la ieşire, traversând întregul ansamblu. Timpul de reglare efectivă (de transfer) este perioada de la apari ia perturba iei până când informa ia ajunge la dispozitivul de comandă (recep ie, transmitere, mesaj) plus timpul pentru stocare-prelucrarea informa iilor la dispozitivul de comandă şi transmiterea comenzii până la efector. Reglarea efectivă are loc în paralel cu procesul de traversare a perturba iei prin ansamblu. Acest aspect este posibil numai pentru perturba ii ce sunt sesizate încă la intrare, când regulatorul este legat direct cu intrările. Există şi perturba ii care nu sunt sesizate la intrare de către regulator, fie pentru faptul că nu se urmăresc sistematic, deci nu sunt cunoscute sub aspectul efectelor lor, fie că informa ia întârzie să atingă la regulator. Dacă timpul de transfer sau de reglare efectivă este mai scurt decât timpul mort, perturba ia nu are timp să traverseze sistemul şi să-şi realizeze efectul, rezultatul rămânând stabil. Capacitatea de sarcină a dispozitivului de reglare este reflectată de nivelul perturba iei pe care o poate prelua regulatorul. Fiecare sistem ac ionează într-un mediu specific, are o func ie specifică şi trebuie, în general, să răspundă la un anumit tip de intrări perturbatoare (să aibă o anumită capacitate de sarcină). La perturba ii foarte puternice R se blochează şi depărtează ieşirea de valoarea de comandă, iar sistemul econometric se dezorganizează. Apare necesitatea interven iei din afara sistemului, pentru reorganizare şi pentru deblocarea dispozitivului de reglaj. Reglarea se poate face prin: autoreglare; autoorganizare; compensare; schimbări aduse în mediul perturbator. Autoreglarea este ac iunea dispozitivului de reglare asupra intrării perturbatoare. Autoorganizarea este ac iunea de interven ie asupra structurii sistemului pentru adaptarea acestuia la perturba ii (schimbarea unor legături în structură, schimbarea destina iei unor elemente, suplimentarea sau scoaterea unor elemente din sistem). Compensarea (comanda pură) are loc când for ele exterioare compensează efectele perturbărilor deja suferite şi când acestea procedează la reorganizare. Rezultă necesitatea obiectivă a existen ei unui sistem supraordonat, care să joace acest rol compensator. La reglarea prin compensare nu mai are loc alertarea dispozitivului propriu de reglaj (circuitul informa ional se deschide de către sistemul supraordonat). O organiza ie, respectiv un fenomen economic se manifestă ca sistem econometric suprastabil atunci când func ionează ca sistem de autoreglare şi autoorganizare (există tendin a de a apela la reglare prin compensare chiar şi în situa ii când şi-ar putea folosi propriile capacită i pentru a putea face fa ă perturba iilor). Reglarea prin schimbări aduse mediului perturbator înseamnă eliminarea din afară a intrărilor perturbatoare.
23 e) Alte caracteristici de func ionare şi comportare Orientarea este însuşirea sistemului econometric de a-şi optimiza nivelul răspunsurilor în condi ii de perturba ii variate. Orientarea este rezultatul capacită ii sistemului de a capta şi prelucra, şi de a folosi informa ia despre mediu şi despre starea lui însuşi pentru a elabora stări noi, neconforme cu tendin a liniară a cauzei. Finalitatea nu este o însuşire generală a sistemelor (sistemele fizice n-au această însuşire). Nu se poate reduce la o finalitate determinată ac iunea sistemelor hipercomplexe, de tipul organiza iilor sociale sau cele ale fenomenelor economice, (deci organiza iile sociale nu au însuşiri de finalitate, ci au însuşiri de elaborare, de creştere, de crea ie, de dezvoltare). Ac iunea este finalistă în sistemele cibernetice. Unele entită i se pot manifesta ca organiza ii finaliste, pentru realizarea unei valori comandate, ele fiind, în esen ă, subsisteme sociale cu structuri şi destina ii specifice. Echifinalitatea constă în aceea că interac iunile dintre păr ile unui sistem se subordonează cerin ei realizării aceleaşi valori de comandă. Comportarea înfă işează sistemul în ac iune sau func ionarea lui. Aceasta e definită de totalitatea ac iunilor sistemului, ca reac ie sau adaptare la mediul exterior, în urma recep ionării şi prelucrării informa iei. Comportarea este un rezultat al caracterului orientat al func ionării, al capacită ii de autoreglare şi autoorganizare, al posibilită ii de a răspunde într-un mod adecvat la un mediu complex. Comportarea este un rezultat direct al conducerii sistemului ca un proces de ob inere, de recep ie, de prelucrare şi transmitere de informa ie. Eficien a comportării se măsoară prin orientarea către scopul urmărit. Prin comportare sistemul îndeplineşte o func ie. Func ia sistemului se defineşte din mai multe unghiuri. Există o func ie externă, ca o expresie a comportării exterioare a sistemului. Ea este dată de men inerea conexiunilor cu alte sisteme. Func ia internă este o expresie a comportării interioare, pentru adaptarea şi perfec ionarea propriei structuri. Ea corespunde cu dinamica structurii. O defini ie mai îngustă a func iei este cea a func iei cu rol instrumental sau scop. Aceasta se exprimă prin finalitatea sistemului sau subsistemului (apare ca realizare a valorii de comandă). În îndeplinirea func iei (atât internă cât şi externă) sistemele econometrice, au două caracteristici importante în cadrul entită ilor organizate: de căutare şi de ini iativă. Căutarea este caracteristică sistemelor hipercomplexe de a lua în considera ie anumite condi ii, de a căuta şi de a selecta cea mai bună solu ie ce se impune, ca rezultat al comportării inten ionale a sistemelor din mediul economic unde intervine omul ca factor de cunoştin ă. Ini iativa este calitatea de a se comporta, în sensul de a găsi un drum nou, de a inventa. Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt: 1. Caracterul aleator (pentru aceeaşi ac iune corespund comportării diferite ale sistemului se impune obiectiv necesitatea conducerii economice); 2. Caracterul dinamic (schimbarea conexiunilor interne şi externe în timp, pentru adaptare şi stabilitate, prin perfec ionarea parametrilor, a structurii şi a programului general de comportare);
24 3. Comportarea (este determinată de conexiunile informa ionale neechivalente cu cele substan iale şi energetice); 4. Feed-back (conexiunea inversă) (joacă rol determinant în comportarea sistemelor dinamice complexe); 5. Stabilitatea dinamică reprezintă adaptarea structurii şi autoinstruirea (homeostaza). 6. Calitatea substan ială specifică este a unuia dintre elemente, care interac ionează în sistem şi se manifestă nestabil şi activ, respectiv omul. 7. Caracterul deschis; sistemul este în permanentă interac iune cu mediul ca factor esen ial al viabilită ii, al capacită ii sale de reproductivitate, de continuitate şi de schimbare. 8. Tendin a de optimizare este dată de caracterul proiectiv, de capacitatea de creştere şi de crea ie. 9. Caracterul complex rezultă din faptul că are cel pu in o componentă care este la rândul ei sistem (omul). 2.1.2 Firma privită ca sistem Caracteristicile sistemice ale firmelor pot fi privite ca aspecte econometrice, întrucât ele constau dintr-un număr de elemente şi de conexiuni între ele. Sec iile, serviciile, atelierele, locurile de muncă sunt verigi ale firmei care pot fi privite ca subsisteme ale acesteia, şi ele însele se pot identifica drept sisteme/subsisteme. Omul, - individual luat în considerare – este un sistem complex, de tipologie cu totul deosebită. Rezultă că firma poate fi privită ca sistem în cele mai diferite moduri, în func ie de scopul cercetării econometrice. Ca sistem econometric, firma este locul de realizare a anumitor procese şi rela ii valorice, economice, a creării elementelor for ei de muncă şi a mijloacelor. Ca sistem economic complet, firma este un produs al activită ii conştiente a oamenilor, care o pot schimba sau lichida în mod deliberat. Oamenii şi mijloacele de produc ie func ionează ca principali factori ai produc iei sociale, dar şi cu principalele rezultate ale activită ii de produc ie. Elementele sistemului „firmă” sunt verigile care pot fi privite, fie autonom, fie în compunerea obiectului, procesului sau fenomenului cercetat. Toate elementele firmei au o destina ie func ională în cadrul sistemului (func ia pe care o îndeplineşte unul din elemente nu o mai poate îndeplini şi altul). Destina ia func ională a unui element din structura firmei trebuie privită ca posibilitate a comportării sale dinamice în componen a sistemului econometric şi ca o condi ie a ac iunii reciproce cu celelalte elemente. Orice element poate să-şi manifeste func ia sa numai în prezen a altui element. Într-un sistem econometric un element trebuie să dispună de capacitatea de a influen a un alt element şi de a recep iona influen ele altora. Numai astfel e posibil să existe setul, mul imea de conexiuni şi rela ii definitorii pentru un sistem econometric. Aşadar, teoria sistemelor econometrice aplicată la nivel de firmă arată evolu iile din verigile firmei. Rela iile sau conexiunile între elementele sistemului econometric sunt de trei categorii: - materiale;
25 - valorice; - de proprietate. 1. Rela iile materiale reprezintă setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care rezultă o valoare de întrebuin are. Legând mijloacele de anumite caracteristici, cu oamenii de anumite calificări, rezultă o valoare de întrebuin are corectă. Scopul rela iilor materiale este acela al creării unui produs al muncii care să aibă o anumită valoare de întrebuin are. Aceste rela ii sunt, deci, în legătură cu crearea şi mişcarea valorilor de întrebuin are. 2. Rela iile valorice sunt reprezentate de conexiunile între for a de muncă şi mijloacele materiale exprimate valoric, necesare reproduc iei. Scopul produc iei privită ca sistem de rela ii valorice este crearea de valoare nouă. 3. Rela iile de proprietate îl reprezintă pe om ca proprietar al unei cantită i de bogă ie materială, opus celorlal i subiec i economici (omul este proprietar la reparti ia valorii nou create). 2.1.3 Legăturile sistemului econometric cu mediul exterior Se realizează cu ajutorul fluxurilor materiale, a fluxurilor energetice şi a fluxurilor informa ionale. Firma este caracterizată prin intrările reprezentate de rela iile cu alte organiza ii furnizoare şi prin ieşiri ca rela ii cu unită ile beneficiare. Pentru îndeplinirea func iei specifice (de produc ie), firma e dotată cu mijloacele economice, financiare necesare, are un statut e func ionare şi o valoare de comandă stabilită prin planul propriu. Analiza firmei ca sistem subordonat scopului conducerii, eviden iază trei subsisteme: - subsistemul condus; - subsistemul conducător; - subsistemul de legătură. Prin subsistemul de legătură informa ional subsistemul conducător se leagă de subsistemele conduse. Realizarea valorii de comandă ajunge cu flux de informa ii (feed-back) la factorii de decizie, care iau hotărâri de reglare a subsistemului econometric condus, pe care le transmit la factorii ce îşi modifică ac iunea, transformând valoarea intrării. 2.2.Comportamentul econometric al firmei Comportamentul general al firmei este suprastabil, urmărind realizarea func iei firmei, independent de rela iile multiple cu mediul exterior. Pentru o comportare suprastabilă, firma ac ionează circuitul de reglare internă, care reuşeşte să atragă capacită ile interne de inventivitate şi ini iativă în vederea rezolvării tuturor problemelor care se ivesc în procesul de func ionare.
26 2.2.1 Interven ia de reglare prin compensare Aceasta are loc prin deschiderea circuitului de reglare intern pentru a solicita mijloacele de stabilire a echilibrului; firma dispune de posibilită i duble de reglare, dar este cu adevărat eficientă doar atunci când se manifestă în sistem suprastabil. Interven ia de reglare-compensare este necesară în unele perioade, tocmai ca urmare a locului pe care îl are firma în sistemul economic general. Firma are func ii precise şi este dotată cu mijloace specifice, fiind capabilă pentru preluarea doar a anumitor perturba ii. 2.2.2 Modelul „intrări – proces - ieşiri” al produc iei (input-output) Lărgirea în elesului no iunii de produc ie se extinde şi asupra unor entită i considerate neproductive, ca urmare a definirii produc iei sistem (I-P-I). Într-o astfel de viziune, produc ia se defineşte după cum urmează: un ansamblu de activită i care au drept rezultat o creştere a valorii de întrebuin are a unui obiect sau serviciu; orice proces sau procedură care transformă un set de intrări într-un set specific de ieşiri; un proces prin care sunt create bunuri sau servicii. Caracteristicile generale ale sistemului de produc ie sunt: • intrările; • procesul propriu zis şi • ieşirile. Intrările antrenează cheltuieli variabile, nivelul lor fiind în func ie de numărul de unită i productive. Procesul propriu-zis este o secven ă complexă de opera ii, care depind ca natură şi ca număr de specificul intrării. Caracteristica procesului de produc ie este transformarea şi sporirea valorilor intrărilor, datorită interven iei muncii vii. Spre deosebire de procesele fizice, randamentul procesului de produc ie este supraunitar. η = > 1 Cadrul procesului de produc ie este constituit din elementele care conturează transformările. Cadrul generează cheltuieli fixe (nu variază cu volumul opera iilor). Modificarea cadrului se realizează mai dificil şi prin cheltuieli de investi ii. Orice sistem de produc ie trebuie să producă ceva util. Înfiin area, construirea, organizarea şi men inerea unui sistem de produc ie trebuie să aibă anumite obiective. Trebuie, deci, definite ieşirile sistemului econometric, cu toate caracteristicile lor. Toate elementele enun ate se încadrează în legea finalită ii sistemelor econometrice. Ieşirile sunt în formulă compusă, primul element definitoriu al produc iei. Produc ia este deci, un sistem condus, dirijat către un anumit scop, către o finalitate ce este orientată către ieşirile din sistem. Pe lângă legea finalită ii, sistemele trebuie să se supună legii optimalită ii conform căreia realizarea obiectivului să se facă pe calea cea mai avantajoasă din punct de vedere economic.
27 Stocările (depozitările) se întâlnesc imediat după intrarea în sistem a elementelor de intrare şi în fa a fiecărei opera i pentru care apare necesar un timp de sta ionare. Transferul sau deplasarea între opera iile fluxului se realizează cu toate mijloacele de transport posibile. În func ie de stocările necesare şi de transferul între opera ii, există procese de produc ie continue sau discontinue. 2.2.3 Importan a conceptului de sistem managerial econometric Conceptul de sistem permite punerea în eviden ă a numeroşilor factori care contribuie la evaluarea deciziei. Luarea deciziilor fără o referin ă la un sistem econometric concret va fi hazardată. Raportarea rezultatelor oricărei ac iuni economice la structurile din sistemul econometric în care au concurat la ob inerea unui rezultat ar mări şansele unor rezultate ulterioare, adoptând unele decizii în func ie de variabilele ce contribuie la reuşita acestora. Perspectiva sistemică permite explicarea proceselor productive şi econometrice de maximă complexitate şi dinamicitate, a căror esen e cu greu pot fi scoase în eviden ă cu alte mijloace de investiga ii. Utilizând conceptul de sistem econometric se încearcă analiza fenomenului economic aşa cum este el, ca un set de elemente în interac iune. Conceptul de sistem econometric se foloseşte pentru a explica mecanismul de manifestare a fenomenelor din via a economică, sau ca mijloc opera ional pentru a optimiza activitatea economică, prin construirea de modele pe baza comportamentului sistemic. Sistemul econometric este un concept prin care se delimitează câmpul în cadrul căruia se cercetează procesul obiectiv economic, adică baza obiectivă, structurală temporală şi spa ială. Cadrul sistemic pune într-o lumină nouă nu numai mijloacele folosite pentru perfec ionarea func ionării, a conducerii şi a prognozei, ci şi alte aspecte, precum: procesele specifice de autoorganizare şi autoreglare, aspecte privind manifestarea creatoare a individului în grup, explicarea responsabilită ii în comportamentul subiec ilor ca fenomen social. Conceptul de sistem ajută în elegerea ideii că procesul managerial are ca obiectiv adecvarea organizării sistemului econometric la mişcarea reală. Pentru acesta, aspectele esen iale ale procesului sunt cele de ob inere a informa iei econometrice şi de utilizare a ei, spre a face posibilă dezvoltarea unor procese specifice de organizare, reglare, stabilizare, de punere în operă în mod eficient a capacită ilor elementelor complexe din care e alcătuit sistemul productiv/econometric. În conceptul de sistem econometric se poate stabili rolul pe care urmează să-l joace fiecare element al sistemului (stabilirea destina iei func ionale a fiecărui element) şi apoi a legăturilor ce se vor crea în sistem. 2.3.Situa ia decizională econometrică Ea este caracterizată prin reunirea a trei elemente, şi anume: 1. Mul imea parametrilor independen i sau a stimulilor (notată S) care definesc condi iile obiective şi alcătuiesc variabilele necontrolabile;
28 2. Mul imea alternativelor ra ional posibile sau a reac iilor (notată R), cu care se răspunde la fiecare stare a condi iilor obiective şi care alcătuiesc variabilele controlabile; 3. Mul imea indicatorilor de rezultat (notată I), ce pot fi ra ional lua i în considerare la alegerea criteriului de decizie. 1) Stimulii – În această categorie intră acele elemente ale mediului care nu pot fi modificate în momentul luării deciziei. Există şi parametri necontrolabili, comuni, sub forma unor restric ii politice şi economice ale ării, comportarea maşinilor, a inova iilor, a unor fenomene legate de for a de muncă. Parametrii necontrolabili pot fi continui, discre i sau categorii de stare. 2) Reac iile – Această mul ime este constituită din totalitatea posibilită ilor ce stau la dispozi ia decidentului pentru rezolvarea unei probleme de decizie. Ca valoare sunt în elese în cel mai general sens al cuvântului de „valoare” (cantitate, mărime, tip, număr, ş.a.). Mul imea reac iilor este generată de mul imea stimulilor dintr-o stare a naturii. 3) Indicatorii – În stări ale naturii date pentru fiecare variantă ra ional aplicabilă, se ob in rezultate, care pot fi caracterizate prin indicatori. Luarea unei decizii înseamnă alegerea unei variante econometrice de ac iune dintre mai multe posibile, şi se face subordonat cerin ei de optimalitate. Optimizarea se înfăptuieşte totdeauna relativ la un criteriu. O variantă este mai bună decât alta numai în măsura în care ea satisface mai mult un criteriu decât altul. Criteriile de decizie sunt: 1. criteriul simplu de decizie; se ia în considerare un singur indicator de rezultat, ceilal i fiind neglija i sau păstra i la un nivel constant (optimul relativ). 2. criteriul complex de decizie; constituie o submul ime a mul imii indicatorilor de rezultat I, care se ia în considerare la rezolvarea unei probleme de decizie. În cazul criteriilor complexe de decizie se deosebesc mai multe variante: a) se aleg valori limitative pentru to i indicatorii de rezultat din submul imea lui I, mai pu in unul, în func ie de care se optimizează maximum sau minimum (programare matematică); Exemplu: Produc ia în perioada t = Qt B1,B2 – constante Cheltuielile totale în perioada t = Cht Productivitatea muncii WL Atunci: max[WL] b) Se stabilesc rela ii func ionale între doi sau mai mul i indicatori şi se combină într-unul singur. Exemplu: Cheltuieli echivalente = Cheltuieli din exploatare + Cheltuieli din investi ii c) Transformarea indicatorilor de rezultat în abateri de la valorile optime. Se stabileşte o matrice A care con ine pe rânduri valoarea unui indicator în fiecare variantă, iar pe coloane, valoarea tuturor indicatorilor pentru o variantă.
29 Matricea A V V1 V2 V3 … Vn I I1 a11 a12 a13 … a1n I2 a21 a22 a23 … a2n I3 a31 a32 a33 … a3n … … … … aij … Im am1 am2 am3 … amn De la matricea indicatorilor de rezultat se calculează elementele unei matrice C transformate; acestea constituie abateri de la valoarea optimă a indicatorului de rezultat. Matricea C V V1 V2 V3 … Vn I I1 c11 c12 c13 … c1n I2 c21 c22 c23 … c2n I3 c31 c32 c33 … c3n … … … … cij … Im cm1 cm2 cm3 … cmn Σcij Elementele cij se ob in cu ajutorul rela iei: cij = ξ ξ aij = valoarea optimă a unui indicator. Varianta optimă este aceea care are suma abaterilor cij minimă: Varianta optimă = varianta min [Σcij] cu aij = elemente din matricea A.
30 CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE 3.1.Dependen e şi interdependen e între fenomenele economice în tabloul econometric Teoria economică studiază fenomenele şi procesele economice pornind de la premisa că acestea nu se desfăşoară la întâmplare ci pe baza unor legi proprii, relativ stabile şi relativ repetabile, specifice naturii acestor fenomene. Deoarece fenomenele din economie sunt, în general, cuantificabile, legile economice pot fi descrise sub forma unor legături cantitative (a unor determinări numerice) între aceste fenomene. Acest fapt face posibilă utilizarea statisticii şi matematicii de către teoria economică. În plus, succesele deosebite ob inute de astronomie prin utilizarea metodelor statistico-matematice – descoperirea planetei Neptun, în 1846, ca urmare a calculelor efectuate de astronomul francez Urbain de Verrier (1811-1877) sau a planetei Pluton, în 1930, în urma calculelor efectuate în 1915 de astronomul american Percival Lowell (1855-1916) etc. – au convins economiştii de utilitatea şi necesitatea adoptării acestor metode, adoptare justificată de cel pu in două motive: 1) Atât fenomenele astronomice, cât şi fenomenele economice nu pot fi decât observate; ele nu pot fi nici izolate din mediul real şi nici reproduse în laborator, pentru a fi cercetate în cursul unor experien e controlate. 2) În economie ac ionează anumite legi asemănătoare prin formularea lor cu legile ce se manifestă în alte domenii ale ştiin ei – fizică, chimie, astronomie etc. Istoria doctrinelor (gândirii) economice relevă următoarele exemple în acest sens, cum ar fi: - legea lui Malthus – în lume, produc ia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar popula ia în progresie geometrică; - legile lui Engel14 – atunci când venitul na ional creşte într-o ară dezvoltată: a) cheltuielile alimentare cresc într-o propor ie mai mică; b) cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi propor ie; c) cheltuielile pentru bunuri de folosin ă îndelungată cresc într-o propor ie mai mare; - legea lui Pareto descrie polarizarea veniturilor, respectiv un număr tot mai mare de locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari: y= (3.1) unde: x = venitul familiilor; y = numărul familiilor al căror venit este mai mare sau egal cu venitul xk ; y = N (x ≥ xk ); A, a = parametrii func iei. 15 14 Legile lui Engel au fost formularizate de Törnqvist prin intermediul următoarelor modele: a) y = a +u; b) y = a +u; c) y = ax +u; unde: y = cheltuielile familiilor; x = venitul familiilor; a, b ,c = parametrii modelelor; u = variabila aleatoare.
31 Faptul că o serie din aceste formulări au fost criticate, reformulate sau dezvoltate de teoria economică interesează mai pu in în cazul de fa ă. Trebuie apreciată inten ia autorilor de a oferi descrieri riguroase, lipsite de ambiguită i, cu posibilită i opera ionale privind explicarea, reglarea şi dirijarea func ionării mecanismelor economice. Existen a obiectivă a acestor legături (legi economice, relativ stabile şi relativ repetabile) dintre fenomenele şi procesele ce formează un sistem economic, reprezintă suportul teoretic pe care econometria îşi fundamentează reflectarea formală a acestora. Aceste legături pot fi descrise cu ajutorul metodelor statistico-matematice. În domeniul economic, deşi există o mare diversitate de modelele, modelarea acestora la orice nivel – micro sau macroeconomic – se pot interpreta cu ajutorul următoarei scheme: Feed back la variabilele de intrare Feed back la rela iile modelului Figura nr.5: Bazele constitutive ale modelului analitic/matematic După cum se vede pe grafic, modelul comportă, în primul rând, o func ie Y a ieşirilor ca variabilă dependentă care contabilizează impacturile variabilelor independente X şi ale parametrilor A asocia i. Dacă ne referim la un proces de produc ie, de exemplu, analiza economică efectuată pe baza schemei de mai sus, eviden iază faptul că indicatorii de rezultate yi = Qi – volumul produc iei globale, marfă sau nete – depind atât de volumul şi natura factorilor de produc ie, respectiv volumul şi calitatea obiectelor muncii (M), volumul şi nivelul tehnic al mijloacelor de muncă (K), numărul, experien a şi nivelul de instruire al for ei de muncă (L), cât şi de modul lor de interac iune în cadrul structurii tehnice, organizatorice a procesului de produc ie. 15 Vezi, Eugen Pecican, Ovidiu Tănăsoiu, Andreea Iluzia Iacob, Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001, pag.22 şi urm. Constante şi parametri θθθθ, A, B Sistem de rela iiVariabile X Ieşiri Y
32 Cunoaşterea legită ii de varia ie în timp sau în spa iu a unui indicator de efect economic în func ie de varia ia factorilor cuantificabili se poate face folosind două modele de lucru: a) Primul, cel mai frecvent utilizat şi în prezent, îl constituie modelul determinist, care reflectă legătura func ională dintre elementele de intrare şi de ieşire ale sistemului – variabilele exogene şi variabilele endogene. Pe baza defini iilor formulate de teoria economică cu privire la elementele obiectului respectiv, statistica economică, utilizând metode proprii, exprimă, printr-un sistem de indicatori, elementele cuantificabile ale sistemului economic. Pe baza parametrilor de performan ă ai sistemului (sau ai indicatorilor de eficien ă a factorilor de produc ie) se construiesc modele econometrice deterministe între efecte şi eforturi, explicându-se varia ia variabilelor factoriale şi a indicatorilor de performan ă sau de eficien ă ale acestora. Astfel, în cazul unui proces de produc ie, se definesc: consumul specific c = Q = c x M (3.2) productivitatea muncii W = Q = W x L (3.3) eficien a fondurilor fixe e = Q = e x K (3.4) Pe baza modelelor deterministe (3.2), (3.3) şi (3.4), de exemplu, prin opera ii simple, se pot ob ine modele deterministe ce con in trei şi patru factori. Astfel, pe baza rela iilor (3.3) şi (3.4) se ob ine: W x L = e x K w = e x w = e x f (3.5) unde: f = reprezintă înzestrarea tehnică a muncii. Rela ia (3.1) devine: Q = W x L = e x f x L (3.6) În cazul unui ansamblu de i unită i sau ramuri economice rela ia (3.6) se însumează: = Această rela ie, înmul ită cu termenul se transformă în: = = (3.7) unde: gi = Li/ reprezintă structura for ei de muncă. Modelul (3.6) reflectă dependen a deterministă dintre efectul economic Q şi cele trei grupe de factori utilizate de analiza economică: factori calitativi, structurali şi cantitativi. În general, un model determinist se exprimă prin rela ia: y = f(x), sau y = f(x1, x2,…) (3.8)
33 Modelele deterministe se utilizează curent în practica economică la analiza pe factori a varia iei, în timp sau spa iu, a multor fenomene economice. În acest scop, modelul determinist reprezintă suportul teoretic al aplicării metodei indicilor – teritoriali sau dinamici – metodă ale cărei avantaje şi limite sunt bine cunoscute economiştilor. b) Al doilea model de lucru este reprezentat de modelul econometric – în sensul definirii restrictive a econometriei – care, fundamentându-se pe metoda regresiei (metodă specifică statisticii), descrie legătura statistică sau stocastică dintre intrările sistemului – factorii de influen ă X – şi ieşirile acestuia – variabilele rezultative Y cu ajutorul unui model aleator: Y = f(X) + U (3.9) Acest procedeu se bazează pe principiul cutiei negre, principiu cibernetic, care, în economie, se foloseşte atunci când descrierea formală a structurii sistemului este inaccesibilă din cauza imposibilită ii ob inerii informa iilor necesare, sau când ob inerea acestor informa ii ar necesita cheltuieli excesive, care nu se justifică prin aportul în cunoaştere pe care îl realizează. Spre deosebire de modelul determinist (3.8), acceptat fără rezerve de teoria şi practica economică, modelul econometric (3.9) introduce în schema de descriere a legită ii de manifestare a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă aleatoare sau întâmplătoare (U). Aparent, această modalitate de formalizare a legăturilor dintre fenomenele economice ar contrazice teoria economică – fenomenele nu se produc la întâmplare, ci pe baza unor legi proprii, inerente lor – aşa cum s-a afirmat la începutul acestui capitol. Această interpretare este inexactă. Acceptarea introducerii variabilei aleatoare în vederea explicării legită ii de varia ie a unui fenomen economic concret este cerută de unul din motivele de mai jos: apari ia şi varia ia, în timp sau spa iu, a unui fenomen economic este determinată de un sistem numeros de factori, calitativi şi cantitativi. Imposibilitatea cuantificării anumitor factori precum şi dificultă ile ridicate de rezolvarea unor modele cu multe variabile factoriale conduc la o specificare formală incompletă din punct de vedere economic a obiectului investigat. Această specificare formală incompletă este corectată şi vizualizată cu ajutorul variabilei aleatoare (U); legătura cauză-efect nu poate fi cercetată în mod nemijlocit în laborator, aşa cum procedează ştiin ele tehnice, deoarece obiectul economic investigat nu poate fi izolat, extras din mediul economic, ci numai observat prin intermediul datelor statistice. Pe baza acestora, prin intermediul unui model statistico-matematic, legătura obiectivă este estimată, aproximată, prin mijlocirea informa iei statistice; de foarte multe ori, datele statistice provin din observări selective (seriile cronologice având, de asemenea, această particularitate), din sondaje aleatoare, care imprimă tuturor indicatorilor cerceta i pe baza lor această particularitate statistică. Pentru a justifica concret necesitatea folosirii variabilei aleatoare (U) în cadrul unui model econometric, cât şi datorită unor inadverten e ce se întâlnesc în practică datorită utilizării unor modele de regresie în locul modelelor economice deterministe, va fi abordată succint această problemă.
34 De foarte multe ori, se studiază legătura dintre un indicator al produc iei (Q) şi productivitatea muncii (W), sau dintre productivitatea şi înzestrarea tehnică a muncii (f) cu ajutorul unei func ii, de regulă, de forma: Q = a + b x W, sau W = a + b x f . Teoria economică a formulat dependen a dintre variabilele de mai sus prin intermediul modelelor deterministe, Q = W x L şi, respectiv, W = e x f. În compara ie cu acestea, modelele Q = a + b x W şi W = a + b x f sunt afectate de erori de specificare şi de identificare. Eroarea de specificare este reprezentată atât de neglijarea factorului L – for a de muncă, sau a eficien ei fondurilor fixe, cât şi de faptul că parametrii modelelor vor fi calcula i prin estima ii statistice, ca să nu mai amintim de faptul că, de cele mai multe ori, datele statistice provin dintr-un sondaj. Vizualizarea şi interpretarea corectă a legăturii dintre variabilele respective impune specificarea variabilelor aleatoare în cadrul modelelor econometrice. Referitor la eroarea de identificare, aceasta constă în alegerea greşită a func iei matematice. Func ia Q = a + b x W arată că, dacă W = 0, atunci Q = a, ceea ce reprezintă o abera ie economică. În astfel de situa ii modelul va trebui să fie de forma: y = b x x + U.
35 3.2.Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie În momentul actual, tipologia modelelor econometrice este extrem de diversificată, tentativa de clasificare a metodelor şi modelelor econometrice este dominată de dificultă i reale, sistematizarea tipurilor fiind mai pragmatică. (vezi Figura nr.6) Figura nr.6: Sistematizarea tipurilor de modele econometrice Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.119 I Unifactoriale Y= f(x) + u; {x= un singur factor determinant} Multifactoriale Y= f(x1,x2,…xi, …xn) + u; {xn= mai mul i factori determinan i} II Liniare Y0 = α0 + α1x1 + α2x2 +,…, + u {legături directe când coeficien ii sunt +; legături indirect (inverse) pentru coeficien i -} Neliniare (prin logaritmare se pot transforma în model liniar) III Par iale {agregare} cunoaştere econometrică Agregate (globale) {dezagregare} cunoaştere econometrică IV Statice y = f(x1t,….,xjt,….,xkt) + ut; (t = ), (j = ) Dinamice yt = f( x1t, x2t,t) + ut; cu variabila timp yt = f( xt, yt-k) + ut; model autoregresiv cu valori decalate yt = f( xt,…, xt-j,… xt-k) + ut; (t = ), (j = ) k < t V Cu o singură ecua ie {unifactoriale, multifactoriale, liniare, neliniare, par iale, agregate, statice, dinamice} Cu ecua ii multiple {forma structurală; forma canonică (redusă)} VI Euristice {forma simplificată a modelului real} Ra ionale {exprimare teoretică} VII Decizionale {fundamentarea deciziilor} Opera ionale {sunt acceptate ipoteze ce permit aplicarea} Interdependenarelaionalăîntrediferitetipuridemodele
36 3.2.1 Modele econometrice liniare Dacă între variabile factoriale şi variabila finală, rezultantă se identifică liniaritate, forma legăturilor se prezintă astfel: y= a0 +a1x1+a2x2+….+u (3.10) Modelele liniare prezintă o serie de neajunsuri, astfel, anumite elemente de consum nu se modifică liniar cu evolu ia veniturilor (există anumite intervale de satura ie, spre exemplu produsele alimentare), precum şi faptul că coeficientul de elasticitate nu se manifestă ca poten ial reglator de expresii, cum este coeficientul de regresie. În situa ia modelelor liniare, coeficientul de regresie este exprimat de parametrii variabilelor factoriale. Semnul legăturilor este dat de semnul coeficien ilor (+ sau -). Atunci când coeficien ii sunt pozitivi legătura este directă, iar în expresie negativă legătura este inversă (corectivă). Mărimea coeficientului de regresie este măsură a varia iei variabilei rezultante (y), la o modificare cu o unitate a variabilei factoriale. 3.2.2 Modele econometrice neliniare Acestea se identifică prin func ii matematice neliniare, cum ar fi: func ia exponen ială, parabola, hiperbola, func ia logaritmică etc. Modelul neliniar prin logaritmare se poate transforma într-un model liniar. Astfel, analiza legăturii consumului unui produs cu venitul unei familii se poate face cu un model de forma: C = a x Vb x u (3.11) care prin logaritmare se transformă într-un model liniar de forma: log C = log a + b log V + log u (3.12) unde: C – cheltuielile medii de consum pe o familie V – venitul mediu pe familie. 3.2.3 Modele unifactoriale Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice datorită, mai ales, simplită ii şi, de aici, operativită ii şi costului său redus. Îmbracă forma: y = f(x) + u (3.13) Măsura în care al i factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt neglija i sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influen e întâmplătoare. 3.2.4 Modele multifactoriale Sunt acele modele de forma: y = f(xi) + u; i = (3.14) Modelul multifactorial, eliminând deficien a modelului unifactorial, transformă însă avantajele acestuia în dezavantaje. Din acest motiv, se recomandă ca, în practică, să nu se folosească un model cu mai mult de trei sau patru variabile factoriale. Structural, modelele multifactoriale sunt de o mare diversitate. Ca regulă generală, ele se construiesc prin dezvoltarea modelului unifactorial al variabilei explicate y. Pe lângă variabila
37 factorială ini ială x1, se introduc fie alte variabile exogene x2, x3, …, xk, fie valori decalate ale acestora xt, xt-1, …, xt-h. 3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecua ie şi cu ecua ii multiple Modelele care sintetizează varia ia prin expresii uni-ecua ionale sunt din categoria celor uni şi multifactoriale, liniare şi neliniare, par iale sau agregate, statice şi cele dinamice. Complexitatea fenomenelor economice impune însă formula transpunerii prin ecua ii multiple. Forma structurală a modelului econometric semnifică transpunerea ecua ională formală a fenomenului economic prin formalizare matematică. Forma generală a modelului econometric cu ecua ii multiple este: Y1 + b12 Y2 + … + b1nYn + c11X1 + c12X2 + … + c1mXm = U1 b21Y1 + Y2 + … + b2nYn + c21X1 + c22X2 + … + c2mXm = U2 (3.15) ………………………………………………………………. bn1Y1 + bn2Y2 + … + Yn + cn1X1 + cn2X2 + … + cnmXm = Un unde: Yi (i = ) – variabile explicate sau endogene; Xj (j = ) - variabile explicative sau exogene. Solu ionarea modelului aflat într-o astfel de formă impune glisarea sa în forma canonică (redusă). Asupra acesteia se aplică metode din categoria „celor mai mici pătrate” (MCMMP): MCMMP într-o singură treaptă(M. Wald); MCMMP în două trepte (H. Theil); MCMMP în trei trepte (A. Zellner); Metoda verosimilită ii maxime cu informa ie limitată (Anderson – Rubin). Un model econometric este sub forma redusă sau canonică dacă fiecare variabilă endogenă este exprimată numai în func ie de variabile exogene. 3.2.6 Modele econometrice euristice sau ra ionale şi modele decizionale sau opera ionale Modelele euristice (ra ionale) sunt folosite în special în teoria economică pentru a explica pe o cale mai simplă un sistem complex de dependen e şi interdependen e care se manifestă în domeniul economic. Modelul teoretic este în fapt o formă simplificată a modelului real deoarece apelează la un număr restrâns de factori neputând include to i factorii. Modele decizionale (opera ionale) se regăsesc uzual în practica economică. Deciziile de politică economică se bazează pe modele decizionale, fiind vizualizate elementele esen iale evolutive ale fenomenului economic, din rândul cărora se extrag punctele de sprijin pentru prognoză. Diferen a dintre aceste două tipuri de modele econometrice nu este absolută, un model ra ional poate fi utilizat ca un model opera ional dacă pot fi acceptate anumite ipoteze.
38 3.2.7 Modele statice şi modele dinamice Un model econometric static este acela în care dependen a variabilelor endogene „y” fa ă de valorile variabilelor exogene „xj” se realizează în aceiaşi perioadă de timp: y= f(x1t, …, xjt, …, xkt) + ut; t = , j = (3.16) Modelele dinamice se definesc prin următoarele tipuri: a) Modele cu variabila timp – prin introducerea în pachetul de variabile explicative „xj”, în mod explicit, a variabilei timp, astfel formula de calcul va deveni: yt = f(x1t,x2t,t) + ut (3.17) Acest model se justifică fie prin existen a, în unele situa ii, printre factorii de influen ă ai variabilei y a unor factori de natură calitativă (spre exemplu, influen a preferin elor consumatorilor asupra volumului vânzărilor sau a progresului tehnic în func iile de produc ie), fie prin acceptarea ipotezei unui efect iner ial în evolu ia fenomenului y (generată de masa socială ) b) Modele autoregresive - când în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi variabila explicată „y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k, reprezentând un model autoregresiv de ordin „k”: yt = f(xt,yt-k) + ut (3.18) c) Modele cu decalaj – în care variabila factorială „x” îşi exercită influen a asupra varia iei variabilei „y” pe mai multe perioade de timp: yt = f(xt,…, xt-1,…, xt-k) + ut ; t = , j = , k<t (3.19) unde: k – lungimea perioadei de decalaj (lag) 3.2.8 Modele econometrice par iale şi globale (agregate) Aceste modele rezultă în urma clasificării modelelor econometrice în raport cu sfera lor de cuprindere. Includerea unui anumit model în clasa modelelor par iale sau globale este relativă. Pe exemplul concret al modelării consumului popula iei, modelul consumului alimentar al popula iei este un model par ial în raport cu modelul global al consumului total al popula iei – acesta fiind rezultatul agregării consumului: alimentar, nealimentar şi de servicii. Pe de altă parte, modelul consumului alimentar este un model agregat în raport cu modele par iale ale consumului pe panele de consumatori ş.a.m.d. Indiferent de forma modelului econometric, esen ial este faptul că orice descriere econometrică trebuie să se fundamenteze pe o concep ie economică, explicită sau implicită, a fenomenului studiat. Raportarea modelelor par iale la modelele globale permite formulare următoarelor aprecieri: - agregarea modelelor par iale nu conduce la ob inerea modelului global al variabilei respective; - modelul global rezultă ca o medie a modelelor par iale; - în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explica ie istorică a dependen ei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate estima pe baza modelelor par iale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului
39 global de regresie (coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficien ilor par iali); - în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă coeficientul global de regresie rămâne stabil.
40 CAPITOLUL 4. MODELUL UNIFACTORIAL 4.1.Definirea şi identificarea unui model unifactorial Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice datorită, mai ales, simplită ii şi, de aici, operativită ii şi costului său redus. Îmbracă forma: (4.1) unde: y = (y1, y2, …, yn) – variabila endogenă, rezultativă sau explicată; x = (x1, x2, …, xn) – variabila exogenă, factorială, cauzală sau explicativă independentă de variabila endogenă y; u = (u1, u2, …, un) - variabila reziduală, aleatoare sau eroare. Rela ia (4.1) este o ipoteză construită pe baza teoriei economice prin care se presupune faptul că fenomenul economic y este rezultatul unui complex de factori, dar, doar unul este principal, x. Măsura în care al i factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt neglija i sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influen e întâmplătoare, ei fiind încorpora i în variabila reziduală, u. Ca orice ipoteză teoretică, ea trebuie validată sau invalidată în urma unor testări statistice. Spre exemplu, plecând de la teoria economică cererea de bunuri şi servicii (q) în sens microeconomic este o variabilă dependentă, în func ie de pre (p) (exprimată prin legea cererii) - variabila independentă - şi alte împrejurări (numite factorii cererii). Putem aprecia că: (4.2) Plecând de la valorile pre ului exprimate în lei/bucată în func ie de care variază cantitatea cerută din bunul respectiv, conform comportamentului cumpărătorului ra ional, cu cât pre ul este mai mare cantitatea de bunuri cerută este mai mică, curba cererii evoluând ca în Figura nr.7: Tabelul nr.1 Pre ul (lei/buc.) Cantitatea (buc.) 20,00 30 18,00 40 16,00 55 15,00 65 13,00 70 11,00 95 10,00 100 9,00 115 8,00 145 6,00 185
41 Figura nr.7: Dependen a cererii func ie de pre O determinare a cantită ii cerute doar în func ie de evolu ia pre ului este, desigur, simplistă, politica economică, ca şi rezultatele economice nu se pot încadra doar în aprecieri cantitative pozitive sau negative, ci într-o arie definitorie a optimului cantitativ. În economie este, de asemenea, posibilă raportarea unui proces sau fenomen necunoscut la unul cunoscut, respectiv la categorii de cunoaştere sesizată. Datele certe furnizează concluzii certe, iar cele aproximative intră sub inciden a statistică, furnizând date aproximative. Ştiin a economică, în esen ă, este cantitativă, şi prin măsurări, deci prin înlăturări de nedeterminări, se stabilesc raporturi între obiectele şi fenomenele, respectiv procesele, măsurate. Este sesizat întotdeauna un anume izomorfism între realitate şi model. Descoperirea legăturilor constante între rela iile economice obiectivează imaginea structurală a obiectului, fenomenului sau a procesului economic. Starea de suficien ă explicativă a evolu iilor economice rezultă din suficien a statisticii, întrucât măsurarea operează asupra cantită ilor care sunt înscrise în orizonturile aşteptate, productive şi reproductive. Toate obiectele, fenomenele şi procesele economice se pot măsura, nu este obligatoriu, însă, ca în primă faza aceste raporturi matematice să devină şi expresii matematice. În alte cazuri, ştiin a computa ională, prin expresii matematice prealabile, anticipează raporturile matematice economice. Chiar legile din economia politică sunt raporturi între cantită i măsurabile. Alternativ, prin măsurarea economică sunt aşteptate rezultate distincte, punctuale sau rezultate medii. În practică, în ştiin a economică sunt aşteptate rezultatele medii care reflectă desfăşurarea individuală a obiectului, fenomenului sau procesului economic. Realită ile economice reprezintă câmpul de verificare al teoriei economice. No iunile economice formulate pe baza observa iilor pot structura ra ionamente, care la rândul lor cristalizează teorii. Ra ionamentele intră sub inciden ă deductivă. Sesizarea cantitativă şi calitativă a unui fenomen economic conduce la cunoaşterea sa, în corela ie cu legită ile generale. Elementele de algoritm general de mai sus sunt completate de practica analizelor de senzitivitate a modelelor, când varia iile infinitezimale pot provoca schimbări în procesările de ansamblu. De aceea, raportul cauză-efect este posibil să fie perceput ca un raport de echilibru.
42 Această perspectivă asupra evolu iei realită ilor economice ne ajută să avem o viziune mai largă, astfel, func ia deterministă (4.2) se transformă în: (4.3) unde: u = variabila reziduală cuprinde to i factorii cantitativi şi calitativi a căror influen ă este neglijată sau au efecte întâmplătoare. Identificarea modelului constă în alegerea unei func ii/sau a unui grup de func ii matematice, cu ajutorul căreia/cărora se urmăreşte să se aproximeze valorile variabilei endogene y numai în func ie de varia ia variabilei exogene x. Gama de func ii matematice, liniare sau neliniare, care se pot utiliza în acest sens este largă. Dintre acestea men ionăm următoarele: - func ia liniară: y=a+bx+u - func ia semilogaritmică: y=a+b log x+u y a>0;b<0 a,b>0 y b>0 a<0;b>0 b<0 0 x 0 x - func ia putere16 şi func ia logaritmică: - func ia inversă (hiperbola): y=a xb+u şi log y=a+b log x+u y b>1 y b=1 b>0 nivel de satura ie 0<b<1 a b<0 b<0 0 x 0 x 16 Men ionăm că func ia putere prin logaritmare se transformă într-o func ie logaritmică.
43 - parabola de gradul II - func ia lui Konius y=a+bx+cx2+u y=x(a+b log x)+u y a<0; b,c>0 y a>0; b>0 yM yM a,c>0; b<0 a>0; b<0 a,c<0; b>0 ym 0 x 0 x - func iile lui Tornquist - func ia logistică I. I. II. II. III. III. y nivel de satura ie III y aII II nivel de satura ie nivel de satura ie c (b>0)III I(b<0) aI I II (b<0) 0 c x 0 x Alegerea unei func ii matematice ca func ie de regresie a unui model econometric se face pe baza valorilor reale sau empirice ale celor două fenomene economice, sistematizate, fie în serii cronologice (de timp), fie în serii spa iale. În cazul modelului unifactorial func ia de regresie se numeşte regresie simplă deoarece implicate în model avem o variabilă dependentă şi una independentă. Ea este şi liniară atunci când rela ia dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte. O primă apreciere asupra distribu iei variabilelor x şi y o vom avea dacă realizăm diagrama de împrăştiere a valorilor, de fapt reprezentarea într-un sistem de axe a punctelor având
44 coordonatele xi şi yi. Analiza vizuală a organizării şi formei norului de puncte ob inut poate oferi indicii importante asupra rela iei dintre variabile. Datele de sondaj vor sus ine ipoteza asocierii între variabile dacă forma norului de puncte se apropie de o curbă func ională. Astfel, se pot aprecia asocieri liniare, curbilinii etc. Dacă în norul de puncte nu se poate distinge o tendin ă, se va spune că variabilele nu sunt corelate. În figura de mai jos sunt ilustrate câteva tendin e identificabile direct. Cazul (a) ilustrează o asociere pozitivă, (b) – o asociere negativă, (c) – lipsă de asociere, (d) – asociere curbilinie. (a) (b) (c) (d) Figura nr.8: Asocierea dintre variabilele modelului Rela iile de interes pentru regresia liniară sunt cele ilustrate în cazurile (a) şi (b), unde este identificabilă o tendin ă liniară în norul de puncte. Plecând de la exemplul de mai sus construim corelograma dintre cele două variabile. Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin puncte. (vezi Figura nr.9) Figura nr.9: Corelograma cererii func ie de pre Prin alegerea liniei de tendin ă care aproximează cel mai bine func ia putem identifica ecua ia (R2 – coeficientul de determinare - trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1). (vezi Figura nr.10)
45 Figura nr.10: Linia de tendin ă a evolu iei cererii func ie de pre Astfel, cazul în discu ie se apropie cel mai bine de forma unei func ii exponen iale: (4.4) , deoarece y trebuie să fie pozitiv, iar care ne relevă legătura indirectă dintre cele două variabile; care prin logaritmare se transformă în: (4.5) unde, dacă notăm: ln a = a1 şi ln u = u1 ob inem o func ie logaritmică: (4.6) . 4.2.Estimarea parametrilor modelului unifactorial Parametrii unui model econometric sunt reprezenta i de coeficien ii func iei de regresie acceptată în etapa de identificare a acesteia. Aceşti parametrii fiind necunoscu i ei vor trebui estima i pe baza datelor experimentale sistematizate în seriile statistice ale celor două variabile y şi x, prin valorile yi, xi, i = . Func iile de regresie ale unui model unifactorial pot fi func ii liniare, sau func ii neliniare dar care pot fi liniarizate prin procedee ca: logaritmarea, schimbarea de variabile şi fixarea arbitrară a valorii unor parametri. Liniarizarea prin logaritmare 1) Dacă plecăm de la modelul neliniar exprimat prin func ia putere: (4.7) prin logaritmare ob inem: (4.8) .
46 2) Dacă avem modelul neliniar exponen ial: (4.9) prin logaritmare ob inem: (4.10) . Liniarizarea prin schimbarea de variabile Fie modelul neliniar: yi = a0 +a1xi + a2xi2 + … + akxik + ui (4.11); dacă notăm cu: x1i = xi; x2i = xi 2 ;…; xki = xi k ; se ob ine modelul liniar multifactorial de forma: yi = a0 +a1x1i + a2x2i + … + akxki + ui (4.12). Liniarizarea prin schimbarea arbitrară a valorii unor variabile Acest procedeu se poate aplica doar atunci când pe baza unei analize economice a fenomenelor studiate, se poate evalua valoarea unui parametru. Astfel, dacă luăm exemplul func iei logistice: (4.13) care se pretează la descrierea evolu iei consumului (y) unui anumit produs în func ie de venitul consumatorului (x) şi având în vedere faptul că: consumul unui anumit produs are anumite limite/ un nivel de satura ie, nivel exprimat de parametrul (e) al func iei logistice; constanta (c) putând să ia, spre exemplu, valoarea pe care consumul produsului a atins-o într-o ară dezvoltată unde acesta s-a stabilizat, func ia logistică poate fi transformată într-una liniară: (4.14) . Dacă notăm cu ajungem la forma ecua iei liniare: (4.15) .
47 Metodele pe baza cărora se pot calcula parametrii unui model econometric sunt: a) metoda punctelor empirice; b) metoda punctelor medii; c) metoda celor mai mici pătrate; d) metoda celor mai mici pătrate generalizată; e) metoda verosimilită ii maxime cu informa ie limitată sau completă17 . Dintre toate metodele mai sus men ionate cea mai des utilizată este metoda celor mai mici pătrate. Primele două metode nu asigură o rigoare statistică a calculelor, iar celelalte două metode au o valoare mai mult teoretică, deoarece în economie, ipotezele pe care se fundamentează pot fi acceptate doar cu multă re inere. Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) pleacă de la următoarele rela ii: unde: yi, xi = valorile reale ale celor două fenomene economice existente în seriile statistice ale acestora; a = este interceptul (locul pe ordonată unde dreapta de regresie se intersectează cu Oy, valoarea lui y pentru x=0); b = este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică y atunci când x creşte (scade) cu o unitate); = valorile teoretice ale variabilei y, ob inute numai în func ie de valorile factorului esen ial xi şi de valorile estimatorilor/parametrilor a şi b, respectiv şi ; = estima iile valorilor variabilelor reziduale ui. Prin MCMMP minimizăm func ia: 17 Vezi E. Şt. Pecican, Econometria pentru…economişti. Econometrie - teorie şi aplica ii, Edi ia a treia, Ed. Economică, Bucureşti, 2007, p.75-80
48 Sistem de ecua ii ce se transformă în final în: din care se vor calcula valorile estimatorilor: - estima ia parametrului a: ; - estima ia parametrului b: (4.20) ; - dispersia variabilei x: - covarian a dintre variabilele y şi x:
49 - coeficientul de corela ie liniară a celor două variabile: unde: R= coeficientul de corela ie dintre X şi Y; = abaterea standard a variabilei Y; = abaterea standard a variabilei X. Spre exemplu, zece subiec i sunt testa i de Departamentul de Resurse Umane al firmei în ceea ce priveşte nivelul de creativitate (Y) şi stilul caligrafic (X) al grafiei lor. Au fost ob inute următoarele rezultate: Tabelul nr.2 Pentru determinarea coeficien ilor ecua iei de regresie a şi b vom utiliza ca modalitate de calcul metoda celor mai mici pătrate. Această metodă nu necesită cunoaşterea valorii coeficientului de corela ie, a mediei sau a abaterii standard a variabilelor implicate. De aceea metoda este utilă în cazurile în care cunoaştem doar datele brute. Pentru calculul lui a şi b avem următorul sistem de ecua ii: unde: n = numărul de cazuri ale unei variabile. Nr. crt. X Y 1 17 11 2 13 15 3 15 14 4 11 18 5 19 10 6 10 19 7 12 16 8 11 15 9 13 15 10 14 14
50 Calculăm: Tabelul nr.3 Nr. crt. X Y X² XY 1 17 11 289 187 2 13 15 169 195 3 15 14 225 210 4 11 18 121 198 5 19 10 361 190 6 10 19 100 190 7 12 16 144 192 8 11 15 121 165 9 13 15 169 195 10 14 14 196 196 Total 135 147 1895 1918 Ob inem astfel: 10a + 135b = 147 135a +1895b = 1918 În urma rezolvării sistemului de ecua ii va rezulta: a = 27,08, iar b = -0,91. Astfel, ecua ia de regresie ob inută va fi de forma: y = 27,08 – 0,91x Vom face în continuare predic ii ale nivelului de creativitate pornind de la această ecua ie în situa iile în care un subiect ar ob ine nota 11, respectiv nota 19 la proba de caligrafie. y1 = 27,08 – 0,91*11 = 17,07 y2 = 27,08 – 0,91*19 = 9,79 Putem observa că între valorile estimate şi valorile efective ob inute sunt câteva diferen e (17,07 estimată fa ă de 17 ob inută, respectiv 9,79 estimată fa ă de 10 ob inută). Aceste diferen e între valorile reale si cele estimate reprezintă erorile de estimare sau valorile reziduale. Dacă am calcula toate valorile reziduale şi media lor, am ob ine media zero şi abaterea standard ar fi eroarea standard a estimării. Aceasta se interpretează asemănător cu abaterea standard în situa ia unei distribu ii normale a datelor. Procesul de regresie, aşa cum am văzut mai sus, presupune doi paşi. Primul se referă la determinarea ecua iei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecua ii în predic ie. Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corela ie. O asociere puternică între două elemente conduce la creşterea preciziei predic iei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o corela ie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă.
51 Calcularea coeficien ilor de regresie a, respectiv b se pot determina, atunci când se cunoaşte valoarea coeficientului de corela ie dintre cele două variabile X şi Y, media şi abaterea standard a celor două variabile, şi astfel: unde: R = coeficientul de corela ie dintre X şi Y; = abaterea standard a variabilei Y; = abaterea standard a variabilei X. unde: = media variabilei Y; = media variabilei X. Spre exemplu, specialiştii din Departamentul de Resurse Umane din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de angaja i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie (R) între acestea de 0,80. Utilizând regresia avem posibilitatea să estimăm ce tulburări emo ionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de aten ie şi tipul de rela ie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 16, iar abaterea standard 4. Coeficien ii ecua iei de regresie liniară a şi b vor fi: . Între caracteristicile estimatorilor un interes aparte îl reprezintă acele calită i care fac ca estima iile să reprezinte cât mai fidel valorile adevărate ale parametrilor, adică acele valori care reprezintă pentru econometrician aportul fiecărui factor la modificarea variabilei-efect. Estimatorii pot fi nedeplasa i, consisten i şi eficien i. Estimatorul nedeplasat, este acel parametru a cărui mărime rezultată prin aplicarea metodei de estimare ( nu se abate sistematic de la valoarea adevărată (a,b) aşa încât dacă avem k eşantioane de aceiaşi dimensiune n, media estimatorilor ob inu i pe baza datelor din aceste eşantioane r fi egală cu valoarea adevărată ( . Estimatorul consistent vizează acea proprietate a estimatorului care interesează calitatea metodei de estimare de a oferi solu ii ( care se apropie de adevăratele valori (a,b) cu o probabilitate din ce în ce mai mare pe măsură ce numărul de unită i ce formează eşantionul creşte.
52 Abordând, pentru început, cazul general, afirmăm că estimatorul (pentru parametrul a reprezentând fie media, fie dispersia, fie parametrul de regresie) ob inut în urma prelucrării datelor unui eşantion de n unită i este consistent dacă: unde: m=număr pozitiv oricât de mic Dacă egalitatea este adevărată, afirmăm că secven a de valori aleatoare ( ), valori ob inute pentru n din ce în ce mai mare, converge în probabilitate spre constanta a. Aşadar, constanta a reprezintă limita de probabilitate a secven ei , ceea ce exprimăm prin : Revenind la parametru de regresie b şi la estimatorul acestuia se poate argumenta că: cu o probabilitate care devine tot mai apropiată de 1 pe măsură ce dimensiunea eşantionului n creşte. Estimator eficient (eficace) se referă la calitatea estimatorului de a reprezenta, în raport cu valoarea adevărată b, o estima ie nedeplasată având totodată o împrăştiere (evaluată de dispersie) mai mică decât a altor estimatori ob inu i prin alte metode. Eficien a este legată de precizie, întrucât o împrăştiere mică a rezultatelor estimării în raport cu valoarea adevărată atribuie metodei de estimare calitatea de a fi precisă, eficace, performantă. Pentru a aprecia mărimea împrăştierii şi pentru a putea ob ine o dispersie în condi ii normale sunt necesare mai multe eşantioane(secven e ale unei serii de date) abordate printr-o anumită metodă, ob inându-se mai multe estima ii care, în raport cu b, prezintă o împrăştiere mai mică decât dacă aceleaşi eşantioane ar fi fost prelucrate cu altă metodă. Pentru ob inerea estima iei intervalului de încredere pentru parametru regresiei b ne sunt necesare elementele: - estima ia punctuală ; - reparti ia estima iei parametrului care, acceptând normalitatea reparti iei variabilei reziduale, este cea normală. Pentru valorile standardizate18 ne este dată probabilitatea de a ne situa în intervalul Variabila standardizată pentru estima ia va rezulta astfel: = Dacă avem în vedere că dispunem, de regulă, de un eşantion mic de valori (ceea ce face ca în loc de să preferăm testul t Student) indicatorul este de cele mai multe ori necunoscut, urmând a-l estima ( iar , variabila normată devine . Considerând că variabila normată construită pe baza estima iei punctuale este perfect compatibilă cu valorile normate pentru care se cunosc probabilită ile în tabelul respectivei reparti ii, astfel încât pentru un risc apriori stabilit α, putem defini intervalul: 18 Conform tabelului distribu iei normale reduse (standard) - z
53 În această rela ie observăm: - intervalul de încredere reprezentat de distan a dintre şi dependentă în mare măsură de împrăştierea estima iei ; - nivelul de încredere α reprezintă probabilitatea de a comite o eroare de genul I (de a infirma o ipoteză deşi ea este adevărată). De regulă, se consideră α =0,05 (sau 5%), α =0,01 (sau 1%); - coeficientul de încredere (1-α) este mărimea complementară a nivelului de încredere exprimată în raport cu unitatea (0,95; 0,9) sau în procente (95%, 99%); - valorile critice sunt reprezentate de nivelul inferior, respectiv, de nivelul superior al intervalului de încredere. 4.3.Ipotezele modelului liniar Clasa modelelor liniare poate fi exprimată prin rela ia: y = α1x1 + α2x2 +…+ αpxp + u (4.28) unde: y = variabila dependentă (explicată, endogenă, rezultativă), x = vectorul variabilelor independente (explicative, exogene), de dimensiune 1×p, α = vectorul coeficien ilor, de dimensiune p×1, parametrii modelului, u = o variabilă, interpretată ca eroare (perturbare, eroare de măsurare etc.). Observa ii 1. Liniaritatea rela iei se referă la coeficien i şi nu la variabile. Astfel, modelul: y = α1x12 + α2 +…+ α3 + u (4.29) este tot un model liniar. 2. Considerând că x1 este constant egală cu 1, se ob ine un model liniar care include un termen constant (termenul liber al modelului). 3. Pentru p=2 şi x1=1 se ob ine modelul liniar simplu/ unifactorial, dreapta de regresie (y = α1+ α2x+u). 4. Utilitatea principală a unui model liniar este aceea de predic ie a valorii lui y din valorile cunoscute ale variabilelor x. 5. Un coeficient αi are interpretarea: modificarea cu 1 a valorii variabilei xi produce o modificare a valorii y cu αi unită i. Deoarece scalele de măsură sunt, în general, diferite, interpretarea în acest sens a coeficien ilor poate deforma imaginea importan ei variabilelor
54 independente în model. Din acest motiv se introduc coeficien ii de regresie standardiza i (bi, i= defini i drept coeficien ii de regresie estima i ai modelului: =b1 + b2 + … + bp (4.30) în care nu există termen liber, iar variabilele şi sunt variabilele standardizate, prin standardizare în elegându-se transformarea de tipul = . Coeficien ii de regresie standardiza i au interpretarea: modificarea cu o abatere standard a valorii variabilei x produce o modificare cu bi abateri standard a valorii variabilei dependente. În acest fel, mărimea coeficien ilor standardiza i reflectă importan a variabilelor independente în predic ia lui y. Presupunem că avem un set de n observa ii efectuate asupra variabilelor implicate în model. Prin urmare dispunem de (xi1, xi2, . . . . , xip, yi), i = . Notând cu y vectorul de tip n×1 având drept componente valorile măsurate pentru variabila y, cu X matricea (xij)n×p a valorilor măsurate pentru variabilele x şi cu u vectorul de tip n×1 având drept componente valorile erorilor, modelul se rescrie în rela ia matriceală: y = α X + u (4.31) Ipotezele modelului ar putea fi sintetizate după cum urmează: 1) Matricea de experien e, n observa ii pentru p variabile, este fixată: Xn×p nu este stocastică. În plus, n > p. Altfel spus, datele ob inute corect (fără erori sistematice de observare) sunt în număr suficient de mare (peste numărul de parametrii care urmează a fi estima i) astfel încât solu iile să prezinte stabilitate. 2) X este de rang p (coloanele sunt liniar independente – formează o bază a unui spa iu vectorial p-dimensional). 3) a) Valorile variabilei reziduale sunt independente (nu sunt corelate) adică nu există fenomenul de autocorelare a erorilor: cov(ui,uj) =0, pentru b) Variabila reziduală prezintă o împrăştiere (dispersie) egală pentru diferitele segmente de valori xi, altfel spus, dispersia este constantă şi independentă de variabila xi: σ2 (ui/xi) = M[ui – M(ui/xi)]2 = M[ui 2 / xi] = σ2 , deoarece M(ui) =0. c) Vectorul de perturba ii (n-dimensional) u constă din n variabile aleatoare cu media 0 şi urmează, fie şi asimptotic, o reparti ie normală (vectorul u este o variabilă aleatoare n- dimensională normală): M(ui) = 0 u ~ N(0, σ2 ).
55 Este evident că reziduurile constituie estima ii ale erorilor ui. Se poate demonstra că: unde: = dispersiile reziduurilor = dispersiile teoretice ale reziduurilor. Este de notat că numitorul este egal cu numărul gradelor de libertate a sumei de la numărător (n observa ii din care am ob inut p estima ii). De remarcat că ultima ipoteză, a normalită ii, este, mai degrabă, o ipoteză simplificatoare decât una restrictivă, cum sunt primele două. Aceasta deoarece erorile se datorează, în general, în procesele studiate, ac iunilor simultane ale unor factori aleatorii, ceea ce prin teorema de limită centrală conduce la concluzia că u, ca sumă a lor, tinde spre o reparti ie normală. 4.4.Verificarea ipotezelor modelului liniar Prima ipoteză, conform căreia variabilele x şi y sunt corecte şi nu sunt afectate de erori de măsură, ar putea fi apreciată ca „de la sine în eleasă”, totuşi există o serie de aspecte care îndreptă esc men ionarea explicită, deşi nu unanim acceptată a problemei calită ii datelor, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Variabilele economice se introduc într-un model econometric (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unită ilor observate) cu valorile lor reale sau empirice. Aceste valori se pot ob ine: fie pe baza sistemului informa ional statistic (banca de date) şi/sau eviden a financiar- contabilă, fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor statistice. Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficien e, fiind compromis sub aspect opera ional. Deoarece problema autenticită ii datelor economice ine de domeniul statisticii economice19 , ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condi iile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune: o colectarea lor de la unită i statistice omogene; o reprezentarea aceloraşi defini ii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spa iu; o descrierea evolu iei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condi iile de desfăşurare a procesului analizat; o exprimarea variabilelor în aceleaşi unită i de măsură, condi ie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în pre uri comparabile sau pre uri reale. 19 Vezi regula celor trei sigma, regulă care constă în verificarea următoarelor rela ii: şi , dacă valorile se încadrează în aceste intervale ipoteza se acceptă fără rezerve.
56 Neconfirmarea celei de-a doua ipoteze, independen a variabilelor exogene - specifică modelelor multifactoriale -, este semnalată prin no iunea de multicoliniaritate20 . Cea mai simplă metodă de detectare a multicoliniarită ii este bazată pe studiul matricei de corela ie dintre variabilele x. Se pot determina astfel perechile de variabile independente care sunt puternic corelate între ele. O structură mai complexă a intercorela iilor poate fi detectată prin calcularea determinantului acestei matrice de corela ie. O valoare apropiată de zero a determinantului reflectă o puternică corela ie între anumite variabile, deci existen a multicoliniarită ii. O altă abordare a problemei este aceea a stabilirii unui indicator sintetic pentru a decide dacă o variabilă este coliniară cu celelalte (sau cu un grup dintre celelalte). Notând cu Ri 2 coeficientul de determinare21 ob inut la estimarea regresiei multiple având ca variabilă dependentă pe xi şi ca variabile independente restul variabilelor x, adică: xi = f(x1,x2,…,xi-1, xi+1,…,xp) se introduce toleran a variabilei xi prin: τ i = 1 − Ri2 O valoare mică a lui τi (uzual mai mică decât 0,1) reflectă un coeficient Ri2 apropiat de 1, deci o legătură liniară puternică între xi şi restul variabilelor independente. Prin urmare xi este coliniară cu celelalte variabile independente. Se defineşte factorul de infla ie a varian ei (variance inflating factor), notat VIF, inversul toleran ei: VIF i = Denumirea provine din aceea că un asemenea factor apare multiplicativ în definirea varian ei coeficien ilor estima i (se poate spune că se măsoară de câte ori este supraevaluată varian a coeficien ilor datorită multicoliniarită ii în raport cu situa ia când nu ar exista coliniaritate). Interpretarea este dedusă din cea a toleran ei: o valoare VIF mare (uzual mai mare decât 10), denotă multicoliniaritate. Eliminarea multicoliniarită ii O rezolvare comună a problemei multicoliniarită ii este aceea ca dintre două variabile independente corelate să se re ină în model doar una. Prin interpretarea toleran elor sau a factorilor de infla ie se vor exclude din model acele variabile care au toleran e mici (sau factori de infla ie mari). 20 Termen introdus de R. Frisch, Statistical Confluence Analysis by Means of Complete Regression Systems, Institute of Economics, Oslo University, 1934 21 Vezi subcapitolul 4.6. Evaluarea modelului de ajustare
57 Cea de-a treia ipoteză vizează trei aspecte legate de variabila aleatoare ui, pe de-o parte, ca valorile variabilei reziduale u să fie necorelate, adică nu există fenomenul de autocorelare a erorilor, pe de altă parte, erorile au dispersii egale (sunt homoscedastice)şi nu diferite (heteroscedastice) şi, de asemenea, variabila aleatoare urmează o distribu ie normală. Depistarea autocorelării erorilor se face utilizând următoarele procedee: - Procedeul grafic vizează realizarea corelogramei între valorile estimate ale variabilei endogene şi valorile variabilei reziduale . ûi ŷi Figura nr.11: Corelograma între valorile estimate ale variabilei endogene şi valorile variabilei reziduale O regularitate a graficului semnalează o corelare a reziduului. Totuşi, trebuie men ionat că prin grafic nu putem decât semnala prezen a autocorelării, decizia finală trebuie însă luată pe baza aplicării unui test statistic adecvat cum ar fi: testul Durbin-Watson sau testul Breusch-Godfrey. - Autocorelarea reziduurilor se poate verifica şi pe baza calculării coeficientului de autocorelare de ordinul I: (4.42) Acesta este definit în intervalul [-1,1]. Dacă valoarea sa este de -1 avem o autocorelare strict negativă, dacă este 0 variabilele sunt independente, iar dacă este +1 autocorelarea este strict pozitivă. - Testul Durbin-Watson constă în calcularea valorii: Această valoare empirică DW, se compară cu două valori teoretice, d1 şi d2, preluate din tabelul distribu iei Durbin-Watson în func ie de un prag de semnifica ie α, arbitrar ales, (α=0,05 sau α=0,01), de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate (n,n≥15). Regula de decizie a aplicării testului este: Dacă: 0<DW<d1 - autocorelarea este pozitivă; d1≤DW≤d2 - indecizie;
58 d2<DW<4-d2 - erorile sunt independente; 4-d2≤DW≤4-d1 - indecizie; 4-d1<DW<4 - autocorelarea este negativă. Cei doi autori, acceptând ipoteza de normalitate a variabilei reziduale, au demonstrat că distribu ia variabilei aleatoare d este cuprinsă între două distribu ii limită, d1 şi d2, ale căror mărimi depind de pragul de semnifica ie α, de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate (n,n≥15). Dezvoltând rela ia lui DW aceasta devine: Pentru un n suficient de mare cele trei sume, , fiind aproximativ egale, rela ia de mai sus se transformă în: Se notează cu coeficientul de autocorelare de ordinul I al reziduurilor ui şi atunci rezultă: unde: . Dacă DW=4 şi r1=-1 avem o autocorelare strict negativă, dacă şi r1 nu ne putem pronun a, dacă DW=2 şi r1=0 variabilele sunt independente, dacă şi r1 nu ne putem pronun a, iar dacă DW=0 şi r1=1 autocorelarea este strict pozitivă. - Testul Breusch-Godfrey este utilizat în vederea depistării unei autocorelării de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existen ei unei autocorelări de ordin superior se construieşte următorul model: unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia to i coeficien ii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt care implică non-existen a fenomenului de autocorelare a erorilor. În vederea utilizării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ui, ob inute în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate asupra modelului ini ial. Variabila reziduală ui este regresată apoi în func ie de variabilele exogene ini iale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ui-1, ui-2, …, ui-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma:
59 Presupunând că ne aflăm în situa ia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub forma unui χ2 α,v, pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v=p, unde p = mărimea decalajului, respectiv: . Dacă BG> χ2 α,v, ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că există cel pu in un coeficient de autocorelare nenul. În general, autocorelarea erorilor este provocată de două cauze: fie faptul că variabila endogenă y se autocorelează în evolu ia sa (ca urmare a unui efect iner ial) generând o autocorelare în timp a erorilor, fie datorită omiterii unei variabile exogene x, cu influen ă semnificativă asupra lui y, adică a unei erori de specificare a modelului econometric. Eliminarea fenomenului de autocorelare a variabilei reziduale ui se fundamentează pe evitarea cauzelor care îl generează. Dintre modalită ile de a evita consecin ele statistice pe care le generează acest fenomen men ionăm: - Aplicarea metodei celor mai mici pătrate generalizate în vederea estimării parametrilor modelului care, în cazul autocorelării reziduurilor, permite ob inerea de estimatori nedeplasa i, consisten i şi eficien i. Această metodă se utilizează atunci când avem modele multifactoriale, numărul variabilelor explicative fiind mai mare de unu. - În cazul modelului unifactorial de forma: se estimează parametrii acestuia, a şi b, cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate. Se determină valorile ajustate ale variabilei endogene: (4.49) şi reziduurilor: (4.50) şi se aplică testul Durbin-Watson. Dacă ipoteza de independen ă a variabilelor reziduale nu poate fi acceptată aceasta presupune o autocorelare de ordinul întâi a erorilor, respectiv: unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ştiind că . Dacă înlocuim rela iile (4.50) şi (4.52) în rela ia (4.51) ob inem: În ecua ia de mai sus variabilele yi şi xi sunt cunoscute, iar valoarea coeficientului de autocorela ie se va calcula cu rela ia:
60 Se introduce valoarea acestuia în rela ia (4.53) şi se vor estima parametrii a şi b prin aplicarea din nou a metodei celor mai mici pătrate. Fie şi estima iile parametrilor a şi b, calculate pe baza diferen elor de ordinul întâi a variabilelor y şi x. Se ajunge la modelul: ( unde: ( = diferen ele teoretice (ajustate) de ordinul întâi ale variabilei endogene y, calculate pe baza func iei de regresie. Se pot utiliza şi alte metode de eliminare a autocorelării erorilor cum ar fi: procedeul prin baleiaj –Hildreth-Lu, procedeul iterativ al lui Cochran şi C. Orcutt, procedeul Durbin şi altele.22 În baza ipotezei de homoscedasticitate a variabilei reziduale (3) se poate admite că legătura dintre cele două variabile y şi, respectiv, x este relativ stabilă. Contrariul homoscedasticită ii este heteroscedasticitatea, care înseamnă că erorile nu au dispersiile egale ci diferite. Dacă dispersiile nu sunt egale, estimatorii rămân nedeplasa i, dar nu mai sunt eficace, MCMMP conducând la o subestimare a parametrilor modelului influen ând sensibil şi calitatea diferitelor teste statistice aplicate acestuia. Depistarea heteroscedasticită ii23 se poate realiza prin mai multe procedee dintre care men ionăm: - Procedeul grafic prin care se construieşte corelograma privind valorile variabilei factoriale x şi valorile variabilei reziduale u. Dacă pe măsura creşterii/scăderii valorilor variabile x se observă o creştere/scădere a valorii variabilei u înseamnă că acestea sunt corelate şi nu independente. û û x x a) Corelare pozitivă b) Corelare negativă 22 Vezi E. Şt. Pecican, Op.cit., p. 222-224 şi T.Andrei, R. Bourbonnais, Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, p.230-233 ş.a. 23 Vezi D.N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd edition, New York, Mc Graw-Hill, 1995, p.369-380; T.Andrei, R. Bourbonnais, op.cit., p.239-266; I.Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei “România de Mâine”, Bucureşti, 2007, p.193-196 ş.a.
61 - Procedeul dispersiilor variabilelor reziduale (Testul F, Fisher-Snedecor) se poate aplica atunci când se utilizează serii lungi de date. În acest caz, seria valorilor reziduale ui (care în prealabil a fost ordonată în raport cu mărimea variabilei x) se împarte în două sau mai multe grupe calculându-se dispersiile corespunzătoare (grupa trebuie să con ină cel pu in 5 valori). Dacă seria a fost împăr ită în 3 sau 4 grupe se testează perechile de grupe, corespunzător, se ob in perechi de dispersii, urmând ca dispersia cea mai mare dintre cele două să fie plasată la numărătorul raportului F. Dacă numărul de termeni ai seriei este impar se recomandă eliminarea termenului de mijloc al seriei, astfel încât să se ajungă la subeşantioane egale. unde: k = numărul variabilelor exogene care, întrucât numitorii dispersiilor se simplifică, iar M(ui)=0, se ob ine rela ia: Dacă Fc > Fα, adică valoarea calculată a lui F este mai mare decât valoarea tabelată24 , se infirmă ipoteza de homoscedasticitate, erorile fiind heteroscedastice, eliminarea acestui fenomen făcându-se cu ajutorul metodei regresiei ponderate. - Calculul coeficientului de corela ie liniară simplă: Dacă valoarea coeficientului de corela ie liniară este aproximativ egală cu zero atunci se acceptă ipoteza de homoscedasticitate. - Testul Goldfeld-Quandt presupune în prealabil ordonarea datelor astfel încât valorile seriei de date xi să apară în ordine crescătoare. Se elimină un număr de c valori centrate (unde, de regulă, se consideră că c trebuie să reprezinte o treime sau un sfert din numărul total de observa ii) pentru a se face mai evidentă eventuala discrepan ă dintre împrăştierea termenilor din prima parte a seriei ui, respectiv din ultima parte a acesteia. Se aplică MCMMP în fiecare grupă separat (grupă de dimensiune (n-c)/2) şi calcularea sumei pătratelor erorilor pentru fiecare grupă în parte. Calcularea raportului dintre sumele pătratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunzătoare celor două subeşantioane se realizează cu formula (suma pătratelor erorilor având valoarea cea mai mare se plasează la numărător): 24 Valoarea tabelată, corespunzătoare distribu iei Fisher-Snedecor este prezentată în Anexa 1.
62 unde: k=numărul variabilelor exogene Dacă Fc > Fα, atunci ipoteza de homoscedasticitate este infirmată. - Testul Park se bazează pe existen a unei rela ii de dependen ă între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabila exogenă x de forma: (4.60) unde: ωi = variabila reziduală care verifică ipotezele aferente metodei celor mai mici pătrate Prin logaritmare modelul neliniar (4.33) este liniarizat: Necunoscând valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice se notează cu ûi 2 pătratul erorilor, astfel rela ia devine: Ipoteza de homoscedasticitate este verificată dacă parametrul b aferent variabilei exogene x are valoare nesemnificativă, cazul contrar indicând heteroscedasticitatea. - Testul Glejser presupune că variabila exogenă ar fi cauza heteroscedasticită ii. Astfel dacă se formulează rela ia între variabila exogenă şi erorilor estimate, în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate, asupra modelului ini ial sunt create premisele de testare. După calcularea erorilor, valoarea absolută a acestora este amplasată în regresie, în raport de valorile variabilei exogene. Pentru acest scop între cele două variabile sunt folosite următoarele rela ii: ; în această situa ie heteroscedasticitatea este de tipul , caz în care se va aplica regresia ponderată asupra datelor ini iale, care vor fi împăr ite la xi, rezultând astfel un model de forma:
63 La toate rela iile de mai sus se poate aplica regresia ponderată asupra datelor ini iale rezultând modelele aferente. Verificarea homoscedasticită ii erorilor presupune, ca şi în cazul testului precedent, verificarea semnifica iei parametrului corespunzător variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative în cazul unor eşantioane de dimensiuni mari, iar, în cazul celor de dimensiuni mici, este pur teoretică. Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate realiza prin următoarele procedee: - Construirea modelului pe baza abaterilor centrate ale variabilelor. Dacă : pe baza rela iilor (4.69), (4.71) şi în baza ipotezelor ob inem: Notând cu = = rezultă: Estimarea parametrului b presupune minimizarea func iei:
64 Şi calculul derivatei par iale a func iei: - Metoda regresiei ponderate. Dacă : Heteroscedasticitatea presupune că , ceea ce înseamnă: unde: = coeficient de ponderare. Estimarea parametrilor modelului presupune minimizarea func iei: Conform rela iei (4.72) rezultă: unde: σu 2 şi λi sunt, în general, necunoscute. Însă, în practică, s-a constatat faptul că abaterile standard sunt aproximativ propor ionale cu valorile variabilei exogene x, adică: În baza rela iilor (4.76), (4.79) şi (4.78) ob inem: Dar rela ia de mai sus este echivalentă cu aplicarea metodei celor mai mici pătrate modelului ini ial, după ce în prealabil a fost împăr it la xi:
65 Calculând derivatele par iale în raport cu şi ale func iilor (4.80) şi (4.81) şi anulându-le se ajunge la acelaşi sistem de ecua ii pe baza căruia se determină cei doi estimatori: Metoda poate fi utilizată în practică pentru modelarea investi iilor unor întreprinderi de dimensiuni diferite în func ie de capital, cifră de afaceri şi venit: I=f(K, CA, V)+u. Legea de probabilitate a variabilei reziduale ui este legea normală, de medie nulă şi abatere medie pătratică constantă ( . Se ştie faptul că, dacă erorile urmează legea normală şi în baza celorlalte ipoteze putem scrie rela ia: Plecând de la rela ia de mai sus, în func ie de diferite praguri de semnifica ie ale lui α, din tabela distribu iei normale sau a distribu iei Student se vor prelua valorile corespunzătoare lui 25 . Verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza unui grafic în cadrul căruia pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y ( , iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale . Dacă valorile empirice ale variabilei reziduale se înscriu în banda , cu un anumit prag de semnifica ie α, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptată cu acest prag de semnifica ie (vezi Figura nr.12) 25 Valoarea tabelată, corespunzătoare distribu iei t Student este prezentată în Anexa 2.
66 ûi 0 ŷi Figura nr.12: Histograma de verificare a ipotezei de normalitate O altă modalitate de verificare a ipotezei de normalitate a erorilor o constituie testul Jarque-Bera. El reprezintă o cale mai obiectivă fiind fundamentat pe prezum ia că în cazul reparti iei normale nivelul coeficientul de asimetrie („skewness”) (S) este egal cu zero şi nivelul coeficientului de boltire („kurtosis”) (K)este egal cu 3.Dacă u urmează o reparti ie normală nivelul calculat al „JB” urmează asimptotic distribu ia χ2 cu 2 grade de libertate: unde: n = numărul de observa ii; S = coeficientul de asimetrie, care măsoară asimetria distribu iei erorilor în jurul mediei acestora, care este egală cu zero; K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson, care măsoară boltirea distribu iei –cât de „ascu ită” sau de aplatizată este distribu ia comparativ cu distribu ia normală; JB = coeficientul Jarque-Bera care trebuie să fie mai mic sau cel mult egal cu valoarea lui pentru a verifica ipoteza de normalitate.
67 4.5.Verificarea semnifica iei estimatorilor parametrilor modelului econometric Verificarea semnifica iei estimatorilor constă în a accepta, sau a respinge, una din cele două ipoteze: H0: a,b = 0 H1: a,b ≠ 0. Testul adecvat în acest scop, şi fiind variabile aleatoare repartizate normal, este testul t Student. Prin centrarea şi normarea estima iilor şi , în cazul ipotezei: H0: L( )=N(0, ) şi L( )=N(0, ) unde: ) – abaterea medie pătratică a estimatorului ; – abaterea medie pătratică a estimatorului ; se ob in valorile: şi care se compară cu valoarea teoretică, astfel: tα= variabila normală, dacă i= , n>30, preluată din tabela distribu iei normale, în func ie de o valoare arbitrar aleasă a probabilită ii p sau a pragului de semnifica ie α, p+α=1; aceste valori, de regulă fiind: p=0,9 şi α=0,1; p=0,95 şi α=0,5; p=0,99 şi α=0,01; tα,n-(k+1) = variabila student, dacă i= , n≤30, preluată din tabela distribu iei Student, în func ie de valoarea stabilită pentru α şi de numărul gradelor de libertate, n-(k+1); n=numărul observa iilor; k=numărul variabilelor exogene xj, j= ,(k+1= numărul parametrilor modelului econometric). Pe baza celor două valori, tcal şi tα,v, regula de decizie a testului este: dacă: atunci se acceptă ipoteza nulă, estimatorii nu sunt semnificativ diferi i de zero, se renun ă la ei şi la model; dacă: atunci se acceptă cea de-a doua ipoteză, modelul este corect; dacă: atunci se re ine modelul fără termen liber de forma: y=bx+u . În practică, deoarece t0,05 > 2, economiştii acceptă ipoteza a doua dacă: . În acelaşi timp, ştiind că şi sunt repartiza i normal, se poate estima intervalul de încredere al parametrilor acestora:
68 Parametrii a şi b vor fi considera i semnificativ diferi i de zero dacă: 4.6.Evaluarea modelului de ajustare Modelul econometric , este expresia formală a modelului economic real, , conceput pe baza teoriei economice şi rezultat pe baza unui singur experiment, unui singur sondaj statistic. Prin urmare, în această etapă se urmăreşte să se verifice: 1) dacă ipoteza de pornire - x este principalul factor de influen ă al fenomenului y – este corectă sau nu; 2) dacă legitatea economică dintre cele două variabile este de forma y=a+bx; 3) dacă rezultatele ob inute pot fi considerate sistematice – în sensul că se vor ob ine aproape aceleaşi rezultate dacă se va repeta experien a cu alte sondaje, de volum şi structură (alte unită i statistice) diferite. În general, scopurile urmărite în această etapă se rezolvă cu ajutorul metodei analizei varia iei, cunoscută şi sub numele de metoda ANOVA. Reziduuri mici exprimă o ajustare mai bună a datelor experimentale, dar stabilirea unui criteriu care să indice cât de mici trebuie să fie reziduurile pentru ca regresia să fie acceptată este o problemă dificilă. Metoda analizei varia iei porneşte de la identitatea: ridicăm la pătrat rezultând: Prin ridicarea la pătrat a binomului din partea dreaptă a rela iei (4.88) rezultă:
69 , adică xi şi ui sunt variabile independente, dacă variabilele sunt homoscedastice (ipoteza 3b). În baza rela iei (4.90) rela ia (4.89) devine: Această rela ie arată că varia ia valorilor observate în jurul valorii medii se descompune într-un termen ce exprimă varia ia valorilor estimate în jurul mediei şi într-un termen datorat reziduurilor ajustării. Prin urmare, regresia estimată va fi cu atât mai bună cu cât ultimul termen va fi mai mic, sau cu cât varia ia valorilor estimate va fi mai apropiată de varia ia valorilor observate. Se alege drept indicator sintetic de precizie a ajustării raportul: Pentru o bună ajustare a ecua iei de regresie la datele experimentale, trebuie ca acest raport să fie apropiat de 1. Cantitatea R2 se numeşte coeficientul de determinare şi, exprimat procentual, arată cât din varian a variabilei dependente este explicată de ecua ia estimată. deci poate fi interpretat şi în următorul sens: cu cât se îmbunătă eşte prognoza valorilor y prin considerarea modelului estimat. Se arată că R2 creşte prin includerea mai multor variabile în model, astfel încât are loc o supraestimare în cazul modelelor extinse. O solu ie propusă este ajustarea coeficientului de determinare prin: Ca măsură a asocierii dintre y şi ansamblul variabilelor x se introduce coeficientul de corela ie multiplă, notat cu R. Poate fi definit drept coeficientul maxim de corela ie simplă (Pearson) dintre y şi o combina ie liniară de variabile x. Astfel se explică faptul că valoarea calculată a lui R este întotdeauna pozitivă şi tinde să crească o dată cu mărirea numărului de variabile independente. Metoda celor mai mici pătrate poate fi astfel gândită ca o metodă care maximizează corela ia dintre valorile observate şi valorile estimate (acestea reprezentând o combina ie liniară de variabile x). O valoare R apropiată de 0 denotă o regresie nesemnificativă, valorile prognozate de regresie nefiind mai bune decât cele ob inute printr-o ghicire aleatorie (sau bazate doar pe distribu ia lui y).
70 Deoarece R tinde să supraestimeze asocierea dintre y şi x, se preferă indicatorul definit anterior, coeficientul de determinare, R2 , care este pătratul coeficientului de corela ie multiplă. Dacă notăm cu: SPg = ; SPreg = ; SPrez = ; cele trei sume de pătrate care apar în identitatea introdusă la definirea coeficientului de determinare, rela ia (4.93). Sumele sunt referite ca suma pătratelor globală (SPg), suma pătratelor datorate regresiei (SPreg) şi suma pătratelor reziduale (SPrez). Fiecare sumă de pătrate are ataşat un număr de grade de libertate: νg = n-1, νreg = p-1, νrez = n-p şi se poate realiza un tabel al analizei dispersionale (ANOVA) sub forma: Tabelul nr.4 Sursa de varia ie Suma de pătrate Grade de libertate Media pătrată F Regresie SPreg νreg SPreg / νreg = s2 reg F = s2 reg / s2 Reziduală SPrez νrez SPrez / νrez = s2 Globală SPg νg SPg / νg Testul F de semnifica ie globală Primul test utilizat în analiza regresiei este un test global de semnifica ie a ansamblului coeficien ilor (exceptând termenul liber, dacă acesta apare). Ipotezele testului sunt: H0: α1 = α2 = … = αp = 0 H1: (∃)i, astfel încât αi ≠ 0. În condi iile ipotezei nule, se demonstrează că statistica F, calculată în tabelul ANOVA (Fc), este repartizată Fisher-Snedecor Fα,p-1,n-p, încât se poate verifica ipoteza nulă. Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus ini ial. Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă: Fc >Fα,p-1,n-p . Teste t – Student În situa ia când este respinsă ipoteza nulă, se acceptă că ecua ia de regresie este semnificativă la nivel global, cu men iunea că s-ar putea ca anumi i coeficien i/estimatori să nu fie semnificativi. Pentru testarea fiecărui coeficient se utilizează un test t cu ipotezele:
71 H0: αi = 0 H1: αi ≠ 0. În condi iile ipotezei H0 se arată că statistica ti= este repartizată Student cu n – p grade de libertate, ceea ce permite utilizarea testului t. În expresia care dă statistica testului, s(ai) este abaterea standard estimată a coeficientului, dată ca rădăcina pătrată din elementul corespunzător de pe diagonala principală a matricei s2 (X’X)-1 - matricea X a variabilelor independente exogene. Nerespingerea ipotezei nule arată că datele experimentale nu permit stabilirea necesită ii prezen ei variabilei xi în model, variabila este nesemnificativă în model. Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă: tc >tα, n-p . 4.7.Cea mai bună regresie Procesul de selectare a celei mai bune regresii are loc în contextul în care există o variabilă dependentă y şi o mul ime de variabile independente posibile x. Problema poate fi formulată: Care este acea submul ime minimală de variabile independente care permite estimarea unui model liniar semnificativ şi adecvat valorilor observate y? Etapele selectării celei mai bune regresii 1. Se identifică toate variabilele independente posibile (cu alte cuvinte se specifică modelul maxim). 2. Se specifică criteriul de selectare a celei mai bune regresii. 3. Se specifică o strategie pentru selectarea variabilelor independente. 4. Se realizează estimarea şi analiza modelului. 5. Se evaluează reliabilitatea modelului ales. Strategii de selectare a celui mai bun model Metoda tuturor regresiilor posibile Se estimează toate regresiile posibile. Se re in valorile coeficien ilor de determinare; gruparea este după cardinalul mul imii de predictori. Variabile independente R2 {x1}, {x2} … … {x1,x2}, {x1,x3}, …, {xn-1,xn} … … … {x1,x2,…,xn} … Se analizează valorile R2 şi se re ine acea submul ime de variabile pentru care se realizează compromisul acceptabil între numărul de variabile şi mărimea coeficientului de determinare.
72 Selec ia prospectivă Procedura începe prin includerea în model a variabilei independente având cel mai mare coeficient de corela ie cu variabila y. La fiecare pas următor, se analizează fiecare dintre variabilele neincluse încă în model printr-un test F secven ial şi se extinde modelul prin includerea acelei variabile care aduce o contribu ie maximă (probabilitatea critică din testul F este cea mai mică). Procesul se opreşte atunci când modelul nu mai poate fi extins, criteriul uzual fiind acela al fixării un prag de intrare (PIN) şi acceptând doar variabilele pentru care probabilitatea critică în testul F secven ial este mai mică sau egală cu acest prag. Procedura are ca limitări faptul că anumite variabile nu vor fi incluse în model niciodată, deci importan a lor nu va fi determinată. Pe de altă parte, o variabilă inclusă la un anumit pas rămâne permanent în model, chiar dacă, prin includerea ulterioară a altor variabile, importan a ei poate să scadă. Selec ia retrogradă Se începe cu estimarea modelului complet şi apoi, într-un număr de paşi succesivi, se elimină din model variabilele nesemnificative. La fiecare pas, pe baza unui test F par ial, se elimină acea variabilă care are cea mai mare probabilitate critică. Procesul se opreşte atunci când nici o variabilă nu mai poate fi eliminată. Criteriul uzual este acela de fixare a unui prag de eliminare (POUT) şi considerarea doar a variabilelor care au probabilitatea critică mai mare decât acest prag. Selec ia pas cu pas Procedura pas cu pas (stepwise regression) este o combina ie a celor două metode descrise anterior. La un pas ulterior al regresiei prospective se permite eliminarea unei variabile, ca în regresia retrogradă. O variabilă eliminată din model devine candidată pentru includerea în model, iar o variabilă inclusă în model devine candidată la excludere. Pentru ca procesul să nu intre într- un ciclu infinit, trebuie ca PIN ≤ POUT.
73 CAPITOLUL 5. APLICA II ŞI PROBLEME 5.1.Instrumente Excel - Regression Estimarea coeficien ilor unui model liniar prin metoda celor mai mici pătrate şi calculul statisticilor necesare testelor statistice asociate sunt efectuate de procedura Regression, una dintre cele mai complexe din pachetul de prelucrări statistice din Excel. Procedura permite şi construirea graficelor necesare pentru aprecierea vizuală a potrivirii modelului liniar. Deşi acestea, din motive evidente, necesită prelucrări suplimentare de scalare înainte de interpretare, existen a lor este un real ajutor pentru statistician. Termeni Modelul liniar estimat de procedură este Y = α0X0 + α1X1 + α2X2 + … + αp-1Xp-1 + ε, care exprimă faptul că variabila Y se poate ob ine ca o combina ie liniară a variabilelor X0, X1,…, Xp-1 la care se adaugă o "eroare" ε. Pentru estimarea parametrilor modelului se consideră disponibile n observa ii asupra tuturor variabilelor din model. Valorile sunt structurate ca un tablou dreptunghiular, fiecare variabilă ocupând o coloană (deci o linie este referită drept o observa ie), este prezentat în figura nr.13. Figura nr.13: Dialogul procedurii Regression
74 Input Input Y Range – se precizează domeniul (coloana) pe care se află valorile variabilei dependente yi. Input X Range – se precizează domeniul pe care se află valorile tuturor variabilelor independente. Acest domeniu trebuie să fie compact, fiecare variabilă Xi ocupând o coloană. Labels – se marchează boxa de control în cazul în care prima linie din tabloul de date este cu denumirile variabilelor (situa ie recomandată). Constant Is Zero – se marchează boxa de control dacă modelul care se estimează este fără termen liber. Confidence Level – se precizează, procentual, siguran a statistică dorită în raportarea intervalelor de încredere deci valoarea (1–α)×100, unde α este pragul de semnifica ie. Intervalele ob inute sunt suplimentare, întotdeauna afişându-se cele pentru α = 0,05. Boxa se va marca doar dacă se doreşte şi un alt prag de semnifica ie. Output options Output Range, New Worksheet Ply, New Workbook – Precizează zona unde se vor înscrie rezultatele. Zona de rezultate este foarte complexă, cuprinde tabele care depind de mărimea modelului, de numărul de observa ii, de numărul graficelor dorite etc. Prin urmare se va prefera o foaie de calcul nouă sau o zonă liberă în dreapta şi în jos. Residuals Residuals – se marchează boxa de control în cazul când se doreşte calcularea reziduurilor modelului estimat. Residual Plots – se marchează boxa de control în cazul când se doreşte ob inerea diagramelor reziduuri – variabilă independentă, adică vizualizarea punctelor de coordonate (xij, rj), j = , având ca abscisă o valoare a variabilei independente Xi, iar ca ordonată reziduul corespunzător. Standardized Residuals – această boxă de control se va marca dacă se doreşte calculul valorilor standardizate ale reziduurilor. Valorile astfel ob inute provin, teoretic, dintr-o distribu ie normală standard, astfel încât o histogramă a acestor valori trebuie să se apropie de curba normală (clopotul lui Gauss). Line Fit Plots – se marchează această boxă de control dacă se doreşte afişarea diagramelor Y – variabilă independentă, prin care se vizualizează, pe un acelaşi grafic, punctele de coordonate (xij, yobs,i), (xij, yest,i), j= , unde abscisele sunt valorile variabilei independente, iar ordonatele sunt valorile observate şi cele estimate ale variabilei dependente. Este desenat câte un grafic pentru fiecare variabilă independentă. Interpretarea acestor diagrame poate oferi indica ii asupra adecvan ei modelului, asupra valorilor aberante. Normal Probability Normal Probability Plots – se marchează dacă se doreşte vizualizarea reparti iei de sondaj a variabilei Y într-o re ea de probabilitate.
75 5.2.Aplica ii practice Instrumente Excel Pentru prelucrarea unui set de date memorat într-un document Excel se pot utiliza atât func iile statistice ale aplica iei, cât şi proceduri ob inute prin Tools – Data Analysis. Func iile statistice uzuale sunt (în ordine alfabetică): AVEDEV – abaterea medie absolută AVERAGE – media aritmetică BINOMDIST – func ia de reparti ie binomială CHIDIST – func ia de reparti ie χ2 CHIINV – inversa func iei de reparti ie χ2 CHITEST – aplicarea testului χ2 CONFIDENCE – intervalul de încredere pentru medie FDIST – func ia de reparti ie F FINV – inversa func iei de reparti ie F FTEST – aplicarea testului F HARMEAN – media armonică KURT – coeficientul de aplatizare MIN, MAX – valorile extreme din listă MEDIAN – mediana MODE – valoarea mod NORMDIST – func ia de reparti ie normală NORMINV – inversa func iei de reparti ie normală NORMSDIST – func ia de reparti ie normală standard NORMSINV – inversa func iei de reparti ie normală standard PERCENTILE – quantile QUARTILE – quartile RANK – rangul argumentului într-o listă SKEW – coeficientul de asimetrie STANDARDIZE – valoarea standardizată a argumentului STDEV – abaterea standard TDIST – func ia de reparti ie Student, t TINV – inversa func iei de reparti ie Student TTEST – aplicarea testului Student VAR – dispersia Pentru a utiliza procedurile statistice, trebuie ca prin Tools – AddIns să se verifice dacă este instalat utilitarul Analysis ToolPak. În caz afirmativ, comanda Tools – Data Analysis va deschide dialogul Data Analysis din care sunt accesibile o serie de prelucrări statistice conduse de dialogurile asociate. Astfel, Descriptive Statistics va produce indicatorii statistici ai unei variabile continue. Tot în partea de descriere statistică poate fi încadrată şi metoda de creare a cuburilor OLAP prin Data – Pivot Table, metodă prin care se ob in distribu iile simple sau multivariate ale unor variabile discrete sau indicatorii statistici esen iali ai subpopula iilor.
76 De asemenea, pentru procedurile legate de reprezentările grafice se ini iază Insert - Chart (sau uneltele corespunzătoare) oferind grafice, histograme etc. Exemplu de aplicare a modelului unifactorial Se cunosc următoarele date privind câştigul salarial net lunar real26 şi popula ia ocupată civilă în România, în perioada 2002-2008 (vezi Tabelul nr.5): Tabelul nr.5 Anul Popula ia ocupată (mii pers.) Câştig salarial net lunar real (RON/salariat) 2002 8329 379 2003 8306 536,272 2004 8238 733,775 2005 8390 1044,4 2006 8469 1320,65 2007 8726 1719,3 2008 8730 2293,498 Sursa: Anuarul Statistic al României 2009,INS, Bucureşti a) Să se construiască un model econometric care descrie legătura dintre cele două variabile; b) Ştiind că în anul 2009, popula ia ocupată a fost estimată să scadă la 8715 mii persoane, să se estimeze valoarea câştigului salarial nominal net lunar real pentru anul 2009. Rezolvare: a) Notând cu: y = câştigul salarial nominal net lunar real; x = popula ia ocupată civilă; Modelul va fi de forma: . Pentru alegerea func iei matematice f(x) se recurge la reprezentarea grafică a celor două şiruri de valori. Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin puncte. Prin alegerea liniei de tendin ă care aproximează cel mai bine func ia putem identifica ecua ia. (vezi Figura nr.14) 26 Câştig salarial nominal net lunar real a fost calculat aplicând câştigului salarial nominal net lunar o corec ie cu indicele câştigului salarial real (2000=100).
77 Figura nr.14: Diagrama prin puncte a corela iei dintre câştigul salarial nominal net lunar real şi popula ia ocupată civilă Dacă deschidem dialogul Data Analysis, Analysis Tools, Regression, (programul EXCEL), din analiza rezultată func ia de regresie determinată are următoarea formă: unde: Pentru a verifica corela ia dintre cele două variabile y şi x avem coeficientul de corela ie liniară R (0,924) care cu cât este mai aproape de 1 legătura dintre cele două variabile este mai strânsă. Valoarea coeficientului de determinare (R2 ) este de 0,853 (apropiată de 1). Tabelul nr.6: Coeficientul de corela ie al func iei de regresie Regression Statistics Multiple R 0,923594487 R Square 0,853026777 Adjusted R Square 0,823632132 Standard Error 287,7189046 Observations 7 Unde: Multiple R – coeficientul multiplu de corela ie. R Square – coeficientul de determinare (este egal cu pătratul coeficientului de corela ie multiplă). Poate fi gândit, exprimat procentual, drept propor ia din varia ia variabilei dependente explicată de varia ia variabilelor independente: 85,3% din varia ia lui y este explicată de variabila x. Adjusted R Square – valoarea corectată a coeficientului de determinare. Este introdusă pentru a contracara (par ial) efectul creşterii mecanice a lui R2 o dată cu numărul variabilelor independente. Standard Error – eroarea standard a estima iei. Se calculează ca abaterea standard a reziduurilor (pentru numărul gradelor de libertate utilizat se va vedea tabloul ANOVA, în continuare) şi este estima ia abaterii standard a erorilor u (în ipoteza normalită ii acestora). Observations – numărul de observa ii din eşantion.
78 În vederea testări ipotezelor, în continuare, vom interpreta tabelul analizei dispersionale (ANOVA). Tabelul nr.7: Analiza dispersională - ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 2402322 2402322 29,0198023 0,002973402 Residual 5 413910,8 82782,17 Total 6 2816233 Coloanele acestui tablou au semnifica iile uzuale într-un tablou ANOVA: Sursa de varia ie – arată descompunerea varia iei totale în varia ia explicată de regresie şi cea reziduală (neexplicată). df – numărul gradelor de libertate; SS – sumele de pătrate potrivit descompunerii; MS – media sumelor de pătrate: SS împăr ită la numărul respectiv de grade de libertate. Valoarea de pe linia a doua (Residual) este estima ia dispersiei pentru reparti ia erorilor şi este pătratul erorii standard a estima iei. F – valoarea statisticii F pentru testul Fisher-Snedecor; Significance F – este probabilitatea critică unilaterală. Primul test utilizat în analiza regresiei – Testul F - este un test global de semnifica ie a ansamblului coeficien ilor (exceptând termenul liber). Cele două ipoteze sunt: Η0 : b=0; H1 : (∃) i astfel încât b≠0. Numărul de grade de libertate (df), ataşat fiecărei sumă de pătrate (SS) ne ajută să identificăm valoarea lui Fαp-1, n-p (valoare tabelată Fisher-Snedecor). Astfel, p-1 = 1 n-p = 5 n-1 = 6; unde: p – variabila x plus termenul liber (1+1) n – numărul de observa ii (7). Valoarea calculată a lui Fc este de 29,02, fiind mai mare decât valoarea tabelată a lui F0,05;1;5 de 6,61, ceea ce respinge ipoteza nulă. Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus ini ial. De asemenea, valoarea lui Significance F (probabilitatea critică unilaterală) de 0,003 trebuie să fie mai mică, şi este, decât pragul de semnifica ie de 0,05, respingându-se, astfel, ipoteza nulă în favoarea ipotezei alternative. (vezi, Tabelul nr.7) Dată fiind situa ia - ipoteza nulă este respinsă -, se acceptă că ecua ia de regresie este semnificativă la nivel global, cu men iunea că s-ar putea ca anumi i coeficien i să nu fie semnificativi. Astfel, că al doilea test t testează fiecare coeficient cu ipotezele: H0 : a,b=0 H1 : a,b≠0.
79 Tabelul nr.8: Valorile estimate pentru coeficien ii modelului şi statisticile necesare verificării ipotezelor Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept -25684,71619 4981,95556 -5,155549041 0,00359812 -38491,24064 -12878,19174 X Variable 1 3,173255373 0,58905765 5,387003094 0,0029734 1,659034483 4,687476263 Liniile tabelului se referă la variabilele din model, incluzând şi termenul liber. Coloanele tabelului sunt următoarele: (prima coloană) – sunt afişate denumirile existente în tabloul de date sau create automat pentru variabilele independente implicate. Intercept este denumirea pentru termenul liber (constant) al modelului. Coefficients – con ine valorile estimate ale coeficien ilor. În ipotezele distribu ionale ale modelului liniar, valorile calculate ale coeficien ilor provin din reparti ii normale, fiind astfel posibile verificări statistice ale coeficien ilor. Standard Error – eroarea standard a coeficientului (abaterea standard a reparti iei coeficientului). t Stat – statistica t P-value – probabilitatea critică bilaterală a testului t cu ipotezele precizate la t Stat. Lower 95%, Upper 95% – limitele inferioară şi superioară ale intervalului de încredere pentru parametrul respectiv. Limitele la pragul 0,05 sunt calculate automat, indiferent de ini ializarea procedurii Regression. Din Tabelul nr.8 rezultă următoarele aspecte: - valoarea lui t Stat calculată în tabel, pentru variabila exogenă şi termenul liber, se situează peste valoarea lui t0,05,5 = 2,573 (valoarea teoretică a lui t pentru n-p grade de libertate şi un prag de semnifica ie de 0,05), ceea ce respinge, de fiecare dată, ipoteza nulă, variabilele fiind semnificative pentru model; - probabilitatea critică bilaterală a testului t cu ipotezele precizate la t stat (P-value) se situează sub pragul de semnifica ie de 0,05, respingând ipoteza de nulitate. Tabelul nr.9: Valorile estimate pentru variabila reziduală Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals 1 745,3278132 -366,327813 -1,394736346 2 670,756312 -134,484312 -0,512028164 3 457,5135509 276,261449 1,05182263 4 940,1656931 104,234307 0,396855961 5 1190,535542 130,114458 0,495390623 6 2004,792871 -285,492871 -1,086969837 7 2017,803218 275,694782 1,049665133 Observation – numărul de ordine al observa iei. Predicted y – valoarea y prognozată pentru observa ia respectivă; se ob ine înlocuind valorile x ale observa iei în modelul estimat. Residuals – valoarea erorii de predic ie (diferen a dintre valoarea observată şi valoarea prognozată).
80 Standard Reziduals – valoarea standardizată a erorii. Este ob inută prin împăr irea reziduului la abaterea standard a reziduurilor (rezultatul nu este sus inut absolut riguros de teorie). Ipoteza de independen ă a erorilor, care presupune cov(ui,uj) =0, pentru , se realizează pe baza calculării coeficientului de autocorelare de ordinul I: ceea ce confirmă ipoteza de independen ă a erorilor. Ipoteza homoscedasticită ii este verificată prin procedeul grafic, figura de mai jos confirmând necorelarea dintre variabila x şi variabila reziduală u, punctele din figura nr.15 pot fi considerate într-o regiune de tip bandă orizontală. Figura nr.15: Diagrama reziduurilor corelată cu valorile variabilei x În ceea ce priveşte ipoteza normalită ii, punctele din figura nr.16, diagrama reziduuri – variabilă dependentă y, se pot considera într-o regiune de tip bandă orizontală ceea ce nu contrazice ipotezele de normalitate a erorilor. Forma de bandă uniformă reflectă constan a dispersiei reziduurilor pentru tot domeniul variabilei dependente y. Figura nr.16: Diagrama reziduurilor corelată cu valorile variabilei y b) unde x = 8715 rezultă y = 1967,695 Astfel, la o scădere a popula iei ocupate civile cu 15 mii persoane (de la 8730 la 8715 mii pers.), câştigul salarial nominal mediu net lunar real se va diminua cu 325,8 RON (până la valoarea de 1967,695 RON/salariat).
81 5.3.Probleme rezolvate 1. Specialiştii pe Managementul Resurselor Umane (MRU) din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de angaja i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie (r) între acestea de 0,80. Utilizând regresia avem posibilitatea să estimăm ce tulburări emo ionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de aten ie şi tipul de rela ie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 16, iar abaterea standard 4, să se determine coeficien ii ecua iei de regresie liniară a şi b. Rezolvare: Notă teoretică: Regresia simplă (o variabilă dependentă şi una independentă) şi liniară (rela ia dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte). Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corela ie. O asociere puternică între două elemente conduce la creşterea preciziei predic iei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o corela ie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă. Procesul de regresie presupune doi paşi. Primul se referă la determinarea ecua iei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecua ii în predic ie. Forma generală prin care se exprimă o ecua ie de regresie este: Unde: Y- prim este rezultatul estimat; a - este interceptul (locul pe ordonata unde dreapta de regresie se intersectează cu OY, valoarea lui Y pentru X=0); b - este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică Y atunci când X creşte (scade) cu o unitate; X - este variabila criteriu (cunoscuta). Calcularea coeficien ilor de regresie a, respectiv b conduce la realizarea primului pas din procesul regresiei. Există două posibilită i de calculare a lor: I. dacă se cunoaşte valoarea coeficientului de corela ie dintre cele două variabile X şi Y, media şi abaterea standard a celor două variabile putem aplica următoarele formule: Unde: r este valoarea coeficientului de corela ie dintre X şi Y; Sy este abaterea standard a variabilei Y; Sx este abaterea standard a variabilei X.
82 Unde: My este media variabilei Y; Mx este media variabilei X. II. dacă nu se cunosc decât datele brute prin metoda celor mai mici pătrate. b = r = 0,80 x = 0,64 a = 16 - 0,64 * 20 = 3,2 Ecua ia de regresie va fi: 2. Plecând de la func ia de regresie să se estimeze valorile lui Y pentru X0 = 0, X1 = 1 şi X2 =2 şi să se interpreteze rezultatele. Rezolvare: Dacă un subiect ob ine scorul 0 la deficit de aten ie, estimăm să ob ină rezultatul 3,2 la scala de tulburări emo ionale. Dacă un alt subiect ob ine nota 1 la deficitul de aten ie, predic ia noastră este că va ob ine rezultatul de 3,84 la testul de tulburări emo ionale, iar dacă va ob ine nota 2 rezultatul va fi de 4,48. 3. Specialiştii MRU din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de subiec i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie r = 0,80. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 16, iar abaterea standard 4, să se determine eroarea standard Sy/x şi să se interpreteze rezultatul. Rezolvare: Formula de calcul prescurtată a acestei erori standard este: unde: Sy este abaterea standard a variabilei y r este valoarea coeficientului de corela ie Vom ob ine: Să luăm cazul în care un subiect ob ine nota 1 la proba de deficit de aten ie. Valoarea estimată a tulburărilor emo ionale este de 3,84. Cu ajutorul acestei erori standard putem
83 aproxima că în 68% din cazurile în care un subiect ob ine nota 1 la deficitul de aten ie (adică, între –1 şi +1 Sy/x) vom ob ine o valoare estimată de tulburări emo ionale de 3,84 ± 2,4. Cu cât coeficientul de corela ie este mai mare, cu atât eroarea de estimare va fi mai mică. 4. La nivelul unei firme care îşi desfăşoară activitatea în sectorul comercial s-au înregistrat următoarele date legate de personalul din compartimentul vânzări (60 de angaja i): Nr. Crt. Sex Vechimea în muncă Salariul lunar Timp nelucrat ani mii lei minute 1 M 2 752 61 2 F 11 760 35 3 F 21 770 42 4 M 10 759 47 5 M 16 769 54 6 M 28 779 30 7 F 19 769 57 8 M 9 759 48 9 F 5 755 49 10 F 11 760 37 11 F 25 776 40 12 M 27 779 31 13 M 17 766 57 14 F 1 750 62 15 M 20 765 59 16 F 31 781 30 17 F 23 772 33 18 M 3 753 48 19 M 16 767 55 20 M 7 756 47 21 F 11 760 36 22 F 22 773 42 23 M 4 754 46 24 F 21 771 56 25 M 17 768 57 26 F 8 755 35 27 F 24 774 34 28 M 23 773 32 29 M 16 765 50 30 M 11 759 45 31 F 18 768 58
84 A. Să se grupeze personalul după varia ia celor 4 caracteristici pe intervale egale. Rezolvare: Notă teoretică: Indicatorul statistic este expresia numerică a unui fenomen, proces sau a unei categorii economico-sociale, definite în timp şi în spa iu. Indicatori primari (absolu i) şi indicatori deriva i. Indicatorii utiliza i se împart în indicatori primari sau absolu i şi în indicatori deriva i. Nr. Crt. Sex Vechimea în muncă Salariul lunar Timp nelucrat ani mii lei minute 32 F 8 757 46 33 F 14 765 39 34 M 29 778 31 35 F 22 770 44 36 F 7 756 47 37 M 21 774 43 38 F 17 767 51 39 M 2 755 60 40 F 16 765 52 41 M 16 765 50 42 M 15 764 52 43 M 34 784 30 44 F 17 768 52 45 F 30 778 34 46 M 17 768 51 47 F 14 763 45 48 M 25 775 33 49 M 8 757 45 50 M 18 769 44 51 M 12 760 38 52 F 26 775 32 53 M 10 758 45 54 F 21 771 42 55 M 14 763 45 56 M 6 755 49 57 F 1 750 61 58 M 32 783 31 59 F 15 764 53 60 M 16 765 40 Total - 960 45939 2698
85 Indicatorii primari sau absolu i exprimă direct nivelul real de dezvoltare al caracteristicii cercetate, caracterizând fenomenul/procesul la modul cel mai general din punct de vedere cantitativ. Indicatorii deriva i se ob in în faza de prelucrare statistică a mărimilor absolute prin aplicarea variantelor metode şi procedee de calcul statistic. Mărimea relativă sau indicatorul relativ este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi exprimă printr-un singur număr propor iile indicatorului raportat fa ă de indicatorul bază de raportare. Forma cea mai simpla de exprimare a mărimilor relative este în unită i sau coeficien i. Forma cea mai obişnuită şi sugestivă de exprimare a mărimilor relative este cea a procentelor. Promolele se folosesc când indicatorul comparat este mult prea mic fa ă de indicatorul bază de comparare şi exprimarea în coeficien i sau chiar in procente. În cazul în care rezultatul raportului dintre cele două mărimi comparate are o valoare foarte mică se utilizează prodecimile sau procentimele. Tabelele statistice constituie un ansamblu de judecă i prezentate într-o formă succintă în cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomene şi procese studiate. Elementele de con inut se referă la subiectul şi predicatul tabelului. Subiectul tabelului îl reprezintă colectivitatea şi păr ile sale componente şi se înscrie în capetele rândurilor. Predicatul tabelului este format din totalitatea aspectelor cantitative referitoare la colectivitatea cercetată şi se înscrie în capătul coloanelor. Elementele de formă ale unui tabel: titlul general, titlurile interioare, re eaua şi notele explicative. În etapa observării se întocmesc tabelele descriptive sau enumerative. În etapa prelucrării se întocmesc tabelele de prelucrare. După felul cum este prelucrat subiectul sau predicatul sau ambele, se disting: tabele simple, tabele pe grupe, tabele combinate, tabele combinate cu dublă intrare, tabele de asociere. Numărul de grupe se alege diferen iat atât pentru caracteristicile numerice, cât şi pentru cele nominative. După mărimea varia iei caracteristicii studiate, se disting grupări pe variante (numerice şi nominative) şi grupări pe intervale de varia ie (egale sau neegale). Mărimea intervalului de grupare se ob ine făcând diferen a între două limite inferioare sau superioare a două grupe alăturate, fie între limita superioară şi limita inferioară a aceluiaşi interval. Mărimile relative ale planului sunt specifice oricărei economii moderne. Mărimile relative ale sarcinii de plan pot avea valori minime sau maxime. Mărimile relative pot fi: de structură (con inutul informa ional al mărimii relative de structură poate fi acela de pondere sau greutate specifică); de coordonare; ale dinamicii; de intensitate. Mărimile medii constituie instrumente principale de cunoaştere a fenomenelor de masă şi au un mare grad de aplicabilitate în activitatea practică.
86 Prin defini ie, media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esen ial, tipic şi obiectiv în apari ia, manifestarea şi dezvoltarea lui – sub rezerva faptului că acest indicator are relevan ă pentru fenomenul studiat. Media aritmetică simplă se foloseşte pentru seriile simple. În cazul unei serii de distribu ie, media aritmetică simplă este înlocuită cu media aritmetica ponderată. Media armonică se calculează din valorile inverse ale termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată. Media pătratică este acea valoare care înlocuind termenii seriei ridica i la pătrat nu modifică suma pătratelor lor. Media geometrică se bazează pe rela ia de produs a termenilor seriei. Media cronologică este o forma transformată a mediei aritmetice şi, anume, este o medie generală din medii par iale. Mediile mobile se utilizează pentru a determina nivelul mediu al unei serii de momente şi pentru a măsura sezonalitatea. Seria statistică este prezentarea paralelă a două şiruri de date în care primul şir prezintă caracteristica de grupare, iar cel de al doilea, rezultatul centralizării frecven elor sau valorile unei alte caracteristici cu care se află în raport de interdependen ă. După posibilită ile de caracterizare a fenomenelor seriile pot fi: serii statistice independente; serii statistice interdependente. După con inutul caracteristicii: de timp (dinamice sau cronologice); de spa iu (teritoriale); de distribu ie (reparti ie). Gruparea salaria ilor după caracteristica atributivă calitativă – sex exprimată prin cuvinte: Masculin 32 Feminin 28 Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie continuă cu limita superioară inclusă în interval: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 34 – 1 = 33 se utilizează func iile MAX şi MIN r = 7 k = = = 4,71 ∼5
87 Grupe de salaria i după vechime Nr. de salaria i 1 – 6* 8 6-11 12 11-16 12 16-21 13 21-26 8 26-31 5 31-36 2 Total 60 Notă * - limita superioară inclusă în interval Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie discontinuă: Grupe de salaria i după vechime Nr. de salaria i 0-5 7 6-10 9 11-15 10 16-20 15 21-25 11 26-30 5 31-35 3 Total 60 Gruparea salaria ilor după caracteristica salariul net încasat pe intervale de grupare cu varia ie continuă: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 784 – 750 = 34 r = 7 k = = = 4,85 ∼5 Grupe de salaria i după salariul net încasat Nr. de salaria i 750-755 9 755-760 12 760-765 10 765-770 12 770-775 9 775-780 5 780-785 3 Notă * - limita superioară inclusă în interval
88 Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie discontinuă: Grupe de salaria i după salariul net încasat Nr. de salaria i 750-754 5 755-759 12 760-764 8 765-769 16 770-774 9 775-779 7 780-784 3 Gruparea salaria ilor după caracteristica timp nelucrat pe intervale de grupare cu varia ie continuă: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 62 – 30 = 32 r = 7 k = = = 4,57 ∼5 Grupe de salaria i după timpul nelucrat Nr. de salaria i 30-35 14 35-40 6 40-45 11 45-50 11 50-55 8 55-60 7 60-65 3 Notă * - limita superioară inclusă în interval Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie discontinuă: Grupe de salaria i după timpul nelucrat Nr. de salaria i 30-34 12 35-39 6 40-44 8 45-49 14 50-54 9 55-59 7 60-64 4
89 B. Să se grupeze salaria ii pe intervale neegale în func ie de: media aritmetică şi abaterea medie liniară. Rezolvare: Media aritmetică simplă: AVERAGE(xi) = Media aritmetică ponderată: = Abaterea medie liniară pentru serii simple: AVEDEV(xi) = Abaterea medie liniară pentru serii de frecven e: = Notăm: y – vechimea în muncă z – salariul lunar w – timpul nelucrat n – numărul de angaja i = = = 16 ani = = = 765,65 ∼766 mii lei = = = 44,96 ∼45 minute y = = = 6,57 z = = = 7,03 w = = = 7,70 - y = 16-6,57 =9,43∼9 + y = 16+6,57=22,57∼22
90 - z = 766-7,03 =758,97 + z = 766+7,03=773,03 - w = 45-7,70 =37,30 + w = 45+7,70=52,7 Grupe de salaria i după vechime Nr. de salaria i Mică 0-9 ani 14 Medie 10-22 ani 33 Mare 23-35 ani 13 Grupe de salaria i după salariul net Nr. de salaria i Mic 750-759 mii lei 14 Mediu 760 -773 mii lei 34 Mare 774-785 mii lei 12 Grupe de salaria i timp nelucrat Nr. de salaria i pu in 30-37 minute 16 mediu 38-52 minute 31 mult 53-64 minute 13 5.4.Probleme de rezolvat 1. O firmă ce organizează licita ii pentru vânzarea unor antichită i doreşte să determine rela ia dintre pre ul ob inut pentru articolele licitate (u.m.) şi numărul de persoane care participă la licita ie. În ipoteza unui model de regresie liniară, rezultatele prelucrării în Excel sunt: Regression Statistics Multiple R 0,860271 R Square 0,740066 Adjusted R Square 0,707575 Standard Error 177,7908 Observations 10
91 Analiza dispersională - ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 719973,5 719973,5 22,77708 0,001404 Residual 8 252876,5 31609,56 Total 9 972850 Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept 1086,691 174,4825 6,228079 0,000252 Mărimea audien ei X 9,329102 1,954748 4,772534 0,001404 Să se interpreteze rezultatele din tabele. 2. O companie de construc ii sus ine că în timpul perioadelor în care se percep rate ridicate ale dobânzii, numărul autoriza iilor de construc ie s-a redus considerabil. Pentru 5 luni s-au înregistrat: rata dobânzii (%) (X) şi numărul autoriza iilor de construc ie (Y): a) Reprezenta i grafic datele şi determina i modelul de regresie adecvat analizei legăturii dintre cele două variabile; b) Testa i validitatea modelului de regresie găsit, pentru un nivel de semnifica ie de 5% (Fα=10,13); c) Să se determine în ce propor ie rata dobânzii influen ează varia ia numărului de autoriza ii. 3. Pentru a decide în ce zonă să fie amplasat un magazin de casete video, managerul unei firme de comercializare şi închiriere de casete video realizează un studiu. Astfel, el consideră că succesul afacerii este cuantificat prin profitul anual brut ob inut (sute euro). Principalul factor de influen ă considerat pentru succesul acestei afaceri este venitul mediu al locuitorilor de pe o rază de un kilometru (zeci euro). Sunt selectate aleator 5 supermarket-uri şi sunt înregistrate valorile celor 2 variabile. a) Estima i parametrii ecua iei de regresie, în ipoteza unei dependen e liniare. b) Testa i validitatea modelului de regresie, pentru un nivel de semnifica ie de 5% (Fα=10,13); a) Măsura i intensitatea legăturii dintre cele două variabile, folosind un indicator adecvat şi testa i semnifica ia acestuia, pentru un nivel de încredere de 95% (tα= 4,541, Fα= 10,13). Rata dobânzii (%) X 18 11 15 12 16 Nr. autoriza iilor de construc ie Y 43 119 82 90 80 Profit (mii euro) 2 6 8 11 15 Venit (sute euro) 4 12 21 25 20
92 5.5.Grile de întrebări 1. În ce an a fost înfiin ată Societatea de Econometrie avându-i ca ini iatori pe I. Fisher, Bortkiewicz Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi al ii: a) 1930 b) 1933 c) 1926 2. Defini ia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei „Econometrica” (ianuarie 1933): a) în elegerea efectivă a realită ilor constitutive din economie prin unificarea temei economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice; b) considera ca există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastice). Sus inătorii acestei defini ii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele induc iei statistice (teoria estima iei, verificarea ipotezelor statistice) la verificarea rela iilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele economice cercetate; c) include domeniile men ionate atunci când ea este în eleasă în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării opera ionale. 3. Un studiu econometric presupune: a) existenta prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă verificarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat; b) posibilitatea aplicării metodelor induc iei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice; c) posibilitatea aplicării metodelor deduc iei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice. 4. Modelul econometric: a) un instrument de cercetare ştiin ifica, o imagine conven ionala, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării; b) are întotdeauna o finalitate practică, opera ională, el devenind instrument de control şi dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice; c) reproduce în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat. 5. Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi: a) variabile economice; variabila eroare (aleatoare), u; variabila timp, t. b) variabile econometrice; variabila eroare (aleatoare), u; variabila regresiva. c) variabile economice; variabila Fisher; variabila timp, t. 6. Omogenitatea datelor presupune: 1) colectarea lor de la unită i statistice diverse; 2) reprezentarea aceloraşi defini ii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spa iu;
93 3) descrierea evolu iei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condi iile de desfăşurare a procesului analizat; 4) exprimarea variabilelor în aceleaşi unită i de măsură, condi ie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în pre uri comparabile sau pre uri reale. a) 2,3,4; b) 1,3,4; c) toate. 7. O serie de spa iu rezultă prin: a) observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică; b) observarea variabilelor Y şi X într-o anumită perioadă de timp - luna, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unită i socio-economice omogene, i= , n = numărul unită ilor de acelaşi profil, ce apar in aceluiaşi sector economic etc.; c) observarea variabilelor Y si X într-o anumita perioada de timp - luna, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unită i socio-economice diverse, i= , n = numărul unită ilor de acelaşi profil, ce apar in mai multor sectoare economice etc.. 8. Valori centrate si normate au media egala cu: a) 1 b) 0 c) -1 9. Următoarea formulă este expresia: a) Mediei aritmetice; b) Dispersiei; c) Abaterii medie pătratice. 10. Rela iile institu ionale sunt: a) de tipul ecua iilor de balan ă folosite in „Sistemul de balan e ale economiei na ionale”. b) sunt acele ecua ii stochastice care reflecta şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. c) sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stochastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradi ie sau de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de exemplu, ecua iile care explică stabilirea impozitelor sau a cotiza iilor în func ie de venit.
94 11. Rela iile de … sunt de tipul ecua iilor de balan ă folosite în „Sistemul de balan e ale economiei na ionale”. 12. Testele … sunt instrumente de lucru indispensabile investiga iei econometrice. Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul ca demersul econometric consta într-o înşiruire logica de ipoteze privind semnifica ia variabilelor exogene, a calită ii estima iilor ob inute, a gradului de performan ă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t - student, testul F-Fisher etc. 13. Matematica, statistica şi economia în interferen ă dau atribut complex econometriei, preponderent fiind: a) studiul cantitativ al realită ii micro sau macroeconomice. b) studiul calitativ al realită ii micro sau macroeconomice. c) studiul economic al realită ii micro sau macroeconomice. 14. Statisticile în procesele economice cercetate reprezintă: a) intrările (inputs); b) ieşirile (outputs); c) feed-back-ul. 15. Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o defini ie mai largă a acestuia: un ansamblu organizat, o clasa de fenomene care satisfac următoarele exigen e: 1) să se poată specifica un set, o mul ime de elemente identificabile; 2) să existe rela ii identificabile cel pu in intre unele dintre ele; 3) să nu existe rela ii identificabile între ele; 4) anumite rela ii să implice alte rela ii (lan ul infinit de rela ii); 5) un complex de rela ii, la un timp dat implica un anume complex la un timp următor, aspect ce pune în eviden ă dinamica sistemului. a) 1,2,4,5; b) 1,3,4,5; c) toate. 16. Ca şi componentă a sistemului econometric este un anumit raport între elemente, care le reuneşte în cadrul func ionării sistemului: a) Elementul; b) Conexiunea; c) Structura. 17. Se numeşte imagine econometrică: a) rezultatul oricărei transformări; b) mul imea stărilor posibile ale sistemului econometric; c) mul imea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică. 18. … apare ca un dispozitiv ce recep ionează ac iunile exterioare, format din elemente identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recep ionează informa ii.
95 19. Adaptabilitatea este: a) sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în ansamblu, superior organizat în condi iile unui mediu ce produce perturba ii; b) însuşirea de a men ine la ieşire valoarea de comanda neschimbata, în condi iile unui mediu perturbator; c) capacitatea de a recep iona informa ii exterioare, sau orice ac iune informa ională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior ac ionează asupra sistemului; 20. Legătura inversă (feed-back-ul) este: a) capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se depărtează de valoarea de comanda dată; b) un proces de adaptare la perturba ii externe pe calea diversificării structurii, cu scopul de păstrare a stabilită ii, de a nu oscila, de a nu se distruge; c) capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux permanent din spa iu, dinspre punctul terminus (unde se eviden iază ieşirea) spre dispozitivul de reglare. 21. Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt: 1) Caracterul aleator; 2) Caracterul dinamic; 3) Comportarea; 4) Feed-back-ul; 5) Caracterul complex. a) toate; b) 1,2, 4 si 5; c) 1,3,4 si 5. 22. Rela iile valorice reprezintă: a) setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care rezultă o valoare de întrebuin are; b) conexiunile între for a de muncă şi mijloacele materiale exprimate valoric, necesare reproduc iei; c) omul ca proprietar al unei cantită i de bogă ie materială, opus celorlal i subiec i economici. 23. Legea lui Pareto consideră faptul că: a) în lume, produc ia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar popula ia în progresie geometrică; b) atunci când venitul na ional creşte într-o ară dezvoltată: cheltuielile alimentare cresc într-o propor ie mai mică; cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi propor ie; cheltuielile pentru bunuri de folosin ă îndelungată cresc într-o propor ie mai mare; c) un număr tot mai mare de locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari.
96 24. Spre deosebire de modelul determinist modelul econometric introduce în schema de descriere a legită ii de manifestare a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă: a) aleatoare; b) economică; c) timp. 25. Modelele econometrice după numărul de variabile pot fi: a) liniare sau neliniare; b) cu o singura ecua ie sau cu ecua ii multiple; c) unifactoriale sau multifactoriale. 26. Modelele euristice se mai numesc şi: a) ra ionale; b) deterministe; c) decizionale. 27. Raportarea modelelor par iale la modelele globale permite formulare următoarelor aprecieri: 1) agregarea modelelor par iale conduce la ob inerea modelului global al variabilei respective; 2) modelul global rezultă ca o medie a modelelor par iale; 3) în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explica ie istorică a dependen ei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate estima pe baza modelelor par iale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului global de regresie (coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficien ilor par iali); 4) în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă coeficientul global de regresie rămâne stabil. a) toate; b) 1,2,4; c) 2,3,4. 28. Modelele dinamice cu variabila timp sunt acelea în care: a) se introduce în pachetul de variabile explicative „xj”, ăn mod explicit, variabila timp; b) variabila factorială „x” îşi exercită influen a asupra varia iei variabilei „y” pe mai multe perioade de timp; c) în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi variabila explicată „y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k. 29. Dacă notăm cu yi – valorile observate ale variabilei dependente, – valoarea mediei variabilelor dependente, ŷ - valoarea ajustată, dată de ecua ia de regresie; suma pătratelor globale SPg va fi: a) ; b) ; c) .
97 30. Valoarea lui Significance F (probabilitatea critică unilaterală) trebuie să fie: a) mai mică decât pragul de semnifica ie; b) mai mare decât pragul de semnifica ie; c) egală cu pragul de semnifica ie. 31. Specialiştii pe Managementul Resurselor Umane (MRU) din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de angaja i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie (r) intre acestea de 0,60. Utilizând regresia avem posibilitatea sa estimăm ce tulburări emo ionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de aten ie şi tipul de rela ie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 10, iar abaterea standard 4. In acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 20, iar abaterea standard 2, să se determine coeficien ii ecua iei de regresie liniară a şi b. a) 17 şi 0,3; b) 0,3 şi 20; c) 3 şi 1,2. 32. Dacă coeficien ii a şi b ai func iei de regresie sunt 3,2 şi 0,26 să se estimeze valorile lui Y pentru X1 = 5 şi X2 =6. a) 4,5 şi 4,76; b) 16 şi 1,56; c) 16,26 şi 19,46. 33. La nivelul unei firme care îşi desfăşoară activitatea în sectorul comercial s-au înregistrat următoarele date legate de personalul din compartimentul vânzări (4 angaja i): Nr. Crt. Sex Vechimea in munca Salariul lunar Timp nelucrat ani mii lei minute 1 M 2 752 61 2 F 11 760 35 3 F 21 770 42 4 M 10 759 47 Să se calculeze pentru variabila timp nelucrat media aritmetică simplă şi abaterea medie liniară. a) 46,25 şi 7,75; b) 46,25 şi 0; c) 185 şi 46,25. 34. Liniaritatea rela iei se referă la … şi nu la variabile. Astfel, modelul: y = α 1x1 2 + α 2 +…+ α 3 + este tot un model liniar.
98 35. Variabila …, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice. Răspunsuri: 1.a, 2.a, 3.b, 4.b, 5.a, 6.a, 7.b, 8.b, 9.a, 10.c, 11. identitate, 12. statistice, 13.a, 14.a, 15.a, 16.b, 17.a, 18. Intrarea, 19.b, 20.c, 21.a, 22.b, 23.c, 24.a, 25.c, 26.a, 27.c, 28.a, 29.a, 30.a, 31.a, 32.a, 33.a, 34. Coeficien i, 35. Timp.
99 BIBLIOGRAFIE Andrei T., Bourbonnais R., în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008 Andrei T., Statistică şi econometrie, Bucureşti, Ed. Economică, 2004 Anghelache C., Capanu I., Indicatori macroeconomici. Calcul şi analiza economică, Ed. Economică, Bucureşti, 2003 Anghelache C., Tratat de statistică teoretică şi economică, Ed. Economică, Bucureşti, 2008 Balteş N.(coord.), Analiza economico-financiară a întreprinderii, Ed. Universită ii „Lucian Blaga" din Sibiu, 2003 Banca Centrală a Maltei, ianuarie 2011, A structural macro-econometric model of the Maltese economy, disponibil la adresa: http://www.centralbankmalta.org/updates/Downloads/pdfs/econometric_model.pdf (accesat iunie 2011) Begu L.S., Statistică şi software statistic, Ed. Claudet, 1999 Bianchi C., Brillet J.L., Panattoni L, Uncertainty and Stability in a Macro-Econometric Model, Annales d-Economie et de Statistique, no 6/7, 1987 disponibil la adresa: http://annales.ensae.fr/anciens/n0607/vol67-16.pdf (accesat mai 2011) Biji E.M, Lilea E., Roşca E., Vătui M., Statistica pentru economişti, Ed. Economică, Bucureşti, 2010 Bucur I., Macroeconomie, Ed. C.H. Beck, Bucureşti, 2010 Cenuşă Gh., Săcuiu I., Burlacu V., Teoria probabilită ilor şi statistică matematică, Bucureşti, Ed. ASE, 1999 Constantin D. L., Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998 Enache C., Mecu C., Economie politică 1 şi 2, edi ia a VII-a, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2009 Fair R., Using a Macroeconometric Model to Analyze the 2008–2009 Recession and Thoughts on Macroeconomic Forecastability, martie 2009, disponibil la adresa: http://fairmodel.econ.yale.edu, (accesat iulie 2011) Gavrilă I., Ghi ă P.T., Ni escu D., Popescu C., Economie. Aplica ii. Teste. Probleme. Răspunsuri, edi ia a V-a, revizuită şi îmbunătă ită, Ed. Economică, Bucureşti, 2003 Gâf-Deac I., Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007 Greene W. H., Econometric Analysis, edi ia a 4-a, Prentice Hall International, 2000 Griffiths W. E., Hill R. C., Judge G. G., Learning and Practicing Econometrics, New York, John Wiley& Sons, 1993 Hymans, S. H., Forecasting and Econometric Models. The Concise Encyclopedia of Economics, 2008, disponibil la adresa: http://www.econlib.org/library/Enc/ForecastingandEconometricModels.html (accesat septembrie 2011) Iacob Patache L., Pia a muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Ed. Universitară, Bucureşti, 2010 Jula D., Introducere în Econometrie, Ed. Profesional Consulting, Bucureşti, 2003 Kennedy P., A Guide to Econometrics, edi ia a 5-a, Cambridge: MIT Press, 2003 Klein L. R. (coord.), Comparative Performance of U.S. Econometric Models. Oxford: Oxford University Press, 1991 Lapin L. L., Statistics for Modern Business Decisions, Harcourt Brace Iovanovich Publishers, N.Y., 1987 Leontief, W.W., Input-Output Economics, Oxford University Press, 1966 Lucey T., Tehnici cantitative. Quantitative techniques, Ed. Tehnică, Bucureşti, 2001 Novotorov A. V., Brikach G. E., New Model of Forecasting Commodity Prices for Farmers. Insights to Changing World Journal. June, 2008 disponibil la adresa: http://www.franklinpublishiihg.net (accesat august 2011)
100 Patache L., Evolu ia câştigului salarial prin prisma modelului unifactorial, Vol. Educa ie şi cercetare în spa iul comun european al învă ământului superior/ Ed. Ex Ponto, vol.1, pp.118-127, 2010 Patache L., Reflec ii asupra convergen ei – sigma la nivelul României sub inciden a politicii regionale de coeziune a Uniunii Europene, vol. „Sub semnul creativită ii şi inova iei”, Ed. Europolis, Constan a, 2009 Patache L., Foresight over the evolution of the employment from Constantza County, in 2009-2013 period, Editura Muntenia, 2008 Patache L., Foresight over the evolution of the employment from Tulcea County, in 2009-2013 period, Editura Muntenia, 2008 Pearson E.S., Hartley H.O., Biometrika Tables for Statisticians, vol.I, Londra, Cambridge University Press, 1966 Pecican E. Şt., Tănăsoiu O., Iacob A. I., Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001 Pecican E. Şt., Econometrie, Ed. All, Bucureşti, 1994 Pecican E. Şt., Econometrie ed.a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colec ia Oeconomica, Bucureşti, 2006 Pivodă D., Analiza şi actualizarea la infla ie, Ed. Economică, Bucureşti, 2001 Popescu T., Serii de timp-aplica ii în analiza sistemelor, Bucureşti, Editura Tehnică, 2000 Ra iu-Suciu C., Luban F., Hîncu D., Ciocoiu N, Modelare economică, edi ia a 2-a, Ed. ASE, 2009 Samuelson P., Nordhaus D., Economie politică, Ed. Teora, 2000 Shumway R. H., Stoffer D.S., Time Series Analysis and Its Applications: With R Example, edi ia a treia, Springer Texts in Statistics, 2010 Taşnadi Al., Econometrie, Ed. ASE, Bucureşti, 2005 Tănăsoiu O., Iacob A., Econometrie. Studii de caz, Ed. ASE, Bucureşti, 1998 Zadeh L.A., Polak E., Teoria sistemelo”, Editura Tehnică, Bucureşti,1973 Zaman G., Econometrie, Ed. Pro Democra ia, Bucureşti, 1998
101 ANEXA 1 Distribu ia F Tabelul con ine valorile F corespunzătoare ariei indicată pe grafic, definită de o pereche de grade de libertate. Valorile F sunt tipărite cu caractere sub iri, iar valorile α sunt redate cu caractere îngroşate. Numărul de grade de libertate ale numărătorului mediei pătratice este înregistrat în capul coloanelor, iar numărul de grade de libertate de la numitorul mediei pătratice este pe linii.
102 continuare ANEXA 1
103 continuare ANEXA 1
104 continuare ANEXA 1
105 continuare ANEXA 1
106 continuare ANEXA 1
107 continuare ANEXA 1
108 ANEXA 2
109 continuare ANEXA 2

More Related Content

PPT
Curs 01 econometrie - introducere
bySuciu Bogdan
 
PPT
Curs10 econometrie ipoteze dv 2013
bySuciu Bogdan
 
PPT
Curs11 econometrie ipoteze_dv
bySuciu Bogdan
 
PPT
Curs 2. econometrie (2)
bySuciu Bogdan
 
PDF
ảNh hưởng của hệ thống kiểm soát nội bộ và công nghệ thông tin đến hiệu quả q...
bynataliej4
 
PDF
Đề tài: Kiểm soát bội chi ngân sách nhà nước ở nước ta, HAY
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PPTX
Sistemul financiar
byRodica B.
 
PDF
Bài Giảng Tổ Chức Công Tác Kế Toán
bynataliej4
 
Curs 01 econometrie - introducere
bySuciu Bogdan
 
Curs10 econometrie ipoteze dv 2013
bySuciu Bogdan
 
Curs11 econometrie ipoteze_dv
bySuciu Bogdan
 
Curs 2. econometrie (2)
bySuciu Bogdan
 
ảNh hưởng của hệ thống kiểm soát nội bộ và công nghệ thông tin đến hiệu quả q...
bynataliej4
 
Đề tài: Kiểm soát bội chi ngân sách nhà nước ở nước ta, HAY
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Sistemul financiar
byRodica B.
 
Bài Giảng Tổ Chức Công Tác Kế Toán
bynataliej4
 

What's hot

DOCX
Nhân Tố Ảnh Hưởng Đến Hành Vi Sử Dụng Hệ Thống Thông Tin Kế Toán
byViết Thuê Luận Văn Luanvanpanda.com
 
DOC
Luận văn: Các nhân tố ảnh hưởng đến độ tin cậy của Báo cáo tài chính, HAY
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PPT
Slide+kiem+toan
byChris Christy
 
DOC
Bảng các thông số trong hồi quy eview
bythewindcold
 
PDF
Các mô hình hồi qui 1
byCẩm Thu Ninh
 
DOC
BÀI MẪU Luận văn: Sự hài lòng của người nộp thuế, HAY
byViết Thuê Khóa Luận _ ZALO 0917.193.864 default
 
PDF
Luận án: Phát triển giao thông nông thôn vùng ĐB sông Hồng, HAY
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
PDF
Hoàn thiện công tác kế toán bán hàng và xác định kết quả bán hàng tại công ty...
byNOT
 
DOCX
Licenta final rentabilitate
byAndradaTanase
 
PDF
Gestiunea financiara a intreprinderii
byvasileaida
 
DOC
Bài giảng Tài chính công - Cao đẳng tín chỉ - CND
byHuyền Anh
 
DOC
Hoàn Thiện Công Tác Kế Toán Bán Hang Và Kế Toán Nợ Phải Thu Tại Công Ty Tnhh ...
byNhận Viết Thuê Đề Tài Zalo: 0934.573.149
 
PPT
Ch.9 chinh sach nk-p1-hang bookbooming
bybookbooming
 
PPTX
Monarhia in romania
byAlinaMihaela30
 
PDF
Tiểu luận hiệp hội các nước đông nam á_Nhận làm luận văn Miss Mai 0988.377.480
byNguyễn Thị Thanh Tươi
 
PDF
Bài tập môn nguyên lý kế toán
byHọc Huỳnh Bá
 
DOC
Bai giang kinh te vĩ mo (2)
byGia Đình Ken
 
DOC
Ly thuyet kiem toan
byleehaxu
 
PDF
Phương thức bán hàng và phương thức thanh toán trong kế toán
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
DOCX
Cách lập sổ chi tiết vật liệu
bythosan999
 
Nhân Tố Ảnh Hưởng Đến Hành Vi Sử Dụng Hệ Thống Thông Tin Kế Toán
byViết Thuê Luận Văn Luanvanpanda.com
 
Luận văn: Các nhân tố ảnh hưởng đến độ tin cậy của Báo cáo tài chính, HAY
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Slide+kiem+toan
byChris Christy
 
Bảng các thông số trong hồi quy eview
bythewindcold
 
Các mô hình hồi qui 1
byCẩm Thu Ninh
 
BÀI MẪU Luận văn: Sự hài lòng của người nộp thuế, HAY
byViết Thuê Khóa Luận _ ZALO 0917.193.864 default
 
Luận án: Phát triển giao thông nông thôn vùng ĐB sông Hồng, HAY
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Hoàn thiện công tác kế toán bán hàng và xác định kết quả bán hàng tại công ty...
byNOT
 
Licenta final rentabilitate
byAndradaTanase
 
Gestiunea financiara a intreprinderii
byvasileaida
 
Bài giảng Tài chính công - Cao đẳng tín chỉ - CND
byHuyền Anh
 
Hoàn Thiện Công Tác Kế Toán Bán Hang Và Kế Toán Nợ Phải Thu Tại Công Ty Tnhh ...
byNhận Viết Thuê Đề Tài Zalo: 0934.573.149
 
Ch.9 chinh sach nk-p1-hang bookbooming
bybookbooming
 
Monarhia in romania
byAlinaMihaela30
 
Tiểu luận hiệp hội các nước đông nam á_Nhận làm luận văn Miss Mai 0988.377.480
byNguyễn Thị Thanh Tươi
 
Bài tập môn nguyên lý kế toán
byHọc Huỳnh Bá
 
Bai giang kinh te vĩ mo (2)
byGia Đình Ken
 
Ly thuyet kiem toan
byleehaxu
 
Phương thức bán hàng và phương thức thanh toán trong kế toán
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Cách lập sổ chi tiết vật liệu
bythosan999
 

Similar to Econometrie note

PPTX
Tema nr. 10. _Creșterea economică (1).pptx
byNeteduLuminia
 
PDF
Statistica si analiza economica - manual
byRodica B
 
DOCX
Tema 2.docx
byCorinaOnica
 
PDF
memorator-economie-indicatori_simboluri_formule.pdf
byssuserce6aa4
 
DOCX
Microeconomie
byartafarm
 
PPT
SCN.Rez.Macro.19 - 20 XI.ppt
byBogdu1
 
PPT
indicatorii de masurare a rezultatelor la nivel macro
byBogdu1
 
PPT
Tema la economie foarte importantă de facut 1.ppt
byDariusDobrete
 
PPT
Tema 1 - Economia ca stiinta.pptggggfffff
byDariusDobrete
 
PPT
Analiza economico-financiara
byRodica B.
 
PPTX
Evidenta economica, etaloane
byRodica B.
 
PPT
Economie Generala I
byDaniel Bokor
 
RTF
Notiuni fundamentale de economie introducere in management si marketing
byslevioana
 
PDF
Metode si tehnici de previziune
byOana Elena
 
PPTX
Prezentare Ulian Silvia Karin
bySilvia Karin Ulian
 
PDF
Economie (1 oră/săptămână)
byColegiul Național Alexandru Odobescu
 
PPTX
Veniturile
byDiiuța Diia
 
DOCX
Proiect econometrie
byAdriana Sescu
 
PPT
CreşTerea şI Dezvoltarea Economică
byguestc3bede
 
PPTX
Economie
byColegiul Național Alexandru Odobescu
 
Tema nr. 10. _Creșterea economică (1).pptx
byNeteduLuminia
 
Statistica si analiza economica - manual
byRodica B
 
Tema 2.docx
byCorinaOnica
 
memorator-economie-indicatori_simboluri_formule.pdf
byssuserce6aa4
 
Microeconomie
byartafarm
 
SCN.Rez.Macro.19 - 20 XI.ppt
byBogdu1
 
indicatorii de masurare a rezultatelor la nivel macro
byBogdu1
 
Tema la economie foarte importantă de facut 1.ppt
byDariusDobrete
 
Tema 1 - Economia ca stiinta.pptggggfffff
byDariusDobrete
 
Analiza economico-financiara
byRodica B.
 
Evidenta economica, etaloane
byRodica B.
 
Economie Generala I
byDaniel Bokor
 
Notiuni fundamentale de economie introducere in management si marketing
byslevioana
 
Metode si tehnici de previziune
byOana Elena
 
Prezentare Ulian Silvia Karin
bySilvia Karin Ulian
 
Economie (1 oră/săptămână)
byColegiul Național Alexandru Odobescu
 
Veniturile
byDiiuța Diia
 
Proiect econometrie
byAdriana Sescu
 
CreşTerea şI Dezvoltarea Economică
byguestc3bede
 
Economie
byColegiul Național Alexandru Odobescu
 

Econometrie note

  • 1.
    Patache Laura ECONOMETRIE Note decurs Constan a - 2011
  • 2.
  • 3.
    3 CUPRINS CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA:ISTORIC ŞI CONCEPTE................................................ 5 1.1. Defini iile econometriei ................................................................................................ 5 1.2. No iuni şi concepte fundamentale ale econometriei....................................................... 7 1.3. Elemente fundamentale privind erorile econometrice.................................................. 13 1.4. Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiin elor economice ....................................... 14 CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI ........ 16 2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric................... 17 2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor ........................................................................... 17 2.1.2 Firma privită ca sistem................................................................................................ 24 2.1.3 Legăturile sistemului econometric cu mediul exterior ................................................. 25 2.2. Comportamentul econometric al firmei....................................................................... 25 2.2.1 Interven ia de reglare prin compensare........................................................................ 26 2.2.2 Modelul „intrări – proces - ieşiri” al produc iei (input-output)..................................... 26 2.2.3 Importan a conceptului de sistem managerial econometric.......................................... 27 2.3. Situa ia decizională econometrică ............................................................................... 27 CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE……………………………………………………………………………………30 3.1. Dependen e şi interdependen e între fenomenele economice în tabloul econometric.... 30 3.2. Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie ..................................... 35 3.2.1 Modele econometrice liniare....................................................................................... 36 3.2.2 Modele econometrice neliniare ................................................................................... 36 3.2.3 Modele unifactoriale................................................................................................... 36 3.2.4 Modele multifactoriale................................................................................................ 36 3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecua ie şi cu ecua ii multiple................................. 37 3.2.6 Modele econometrice euristice sau ra ionale şi modele decizionale sau opera ionale... 37 3.2.7 Modele statice şi modele dinamice.............................................................................. 38 3.2.8 Modele econometrice par iale şi globale (agregate)..................................................... 38
  • 4.
    4 CAPITOLUL 4. MODELULUNIFACTORIAL.................................................................... 40 4.1. Definirea şi identificarea unui model unifactorial........................................................ 40 4.2. Estimarea parametrilor modelului unifactorial............................................................. 45 4.3. Ipotezele modelului liniar ........................................................................................... 53 4.4. Verificarea ipotezelor modelului liniar........................................................................ 55 4.5. Verificarea semnifica iei estimatorilor parametrilor modelului econometric................ 67 4.6. Evaluarea modelului de ajustare.................................................................................. 68 4.7. Cea mai bună regresie................................................................................................. 71 CAPITOLUL 5. APLICA II ŞI PROBLEME ....................................................................... 73 5.1. Instrumente Excel - Regression................................................................................... 73 5.2. Aplica ii practice......................................................................................................... 75 5.3. Probleme rezolvate ..................................................................................................... 81 5.4. Probleme de rezolvat .................................................................................................. 90 5.5. Grile de întrebări......................................................................................................... 92 BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………...99 ANEXE
  • 5.
    5 CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA:ISTORIC ŞI CONCEPTE 1.1. Defini iile econometriei Un an de referin ă pentru istoricul Econometriei se consideră a fi anul 1930 când la Cleveland s-a înfiin at Societatea de Econometrie (Econometric Society), avându-i ca ini iatori pe: Irving Fischer – preşedinte, L. V. Bortkiewicz, R. Frisch, H. Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi al ii. Mul i dintre preşedin ii acestei societă i au fost laurea i ai premiului Nobel de-a lungul anilor, precum: K. Arrow, G. Debreu, R. Frisch, T. Haavelmo, L. Klein, T. Koopmans, W. Leontief, R. E. Lucas, Jr., J. Mirrlees, F. Modigliani, P. Samuelson, R. Solow, J. Tinbergen, şi J. Tobin. Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut revista acestei societă i, „Econometrica”, care a apărut trimestrial, începând din ianuarie 1933 şi începând cu anul 1970 emite 6 numere pe an. (pentru detalii pute i accesa http://www.econometricsociety.org) Studierea cantitativă a fenomenelor economice este mult mai veche. Printre precursorii econometriei moderne amintim: F. Quesnay1 , W. Petty2 , Gregory King, A. Cournot, Leon Walras, E. Engel, A. Marshall, R. A. Fisher, K. Pearson şi al ii. Econometria este o disciplină economică de frontieră apărută în domeniile de interferen ă ale teoriei economice, statisticii şi matematicii. Informa ia receptată prin intermediul sim urilor determină universul mental. Metodele statistice şi econometrice exploatează informa iile culese în scopul „obiectivizării” spa iului mintal. Dacă spa iul fizic este limitat la trei dimensiuni, cel mental are proprietatea unei dimensiuni nelimitate, de aceea percep iile noastre sunt diferite, ele fiind consecin a proceselor psihice sub impactul dorin elor, intereselor, aspira iilor etc., astfel: „Lumea exterioară n-ar putea exista fără universul mental care o percepe, iar, în schimb, universul mental îşi împrumută imaginile de la percep ii”3 . Etimologic, termenul de econometrie provine din cuvintele greceşti: eikonomia (economie) şi metren (măsură). El a fost introdus (1926) de către Ragnar A.K. Frisch4 , economist 1 Francois Quesnay (1694 - 1774) a fost economist francez al şcolii fiziocrate. În 1758 a publicat Tableau économique creat pe bazele gândirii fiziocrate marcând, astfel, o prima fază de abordare a economiei în sens analitic. 2 Sir William Petty (1623 - 1687) a fost economist şi filosof englez. El a dezvoltat metode eficiente pentru studiu pământului, în contextul în care acest pământ era confiscat şi dat soldaților lui Oliver Cromwell. A avut contribuții însemnate în teoria fiscalității, teoria monetară, diviziunea muncii şi conturile de venituri. Amintim câteva dintre lucrările sale: A Treatise of Taxes and Contributions (1662); Political Arithmetic posthum. (approx. 1676, pub. 1690); Verbum Sapienti posthum. (1664, pub. 1691); Political Anatomy of Ireland posthum. (1672, pub. 1691); Quantulumcunque Concerning Money posthum. (1682, pub. 1695). 3 P. Culiano, Out of this world, Shambhala Publications, Inc., Boston & London, 1991, citat de Tudorel Andrei, Regis Bourbonnais, în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, pag.20 4 Ragnar Anton Kittil Frisch (1895-1973), economist norvegian cu domenii de studiu econometria şi teoria produc iei a ob inut Premiul Nobel pentru Economie în anul 1969. Amintim următoarele lucrări ale sale: Kvantitativ formulering av den teoretiske økonomikks lover [Quantitative formulation of the laws of economic theory](1926);
  • 6.
    6 şi statistician norvegian,prin analogie cu termenul „biometrie”, folosit de Fr. Galton şi K. Pearson la sfârşitul secolului al XIX-lea, care desemna cercetările biologice care utilizau metodele statisticii matematice. Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor defini ii cu privire la domeniul acestei discipline economice.5 Există mai multe categorii de defini ii: a) defini ia istorică; b) defini ia restrictivă; c) defini ia extinsă. Defini ia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei „Econometrica” (ianuarie 1933): „în elegerea efectivă a realită ilor constitutive din economie prin unificarea temei economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice”.6 Defini ia restrictivă (cvasi-stabilă) a econometriei propusă de Cowles Commission for Research in Economics (Chicago, 1940-1950), consideră că există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stocastice). Sus inătorii acestei defini ii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele induc iei statistice (teoria estima iei, verificarea ipotezelor statistice) la verificarea rela iilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele economice cercetate. Conform acestor defini ii, un studiu econometric presupune: existen a prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat; posibilitatea aplicării metodelor induc iei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice; construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia. Această defini ie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările economice care nu se fundamentează pe: o teorie economică – implicită sau explicită privind modelul econometric al fenomenului, procesului sau sistemului studiat; o interpretare aleatoare a modelului respectiv. Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief (Balan a Legăturilor între Ramuri – B.L.R.7 ) ca şi statistica economică (care se fundamentează pe metoda balan elor) nu intră în "Sammenhengen mellem primærinvestering og reinvestering [The relationship between primary investment and reinvestment]"(1927) şi "Correlation and scatter in statistical variables" (1929). 5 Vezi Eugen Ştefan Pecican, Econometrie edi ia a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colec ia Oeconomica, Bucureşti, 2006; Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007 şi al ii 6 R. Frisch citat de Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.15 7 Balan a legăturilor dintre ramuri − BLR − este un model matematic de structură ce oglindeşte trăsăturile esen iale ale reproduc iei, reflectă dezvoltarea economiei na ionale de ansamblu şi, separat, pe ramurile acesteia, conexiunile existente în economie, eviden iază fluxurile de bunuri ce au loc în procesul reproduc iei, ca urmare a legăturilor dintre ramuri, propor iile ce se formează în economia na ională. Preocupat de problema echilibrului economic în contextul crizei mondiale, economistul Wassily Leontief a început, în anul 1931, activitatea de cercetare a legăturilor de produc ie dintre ramurile economiei americane. El divizează economia na ională pe ramuri ale produc iei, ramuri pe care le pune fa ă în fa ă (pe de o parte, producătoare, pe de altă
  • 7.
    7 sfera de cuprinderea econometriei: prima, deoarece existen a unei teorii economice nu este necesară, iar ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea metodelor induc iei statistice. Defini ia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ările anglo-saxone, ine seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării opera ionale: teoria optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor, teoria jocurilor etc. Prin econometrie, în sensul larg al termenului, se în elege econometria, definită în mod restrictiv, adică, include domeniile men ionate atunci când ea este în eleasă în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării opera ionale. În prezent, în domeniul econometriei se includ şi tehnicile moderne de analiză a datelor sau analiza marilor tabele. Deoarece încă nu s-a cristalizat o concep ie unitară privind „frontierele” econometriei, în manualele sau tratatele de econometrie, autorii, de regulă, îşi men ionează concep ia pe baza căreia şi-au structurat lucrările. În ara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se fac precizări exprese, cât şi prin structura planurilor de învă ământ de la facultă ile economice, econometria este concepută şi aplicată ca metodă generală de investigare cantitativă a fenomenelor şi proceselor economice – adică, în accep iunea largă a termenului. 1.2. No iuni şi concepte fundamentale ale econometriei Metoda modelelor sau metoda modelării reprezintă principalul instrument de investigare econometrică a fenomenelor econometrice. Dar, modelarea sau metoda modelelor nu constituie o noutate în ştiin a economică. Tabloul economic al economistului fiziocrat F. Quesnay (1738), legile lui Engel (1857), coeficientul de elasticitate formulat de Marshall (1890) reprezintă momente istorice de la care cercetarea economică trece de la etapa descriptivă la etapa de explicare formală a cauzelor şi formelor de manifestare ale fenomenelor economice. Modelele sunt reprezentări ale sistemelor care pot fi studiate fără ca sistemele să fie atinse fizic, social şi economic. Există trei clase mari de modele: iconice, analogice şi analitice. Cele iconice sunt modele vizuale ale obiectivelor reale pe care le reprezintă şi se folosesc cu predilec ie în arhitectură, redând, la scară: clădiri, cartiere, porturi, centrale electrice, aeroporturi ş.a.m.d.. Modelele analogice sunt utilizate mai rar. Ele reproduc fenomene din anumite domenii apelând la tehnici din alte domenii, prin analogie. De exemplu, circuitul monetar na ional se poate reda printr-un sistem hidraulic cu pompe, conducte şi recipiente astfel încât să poată fi examinată circula ia unui lichid, reprezentând fluxul bănesc. Se pot face experimente pe astfel de modele accelerând sau frânând circula ia prin manipularea de robinete sau vane cu care sistemul de conducte este echipat. Aceste modele sunt, evident, mai scumpe decât modelele analitice datorită construc iilor speciale şi proceselor tehnice la care se apelează. În vederea realizării unor scenarii privind evolu ia ocupării în zonă, am recurs la modelarea analitică, specifică activită ii de management. Aceste modele apelează, de regulă, la formule matematice. Cele mai cunoscute modele analitice sunt modelele cercetărilor opera ionale dintre care: programarea liniară, parte, consumatoare pentru a putea produce), oferind, astfel, posibilitatea relevării interdependen elor dintre ele. Balan ele, BLR, pot avea caracter statistic sau previzional, pot fi elaborate în expresie fizică sau valorică, sunt modele statice sau dinamice. (vezi Caracotă D. şi Caracotă C., Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi competitive, Capitolul 5: Analiza input-output, disponibilă la adressa: http://www.biblioteca- digitala.ase.ro/biblioteca/pagina2.asp?id=cap5)
  • 8.
    8 programarea dinamică, programareastocastică, modele de stocare, modele cu fenomene de aşteptare, lan uri Markov ş.a.. Întrucât modelarea, şi în special cea analitică, se realizează prin simplificarea realită ii, există posibilitatea ca această simplificare să afecteze precizia redării faptelor. În consecin ă, luarea oricărei decizii bazate pe modelare implică un anumit grad de risc. De aceea, atunci când se aplică, este necesar ca modelele să fie validate artificial, anterior aplicării practice. Chiar şi în aceste condi ii, este recomandat ca asociat deciziei care se ia în urma folosirii unui model, să se calculeze riscul aferent astfel încât aplicarea deciziei în prezen a riscului să fie eficientă economic. Abilitatea de a construi modele prin care să se reprezinte tot mai adecvat sistemele la care se referă, a crescut considerabil în ultimele decenii, atât ca urmare a dezvoltării cercetărilor opera ionale care pun la dispozi ie tot mai multe tipuri de modele sub formă prefabricată, cât şi, datorită posibilită ilor de a apela la o tehnică de calcul tot mai performantă pentru testarea validită ii şi rezolvării modelelor. Concomitent cu progresele şi facilită ile oferite de ştiin ă şi tehnologie, se lărgeşte şi gama complica iilor care limitează modelele, astfel: se reduc resursele naturale, popula ia globului creşte, se accentuează globalizarea, preten iile cresc în toate domeniile vie ii ş.a.m.d.. 8 În general, modelul reprezintă un instrument de cercetare ştiin ifică, o imagine conven ională, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării. Fiind o construc ie abstractă, în care se neglijează proprietă ile neesen iale, modelul este mai accesibil investiga iei întreprinse de subiect, aceasta fiind una din explica iile multiplelor utilizări pe care modelul le are în epoca contemporană. Utilizat în economie, modelul - imagine abstractă, formală a unui fenomen, proces sau sistem economic – se construieşte în concordan ă cu teoria economică, rezultând modelul economic. Modelul economic, reproducând în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat, prin transformarea sa în model econometric, devine un obiect supus cercetării şi experimentării (verificării), de la care se ob in informa ii noi privind comportamentul fenomenului respectiv. În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de modelele economice care explică structura fenomenului sau procesului economic de pe pozi ia teoriei economice, au întotdeauna o finalitate practică, opera ională, ele devenind instrumente de control şi dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice. Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi: a) variabile economice; b) variabila eroare (aleatoare), u; c) variabila timp, t. a) Variabilele economice, de regulă, se împart în: variabile explicate, rezultative sau ENDOGENE, Yi , i= , şi variabile explicative, factoriale sau EXOGENE, Xj, j = independente de variabilele endogene Yi . unde: n = numărul variabilelor rezultative; k = numărul variabilelor factoriale. 8 Laura Iacob Patache, Pia a muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Editura Universitară, Bucureşti, 2010, 152 şi urm.
  • 9.
    9 În cazul modelelorde simulare sau de prognoză, variabilele Xj se mai împart în: variabile exogene predeterminate (variabile de stare a sistemului – capacitatea de produc ie a unei întreprinderi, sau cu lag – xt-1, yt-1) şi variabile instrumentale sau de comandă economică (dobânda, impozitul pe profit etc.) b) Variabila aleatoare, u, sintetizează ansamblul variabilelor, cu excep ia variabilelor Xj, care influen ează variabila endogenă Yi, dar care nu sunt specificate în modelul econometric. Aceste variabile (factori), pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt considerate factori întâmplători (neesen iali), spre deosebire de variabilele Xj, care reprezintă factorii determinan i (esen iali) ai variabilei Yi. De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de măsură – erori întâmplătoare şi nu sistematice – con inute de datele statistice privind variabilele economice. Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila aleatoare „u” urmează o lege de probabilitate L(u), în acest scop formulându-se o serie de ipoteze statistice cu privire la natura distribu iei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu teste statistice adecvate fiecărei ipoteze. c) Variabila timp, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice. Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă (economică), se recurge la această variabilă explicativă (fictivă) din două motive: în primul rând, timpul, ca variabilă econometrică, permite identificarea unor regularită i într-un proces evolutiv, ceea ce constituie un prim pas spre specificarea precisă a unor variabile care ac ionează în timp; în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor variabile care ac ionează asupra variabilei Y care, fiind de natură calitativă, nu pot fi cuantificate şi, ca atare, nici specificate în modelul econometric. Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie func ia de produc ie Cobb-Douglas cu progres tehnic autonom9 : (1.1) unde: Q = volumul fizic al produc iei; K = capitalul; L = for a de muncă; e = numărul natural; t = timpul; u = variabila aleatoare; A, α, (1-α) şi g = parametrii func iei, A este o constantă, α şi (1-α) reprezintă elasticitatea outputului în raport cu capitalul fix şi, respectiv, for a de muncă (cu cât creşte outputul dacă K, respectiv L cresc cu 1%): 9 Vezi, Daniela Lumini a Constantin, Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998, pag.164-167
  • 10.
    10 (1.2) (1.3) g este rataprogresului tehnic în perioada [0,t]. Sursa de date - Variabilele economice se introduc într-un model econometric cu valorile lor reale sau empirice (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unită ilor observate). Aceste valori ale variabilelor unui model se pot ob ine pe două căi: fie pe baza sistemului informa ional statistic (banca de date), fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor statistice. O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o reprezintă calitatea datelor statistice, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficien e, fiind compromis sub aspect opera ional. Deoarece problema autenticită ii datelor economice ine de domeniul statisticii economice, ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condi iile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune: o colectarea lor de la unită i statistice omogene; o reprezentarea aceloraşi defini ii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spa iu; o descrierea evolu iei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condi iile de desfăşurare a procesului analizat; o exprimarea variabilelor în aceleaşi unită i de măsură, condi ie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în pre uri comparabile sau pre uri reale. „Materia primă” pentru calcule economice o constituie seriile cronologice (serii de timp sau serii dinamice), mai rar seriile teritoriale, ale variabilelor economice respective, preluate sau construite pe baza băncii de date statistice existente. O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică: t 1 2... T xt x1 x2... xT yt y1 y2... yT În compara ie cu aceasta, o serie de spa iu rezultă prin observarea variabilelor Y şi X într-o anumită perioadă de timp - lună, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unită i socio- economice omogene, i= , n = numărul unită ilor de acelaşi profil, ce apar in aceluiaşi sector economic etc. O astfel de serie se prezintă, de regulă, sub următoarea formă: xi x1 x 2 … xn yi y1 y2 … yn
  • 11.
    11 Într-un model econometric,un fenomen economic X={xi}, i= , poate fi introdus cu următoarele valori: [1] Valori reale sau empirice, xi = (x1, x2,.., xn), valori exprimate în unită i de măsură specifice naturii fenomenului X, ele fiind mărimi concrete şi pozitive, deci apar in sistemului numerelor ra ionale. Vectorul valorilor lui X, xi = (x1, x2,.., xn), poate fi definit prin doi parametri: - media aritmetică a variabilei X - abaterea medie pătratică a variabilei X unde: = fiind dispersia variabilei. De obicei, se consideră că variabila X urmează o distribu ie normală de medie şi de abatere medie pătratică σx : L(x) = N( ,σx). [2]Valorile centrate : Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele apar in sistemului numerelor reale având atât valori pozitive cât şi negative. Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală cu zero, iar dispersia lor este egală cu dispersia valorilor reale: (1.6) = = = M(x2 ) (1.7) [3] Valori centrate şi normate sau abateri standard: Media şi dispersia acestor valori este: (1.8)
  • 12.
    12 = = (1.9) Înplus fa ă de aceste două proprietă i L( ) = N(0;1)10 , abaterile standard sunt mărimi abstracte (adimensionale). Aceste calită i conduc, atât la diminuarea calculelor statistice cu aceste valori, cât şi la efectuarea de compara ii între distribu iile mai multor fenomene economice de naturi diferite. Un model econometric poate fi format dintr-o singură rela ie sau dintr-un sistem de rela ii statistice. Aceste rela ii pot fi: rela ii de identitate sau deterministe, rela ii de comportament, rela ii tehnologice şi rela ii institu ionale. Rela iile de identitate sunt de tipul ecua iilor de balan ă folosite în „Sistemul de balan e ale economiei na ionale”. Rela iile de comportament sunt acele ecua ii stocastice care reflectă şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model macroeconomic, rela iile de comportament se referă la dependen e privind consumul, investi iile, importul şi exportul, sistemul de pre uri, cererea monetară etc. Rela iile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic privind produc ia cât şi rela iile tehnico-economice existente în produc ie, for a de muncă şi fondurile de produc ie ale unei unită i, ale unei ramuri sau ale economiei na ionale. Aceste rela ii tehnologice sunt reprezentate de cunoscutele func ii de produc ie de diferite tipuri. Rela iile institu ionale sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stocastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradi ie sau fie de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de exemplu, ecua iile care explică stabilirea impozitelor sau a cotiza iilor în func ie de venit. Tipologia modelelor econometrice este extrem de vastă. Totuşi, un model econometric poate fi construit prin intermediul unei singure ecua ii de comportament, tehnologice sau institu ionale, sau cu ajutorul unui sistem de ecua ii de genul celor patru rela ii, men ionate mai sus, denumite modele cu ecua ii multiple. Testele statistice11 sunt instrumente de lucru indispensabile investiga iei econometrice. Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul că demersul econometric constă într-o înşiruire logică de ipoteze privind semnifica ia variabilelor exogene, a calită ii estima iilor ob inute, a gradului de performan ă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t, testul F etc. Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă, în diverse domenii, se foloseşte frecvent un test denumit „testul erorii”. 10 Rela ia L(x**) = N(0;1) se citeşte: variabila x** = urmează legea de probabilitate normală având media egală cu zero iar abaterea medie pătratică este egală cu unu (legea normală, centrată şi redusă). 11 Vezi – ipoteză statistică, test, eroare de gradul 1 şi gradul 2, prag de semnifica ie, nivel de semnifica ie – Dic ionar statistic-economic, D.C.S., Bucureşti, 1969
  • 13.
    13 În general, aplicareaacestui test presupune compararea a două valori: 0 = valoarea observată sau estimată; T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată. Pe baza celor două valori se definesc: - eroarea absolută, = ; - eroarea relativă, = 100 . Se construiesc cele două ipoteze: H0: 0 ≈ T; H1: 0≠ T. Stabilindu-se arbitrar o valoare absolută (Ea) sau relativă (Er)12 de echivalare a celor două valori, (0) şi (T), regula de (alegere) decizie a celor două ipoteze este următoarea: este acceptată ipoteza H0 dacă Ea ≤ ea sau Er ≤ er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), sunt echivalente, adică diferen ele dintre ele sunt întâmplătoare şi nu sistematice; este acceptată ipoteza H1 dacă Ea > ea sau Er > er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), diferă semnificativ şi nu pot fi considerate ca echivalente, respectiv extrase din aceeaşi urnă sau dintr-o colectivitate omogenă. Acest test al erorii este utilizat în mod curent în domeniul analizei statistico-economice a varia iei în timp şi/sau în spa iu a unui fenomen economic, dar poate fi aplicat şi în domeniul econometriei, dar cu discernământ şi nu în mod excesiv. 1.3.Elemente fundamentale privind erorile econometrice Modelarea econometrică prezintă şi anumite limite. Astfel, un model econometric surprinde numai coordonatele principale ale evoluției unui fenomen economic, numai variabilele importante şi relațiile dintre acestea. Intr-adevăr modelul cuprinde şi influen a unei variabile reziduale, numai că, niciodată, nici un model, indiferent cât de performant ar fi el, nu poate copia întreaga realitate. Astfel, putem spune că de fiecare dată când elaborăm un model econometric luăm în calcul şi o anumită probabilitate. Erorile care apar au ca principale surse, pe lângă cele oferite de calculul probabilităților, şi erori care apar din comportamentul uman strict implicat în evoluția unui fenomen economic sau social. Acest aspect afectează eventualele previziuni şi simulări. Eroarea este definită ca diferen a dintre rezultatul x al măsurării (respectiv a eliminării neterminării) şi valoarea reală, adevărată, originară x0. (în cazul econometriei eroarea este numită şi eroare reală econometrică13 ) Cauzele apari iei erorilor în econometrie se regăsesc în insuficien a metodelor de măsurare, a celor de analiză şi interpretare sau calcul, respectiv în sfera subiectiv-umană prin care se percepe multi-variant, n-dimensional, fenomenul economic studiat. Rezolvarea erorilor con ine proceduri de revenire asupra determinărilor respective. 12 Un astfel de test şi criteriu de decizie se utilizează în comer ul cu produse îmbuteliate sau ambalate pentru care, de regulă, criteriul de decizie este de ± 5 % din volumul sau greutatea, T, a ambalajului. 13 vezi Ioan Gâf-Deac, 2007, p.77
  • 14.
    14 În prezent, nuputem concepe modelarea proceselor economice fără a apela la utilizarea unor pachete de programe care permit rezolvarea de ecuații simultane, efectuarea de previziuni, prelucrarea statistică a datelor, etc. Dintre acestea, cele mai des utilizate în econometrie sunt: Data Analysis din EXCEL, EVIEWS, SAS, SPSS, STATISTICA, MATLAB şi altele cu performan e diferite şi multiple. 1.4.Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiin elor economice Apari ia şi rapida afirmare a econometriei trebuie în eleasă şi explicată prin prisma raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între elementele acestui raport. Dezvoltarea continuă şi dinamică a for elor de produc ie sub impactul progresului ştiin ific şi tehnic modifică condi iile şi interdependen ele din produc ie, reparti ie, circula ie şi consum, ceea ce, pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea şi dirijarea evolu iei fenomenelor economico-sociale către anumi i indicatori intă, formula i şi urmări i de o anumită politică economică. Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a eficien ei metodelor de organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte, şi succesele metodelor statistico- matematice în alte domenii ale ştiin ei – fizică, chimie, astronomie etc. – pe de altă parte, au determinat adoptarea de către ştiin ele economice a acestor metode. Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de diversificare a ştiin ei economice, ci prin integrarea dintre teoriile economică, matematică şi statistică. În cadrul acestei triade, teorie economică - matematică – statistică, locul central îl ocupă teoria economică. Deşi, penetrarea ştiin ei economice de către metodele statistico-matematice reprezintă un progres calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă componenta lor cuantificabilă, con in aspecte care nu pot fi reprezentate prin cantitate. Aceste particularită i ale fenomenelor economice constituie, în general, limitele econometriei în sistemul ştiin elor economice. De remarcat că raporturile econometriei cu ştiin ele economice nu sunt numai de dependen ă. Într-adevăr, un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie economică a obiectului cercetat. Similitudinea sa formală cu obiectul economic investigat depinde de nivelul de abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi opera ională a no iunilor şi categoriilor economice, de scopurile urmărite de teoria economică - scopuri euristice sau de dirijare privind obiectul studiat. Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între teorie şi realitate. El reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de experimentare pe baza căruia ştiin a economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său de cercetare poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat în laborator. Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric, ştiin ele economice validează, renun ă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de semantică şi semiotică economică, îmbogă indu-şi în felul acesta sistemul de informa ii privind structura şi evolu ia obiectului economic. În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiin ele economice este extrem de vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a acestor modele la investigarea fenomenelor
  • 15.
    15 economice se datoreazăprogreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a parametrilor modelelor şi al testelor de verificare pe care se fundamentează acestea şi, nu în ultimul rând, al utilizării calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor mai complexe modele econometrice. Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele economice, este necesar să subliniem coresponden a dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea macro sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele simulării şi, mai ales, ale predic iei econometrice. Activitatea de previziune a economiei este aceea care „oferă” o serie de elemente utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de specificare a acestuia. În această etapă, previziunea defineşte variabilele endogene (rezultative) şi pachetul variabilelor exogene corespunzătoare obiectivelor urmărite în func ie de informa iile statistice existente. Econometria, la rândul ei, contribuie la ob inerea variantelor economice, oferind informa ii cu privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de ac ionare a pârghiilor economice. În acest fel, previziunii economice i se oferă o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferitele variante ale politicii economice care ar putea fi aplicate. Men ionăm, de asemenea, legătura econometriei cu sistemul financiar-contabil, domeniu în care modelarea pătrunde tot mai mult – vezi modelele ARCH. De asemenea, trebuie remarcat faptul că, la elaborarea modelelor econometrice, se recomandă, cu o tot mai mare insisten ă, introducerea rela iilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de semnificative pentru descrierea mecanismelor economice. Domeniul cooperării economice interna ionale, ca, de altfel, şi cel privind comer ul interior, domeniu în care previziunile sunt greu de realizat, altfel decât cu ajutorul metodelor statistice, reprezintă, de asemenea, sectoare ale economiei ce pot beneficia de rezultatele econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea activită ilor desfăşurate. Este totodată necesar să subliniem frecven a tot mai mare a aplicării metodelor econometrice în lucrări din domeniul biologiei, medicinii, demografiei şi, în special, în domeniul marketingului, managementului sau viitorologiei. În concluzie, se poate re ine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau metoda modelelor. Modelul econometric – expresie formală, inductivă a unei legită i economice – reprezintă un mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este o metodă care conduce la ob inerea de cunoştin e sau informa ii noi privind starea, structura (conexiunile dintre elemente) şi evolu ia unui proces sau sistem economic.
  • 16.
    16 CAPITOLUL 2. BAZELEECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI Diferitele situa ii ce reflectă realită ile dintre variabile se regăsesc în exprimări teoretice economice. În practică apar însă cerin e ce vizează necesitatea cunoaşterii mărimii relative a parametrilor dintre variabile. Totodată, aspectele teoretice enun ate sau formulate într-un anume con inut trebuie testate, pentru ca într-o etapă imediată, rela iile confirmate să fie folosite pentru predic ii cantitative şi calitative. Paul Samuelson (1954) arăta că econometria este „aplicarea statisticii matematice pentru a furniza suport empiric modelelor construite cu ajutorul economiei matematice şi pentru a furniza estimări numerice”. Matematica, statistica şi economia în interferen ă dau atribut complex econometriei, preponderent fiind, aşa cum am mai spus, studiul cantitativ al realită ii micro sau macroeconomice. În sens extins, economia conferă lărgimea semnificativă a econometriei, respectiv limite extreme pentru ac iunile de măsurare ce pot prezenta interes decizional. Obiectul, domeniul şi metodele econometriei sunt subordonate manipulării sistemelor complexe, respectiv stabilirii elementelor decizionale, pentru managementul comportamentului productiv/reproductiv. Înregistrările statistice primare sunt urmate de evaluări intuitive, căutând legăturile între con inutul şi valoarea datelor provenite din observa ii, şi cele măsurate prin modelare. Astfel, se identifică raporturi structurale reale pe baze cauzale, deterministe. Unele valori din serie sunt determinate probabilistic pe baza valorilor precedente. Desluşind mecanismele de transformare a variabilelor între ele se pot preciza rela iile func ionale, aferente structurii reale a obiectului, procesului sau fenomenului economic studiat. Eviden ierea modului şi a formei sub care o variabilă influen ează altă variabilă reprezintă complexitatea de a ac iona a cercetării. De regulă, se urmăreşte reducerea pe cât posibil la rela ii de formă liniară. Prin demersuri econometrice, mecanismul de transformare este descompus până la ob inerea seturilor de date considerate a fi adevărate, atunci când se demonstrează verosimilitatea maximă a acestora. Între realitate şi model se înregistrează un anume izomorfism, în con inutul căruia persistă contradic ii între: 1) structura şi procesul economic cercetat 2) cauze şi manifestările stocastice, şi între 3) situa iile empirice şi cele reale-ra ionale. Constatarea de mai sus marchează diferen ele între econometrie şi economia matematică, respectiv între tratarea cantitativă, empirică a fenomenologiei şi statisticii problemei economice şi, respectiv, cercetarea ra ională a structurii şi cauzelor problemei economice.
  • 17.
    17 În sine, econometriaprin faptul că „măsoară”, deci induce cuantificări ale informa iilor, determină „cunoaştere”, în în eles general, cognitiv. Dintr-un model ra ional este posibilă construirea, deci generarea, unui model empiric, care „împinge” cunoaşterea în noi areale evolutive, cu ajutorul rezultatelor-imagini. Modelele econometrice reconstituie mecanismele economice în imagini, care sub procesări statistice duc la noi rezultate-imagini, folositoare managementului comportamentului sistemelor complexe. Modelele posibilită ilor sunt generate de statistici specifice, cu ajutorul cărora se experimentează întreg setul de modele alternative, până la stabilirea celui cu verosimilitate maximă. Statisticile reprezintă intrările (inputs) principale în procesele economice cercetate. Reductibilitatea poate afecta predic ia, în măsura în care concentrarea sau simplificările operate prin statistici pierd din calcule variabile cu poten ial permanent de influen ă. În fapt, econometria reprezintă o extensie sau o dezvoltare ulterioară a economiei matematice. Între micro şi macroeconomie sunt marcate raporturi dimensionale, respectiv este formalizat un dualism necontradictoriu. Aplicabilitatea modelelor econometrice este urmărită concomitent ca imagine – rezultat, în cele două niveluri, respectiv micro şi macroeconomic. Ajustarea ecua ională econometrică şi deopotrivă estimarea reprezintă proceduri sau instrumente de căutare a aliniamentelor de predic ie, cu grad cât mai înalt de verosimilitate. Ipotezele simplificatoare nu trebuie să influen eze tendin a de creştere a identificării verosimilită i. 2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric 2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor a) Defini ia sistemului Bertalamffy – părintele teoriei sistemice defineşte sistemul „ca un complex de elemente în interac iune”. În cadrul acestuia, interac iunea se conduce după principii ştiin ifice care ordonează şi face ca ansamblul, în general, să aibă tendin a optimizării permanente a activită ii lui. Pentru scopuri ştiin ifice şi practice sistemul se defineşte astfel: „este un grup, un complet, un ansamblu de elemente naturale şi artificiale, care generează scopuri comune (scopul comun care le reuneşte)”. Sistemul organiza iei sociale este cea mai complexă categorie de sistem; în cadrul acestuia are loc fenomenul de conducere. Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o defini ie mai largă a acestuia: „un ansamblu organizat, o clasă de fenomene care satisfac următoarele exigen e: - să se poată specifica un set, o mul ime de elemente identificabile; - să existe rela ii identificabile cel pu in între unele dintre ele; - anumite rela ii să implice alte rela ii (lan ul infinit de rela ii);
  • 18.
    18 - un complexde rela ii, la un timp dat implică un anume complex la un timp următor, aspect ce pune în eviden ă dinamica sistemului.” Structural, sistemele se referă la reunirea păr ilor specifice, din rândul cărora enumerăm: b) Componentele sistemului econometric. Acestea sunt reprezentate de elemente şi conexiuni. Elementul este o calitate (un obiect, un proces, „ceva”) dintr-un fenomen, care este privit ca parte nesupusă analizei. Elementele fixează limitele infinitului din orice concret. Conexiunea este un anumit raport între elemente, care le reuneşte în cadrul func ionării sistemului. Conexiunile pot fi: legături cauzale, de coordonare a func iilor, succesiunii sau simultaneită ii, raporturi de subordonare (fără a fi rela ii cauzale) ş.a. Conexiunile stabilesc limitele sintezei anumitor păr i ale unui fenomen economic în sistem. Pe lângă conexiunile interne dintre elementele sistemului există şi conexiuni externe (legături cu alte sisteme). Sistemele, în realitate, nu există; ele se construiesc în scopul cunoaşterii şi reprezintă o ordonare ce răspunde unui anumit scop epistemologic. La definirea unui sistem econometric este necesară o informa ie prealabilă despre fenomenul studiat şi o formulare foarte riguroasă şi precisă a obiectului cercetării economice. În raport cu el însuşi, sistemul econometric are o structură, stare, repertoare, calendarul şi transformarea. Structura este o ordine relativ stabilă, calitativ determinată a conexiunilor dintre elementele sistemului (structura se mai numeşte şi organizare econometrică). Starea sistemului este definită de mul imea de valori pe care o au variabilele ce caracterizează conexiunile la un moment dat. Transformarea este o trecere de la o stare la alta. Dacă sistemul econometric ac ionează în scopul realizării transformării el se numeşte operator. Dacă sistemul se transformă, el se numeşte operant. Rezultatul oricărei transformări se numeşte imagine econometrică. Repertoarul reprezintă mul imea stărilor posibile ale sistemului econometric într-o perioadă (O-T). Calendarul reprezintă mul imea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică în (O-T). Orice sistem econometric este definit univoc în timp şi spa iu. c) Rela iile sistemului econometric cu mediul exterior În raport cu mediul, sistemul econometric apare ca o incluziune şi are o intrare, o ieşire, o comportare şi o func ie. Conceptul de incluziune semnifică faptul că orice sistem se poate încadra într-o structură mai largă. Limitele unui sistem econometric sunt relative. Sistemele econometrice sunt în toate cazurile deschise (nu pot func iona decât în universul ce le înconjoară, ca o incluziune a acestuia şi aşa cum cere acesta). Pentru a analiza un fenomen economic ca sistem, acesta trebuie să fie separat de alte fenomene, individualizat ca un lucru independent (relativ), definit riguros şi univoc.
  • 19.
    19 Numai astfel sistemuleconometric devine un câmp, un spa iu obiectiv şi structurat pentru cercetarea problemei economice de interes (fenomenul econometric în cazul de fa ă). Pentru a defini un proces, un obiect sau un fenomen economic ca sistem, el trebuie separat şi opus restului „lumii”, trebuie să i se cunoască grani ele. Intrarea apare ca un dispozitiv ce recep ionează ac iunile exterioare, format din elemente identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recep ionează informa ii (intrarea este informa ională în econometrie). Intrarea mai este definită şi drept capacitatea de a recep iona informa ii exterioare, sau orice ac iune informa ională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior ac ionează aspra sistemului. Ieşirea este definită analog intrării, fiind un dispozitiv prin care sistemul ac ionează asupra altor sisteme, respectiv un grup de elemente identificabile prin care informa iile ies din sistem. Elementele intrării sunt: capacitatea de a transmite informa ii, orice ac iuni informa ionale ale sistemului asupra altor sisteme. d) Caracteristicile şi principiile func ionării sistemelor econometrice. Valoarea de comandă este sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în ansamblu, superior organizat în condi iile unui mediu ce produce perturba ii. Adaptabilitatea este însuşirea de a men ine la ieşire valoarea de comandă neschimbată, în condi iile unui mediu perturbator. Sistemul econometric adaptiv func ionează după principiul independen ei relative a ieşirii, în raport cu intrarea. Rela ia intrare – ieşire în sistemele econometrice adaptive nu mai este explicabilă prin cauzalitatea liniară din viziunea clasică ci rezidă dintr-o cauzalitate specifică, fiind în eleasă prin conceptul de stabilitate. Stabilitatea înseamnă men inerea stării la ieşire, independent de modificările intrării. Stabilitatea se realizează prin echilibru, prin homeostază şi prin perfec ionarea structurii (autoorganizare şi instruire). Echilibrul reprezintă stabilitatea sistemelor econometrice cu o structură slabă (acestea tind să se deplaseze spre un punct propriu de echilibru). Homeostaza reprezintă stabilitatea sistemelor biologice (men inerea unui sistem de organizare ridicat, deja câştigat). Pe calea schimbării interioare a conexiunilor, în anumite limite normale, sistemul econometric îşi permite men inerea comportamentului. Stabilitatea dinamică adaptivă se realizează prin autoorganizare, autoreglare şi instruire. Autoreglarea este capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se depărtează de valoarea de comandă dată. Folosirea capacită ii proprii de reglare impune o altă caracteristică, şi anume autonomia (independen a de a crea şi folosi capacitatea proprie de reglare). Autoorganizarea este un proces de adaptare la perturba ii externe pe calea diversificării structurii, cu scopul de păstrare a stabilită ii, de a nu oscila, de a nu se distruge. Atingerea valorilor de comandă e posibilă numai prin existen a unei structuri func ionale, adaptată, adecvată valorii de comandă. Modificându-se valorile de comandă şi/sau condi iile în care func ionează sistemul econometric se înregistrează schimbări adecvate de structură. Aceste schimbări fac parte din
  • 20.
    20 procesul de autoorganizare.Structura nu este ceva static ci este singura, deseori, care trebuie să se schimbe, pentru adaptarea sistemului la perturba ii. Legătura inversă (feed-back) este capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux permanent din spa iu, dinspre punctul terminus (unde se eviden iază ieşirea) spre dispozitivul de reglare. În managementul economic controlul este denumit feed-back. Reglatorul este legat cu intrarea şi cu ieşirea. Ca urmare a conexiunii inverse, acesta intervine asupra stării generale a sistemului econometric (se realizează interven ii directe asupra intrării şi asupra stării sistemului). Mecanismul reglării este redat în figurile de mai jos: Figura nr.1: Schema unui sistem cu legături directe Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47 Figura nr.2: Schema unui sistem cu legături inverse (feed-back) Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47 I IIIIII IIIII
  • 21.
    21 Timp mort (Tm) Timpefectiv de reglare a b X+∆X ZX Y+∆Y Y Z Figura nr.3: Schema unui sistem cu autoreglare prin circuitul feed-back a = apari ie, perturbare dispozitiv de comandă; b = timp de stocare + prelucrare informa ii la dispozitivul de comandă şi timpul transmiterii comenzii la efector; - Pentru Tab < Tm perturba ia nu are timp de traversare stabilitate; ∆Y = capacitate de sarcină pentru R Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48 Figura nr.4: Schema unui sistem cu autoreglare şi autoorganizare Valoarea x a intrării în S variază, ajungând xx ∆≠ . Rezultatul y la ieşire trebuie men inut constant. Sesizarea varia iei lui y, care devine yy ∆+ , se transmite prin legătură inversă la regulatorul R. R aplică valorii x la intrare o corec ie Z, care este de natură să restabilească rezultatele la valoarea y. Noua intrare se modifică la Zx şi sistemul îşi men ine y la ieşire la norma dată. Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48 perturbare S reglare R [S] R
  • 22.
    22 Timpul mort (Tm)este intervalul dintre apari ia perturba iei la intrare şi până când aceasta se reflectă la ieşire, traversând întregul ansamblu. Timpul de reglare efectivă (de transfer) este perioada de la apari ia perturba iei până când informa ia ajunge la dispozitivul de comandă (recep ie, transmitere, mesaj) plus timpul pentru stocare-prelucrarea informa iilor la dispozitivul de comandă şi transmiterea comenzii până la efector. Reglarea efectivă are loc în paralel cu procesul de traversare a perturba iei prin ansamblu. Acest aspect este posibil numai pentru perturba ii ce sunt sesizate încă la intrare, când regulatorul este legat direct cu intrările. Există şi perturba ii care nu sunt sesizate la intrare de către regulator, fie pentru faptul că nu se urmăresc sistematic, deci nu sunt cunoscute sub aspectul efectelor lor, fie că informa ia întârzie să atingă la regulator. Dacă timpul de transfer sau de reglare efectivă este mai scurt decât timpul mort, perturba ia nu are timp să traverseze sistemul şi să-şi realizeze efectul, rezultatul rămânând stabil. Capacitatea de sarcină a dispozitivului de reglare este reflectată de nivelul perturba iei pe care o poate prelua regulatorul. Fiecare sistem ac ionează într-un mediu specific, are o func ie specifică şi trebuie, în general, să răspundă la un anumit tip de intrări perturbatoare (să aibă o anumită capacitate de sarcină). La perturba ii foarte puternice R se blochează şi depărtează ieşirea de valoarea de comandă, iar sistemul econometric se dezorganizează. Apare necesitatea interven iei din afara sistemului, pentru reorganizare şi pentru deblocarea dispozitivului de reglaj. Reglarea se poate face prin: autoreglare; autoorganizare; compensare; schimbări aduse în mediul perturbator. Autoreglarea este ac iunea dispozitivului de reglare asupra intrării perturbatoare. Autoorganizarea este ac iunea de interven ie asupra structurii sistemului pentru adaptarea acestuia la perturba ii (schimbarea unor legături în structură, schimbarea destina iei unor elemente, suplimentarea sau scoaterea unor elemente din sistem). Compensarea (comanda pură) are loc când for ele exterioare compensează efectele perturbărilor deja suferite şi când acestea procedează la reorganizare. Rezultă necesitatea obiectivă a existen ei unui sistem supraordonat, care să joace acest rol compensator. La reglarea prin compensare nu mai are loc alertarea dispozitivului propriu de reglaj (circuitul informa ional se deschide de către sistemul supraordonat). O organiza ie, respectiv un fenomen economic se manifestă ca sistem econometric suprastabil atunci când func ionează ca sistem de autoreglare şi autoorganizare (există tendin a de a apela la reglare prin compensare chiar şi în situa ii când şi-ar putea folosi propriile capacită i pentru a putea face fa ă perturba iilor). Reglarea prin schimbări aduse mediului perturbator înseamnă eliminarea din afară a intrărilor perturbatoare.
  • 23.
    23 e) Alte caracteristicide func ionare şi comportare Orientarea este însuşirea sistemului econometric de a-şi optimiza nivelul răspunsurilor în condi ii de perturba ii variate. Orientarea este rezultatul capacită ii sistemului de a capta şi prelucra, şi de a folosi informa ia despre mediu şi despre starea lui însuşi pentru a elabora stări noi, neconforme cu tendin a liniară a cauzei. Finalitatea nu este o însuşire generală a sistemelor (sistemele fizice n-au această însuşire). Nu se poate reduce la o finalitate determinată ac iunea sistemelor hipercomplexe, de tipul organiza iilor sociale sau cele ale fenomenelor economice, (deci organiza iile sociale nu au însuşiri de finalitate, ci au însuşiri de elaborare, de creştere, de crea ie, de dezvoltare). Ac iunea este finalistă în sistemele cibernetice. Unele entită i se pot manifesta ca organiza ii finaliste, pentru realizarea unei valori comandate, ele fiind, în esen ă, subsisteme sociale cu structuri şi destina ii specifice. Echifinalitatea constă în aceea că interac iunile dintre păr ile unui sistem se subordonează cerin ei realizării aceleaşi valori de comandă. Comportarea înfă işează sistemul în ac iune sau func ionarea lui. Aceasta e definită de totalitatea ac iunilor sistemului, ca reac ie sau adaptare la mediul exterior, în urma recep ionării şi prelucrării informa iei. Comportarea este un rezultat al caracterului orientat al func ionării, al capacită ii de autoreglare şi autoorganizare, al posibilită ii de a răspunde într-un mod adecvat la un mediu complex. Comportarea este un rezultat direct al conducerii sistemului ca un proces de ob inere, de recep ie, de prelucrare şi transmitere de informa ie. Eficien a comportării se măsoară prin orientarea către scopul urmărit. Prin comportare sistemul îndeplineşte o func ie. Func ia sistemului se defineşte din mai multe unghiuri. Există o func ie externă, ca o expresie a comportării exterioare a sistemului. Ea este dată de men inerea conexiunilor cu alte sisteme. Func ia internă este o expresie a comportării interioare, pentru adaptarea şi perfec ionarea propriei structuri. Ea corespunde cu dinamica structurii. O defini ie mai îngustă a func iei este cea a func iei cu rol instrumental sau scop. Aceasta se exprimă prin finalitatea sistemului sau subsistemului (apare ca realizare a valorii de comandă). În îndeplinirea func iei (atât internă cât şi externă) sistemele econometrice, au două caracteristici importante în cadrul entită ilor organizate: de căutare şi de ini iativă. Căutarea este caracteristică sistemelor hipercomplexe de a lua în considera ie anumite condi ii, de a căuta şi de a selecta cea mai bună solu ie ce se impune, ca rezultat al comportării inten ionale a sistemelor din mediul economic unde intervine omul ca factor de cunoştin ă. Ini iativa este calitatea de a se comporta, în sensul de a găsi un drum nou, de a inventa. Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt: 1. Caracterul aleator (pentru aceeaşi ac iune corespund comportării diferite ale sistemului se impune obiectiv necesitatea conducerii economice); 2. Caracterul dinamic (schimbarea conexiunilor interne şi externe în timp, pentru adaptare şi stabilitate, prin perfec ionarea parametrilor, a structurii şi a programului general de comportare);
  • 24.
    24 3. Comportarea (estedeterminată de conexiunile informa ionale neechivalente cu cele substan iale şi energetice); 4. Feed-back (conexiunea inversă) (joacă rol determinant în comportarea sistemelor dinamice complexe); 5. Stabilitatea dinamică reprezintă adaptarea structurii şi autoinstruirea (homeostaza). 6. Calitatea substan ială specifică este a unuia dintre elemente, care interac ionează în sistem şi se manifestă nestabil şi activ, respectiv omul. 7. Caracterul deschis; sistemul este în permanentă interac iune cu mediul ca factor esen ial al viabilită ii, al capacită ii sale de reproductivitate, de continuitate şi de schimbare. 8. Tendin a de optimizare este dată de caracterul proiectiv, de capacitatea de creştere şi de crea ie. 9. Caracterul complex rezultă din faptul că are cel pu in o componentă care este la rândul ei sistem (omul). 2.1.2 Firma privită ca sistem Caracteristicile sistemice ale firmelor pot fi privite ca aspecte econometrice, întrucât ele constau dintr-un număr de elemente şi de conexiuni între ele. Sec iile, serviciile, atelierele, locurile de muncă sunt verigi ale firmei care pot fi privite ca subsisteme ale acesteia, şi ele însele se pot identifica drept sisteme/subsisteme. Omul, - individual luat în considerare – este un sistem complex, de tipologie cu totul deosebită. Rezultă că firma poate fi privită ca sistem în cele mai diferite moduri, în func ie de scopul cercetării econometrice. Ca sistem econometric, firma este locul de realizare a anumitor procese şi rela ii valorice, economice, a creării elementelor for ei de muncă şi a mijloacelor. Ca sistem economic complet, firma este un produs al activită ii conştiente a oamenilor, care o pot schimba sau lichida în mod deliberat. Oamenii şi mijloacele de produc ie func ionează ca principali factori ai produc iei sociale, dar şi cu principalele rezultate ale activită ii de produc ie. Elementele sistemului „firmă” sunt verigile care pot fi privite, fie autonom, fie în compunerea obiectului, procesului sau fenomenului cercetat. Toate elementele firmei au o destina ie func ională în cadrul sistemului (func ia pe care o îndeplineşte unul din elemente nu o mai poate îndeplini şi altul). Destina ia func ională a unui element din structura firmei trebuie privită ca posibilitate a comportării sale dinamice în componen a sistemului econometric şi ca o condi ie a ac iunii reciproce cu celelalte elemente. Orice element poate să-şi manifeste func ia sa numai în prezen a altui element. Într-un sistem econometric un element trebuie să dispună de capacitatea de a influen a un alt element şi de a recep iona influen ele altora. Numai astfel e posibil să existe setul, mul imea de conexiuni şi rela ii definitorii pentru un sistem econometric. Aşadar, teoria sistemelor econometrice aplicată la nivel de firmă arată evolu iile din verigile firmei. Rela iile sau conexiunile între elementele sistemului econometric sunt de trei categorii: - materiale;
  • 25.
    25 - valorice; - deproprietate. 1. Rela iile materiale reprezintă setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care rezultă o valoare de întrebuin are. Legând mijloacele de anumite caracteristici, cu oamenii de anumite calificări, rezultă o valoare de întrebuin are corectă. Scopul rela iilor materiale este acela al creării unui produs al muncii care să aibă o anumită valoare de întrebuin are. Aceste rela ii sunt, deci, în legătură cu crearea şi mişcarea valorilor de întrebuin are. 2. Rela iile valorice sunt reprezentate de conexiunile între for a de muncă şi mijloacele materiale exprimate valoric, necesare reproduc iei. Scopul produc iei privită ca sistem de rela ii valorice este crearea de valoare nouă. 3. Rela iile de proprietate îl reprezintă pe om ca proprietar al unei cantită i de bogă ie materială, opus celorlal i subiec i economici (omul este proprietar la reparti ia valorii nou create). 2.1.3 Legăturile sistemului econometric cu mediul exterior Se realizează cu ajutorul fluxurilor materiale, a fluxurilor energetice şi a fluxurilor informa ionale. Firma este caracterizată prin intrările reprezentate de rela iile cu alte organiza ii furnizoare şi prin ieşiri ca rela ii cu unită ile beneficiare. Pentru îndeplinirea func iei specifice (de produc ie), firma e dotată cu mijloacele economice, financiare necesare, are un statut e func ionare şi o valoare de comandă stabilită prin planul propriu. Analiza firmei ca sistem subordonat scopului conducerii, eviden iază trei subsisteme: - subsistemul condus; - subsistemul conducător; - subsistemul de legătură. Prin subsistemul de legătură informa ional subsistemul conducător se leagă de subsistemele conduse. Realizarea valorii de comandă ajunge cu flux de informa ii (feed-back) la factorii de decizie, care iau hotărâri de reglare a subsistemului econometric condus, pe care le transmit la factorii ce îşi modifică ac iunea, transformând valoarea intrării. 2.2.Comportamentul econometric al firmei Comportamentul general al firmei este suprastabil, urmărind realizarea func iei firmei, independent de rela iile multiple cu mediul exterior. Pentru o comportare suprastabilă, firma ac ionează circuitul de reglare internă, care reuşeşte să atragă capacită ile interne de inventivitate şi ini iativă în vederea rezolvării tuturor problemelor care se ivesc în procesul de func ionare.
  • 26.
    26 2.2.1 Interven iade reglare prin compensare Aceasta are loc prin deschiderea circuitului de reglare intern pentru a solicita mijloacele de stabilire a echilibrului; firma dispune de posibilită i duble de reglare, dar este cu adevărat eficientă doar atunci când se manifestă în sistem suprastabil. Interven ia de reglare-compensare este necesară în unele perioade, tocmai ca urmare a locului pe care îl are firma în sistemul economic general. Firma are func ii precise şi este dotată cu mijloace specifice, fiind capabilă pentru preluarea doar a anumitor perturba ii. 2.2.2 Modelul „intrări – proces - ieşiri” al produc iei (input-output) Lărgirea în elesului no iunii de produc ie se extinde şi asupra unor entită i considerate neproductive, ca urmare a definirii produc iei sistem (I-P-I). Într-o astfel de viziune, produc ia se defineşte după cum urmează: un ansamblu de activită i care au drept rezultat o creştere a valorii de întrebuin are a unui obiect sau serviciu; orice proces sau procedură care transformă un set de intrări într-un set specific de ieşiri; un proces prin care sunt create bunuri sau servicii. Caracteristicile generale ale sistemului de produc ie sunt: • intrările; • procesul propriu zis şi • ieşirile. Intrările antrenează cheltuieli variabile, nivelul lor fiind în func ie de numărul de unită i productive. Procesul propriu-zis este o secven ă complexă de opera ii, care depind ca natură şi ca număr de specificul intrării. Caracteristica procesului de produc ie este transformarea şi sporirea valorilor intrărilor, datorită interven iei muncii vii. Spre deosebire de procesele fizice, randamentul procesului de produc ie este supraunitar. η = > 1 Cadrul procesului de produc ie este constituit din elementele care conturează transformările. Cadrul generează cheltuieli fixe (nu variază cu volumul opera iilor). Modificarea cadrului se realizează mai dificil şi prin cheltuieli de investi ii. Orice sistem de produc ie trebuie să producă ceva util. Înfiin area, construirea, organizarea şi men inerea unui sistem de produc ie trebuie să aibă anumite obiective. Trebuie, deci, definite ieşirile sistemului econometric, cu toate caracteristicile lor. Toate elementele enun ate se încadrează în legea finalită ii sistemelor econometrice. Ieşirile sunt în formulă compusă, primul element definitoriu al produc iei. Produc ia este deci, un sistem condus, dirijat către un anumit scop, către o finalitate ce este orientată către ieşirile din sistem. Pe lângă legea finalită ii, sistemele trebuie să se supună legii optimalită ii conform căreia realizarea obiectivului să se facă pe calea cea mai avantajoasă din punct de vedere economic.
  • 27.
    27 Stocările (depozitările) seîntâlnesc imediat după intrarea în sistem a elementelor de intrare şi în fa a fiecărei opera i pentru care apare necesar un timp de sta ionare. Transferul sau deplasarea între opera iile fluxului se realizează cu toate mijloacele de transport posibile. În func ie de stocările necesare şi de transferul între opera ii, există procese de produc ie continue sau discontinue. 2.2.3 Importan a conceptului de sistem managerial econometric Conceptul de sistem permite punerea în eviden ă a numeroşilor factori care contribuie la evaluarea deciziei. Luarea deciziilor fără o referin ă la un sistem econometric concret va fi hazardată. Raportarea rezultatelor oricărei ac iuni economice la structurile din sistemul econometric în care au concurat la ob inerea unui rezultat ar mări şansele unor rezultate ulterioare, adoptând unele decizii în func ie de variabilele ce contribuie la reuşita acestora. Perspectiva sistemică permite explicarea proceselor productive şi econometrice de maximă complexitate şi dinamicitate, a căror esen e cu greu pot fi scoase în eviden ă cu alte mijloace de investiga ii. Utilizând conceptul de sistem econometric se încearcă analiza fenomenului economic aşa cum este el, ca un set de elemente în interac iune. Conceptul de sistem econometric se foloseşte pentru a explica mecanismul de manifestare a fenomenelor din via a economică, sau ca mijloc opera ional pentru a optimiza activitatea economică, prin construirea de modele pe baza comportamentului sistemic. Sistemul econometric este un concept prin care se delimitează câmpul în cadrul căruia se cercetează procesul obiectiv economic, adică baza obiectivă, structurală temporală şi spa ială. Cadrul sistemic pune într-o lumină nouă nu numai mijloacele folosite pentru perfec ionarea func ionării, a conducerii şi a prognozei, ci şi alte aspecte, precum: procesele specifice de autoorganizare şi autoreglare, aspecte privind manifestarea creatoare a individului în grup, explicarea responsabilită ii în comportamentul subiec ilor ca fenomen social. Conceptul de sistem ajută în elegerea ideii că procesul managerial are ca obiectiv adecvarea organizării sistemului econometric la mişcarea reală. Pentru acesta, aspectele esen iale ale procesului sunt cele de ob inere a informa iei econometrice şi de utilizare a ei, spre a face posibilă dezvoltarea unor procese specifice de organizare, reglare, stabilizare, de punere în operă în mod eficient a capacită ilor elementelor complexe din care e alcătuit sistemul productiv/econometric. În conceptul de sistem econometric se poate stabili rolul pe care urmează să-l joace fiecare element al sistemului (stabilirea destina iei func ionale a fiecărui element) şi apoi a legăturilor ce se vor crea în sistem. 2.3.Situa ia decizională econometrică Ea este caracterizată prin reunirea a trei elemente, şi anume: 1. Mul imea parametrilor independen i sau a stimulilor (notată S) care definesc condi iile obiective şi alcătuiesc variabilele necontrolabile;
  • 28.
    28 2. Mul imeaalternativelor ra ional posibile sau a reac iilor (notată R), cu care se răspunde la fiecare stare a condi iilor obiective şi care alcătuiesc variabilele controlabile; 3. Mul imea indicatorilor de rezultat (notată I), ce pot fi ra ional lua i în considerare la alegerea criteriului de decizie. 1) Stimulii – În această categorie intră acele elemente ale mediului care nu pot fi modificate în momentul luării deciziei. Există şi parametri necontrolabili, comuni, sub forma unor restric ii politice şi economice ale ării, comportarea maşinilor, a inova iilor, a unor fenomene legate de for a de muncă. Parametrii necontrolabili pot fi continui, discre i sau categorii de stare. 2) Reac iile – Această mul ime este constituită din totalitatea posibilită ilor ce stau la dispozi ia decidentului pentru rezolvarea unei probleme de decizie. Ca valoare sunt în elese în cel mai general sens al cuvântului de „valoare” (cantitate, mărime, tip, număr, ş.a.). Mul imea reac iilor este generată de mul imea stimulilor dintr-o stare a naturii. 3) Indicatorii – În stări ale naturii date pentru fiecare variantă ra ional aplicabilă, se ob in rezultate, care pot fi caracterizate prin indicatori. Luarea unei decizii înseamnă alegerea unei variante econometrice de ac iune dintre mai multe posibile, şi se face subordonat cerin ei de optimalitate. Optimizarea se înfăptuieşte totdeauna relativ la un criteriu. O variantă este mai bună decât alta numai în măsura în care ea satisface mai mult un criteriu decât altul. Criteriile de decizie sunt: 1. criteriul simplu de decizie; se ia în considerare un singur indicator de rezultat, ceilal i fiind neglija i sau păstra i la un nivel constant (optimul relativ). 2. criteriul complex de decizie; constituie o submul ime a mul imii indicatorilor de rezultat I, care se ia în considerare la rezolvarea unei probleme de decizie. În cazul criteriilor complexe de decizie se deosebesc mai multe variante: a) se aleg valori limitative pentru to i indicatorii de rezultat din submul imea lui I, mai pu in unul, în func ie de care se optimizează maximum sau minimum (programare matematică); Exemplu: Produc ia în perioada t = Qt B1,B2 – constante Cheltuielile totale în perioada t = Cht Productivitatea muncii WL Atunci: max[WL] b) Se stabilesc rela ii func ionale între doi sau mai mul i indicatori şi se combină într-unul singur. Exemplu: Cheltuieli echivalente = Cheltuieli din exploatare + Cheltuieli din investi ii c) Transformarea indicatorilor de rezultat în abateri de la valorile optime. Se stabileşte o matrice A care con ine pe rânduri valoarea unui indicator în fiecare variantă, iar pe coloane, valoarea tuturor indicatorilor pentru o variantă.
  • 29.
    29 Matricea A V V1 V2V3 … Vn I I1 a11 a12 a13 … a1n I2 a21 a22 a23 … a2n I3 a31 a32 a33 … a3n … … … … aij … Im am1 am2 am3 … amn De la matricea indicatorilor de rezultat se calculează elementele unei matrice C transformate; acestea constituie abateri de la valoarea optimă a indicatorului de rezultat. Matricea C V V1 V2 V3 … Vn I I1 c11 c12 c13 … c1n I2 c21 c22 c23 … c2n I3 c31 c32 c33 … c3n … … … … cij … Im cm1 cm2 cm3 … cmn Σcij Elementele cij se ob in cu ajutorul rela iei: cij = ξ ξ aij = valoarea optimă a unui indicator. Varianta optimă este aceea care are suma abaterilor cij minimă: Varianta optimă = varianta min [Σcij] cu aij = elemente din matricea A.
  • 30.
    30 CAPITOLUL 3. PRINCIPALELETIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE 3.1.Dependen e şi interdependen e între fenomenele economice în tabloul econometric Teoria economică studiază fenomenele şi procesele economice pornind de la premisa că acestea nu se desfăşoară la întâmplare ci pe baza unor legi proprii, relativ stabile şi relativ repetabile, specifice naturii acestor fenomene. Deoarece fenomenele din economie sunt, în general, cuantificabile, legile economice pot fi descrise sub forma unor legături cantitative (a unor determinări numerice) între aceste fenomene. Acest fapt face posibilă utilizarea statisticii şi matematicii de către teoria economică. În plus, succesele deosebite ob inute de astronomie prin utilizarea metodelor statistico-matematice – descoperirea planetei Neptun, în 1846, ca urmare a calculelor efectuate de astronomul francez Urbain de Verrier (1811-1877) sau a planetei Pluton, în 1930, în urma calculelor efectuate în 1915 de astronomul american Percival Lowell (1855-1916) etc. – au convins economiştii de utilitatea şi necesitatea adoptării acestor metode, adoptare justificată de cel pu in două motive: 1) Atât fenomenele astronomice, cât şi fenomenele economice nu pot fi decât observate; ele nu pot fi nici izolate din mediul real şi nici reproduse în laborator, pentru a fi cercetate în cursul unor experien e controlate. 2) În economie ac ionează anumite legi asemănătoare prin formularea lor cu legile ce se manifestă în alte domenii ale ştiin ei – fizică, chimie, astronomie etc. Istoria doctrinelor (gândirii) economice relevă următoarele exemple în acest sens, cum ar fi: - legea lui Malthus – în lume, produc ia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar popula ia în progresie geometrică; - legile lui Engel14 – atunci când venitul na ional creşte într-o ară dezvoltată: a) cheltuielile alimentare cresc într-o propor ie mai mică; b) cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi propor ie; c) cheltuielile pentru bunuri de folosin ă îndelungată cresc într-o propor ie mai mare; - legea lui Pareto descrie polarizarea veniturilor, respectiv un număr tot mai mare de locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari: y= (3.1) unde: x = venitul familiilor; y = numărul familiilor al căror venit este mai mare sau egal cu venitul xk ; y = N (x ≥ xk ); A, a = parametrii func iei. 15 14 Legile lui Engel au fost formularizate de Törnqvist prin intermediul următoarelor modele: a) y = a +u; b) y = a +u; c) y = ax +u; unde: y = cheltuielile familiilor; x = venitul familiilor; a, b ,c = parametrii modelelor; u = variabila aleatoare.
  • 31.
    31 Faptul că oserie din aceste formulări au fost criticate, reformulate sau dezvoltate de teoria economică interesează mai pu in în cazul de fa ă. Trebuie apreciată inten ia autorilor de a oferi descrieri riguroase, lipsite de ambiguită i, cu posibilită i opera ionale privind explicarea, reglarea şi dirijarea func ionării mecanismelor economice. Existen a obiectivă a acestor legături (legi economice, relativ stabile şi relativ repetabile) dintre fenomenele şi procesele ce formează un sistem economic, reprezintă suportul teoretic pe care econometria îşi fundamentează reflectarea formală a acestora. Aceste legături pot fi descrise cu ajutorul metodelor statistico-matematice. În domeniul economic, deşi există o mare diversitate de modelele, modelarea acestora la orice nivel – micro sau macroeconomic – se pot interpreta cu ajutorul următoarei scheme: Feed back la variabilele de intrare Feed back la rela iile modelului Figura nr.5: Bazele constitutive ale modelului analitic/matematic După cum se vede pe grafic, modelul comportă, în primul rând, o func ie Y a ieşirilor ca variabilă dependentă care contabilizează impacturile variabilelor independente X şi ale parametrilor A asocia i. Dacă ne referim la un proces de produc ie, de exemplu, analiza economică efectuată pe baza schemei de mai sus, eviden iază faptul că indicatorii de rezultate yi = Qi – volumul produc iei globale, marfă sau nete – depind atât de volumul şi natura factorilor de produc ie, respectiv volumul şi calitatea obiectelor muncii (M), volumul şi nivelul tehnic al mijloacelor de muncă (K), numărul, experien a şi nivelul de instruire al for ei de muncă (L), cât şi de modul lor de interac iune în cadrul structurii tehnice, organizatorice a procesului de produc ie. 15 Vezi, Eugen Pecican, Ovidiu Tănăsoiu, Andreea Iluzia Iacob, Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001, pag.22 şi urm. Constante şi parametri θθθθ, A, B Sistem de rela iiVariabile X Ieşiri Y
  • 32.
    32 Cunoaşterea legită iide varia ie în timp sau în spa iu a unui indicator de efect economic în func ie de varia ia factorilor cuantificabili se poate face folosind două modele de lucru: a) Primul, cel mai frecvent utilizat şi în prezent, îl constituie modelul determinist, care reflectă legătura func ională dintre elementele de intrare şi de ieşire ale sistemului – variabilele exogene şi variabilele endogene. Pe baza defini iilor formulate de teoria economică cu privire la elementele obiectului respectiv, statistica economică, utilizând metode proprii, exprimă, printr-un sistem de indicatori, elementele cuantificabile ale sistemului economic. Pe baza parametrilor de performan ă ai sistemului (sau ai indicatorilor de eficien ă a factorilor de produc ie) se construiesc modele econometrice deterministe între efecte şi eforturi, explicându-se varia ia variabilelor factoriale şi a indicatorilor de performan ă sau de eficien ă ale acestora. Astfel, în cazul unui proces de produc ie, se definesc: consumul specific c = Q = c x M (3.2) productivitatea muncii W = Q = W x L (3.3) eficien a fondurilor fixe e = Q = e x K (3.4) Pe baza modelelor deterministe (3.2), (3.3) şi (3.4), de exemplu, prin opera ii simple, se pot ob ine modele deterministe ce con in trei şi patru factori. Astfel, pe baza rela iilor (3.3) şi (3.4) se ob ine: W x L = e x K w = e x w = e x f (3.5) unde: f = reprezintă înzestrarea tehnică a muncii. Rela ia (3.1) devine: Q = W x L = e x f x L (3.6) În cazul unui ansamblu de i unită i sau ramuri economice rela ia (3.6) se însumează: = Această rela ie, înmul ită cu termenul se transformă în: = = (3.7) unde: gi = Li/ reprezintă structura for ei de muncă. Modelul (3.6) reflectă dependen a deterministă dintre efectul economic Q şi cele trei grupe de factori utilizate de analiza economică: factori calitativi, structurali şi cantitativi. În general, un model determinist se exprimă prin rela ia: y = f(x), sau y = f(x1, x2,…) (3.8)
  • 33.
    33 Modelele deterministe seutilizează curent în practica economică la analiza pe factori a varia iei, în timp sau spa iu, a multor fenomene economice. În acest scop, modelul determinist reprezintă suportul teoretic al aplicării metodei indicilor – teritoriali sau dinamici – metodă ale cărei avantaje şi limite sunt bine cunoscute economiştilor. b) Al doilea model de lucru este reprezentat de modelul econometric – în sensul definirii restrictive a econometriei – care, fundamentându-se pe metoda regresiei (metodă specifică statisticii), descrie legătura statistică sau stocastică dintre intrările sistemului – factorii de influen ă X – şi ieşirile acestuia – variabilele rezultative Y cu ajutorul unui model aleator: Y = f(X) + U (3.9) Acest procedeu se bazează pe principiul cutiei negre, principiu cibernetic, care, în economie, se foloseşte atunci când descrierea formală a structurii sistemului este inaccesibilă din cauza imposibilită ii ob inerii informa iilor necesare, sau când ob inerea acestor informa ii ar necesita cheltuieli excesive, care nu se justifică prin aportul în cunoaştere pe care îl realizează. Spre deosebire de modelul determinist (3.8), acceptat fără rezerve de teoria şi practica economică, modelul econometric (3.9) introduce în schema de descriere a legită ii de manifestare a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă aleatoare sau întâmplătoare (U). Aparent, această modalitate de formalizare a legăturilor dintre fenomenele economice ar contrazice teoria economică – fenomenele nu se produc la întâmplare, ci pe baza unor legi proprii, inerente lor – aşa cum s-a afirmat la începutul acestui capitol. Această interpretare este inexactă. Acceptarea introducerii variabilei aleatoare în vederea explicării legită ii de varia ie a unui fenomen economic concret este cerută de unul din motivele de mai jos: apari ia şi varia ia, în timp sau spa iu, a unui fenomen economic este determinată de un sistem numeros de factori, calitativi şi cantitativi. Imposibilitatea cuantificării anumitor factori precum şi dificultă ile ridicate de rezolvarea unor modele cu multe variabile factoriale conduc la o specificare formală incompletă din punct de vedere economic a obiectului investigat. Această specificare formală incompletă este corectată şi vizualizată cu ajutorul variabilei aleatoare (U); legătura cauză-efect nu poate fi cercetată în mod nemijlocit în laborator, aşa cum procedează ştiin ele tehnice, deoarece obiectul economic investigat nu poate fi izolat, extras din mediul economic, ci numai observat prin intermediul datelor statistice. Pe baza acestora, prin intermediul unui model statistico-matematic, legătura obiectivă este estimată, aproximată, prin mijlocirea informa iei statistice; de foarte multe ori, datele statistice provin din observări selective (seriile cronologice având, de asemenea, această particularitate), din sondaje aleatoare, care imprimă tuturor indicatorilor cerceta i pe baza lor această particularitate statistică. Pentru a justifica concret necesitatea folosirii variabilei aleatoare (U) în cadrul unui model econometric, cât şi datorită unor inadverten e ce se întâlnesc în practică datorită utilizării unor modele de regresie în locul modelelor economice deterministe, va fi abordată succint această problemă.
  • 34.
    34 De foarte multeori, se studiază legătura dintre un indicator al produc iei (Q) şi productivitatea muncii (W), sau dintre productivitatea şi înzestrarea tehnică a muncii (f) cu ajutorul unei func ii, de regulă, de forma: Q = a + b x W, sau W = a + b x f . Teoria economică a formulat dependen a dintre variabilele de mai sus prin intermediul modelelor deterministe, Q = W x L şi, respectiv, W = e x f. În compara ie cu acestea, modelele Q = a + b x W şi W = a + b x f sunt afectate de erori de specificare şi de identificare. Eroarea de specificare este reprezentată atât de neglijarea factorului L – for a de muncă, sau a eficien ei fondurilor fixe, cât şi de faptul că parametrii modelelor vor fi calcula i prin estima ii statistice, ca să nu mai amintim de faptul că, de cele mai multe ori, datele statistice provin dintr-un sondaj. Vizualizarea şi interpretarea corectă a legăturii dintre variabilele respective impune specificarea variabilelor aleatoare în cadrul modelelor econometrice. Referitor la eroarea de identificare, aceasta constă în alegerea greşită a func iei matematice. Func ia Q = a + b x W arată că, dacă W = 0, atunci Q = a, ceea ce reprezintă o abera ie economică. În astfel de situa ii modelul va trebui să fie de forma: y = b x x + U.
  • 35.
    35 3.2.Sistematizarea modelelor econometriceutilizate în economie În momentul actual, tipologia modelelor econometrice este extrem de diversificată, tentativa de clasificare a metodelor şi modelelor econometrice este dominată de dificultă i reale, sistematizarea tipurilor fiind mai pragmatică. (vezi Figura nr.6) Figura nr.6: Sistematizarea tipurilor de modele econometrice Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.119 I Unifactoriale Y= f(x) + u; {x= un singur factor determinant} Multifactoriale Y= f(x1,x2,…xi, …xn) + u; {xn= mai mul i factori determinan i} II Liniare Y0 = α0 + α1x1 + α2x2 +,…, + u {legături directe când coeficien ii sunt +; legături indirect (inverse) pentru coeficien i -} Neliniare (prin logaritmare se pot transforma în model liniar) III Par iale {agregare} cunoaştere econometrică Agregate (globale) {dezagregare} cunoaştere econometrică IV Statice y = f(x1t,….,xjt,….,xkt) + ut; (t = ), (j = ) Dinamice yt = f( x1t, x2t,t) + ut; cu variabila timp yt = f( xt, yt-k) + ut; model autoregresiv cu valori decalate yt = f( xt,…, xt-j,… xt-k) + ut; (t = ), (j = ) k < t V Cu o singură ecua ie {unifactoriale, multifactoriale, liniare, neliniare, par iale, agregate, statice, dinamice} Cu ecua ii multiple {forma structurală; forma canonică (redusă)} VI Euristice {forma simplificată a modelului real} Ra ionale {exprimare teoretică} VII Decizionale {fundamentarea deciziilor} Opera ionale {sunt acceptate ipoteze ce permit aplicarea} Interdependenarelaionalăîntrediferitetipuridemodele
  • 36.
    36 3.2.1 Modele econometriceliniare Dacă între variabile factoriale şi variabila finală, rezultantă se identifică liniaritate, forma legăturilor se prezintă astfel: y= a0 +a1x1+a2x2+….+u (3.10) Modelele liniare prezintă o serie de neajunsuri, astfel, anumite elemente de consum nu se modifică liniar cu evolu ia veniturilor (există anumite intervale de satura ie, spre exemplu produsele alimentare), precum şi faptul că coeficientul de elasticitate nu se manifestă ca poten ial reglator de expresii, cum este coeficientul de regresie. În situa ia modelelor liniare, coeficientul de regresie este exprimat de parametrii variabilelor factoriale. Semnul legăturilor este dat de semnul coeficien ilor (+ sau -). Atunci când coeficien ii sunt pozitivi legătura este directă, iar în expresie negativă legătura este inversă (corectivă). Mărimea coeficientului de regresie este măsură a varia iei variabilei rezultante (y), la o modificare cu o unitate a variabilei factoriale. 3.2.2 Modele econometrice neliniare Acestea se identifică prin func ii matematice neliniare, cum ar fi: func ia exponen ială, parabola, hiperbola, func ia logaritmică etc. Modelul neliniar prin logaritmare se poate transforma într-un model liniar. Astfel, analiza legăturii consumului unui produs cu venitul unei familii se poate face cu un model de forma: C = a x Vb x u (3.11) care prin logaritmare se transformă într-un model liniar de forma: log C = log a + b log V + log u (3.12) unde: C – cheltuielile medii de consum pe o familie V – venitul mediu pe familie. 3.2.3 Modele unifactoriale Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice datorită, mai ales, simplită ii şi, de aici, operativită ii şi costului său redus. Îmbracă forma: y = f(x) + u (3.13) Măsura în care al i factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt neglija i sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influen e întâmplătoare. 3.2.4 Modele multifactoriale Sunt acele modele de forma: y = f(xi) + u; i = (3.14) Modelul multifactorial, eliminând deficien a modelului unifactorial, transformă însă avantajele acestuia în dezavantaje. Din acest motiv, se recomandă ca, în practică, să nu se folosească un model cu mai mult de trei sau patru variabile factoriale. Structural, modelele multifactoriale sunt de o mare diversitate. Ca regulă generală, ele se construiesc prin dezvoltarea modelului unifactorial al variabilei explicate y. Pe lângă variabila
  • 37.
    37 factorială ini ialăx1, se introduc fie alte variabile exogene x2, x3, …, xk, fie valori decalate ale acestora xt, xt-1, …, xt-h. 3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecua ie şi cu ecua ii multiple Modelele care sintetizează varia ia prin expresii uni-ecua ionale sunt din categoria celor uni şi multifactoriale, liniare şi neliniare, par iale sau agregate, statice şi cele dinamice. Complexitatea fenomenelor economice impune însă formula transpunerii prin ecua ii multiple. Forma structurală a modelului econometric semnifică transpunerea ecua ională formală a fenomenului economic prin formalizare matematică. Forma generală a modelului econometric cu ecua ii multiple este: Y1 + b12 Y2 + … + b1nYn + c11X1 + c12X2 + … + c1mXm = U1 b21Y1 + Y2 + … + b2nYn + c21X1 + c22X2 + … + c2mXm = U2 (3.15) ………………………………………………………………. bn1Y1 + bn2Y2 + … + Yn + cn1X1 + cn2X2 + … + cnmXm = Un unde: Yi (i = ) – variabile explicate sau endogene; Xj (j = ) - variabile explicative sau exogene. Solu ionarea modelului aflat într-o astfel de formă impune glisarea sa în forma canonică (redusă). Asupra acesteia se aplică metode din categoria „celor mai mici pătrate” (MCMMP): MCMMP într-o singură treaptă(M. Wald); MCMMP în două trepte (H. Theil); MCMMP în trei trepte (A. Zellner); Metoda verosimilită ii maxime cu informa ie limitată (Anderson – Rubin). Un model econometric este sub forma redusă sau canonică dacă fiecare variabilă endogenă este exprimată numai în func ie de variabile exogene. 3.2.6 Modele econometrice euristice sau ra ionale şi modele decizionale sau opera ionale Modelele euristice (ra ionale) sunt folosite în special în teoria economică pentru a explica pe o cale mai simplă un sistem complex de dependen e şi interdependen e care se manifestă în domeniul economic. Modelul teoretic este în fapt o formă simplificată a modelului real deoarece apelează la un număr restrâns de factori neputând include to i factorii. Modele decizionale (opera ionale) se regăsesc uzual în practica economică. Deciziile de politică economică se bazează pe modele decizionale, fiind vizualizate elementele esen iale evolutive ale fenomenului economic, din rândul cărora se extrag punctele de sprijin pentru prognoză. Diferen a dintre aceste două tipuri de modele econometrice nu este absolută, un model ra ional poate fi utilizat ca un model opera ional dacă pot fi acceptate anumite ipoteze.
  • 38.
    38 3.2.7 Modele staticeşi modele dinamice Un model econometric static este acela în care dependen a variabilelor endogene „y” fa ă de valorile variabilelor exogene „xj” se realizează în aceiaşi perioadă de timp: y= f(x1t, …, xjt, …, xkt) + ut; t = , j = (3.16) Modelele dinamice se definesc prin următoarele tipuri: a) Modele cu variabila timp – prin introducerea în pachetul de variabile explicative „xj”, în mod explicit, a variabilei timp, astfel formula de calcul va deveni: yt = f(x1t,x2t,t) + ut (3.17) Acest model se justifică fie prin existen a, în unele situa ii, printre factorii de influen ă ai variabilei y a unor factori de natură calitativă (spre exemplu, influen a preferin elor consumatorilor asupra volumului vânzărilor sau a progresului tehnic în func iile de produc ie), fie prin acceptarea ipotezei unui efect iner ial în evolu ia fenomenului y (generată de masa socială ) b) Modele autoregresive - când în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi variabila explicată „y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k, reprezentând un model autoregresiv de ordin „k”: yt = f(xt,yt-k) + ut (3.18) c) Modele cu decalaj – în care variabila factorială „x” îşi exercită influen a asupra varia iei variabilei „y” pe mai multe perioade de timp: yt = f(xt,…, xt-1,…, xt-k) + ut ; t = , j = , k<t (3.19) unde: k – lungimea perioadei de decalaj (lag) 3.2.8 Modele econometrice par iale şi globale (agregate) Aceste modele rezultă în urma clasificării modelelor econometrice în raport cu sfera lor de cuprindere. Includerea unui anumit model în clasa modelelor par iale sau globale este relativă. Pe exemplul concret al modelării consumului popula iei, modelul consumului alimentar al popula iei este un model par ial în raport cu modelul global al consumului total al popula iei – acesta fiind rezultatul agregării consumului: alimentar, nealimentar şi de servicii. Pe de altă parte, modelul consumului alimentar este un model agregat în raport cu modele par iale ale consumului pe panele de consumatori ş.a.m.d. Indiferent de forma modelului econometric, esen ial este faptul că orice descriere econometrică trebuie să se fundamenteze pe o concep ie economică, explicită sau implicită, a fenomenului studiat. Raportarea modelelor par iale la modelele globale permite formulare următoarelor aprecieri: - agregarea modelelor par iale nu conduce la ob inerea modelului global al variabilei respective; - modelul global rezultă ca o medie a modelelor par iale; - în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explica ie istorică a dependen ei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate estima pe baza modelelor par iale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului
  • 39.
    39 global de regresie(coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficien ilor par iali); - în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă coeficientul global de regresie rămâne stabil.
  • 40.
    40 CAPITOLUL 4. MODELULUNIFACTORIAL 4.1.Definirea şi identificarea unui model unifactorial Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice datorită, mai ales, simplită ii şi, de aici, operativită ii şi costului său redus. Îmbracă forma: (4.1) unde: y = (y1, y2, …, yn) – variabila endogenă, rezultativă sau explicată; x = (x1, x2, …, xn) – variabila exogenă, factorială, cauzală sau explicativă independentă de variabila endogenă y; u = (u1, u2, …, un) - variabila reziduală, aleatoare sau eroare. Rela ia (4.1) este o ipoteză construită pe baza teoriei economice prin care se presupune faptul că fenomenul economic y este rezultatul unui complex de factori, dar, doar unul este principal, x. Măsura în care al i factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt neglija i sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influen e întâmplătoare, ei fiind încorpora i în variabila reziduală, u. Ca orice ipoteză teoretică, ea trebuie validată sau invalidată în urma unor testări statistice. Spre exemplu, plecând de la teoria economică cererea de bunuri şi servicii (q) în sens microeconomic este o variabilă dependentă, în func ie de pre (p) (exprimată prin legea cererii) - variabila independentă - şi alte împrejurări (numite factorii cererii). Putem aprecia că: (4.2) Plecând de la valorile pre ului exprimate în lei/bucată în func ie de care variază cantitatea cerută din bunul respectiv, conform comportamentului cumpărătorului ra ional, cu cât pre ul este mai mare cantitatea de bunuri cerută este mai mică, curba cererii evoluând ca în Figura nr.7: Tabelul nr.1 Pre ul (lei/buc.) Cantitatea (buc.) 20,00 30 18,00 40 16,00 55 15,00 65 13,00 70 11,00 95 10,00 100 9,00 115 8,00 145 6,00 185
  • 41.
    41 Figura nr.7: Dependena cererii func ie de pre O determinare a cantită ii cerute doar în func ie de evolu ia pre ului este, desigur, simplistă, politica economică, ca şi rezultatele economice nu se pot încadra doar în aprecieri cantitative pozitive sau negative, ci într-o arie definitorie a optimului cantitativ. În economie este, de asemenea, posibilă raportarea unui proces sau fenomen necunoscut la unul cunoscut, respectiv la categorii de cunoaştere sesizată. Datele certe furnizează concluzii certe, iar cele aproximative intră sub inciden a statistică, furnizând date aproximative. Ştiin a economică, în esen ă, este cantitativă, şi prin măsurări, deci prin înlăturări de nedeterminări, se stabilesc raporturi între obiectele şi fenomenele, respectiv procesele, măsurate. Este sesizat întotdeauna un anume izomorfism între realitate şi model. Descoperirea legăturilor constante între rela iile economice obiectivează imaginea structurală a obiectului, fenomenului sau a procesului economic. Starea de suficien ă explicativă a evolu iilor economice rezultă din suficien a statisticii, întrucât măsurarea operează asupra cantită ilor care sunt înscrise în orizonturile aşteptate, productive şi reproductive. Toate obiectele, fenomenele şi procesele economice se pot măsura, nu este obligatoriu, însă, ca în primă faza aceste raporturi matematice să devină şi expresii matematice. În alte cazuri, ştiin a computa ională, prin expresii matematice prealabile, anticipează raporturile matematice economice. Chiar legile din economia politică sunt raporturi între cantită i măsurabile. Alternativ, prin măsurarea economică sunt aşteptate rezultate distincte, punctuale sau rezultate medii. În practică, în ştiin a economică sunt aşteptate rezultatele medii care reflectă desfăşurarea individuală a obiectului, fenomenului sau procesului economic. Realită ile economice reprezintă câmpul de verificare al teoriei economice. No iunile economice formulate pe baza observa iilor pot structura ra ionamente, care la rândul lor cristalizează teorii. Ra ionamentele intră sub inciden ă deductivă. Sesizarea cantitativă şi calitativă a unui fenomen economic conduce la cunoaşterea sa, în corela ie cu legită ile generale. Elementele de algoritm general de mai sus sunt completate de practica analizelor de senzitivitate a modelelor, când varia iile infinitezimale pot provoca schimbări în procesările de ansamblu. De aceea, raportul cauză-efect este posibil să fie perceput ca un raport de echilibru.
  • 42.
    42 Această perspectivă asupraevolu iei realită ilor economice ne ajută să avem o viziune mai largă, astfel, func ia deterministă (4.2) se transformă în: (4.3) unde: u = variabila reziduală cuprinde to i factorii cantitativi şi calitativi a căror influen ă este neglijată sau au efecte întâmplătoare. Identificarea modelului constă în alegerea unei func ii/sau a unui grup de func ii matematice, cu ajutorul căreia/cărora se urmăreşte să se aproximeze valorile variabilei endogene y numai în func ie de varia ia variabilei exogene x. Gama de func ii matematice, liniare sau neliniare, care se pot utiliza în acest sens este largă. Dintre acestea men ionăm următoarele: - func ia liniară: y=a+bx+u - func ia semilogaritmică: y=a+b log x+u y a>0;b<0 a,b>0 y b>0 a<0;b>0 b<0 0 x 0 x - func ia putere16 şi func ia logaritmică: - func ia inversă (hiperbola): y=a xb+u şi log y=a+b log x+u y b>1 y b=1 b>0 nivel de satura ie 0<b<1 a b<0 b<0 0 x 0 x 16 Men ionăm că func ia putere prin logaritmare se transformă într-o func ie logaritmică.
  • 43.
    43 - parabola degradul II - func ia lui Konius y=a+bx+cx2+u y=x(a+b log x)+u y a<0; b,c>0 y a>0; b>0 yM yM a,c>0; b<0 a>0; b<0 a,c<0; b>0 ym 0 x 0 x - func iile lui Tornquist - func ia logistică I. I. II. II. III. III. y nivel de satura ie III y aII II nivel de satura ie nivel de satura ie c (b>0)III I(b<0) aI I II (b<0) 0 c x 0 x Alegerea unei func ii matematice ca func ie de regresie a unui model econometric se face pe baza valorilor reale sau empirice ale celor două fenomene economice, sistematizate, fie în serii cronologice (de timp), fie în serii spa iale. În cazul modelului unifactorial func ia de regresie se numeşte regresie simplă deoarece implicate în model avem o variabilă dependentă şi una independentă. Ea este şi liniară atunci când rela ia dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte. O primă apreciere asupra distribu iei variabilelor x şi y o vom avea dacă realizăm diagrama de împrăştiere a valorilor, de fapt reprezentarea într-un sistem de axe a punctelor având
  • 44.
    44 coordonatele xi şiyi. Analiza vizuală a organizării şi formei norului de puncte ob inut poate oferi indicii importante asupra rela iei dintre variabile. Datele de sondaj vor sus ine ipoteza asocierii între variabile dacă forma norului de puncte se apropie de o curbă func ională. Astfel, se pot aprecia asocieri liniare, curbilinii etc. Dacă în norul de puncte nu se poate distinge o tendin ă, se va spune că variabilele nu sunt corelate. În figura de mai jos sunt ilustrate câteva tendin e identificabile direct. Cazul (a) ilustrează o asociere pozitivă, (b) – o asociere negativă, (c) – lipsă de asociere, (d) – asociere curbilinie. (a) (b) (c) (d) Figura nr.8: Asocierea dintre variabilele modelului Rela iile de interes pentru regresia liniară sunt cele ilustrate în cazurile (a) şi (b), unde este identificabilă o tendin ă liniară în norul de puncte. Plecând de la exemplul de mai sus construim corelograma dintre cele două variabile. Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin puncte. (vezi Figura nr.9) Figura nr.9: Corelograma cererii func ie de pre Prin alegerea liniei de tendin ă care aproximează cel mai bine func ia putem identifica ecua ia (R2 – coeficientul de determinare - trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1). (vezi Figura nr.10)
  • 45.
    45 Figura nr.10: Liniade tendin ă a evolu iei cererii func ie de pre Astfel, cazul în discu ie se apropie cel mai bine de forma unei func ii exponen iale: (4.4) , deoarece y trebuie să fie pozitiv, iar care ne relevă legătura indirectă dintre cele două variabile; care prin logaritmare se transformă în: (4.5) unde, dacă notăm: ln a = a1 şi ln u = u1 ob inem o func ie logaritmică: (4.6) . 4.2.Estimarea parametrilor modelului unifactorial Parametrii unui model econometric sunt reprezenta i de coeficien ii func iei de regresie acceptată în etapa de identificare a acesteia. Aceşti parametrii fiind necunoscu i ei vor trebui estima i pe baza datelor experimentale sistematizate în seriile statistice ale celor două variabile y şi x, prin valorile yi, xi, i = . Func iile de regresie ale unui model unifactorial pot fi func ii liniare, sau func ii neliniare dar care pot fi liniarizate prin procedee ca: logaritmarea, schimbarea de variabile şi fixarea arbitrară a valorii unor parametri. Liniarizarea prin logaritmare 1) Dacă plecăm de la modelul neliniar exprimat prin func ia putere: (4.7) prin logaritmare ob inem: (4.8) .
  • 46.
    46 2) Dacă avemmodelul neliniar exponen ial: (4.9) prin logaritmare ob inem: (4.10) . Liniarizarea prin schimbarea de variabile Fie modelul neliniar: yi = a0 +a1xi + a2xi2 + … + akxik + ui (4.11); dacă notăm cu: x1i = xi; x2i = xi 2 ;…; xki = xi k ; se ob ine modelul liniar multifactorial de forma: yi = a0 +a1x1i + a2x2i + … + akxki + ui (4.12). Liniarizarea prin schimbarea arbitrară a valorii unor variabile Acest procedeu se poate aplica doar atunci când pe baza unei analize economice a fenomenelor studiate, se poate evalua valoarea unui parametru. Astfel, dacă luăm exemplul func iei logistice: (4.13) care se pretează la descrierea evolu iei consumului (y) unui anumit produs în func ie de venitul consumatorului (x) şi având în vedere faptul că: consumul unui anumit produs are anumite limite/ un nivel de satura ie, nivel exprimat de parametrul (e) al func iei logistice; constanta (c) putând să ia, spre exemplu, valoarea pe care consumul produsului a atins-o într-o ară dezvoltată unde acesta s-a stabilizat, func ia logistică poate fi transformată într-una liniară: (4.14) . Dacă notăm cu ajungem la forma ecua iei liniare: (4.15) .
  • 47.
    47 Metodele pe bazacărora se pot calcula parametrii unui model econometric sunt: a) metoda punctelor empirice; b) metoda punctelor medii; c) metoda celor mai mici pătrate; d) metoda celor mai mici pătrate generalizată; e) metoda verosimilită ii maxime cu informa ie limitată sau completă17 . Dintre toate metodele mai sus men ionate cea mai des utilizată este metoda celor mai mici pătrate. Primele două metode nu asigură o rigoare statistică a calculelor, iar celelalte două metode au o valoare mai mult teoretică, deoarece în economie, ipotezele pe care se fundamentează pot fi acceptate doar cu multă re inere. Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) pleacă de la următoarele rela ii: unde: yi, xi = valorile reale ale celor două fenomene economice existente în seriile statistice ale acestora; a = este interceptul (locul pe ordonată unde dreapta de regresie se intersectează cu Oy, valoarea lui y pentru x=0); b = este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică y atunci când x creşte (scade) cu o unitate); = valorile teoretice ale variabilei y, ob inute numai în func ie de valorile factorului esen ial xi şi de valorile estimatorilor/parametrilor a şi b, respectiv şi ; = estima iile valorilor variabilelor reziduale ui. Prin MCMMP minimizăm func ia: 17 Vezi E. Şt. Pecican, Econometria pentru…economişti. Econometrie - teorie şi aplica ii, Edi ia a treia, Ed. Economică, Bucureşti, 2007, p.75-80
  • 48.
    48 Sistem de ecuaii ce se transformă în final în: din care se vor calcula valorile estimatorilor: - estima ia parametrului a: ; - estima ia parametrului b: (4.20) ; - dispersia variabilei x: - covarian a dintre variabilele y şi x:
  • 49.
    49 - coeficientul decorela ie liniară a celor două variabile: unde: R= coeficientul de corela ie dintre X şi Y; = abaterea standard a variabilei Y; = abaterea standard a variabilei X. Spre exemplu, zece subiec i sunt testa i de Departamentul de Resurse Umane al firmei în ceea ce priveşte nivelul de creativitate (Y) şi stilul caligrafic (X) al grafiei lor. Au fost ob inute următoarele rezultate: Tabelul nr.2 Pentru determinarea coeficien ilor ecua iei de regresie a şi b vom utiliza ca modalitate de calcul metoda celor mai mici pătrate. Această metodă nu necesită cunoaşterea valorii coeficientului de corela ie, a mediei sau a abaterii standard a variabilelor implicate. De aceea metoda este utilă în cazurile în care cunoaştem doar datele brute. Pentru calculul lui a şi b avem următorul sistem de ecua ii: unde: n = numărul de cazuri ale unei variabile. Nr. crt. X Y 1 17 11 2 13 15 3 15 14 4 11 18 5 19 10 6 10 19 7 12 16 8 11 15 9 13 15 10 14 14
  • 50.
    50 Calculăm: Tabelul nr.3 Nr. crt.X Y X² XY 1 17 11 289 187 2 13 15 169 195 3 15 14 225 210 4 11 18 121 198 5 19 10 361 190 6 10 19 100 190 7 12 16 144 192 8 11 15 121 165 9 13 15 169 195 10 14 14 196 196 Total 135 147 1895 1918 Ob inem astfel: 10a + 135b = 147 135a +1895b = 1918 În urma rezolvării sistemului de ecua ii va rezulta: a = 27,08, iar b = -0,91. Astfel, ecua ia de regresie ob inută va fi de forma: y = 27,08 – 0,91x Vom face în continuare predic ii ale nivelului de creativitate pornind de la această ecua ie în situa iile în care un subiect ar ob ine nota 11, respectiv nota 19 la proba de caligrafie. y1 = 27,08 – 0,91*11 = 17,07 y2 = 27,08 – 0,91*19 = 9,79 Putem observa că între valorile estimate şi valorile efective ob inute sunt câteva diferen e (17,07 estimată fa ă de 17 ob inută, respectiv 9,79 estimată fa ă de 10 ob inută). Aceste diferen e între valorile reale si cele estimate reprezintă erorile de estimare sau valorile reziduale. Dacă am calcula toate valorile reziduale şi media lor, am ob ine media zero şi abaterea standard ar fi eroarea standard a estimării. Aceasta se interpretează asemănător cu abaterea standard în situa ia unei distribu ii normale a datelor. Procesul de regresie, aşa cum am văzut mai sus, presupune doi paşi. Primul se referă la determinarea ecua iei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecua ii în predic ie. Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corela ie. O asociere puternică între două elemente conduce la creşterea preciziei predic iei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o corela ie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă.
  • 51.
    51 Calcularea coeficien ilorde regresie a, respectiv b se pot determina, atunci când se cunoaşte valoarea coeficientului de corela ie dintre cele două variabile X şi Y, media şi abaterea standard a celor două variabile, şi astfel: unde: R = coeficientul de corela ie dintre X şi Y; = abaterea standard a variabilei Y; = abaterea standard a variabilei X. unde: = media variabilei Y; = media variabilei X. Spre exemplu, specialiştii din Departamentul de Resurse Umane din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de angaja i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie (R) între acestea de 0,80. Utilizând regresia avem posibilitatea să estimăm ce tulburări emo ionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de aten ie şi tipul de rela ie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 16, iar abaterea standard 4. Coeficien ii ecua iei de regresie liniară a şi b vor fi: . Între caracteristicile estimatorilor un interes aparte îl reprezintă acele calită i care fac ca estima iile să reprezinte cât mai fidel valorile adevărate ale parametrilor, adică acele valori care reprezintă pentru econometrician aportul fiecărui factor la modificarea variabilei-efect. Estimatorii pot fi nedeplasa i, consisten i şi eficien i. Estimatorul nedeplasat, este acel parametru a cărui mărime rezultată prin aplicarea metodei de estimare ( nu se abate sistematic de la valoarea adevărată (a,b) aşa încât dacă avem k eşantioane de aceiaşi dimensiune n, media estimatorilor ob inu i pe baza datelor din aceste eşantioane r fi egală cu valoarea adevărată ( . Estimatorul consistent vizează acea proprietate a estimatorului care interesează calitatea metodei de estimare de a oferi solu ii ( care se apropie de adevăratele valori (a,b) cu o probabilitate din ce în ce mai mare pe măsură ce numărul de unită i ce formează eşantionul creşte.
  • 52.
    52 Abordând, pentru început,cazul general, afirmăm că estimatorul (pentru parametrul a reprezentând fie media, fie dispersia, fie parametrul de regresie) ob inut în urma prelucrării datelor unui eşantion de n unită i este consistent dacă: unde: m=număr pozitiv oricât de mic Dacă egalitatea este adevărată, afirmăm că secven a de valori aleatoare ( ), valori ob inute pentru n din ce în ce mai mare, converge în probabilitate spre constanta a. Aşadar, constanta a reprezintă limita de probabilitate a secven ei , ceea ce exprimăm prin : Revenind la parametru de regresie b şi la estimatorul acestuia se poate argumenta că: cu o probabilitate care devine tot mai apropiată de 1 pe măsură ce dimensiunea eşantionului n creşte. Estimator eficient (eficace) se referă la calitatea estimatorului de a reprezenta, în raport cu valoarea adevărată b, o estima ie nedeplasată având totodată o împrăştiere (evaluată de dispersie) mai mică decât a altor estimatori ob inu i prin alte metode. Eficien a este legată de precizie, întrucât o împrăştiere mică a rezultatelor estimării în raport cu valoarea adevărată atribuie metodei de estimare calitatea de a fi precisă, eficace, performantă. Pentru a aprecia mărimea împrăştierii şi pentru a putea ob ine o dispersie în condi ii normale sunt necesare mai multe eşantioane(secven e ale unei serii de date) abordate printr-o anumită metodă, ob inându-se mai multe estima ii care, în raport cu b, prezintă o împrăştiere mai mică decât dacă aceleaşi eşantioane ar fi fost prelucrate cu altă metodă. Pentru ob inerea estima iei intervalului de încredere pentru parametru regresiei b ne sunt necesare elementele: - estima ia punctuală ; - reparti ia estima iei parametrului care, acceptând normalitatea reparti iei variabilei reziduale, este cea normală. Pentru valorile standardizate18 ne este dată probabilitatea de a ne situa în intervalul Variabila standardizată pentru estima ia va rezulta astfel: = Dacă avem în vedere că dispunem, de regulă, de un eşantion mic de valori (ceea ce face ca în loc de să preferăm testul t Student) indicatorul este de cele mai multe ori necunoscut, urmând a-l estima ( iar , variabila normată devine . Considerând că variabila normată construită pe baza estima iei punctuale este perfect compatibilă cu valorile normate pentru care se cunosc probabilită ile în tabelul respectivei reparti ii, astfel încât pentru un risc apriori stabilit α, putem defini intervalul: 18 Conform tabelului distribu iei normale reduse (standard) - z
  • 53.
    53 În această relaie observăm: - intervalul de încredere reprezentat de distan a dintre şi dependentă în mare măsură de împrăştierea estima iei ; - nivelul de încredere α reprezintă probabilitatea de a comite o eroare de genul I (de a infirma o ipoteză deşi ea este adevărată). De regulă, se consideră α =0,05 (sau 5%), α =0,01 (sau 1%); - coeficientul de încredere (1-α) este mărimea complementară a nivelului de încredere exprimată în raport cu unitatea (0,95; 0,9) sau în procente (95%, 99%); - valorile critice sunt reprezentate de nivelul inferior, respectiv, de nivelul superior al intervalului de încredere. 4.3.Ipotezele modelului liniar Clasa modelelor liniare poate fi exprimată prin rela ia: y = α1x1 + α2x2 +…+ αpxp + u (4.28) unde: y = variabila dependentă (explicată, endogenă, rezultativă), x = vectorul variabilelor independente (explicative, exogene), de dimensiune 1×p, α = vectorul coeficien ilor, de dimensiune p×1, parametrii modelului, u = o variabilă, interpretată ca eroare (perturbare, eroare de măsurare etc.). Observa ii 1. Liniaritatea rela iei se referă la coeficien i şi nu la variabile. Astfel, modelul: y = α1x12 + α2 +…+ α3 + u (4.29) este tot un model liniar. 2. Considerând că x1 este constant egală cu 1, se ob ine un model liniar care include un termen constant (termenul liber al modelului). 3. Pentru p=2 şi x1=1 se ob ine modelul liniar simplu/ unifactorial, dreapta de regresie (y = α1+ α2x+u). 4. Utilitatea principală a unui model liniar este aceea de predic ie a valorii lui y din valorile cunoscute ale variabilelor x. 5. Un coeficient αi are interpretarea: modificarea cu 1 a valorii variabilei xi produce o modificare a valorii y cu αi unită i. Deoarece scalele de măsură sunt, în general, diferite, interpretarea în acest sens a coeficien ilor poate deforma imaginea importan ei variabilelor
  • 54.
    54 independente în model.Din acest motiv se introduc coeficien ii de regresie standardiza i (bi, i= defini i drept coeficien ii de regresie estima i ai modelului: =b1 + b2 + … + bp (4.30) în care nu există termen liber, iar variabilele şi sunt variabilele standardizate, prin standardizare în elegându-se transformarea de tipul = . Coeficien ii de regresie standardiza i au interpretarea: modificarea cu o abatere standard a valorii variabilei x produce o modificare cu bi abateri standard a valorii variabilei dependente. În acest fel, mărimea coeficien ilor standardiza i reflectă importan a variabilelor independente în predic ia lui y. Presupunem că avem un set de n observa ii efectuate asupra variabilelor implicate în model. Prin urmare dispunem de (xi1, xi2, . . . . , xip, yi), i = . Notând cu y vectorul de tip n×1 având drept componente valorile măsurate pentru variabila y, cu X matricea (xij)n×p a valorilor măsurate pentru variabilele x şi cu u vectorul de tip n×1 având drept componente valorile erorilor, modelul se rescrie în rela ia matriceală: y = α X + u (4.31) Ipotezele modelului ar putea fi sintetizate după cum urmează: 1) Matricea de experien e, n observa ii pentru p variabile, este fixată: Xn×p nu este stocastică. În plus, n > p. Altfel spus, datele ob inute corect (fără erori sistematice de observare) sunt în număr suficient de mare (peste numărul de parametrii care urmează a fi estima i) astfel încât solu iile să prezinte stabilitate. 2) X este de rang p (coloanele sunt liniar independente – formează o bază a unui spa iu vectorial p-dimensional). 3) a) Valorile variabilei reziduale sunt independente (nu sunt corelate) adică nu există fenomenul de autocorelare a erorilor: cov(ui,uj) =0, pentru b) Variabila reziduală prezintă o împrăştiere (dispersie) egală pentru diferitele segmente de valori xi, altfel spus, dispersia este constantă şi independentă de variabila xi: σ2 (ui/xi) = M[ui – M(ui/xi)]2 = M[ui 2 / xi] = σ2 , deoarece M(ui) =0. c) Vectorul de perturba ii (n-dimensional) u constă din n variabile aleatoare cu media 0 şi urmează, fie şi asimptotic, o reparti ie normală (vectorul u este o variabilă aleatoare n- dimensională normală): M(ui) = 0 u ~ N(0, σ2 ).
  • 55.
    55 Este evident căreziduurile constituie estima ii ale erorilor ui. Se poate demonstra că: unde: = dispersiile reziduurilor = dispersiile teoretice ale reziduurilor. Este de notat că numitorul este egal cu numărul gradelor de libertate a sumei de la numărător (n observa ii din care am ob inut p estima ii). De remarcat că ultima ipoteză, a normalită ii, este, mai degrabă, o ipoteză simplificatoare decât una restrictivă, cum sunt primele două. Aceasta deoarece erorile se datorează, în general, în procesele studiate, ac iunilor simultane ale unor factori aleatorii, ceea ce prin teorema de limită centrală conduce la concluzia că u, ca sumă a lor, tinde spre o reparti ie normală. 4.4.Verificarea ipotezelor modelului liniar Prima ipoteză, conform căreia variabilele x şi y sunt corecte şi nu sunt afectate de erori de măsură, ar putea fi apreciată ca „de la sine în eleasă”, totuşi există o serie de aspecte care îndreptă esc men ionarea explicită, deşi nu unanim acceptată a problemei calită ii datelor, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Variabilele economice se introduc într-un model econometric (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unită ilor observate) cu valorile lor reale sau empirice. Aceste valori se pot ob ine: fie pe baza sistemului informa ional statistic (banca de date) şi/sau eviden a financiar- contabilă, fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor statistice. Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficien e, fiind compromis sub aspect opera ional. Deoarece problema autenticită ii datelor economice ine de domeniul statisticii economice19 , ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condi iile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune: o colectarea lor de la unită i statistice omogene; o reprezentarea aceloraşi defini ii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spa iu; o descrierea evolu iei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condi iile de desfăşurare a procesului analizat; o exprimarea variabilelor în aceleaşi unită i de măsură, condi ie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în pre uri comparabile sau pre uri reale. 19 Vezi regula celor trei sigma, regulă care constă în verificarea următoarelor rela ii: şi , dacă valorile se încadrează în aceste intervale ipoteza se acceptă fără rezerve.
  • 56.
    56 Neconfirmarea celei de-adoua ipoteze, independen a variabilelor exogene - specifică modelelor multifactoriale -, este semnalată prin no iunea de multicoliniaritate20 . Cea mai simplă metodă de detectare a multicoliniarită ii este bazată pe studiul matricei de corela ie dintre variabilele x. Se pot determina astfel perechile de variabile independente care sunt puternic corelate între ele. O structură mai complexă a intercorela iilor poate fi detectată prin calcularea determinantului acestei matrice de corela ie. O valoare apropiată de zero a determinantului reflectă o puternică corela ie între anumite variabile, deci existen a multicoliniarită ii. O altă abordare a problemei este aceea a stabilirii unui indicator sintetic pentru a decide dacă o variabilă este coliniară cu celelalte (sau cu un grup dintre celelalte). Notând cu Ri 2 coeficientul de determinare21 ob inut la estimarea regresiei multiple având ca variabilă dependentă pe xi şi ca variabile independente restul variabilelor x, adică: xi = f(x1,x2,…,xi-1, xi+1,…,xp) se introduce toleran a variabilei xi prin: τ i = 1 − Ri2 O valoare mică a lui τi (uzual mai mică decât 0,1) reflectă un coeficient Ri2 apropiat de 1, deci o legătură liniară puternică între xi şi restul variabilelor independente. Prin urmare xi este coliniară cu celelalte variabile independente. Se defineşte factorul de infla ie a varian ei (variance inflating factor), notat VIF, inversul toleran ei: VIF i = Denumirea provine din aceea că un asemenea factor apare multiplicativ în definirea varian ei coeficien ilor estima i (se poate spune că se măsoară de câte ori este supraevaluată varian a coeficien ilor datorită multicoliniarită ii în raport cu situa ia când nu ar exista coliniaritate). Interpretarea este dedusă din cea a toleran ei: o valoare VIF mare (uzual mai mare decât 10), denotă multicoliniaritate. Eliminarea multicoliniarită ii O rezolvare comună a problemei multicoliniarită ii este aceea ca dintre două variabile independente corelate să se re ină în model doar una. Prin interpretarea toleran elor sau a factorilor de infla ie se vor exclude din model acele variabile care au toleran e mici (sau factori de infla ie mari). 20 Termen introdus de R. Frisch, Statistical Confluence Analysis by Means of Complete Regression Systems, Institute of Economics, Oslo University, 1934 21 Vezi subcapitolul 4.6. Evaluarea modelului de ajustare
  • 57.
    57 Cea de-a treiaipoteză vizează trei aspecte legate de variabila aleatoare ui, pe de-o parte, ca valorile variabilei reziduale u să fie necorelate, adică nu există fenomenul de autocorelare a erorilor, pe de altă parte, erorile au dispersii egale (sunt homoscedastice)şi nu diferite (heteroscedastice) şi, de asemenea, variabila aleatoare urmează o distribu ie normală. Depistarea autocorelării erorilor se face utilizând următoarele procedee: - Procedeul grafic vizează realizarea corelogramei între valorile estimate ale variabilei endogene şi valorile variabilei reziduale . ûi ŷi Figura nr.11: Corelograma între valorile estimate ale variabilei endogene şi valorile variabilei reziduale O regularitate a graficului semnalează o corelare a reziduului. Totuşi, trebuie men ionat că prin grafic nu putem decât semnala prezen a autocorelării, decizia finală trebuie însă luată pe baza aplicării unui test statistic adecvat cum ar fi: testul Durbin-Watson sau testul Breusch-Godfrey. - Autocorelarea reziduurilor se poate verifica şi pe baza calculării coeficientului de autocorelare de ordinul I: (4.42) Acesta este definit în intervalul [-1,1]. Dacă valoarea sa este de -1 avem o autocorelare strict negativă, dacă este 0 variabilele sunt independente, iar dacă este +1 autocorelarea este strict pozitivă. - Testul Durbin-Watson constă în calcularea valorii: Această valoare empirică DW, se compară cu două valori teoretice, d1 şi d2, preluate din tabelul distribu iei Durbin-Watson în func ie de un prag de semnifica ie α, arbitrar ales, (α=0,05 sau α=0,01), de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate (n,n≥15). Regula de decizie a aplicării testului este: Dacă: 0<DW<d1 - autocorelarea este pozitivă; d1≤DW≤d2 - indecizie;
  • 58.
    58 d2<DW<4-d2 - erorilesunt independente; 4-d2≤DW≤4-d1 - indecizie; 4-d1<DW<4 - autocorelarea este negativă. Cei doi autori, acceptând ipoteza de normalitate a variabilei reziduale, au demonstrat că distribu ia variabilei aleatoare d este cuprinsă între două distribu ii limită, d1 şi d2, ale căror mărimi depind de pragul de semnifica ie α, de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate (n,n≥15). Dezvoltând rela ia lui DW aceasta devine: Pentru un n suficient de mare cele trei sume, , fiind aproximativ egale, rela ia de mai sus se transformă în: Se notează cu coeficientul de autocorelare de ordinul I al reziduurilor ui şi atunci rezultă: unde: . Dacă DW=4 şi r1=-1 avem o autocorelare strict negativă, dacă şi r1 nu ne putem pronun a, dacă DW=2 şi r1=0 variabilele sunt independente, dacă şi r1 nu ne putem pronun a, iar dacă DW=0 şi r1=1 autocorelarea este strict pozitivă. - Testul Breusch-Godfrey este utilizat în vederea depistării unei autocorelării de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existen ei unei autocorelări de ordin superior se construieşte următorul model: unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia to i coeficien ii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt care implică non-existen a fenomenului de autocorelare a erorilor. În vederea utilizării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ui, ob inute în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate asupra modelului ini ial. Variabila reziduală ui este regresată apoi în func ie de variabilele exogene ini iale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ui-1, ui-2, …, ui-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma:
  • 59.
    59 Presupunând că neaflăm în situa ia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub forma unui χ2 α,v, pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v=p, unde p = mărimea decalajului, respectiv: . Dacă BG> χ2 α,v, ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că există cel pu in un coeficient de autocorelare nenul. În general, autocorelarea erorilor este provocată de două cauze: fie faptul că variabila endogenă y se autocorelează în evolu ia sa (ca urmare a unui efect iner ial) generând o autocorelare în timp a erorilor, fie datorită omiterii unei variabile exogene x, cu influen ă semnificativă asupra lui y, adică a unei erori de specificare a modelului econometric. Eliminarea fenomenului de autocorelare a variabilei reziduale ui se fundamentează pe evitarea cauzelor care îl generează. Dintre modalită ile de a evita consecin ele statistice pe care le generează acest fenomen men ionăm: - Aplicarea metodei celor mai mici pătrate generalizate în vederea estimării parametrilor modelului care, în cazul autocorelării reziduurilor, permite ob inerea de estimatori nedeplasa i, consisten i şi eficien i. Această metodă se utilizează atunci când avem modele multifactoriale, numărul variabilelor explicative fiind mai mare de unu. - În cazul modelului unifactorial de forma: se estimează parametrii acestuia, a şi b, cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate. Se determină valorile ajustate ale variabilei endogene: (4.49) şi reziduurilor: (4.50) şi se aplică testul Durbin-Watson. Dacă ipoteza de independen ă a variabilelor reziduale nu poate fi acceptată aceasta presupune o autocorelare de ordinul întâi a erorilor, respectiv: unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ştiind că . Dacă înlocuim rela iile (4.50) şi (4.52) în rela ia (4.51) ob inem: În ecua ia de mai sus variabilele yi şi xi sunt cunoscute, iar valoarea coeficientului de autocorela ie se va calcula cu rela ia:
  • 60.
    60 Se introduce valoareaacestuia în rela ia (4.53) şi se vor estima parametrii a şi b prin aplicarea din nou a metodei celor mai mici pătrate. Fie şi estima iile parametrilor a şi b, calculate pe baza diferen elor de ordinul întâi a variabilelor y şi x. Se ajunge la modelul: ( unde: ( = diferen ele teoretice (ajustate) de ordinul întâi ale variabilei endogene y, calculate pe baza func iei de regresie. Se pot utiliza şi alte metode de eliminare a autocorelării erorilor cum ar fi: procedeul prin baleiaj –Hildreth-Lu, procedeul iterativ al lui Cochran şi C. Orcutt, procedeul Durbin şi altele.22 În baza ipotezei de homoscedasticitate a variabilei reziduale (3) se poate admite că legătura dintre cele două variabile y şi, respectiv, x este relativ stabilă. Contrariul homoscedasticită ii este heteroscedasticitatea, care înseamnă că erorile nu au dispersiile egale ci diferite. Dacă dispersiile nu sunt egale, estimatorii rămân nedeplasa i, dar nu mai sunt eficace, MCMMP conducând la o subestimare a parametrilor modelului influen ând sensibil şi calitatea diferitelor teste statistice aplicate acestuia. Depistarea heteroscedasticită ii23 se poate realiza prin mai multe procedee dintre care men ionăm: - Procedeul grafic prin care se construieşte corelograma privind valorile variabilei factoriale x şi valorile variabilei reziduale u. Dacă pe măsura creşterii/scăderii valorilor variabile x se observă o creştere/scădere a valorii variabilei u înseamnă că acestea sunt corelate şi nu independente. û û x x a) Corelare pozitivă b) Corelare negativă 22 Vezi E. Şt. Pecican, Op.cit., p. 222-224 şi T.Andrei, R. Bourbonnais, Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, p.230-233 ş.a. 23 Vezi D.N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd edition, New York, Mc Graw-Hill, 1995, p.369-380; T.Andrei, R. Bourbonnais, op.cit., p.239-266; I.Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Funda iei “România de Mâine”, Bucureşti, 2007, p.193-196 ş.a.
  • 61.
    61 - Procedeul dispersiilorvariabilelor reziduale (Testul F, Fisher-Snedecor) se poate aplica atunci când se utilizează serii lungi de date. În acest caz, seria valorilor reziduale ui (care în prealabil a fost ordonată în raport cu mărimea variabilei x) se împarte în două sau mai multe grupe calculându-se dispersiile corespunzătoare (grupa trebuie să con ină cel pu in 5 valori). Dacă seria a fost împăr ită în 3 sau 4 grupe se testează perechile de grupe, corespunzător, se ob in perechi de dispersii, urmând ca dispersia cea mai mare dintre cele două să fie plasată la numărătorul raportului F. Dacă numărul de termeni ai seriei este impar se recomandă eliminarea termenului de mijloc al seriei, astfel încât să se ajungă la subeşantioane egale. unde: k = numărul variabilelor exogene care, întrucât numitorii dispersiilor se simplifică, iar M(ui)=0, se ob ine rela ia: Dacă Fc > Fα, adică valoarea calculată a lui F este mai mare decât valoarea tabelată24 , se infirmă ipoteza de homoscedasticitate, erorile fiind heteroscedastice, eliminarea acestui fenomen făcându-se cu ajutorul metodei regresiei ponderate. - Calculul coeficientului de corela ie liniară simplă: Dacă valoarea coeficientului de corela ie liniară este aproximativ egală cu zero atunci se acceptă ipoteza de homoscedasticitate. - Testul Goldfeld-Quandt presupune în prealabil ordonarea datelor astfel încât valorile seriei de date xi să apară în ordine crescătoare. Se elimină un număr de c valori centrate (unde, de regulă, se consideră că c trebuie să reprezinte o treime sau un sfert din numărul total de observa ii) pentru a se face mai evidentă eventuala discrepan ă dintre împrăştierea termenilor din prima parte a seriei ui, respectiv din ultima parte a acesteia. Se aplică MCMMP în fiecare grupă separat (grupă de dimensiune (n-c)/2) şi calcularea sumei pătratelor erorilor pentru fiecare grupă în parte. Calcularea raportului dintre sumele pătratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunzătoare celor două subeşantioane se realizează cu formula (suma pătratelor erorilor având valoarea cea mai mare se plasează la numărător): 24 Valoarea tabelată, corespunzătoare distribu iei Fisher-Snedecor este prezentată în Anexa 1.
  • 62.
    62 unde: k=numărul variabilelorexogene Dacă Fc > Fα, atunci ipoteza de homoscedasticitate este infirmată. - Testul Park se bazează pe existen a unei rela ii de dependen ă între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabila exogenă x de forma: (4.60) unde: ωi = variabila reziduală care verifică ipotezele aferente metodei celor mai mici pătrate Prin logaritmare modelul neliniar (4.33) este liniarizat: Necunoscând valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice se notează cu ûi 2 pătratul erorilor, astfel rela ia devine: Ipoteza de homoscedasticitate este verificată dacă parametrul b aferent variabilei exogene x are valoare nesemnificativă, cazul contrar indicând heteroscedasticitatea. - Testul Glejser presupune că variabila exogenă ar fi cauza heteroscedasticită ii. Astfel dacă se formulează rela ia între variabila exogenă şi erorilor estimate, în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate, asupra modelului ini ial sunt create premisele de testare. După calcularea erorilor, valoarea absolută a acestora este amplasată în regresie, în raport de valorile variabilei exogene. Pentru acest scop între cele două variabile sunt folosite următoarele rela ii: ; în această situa ie heteroscedasticitatea este de tipul , caz în care se va aplica regresia ponderată asupra datelor ini iale, care vor fi împăr ite la xi, rezultând astfel un model de forma:
  • 63.
    63 La toate relaiile de mai sus se poate aplica regresia ponderată asupra datelor ini iale rezultând modelele aferente. Verificarea homoscedasticită ii erorilor presupune, ca şi în cazul testului precedent, verificarea semnifica iei parametrului corespunzător variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative în cazul unor eşantioane de dimensiuni mari, iar, în cazul celor de dimensiuni mici, este pur teoretică. Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate realiza prin următoarele procedee: - Construirea modelului pe baza abaterilor centrate ale variabilelor. Dacă : pe baza rela iilor (4.69), (4.71) şi în baza ipotezelor ob inem: Notând cu = = rezultă: Estimarea parametrului b presupune minimizarea func iei:
  • 64.
    64 Şi calculul derivateipar iale a func iei: - Metoda regresiei ponderate. Dacă : Heteroscedasticitatea presupune că , ceea ce înseamnă: unde: = coeficient de ponderare. Estimarea parametrilor modelului presupune minimizarea func iei: Conform rela iei (4.72) rezultă: unde: σu 2 şi λi sunt, în general, necunoscute. Însă, în practică, s-a constatat faptul că abaterile standard sunt aproximativ propor ionale cu valorile variabilei exogene x, adică: În baza rela iilor (4.76), (4.79) şi (4.78) ob inem: Dar rela ia de mai sus este echivalentă cu aplicarea metodei celor mai mici pătrate modelului ini ial, după ce în prealabil a fost împăr it la xi:
  • 65.
    65 Calculând derivatele pariale în raport cu şi ale func iilor (4.80) şi (4.81) şi anulându-le se ajunge la acelaşi sistem de ecua ii pe baza căruia se determină cei doi estimatori: Metoda poate fi utilizată în practică pentru modelarea investi iilor unor întreprinderi de dimensiuni diferite în func ie de capital, cifră de afaceri şi venit: I=f(K, CA, V)+u. Legea de probabilitate a variabilei reziduale ui este legea normală, de medie nulă şi abatere medie pătratică constantă ( . Se ştie faptul că, dacă erorile urmează legea normală şi în baza celorlalte ipoteze putem scrie rela ia: Plecând de la rela ia de mai sus, în func ie de diferite praguri de semnifica ie ale lui α, din tabela distribu iei normale sau a distribu iei Student se vor prelua valorile corespunzătoare lui 25 . Verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza unui grafic în cadrul căruia pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y ( , iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale . Dacă valorile empirice ale variabilei reziduale se înscriu în banda , cu un anumit prag de semnifica ie α, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptată cu acest prag de semnifica ie (vezi Figura nr.12) 25 Valoarea tabelată, corespunzătoare distribu iei t Student este prezentată în Anexa 2.
  • 66.
    66 ûi 0 ŷi Figura nr.12: Histogramade verificare a ipotezei de normalitate O altă modalitate de verificare a ipotezei de normalitate a erorilor o constituie testul Jarque-Bera. El reprezintă o cale mai obiectivă fiind fundamentat pe prezum ia că în cazul reparti iei normale nivelul coeficientul de asimetrie („skewness”) (S) este egal cu zero şi nivelul coeficientului de boltire („kurtosis”) (K)este egal cu 3.Dacă u urmează o reparti ie normală nivelul calculat al „JB” urmează asimptotic distribu ia χ2 cu 2 grade de libertate: unde: n = numărul de observa ii; S = coeficientul de asimetrie, care măsoară asimetria distribu iei erorilor în jurul mediei acestora, care este egală cu zero; K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson, care măsoară boltirea distribu iei –cât de „ascu ită” sau de aplatizată este distribu ia comparativ cu distribu ia normală; JB = coeficientul Jarque-Bera care trebuie să fie mai mic sau cel mult egal cu valoarea lui pentru a verifica ipoteza de normalitate.
  • 67.
    67 4.5.Verificarea semnifica ieiestimatorilor parametrilor modelului econometric Verificarea semnifica iei estimatorilor constă în a accepta, sau a respinge, una din cele două ipoteze: H0: a,b = 0 H1: a,b ≠ 0. Testul adecvat în acest scop, şi fiind variabile aleatoare repartizate normal, este testul t Student. Prin centrarea şi normarea estima iilor şi , în cazul ipotezei: H0: L( )=N(0, ) şi L( )=N(0, ) unde: ) – abaterea medie pătratică a estimatorului ; – abaterea medie pătratică a estimatorului ; se ob in valorile: şi care se compară cu valoarea teoretică, astfel: tα= variabila normală, dacă i= , n>30, preluată din tabela distribu iei normale, în func ie de o valoare arbitrar aleasă a probabilită ii p sau a pragului de semnifica ie α, p+α=1; aceste valori, de regulă fiind: p=0,9 şi α=0,1; p=0,95 şi α=0,5; p=0,99 şi α=0,01; tα,n-(k+1) = variabila student, dacă i= , n≤30, preluată din tabela distribu iei Student, în func ie de valoarea stabilită pentru α şi de numărul gradelor de libertate, n-(k+1); n=numărul observa iilor; k=numărul variabilelor exogene xj, j= ,(k+1= numărul parametrilor modelului econometric). Pe baza celor două valori, tcal şi tα,v, regula de decizie a testului este: dacă: atunci se acceptă ipoteza nulă, estimatorii nu sunt semnificativ diferi i de zero, se renun ă la ei şi la model; dacă: atunci se acceptă cea de-a doua ipoteză, modelul este corect; dacă: atunci se re ine modelul fără termen liber de forma: y=bx+u . În practică, deoarece t0,05 > 2, economiştii acceptă ipoteza a doua dacă: . În acelaşi timp, ştiind că şi sunt repartiza i normal, se poate estima intervalul de încredere al parametrilor acestora:
  • 68.
    68 Parametrii a şib vor fi considera i semnificativ diferi i de zero dacă: 4.6.Evaluarea modelului de ajustare Modelul econometric , este expresia formală a modelului economic real, , conceput pe baza teoriei economice şi rezultat pe baza unui singur experiment, unui singur sondaj statistic. Prin urmare, în această etapă se urmăreşte să se verifice: 1) dacă ipoteza de pornire - x este principalul factor de influen ă al fenomenului y – este corectă sau nu; 2) dacă legitatea economică dintre cele două variabile este de forma y=a+bx; 3) dacă rezultatele ob inute pot fi considerate sistematice – în sensul că se vor ob ine aproape aceleaşi rezultate dacă se va repeta experien a cu alte sondaje, de volum şi structură (alte unită i statistice) diferite. În general, scopurile urmărite în această etapă se rezolvă cu ajutorul metodei analizei varia iei, cunoscută şi sub numele de metoda ANOVA. Reziduuri mici exprimă o ajustare mai bună a datelor experimentale, dar stabilirea unui criteriu care să indice cât de mici trebuie să fie reziduurile pentru ca regresia să fie acceptată este o problemă dificilă. Metoda analizei varia iei porneşte de la identitatea: ridicăm la pătrat rezultând: Prin ridicarea la pătrat a binomului din partea dreaptă a rela iei (4.88) rezultă:
  • 69.
    69 , adică xişi ui sunt variabile independente, dacă variabilele sunt homoscedastice (ipoteza 3b). În baza rela iei (4.90) rela ia (4.89) devine: Această rela ie arată că varia ia valorilor observate în jurul valorii medii se descompune într-un termen ce exprimă varia ia valorilor estimate în jurul mediei şi într-un termen datorat reziduurilor ajustării. Prin urmare, regresia estimată va fi cu atât mai bună cu cât ultimul termen va fi mai mic, sau cu cât varia ia valorilor estimate va fi mai apropiată de varia ia valorilor observate. Se alege drept indicator sintetic de precizie a ajustării raportul: Pentru o bună ajustare a ecua iei de regresie la datele experimentale, trebuie ca acest raport să fie apropiat de 1. Cantitatea R2 se numeşte coeficientul de determinare şi, exprimat procentual, arată cât din varian a variabilei dependente este explicată de ecua ia estimată. deci poate fi interpretat şi în următorul sens: cu cât se îmbunătă eşte prognoza valorilor y prin considerarea modelului estimat. Se arată că R2 creşte prin includerea mai multor variabile în model, astfel încât are loc o supraestimare în cazul modelelor extinse. O solu ie propusă este ajustarea coeficientului de determinare prin: Ca măsură a asocierii dintre y şi ansamblul variabilelor x se introduce coeficientul de corela ie multiplă, notat cu R. Poate fi definit drept coeficientul maxim de corela ie simplă (Pearson) dintre y şi o combina ie liniară de variabile x. Astfel se explică faptul că valoarea calculată a lui R este întotdeauna pozitivă şi tinde să crească o dată cu mărirea numărului de variabile independente. Metoda celor mai mici pătrate poate fi astfel gândită ca o metodă care maximizează corela ia dintre valorile observate şi valorile estimate (acestea reprezentând o combina ie liniară de variabile x). O valoare R apropiată de 0 denotă o regresie nesemnificativă, valorile prognozate de regresie nefiind mai bune decât cele ob inute printr-o ghicire aleatorie (sau bazate doar pe distribu ia lui y).
  • 70.
    70 Deoarece R tindesă supraestimeze asocierea dintre y şi x, se preferă indicatorul definit anterior, coeficientul de determinare, R2 , care este pătratul coeficientului de corela ie multiplă. Dacă notăm cu: SPg = ; SPreg = ; SPrez = ; cele trei sume de pătrate care apar în identitatea introdusă la definirea coeficientului de determinare, rela ia (4.93). Sumele sunt referite ca suma pătratelor globală (SPg), suma pătratelor datorate regresiei (SPreg) şi suma pătratelor reziduale (SPrez). Fiecare sumă de pătrate are ataşat un număr de grade de libertate: νg = n-1, νreg = p-1, νrez = n-p şi se poate realiza un tabel al analizei dispersionale (ANOVA) sub forma: Tabelul nr.4 Sursa de varia ie Suma de pătrate Grade de libertate Media pătrată F Regresie SPreg νreg SPreg / νreg = s2 reg F = s2 reg / s2 Reziduală SPrez νrez SPrez / νrez = s2 Globală SPg νg SPg / νg Testul F de semnifica ie globală Primul test utilizat în analiza regresiei este un test global de semnifica ie a ansamblului coeficien ilor (exceptând termenul liber, dacă acesta apare). Ipotezele testului sunt: H0: α1 = α2 = … = αp = 0 H1: (∃)i, astfel încât αi ≠ 0. În condi iile ipotezei nule, se demonstrează că statistica F, calculată în tabelul ANOVA (Fc), este repartizată Fisher-Snedecor Fα,p-1,n-p, încât se poate verifica ipoteza nulă. Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus ini ial. Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă: Fc >Fα,p-1,n-p . Teste t – Student În situa ia când este respinsă ipoteza nulă, se acceptă că ecua ia de regresie este semnificativă la nivel global, cu men iunea că s-ar putea ca anumi i coeficien i/estimatori să nu fie semnificativi. Pentru testarea fiecărui coeficient se utilizează un test t cu ipotezele:
  • 71.
    71 H0: αi =0 H1: αi ≠ 0. În condi iile ipotezei H0 se arată că statistica ti= este repartizată Student cu n – p grade de libertate, ceea ce permite utilizarea testului t. În expresia care dă statistica testului, s(ai) este abaterea standard estimată a coeficientului, dată ca rădăcina pătrată din elementul corespunzător de pe diagonala principală a matricei s2 (X’X)-1 - matricea X a variabilelor independente exogene. Nerespingerea ipotezei nule arată că datele experimentale nu permit stabilirea necesită ii prezen ei variabilei xi în model, variabila este nesemnificativă în model. Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă: tc >tα, n-p . 4.7.Cea mai bună regresie Procesul de selectare a celei mai bune regresii are loc în contextul în care există o variabilă dependentă y şi o mul ime de variabile independente posibile x. Problema poate fi formulată: Care este acea submul ime minimală de variabile independente care permite estimarea unui model liniar semnificativ şi adecvat valorilor observate y? Etapele selectării celei mai bune regresii 1. Se identifică toate variabilele independente posibile (cu alte cuvinte se specifică modelul maxim). 2. Se specifică criteriul de selectare a celei mai bune regresii. 3. Se specifică o strategie pentru selectarea variabilelor independente. 4. Se realizează estimarea şi analiza modelului. 5. Se evaluează reliabilitatea modelului ales. Strategii de selectare a celui mai bun model Metoda tuturor regresiilor posibile Se estimează toate regresiile posibile. Se re in valorile coeficien ilor de determinare; gruparea este după cardinalul mul imii de predictori. Variabile independente R2 {x1}, {x2} … … {x1,x2}, {x1,x3}, …, {xn-1,xn} … … … {x1,x2,…,xn} … Se analizează valorile R2 şi se re ine acea submul ime de variabile pentru care se realizează compromisul acceptabil între numărul de variabile şi mărimea coeficientului de determinare.
  • 72.
    72 Selec ia prospectivă Proceduraîncepe prin includerea în model a variabilei independente având cel mai mare coeficient de corela ie cu variabila y. La fiecare pas următor, se analizează fiecare dintre variabilele neincluse încă în model printr-un test F secven ial şi se extinde modelul prin includerea acelei variabile care aduce o contribu ie maximă (probabilitatea critică din testul F este cea mai mică). Procesul se opreşte atunci când modelul nu mai poate fi extins, criteriul uzual fiind acela al fixării un prag de intrare (PIN) şi acceptând doar variabilele pentru care probabilitatea critică în testul F secven ial este mai mică sau egală cu acest prag. Procedura are ca limitări faptul că anumite variabile nu vor fi incluse în model niciodată, deci importan a lor nu va fi determinată. Pe de altă parte, o variabilă inclusă la un anumit pas rămâne permanent în model, chiar dacă, prin includerea ulterioară a altor variabile, importan a ei poate să scadă. Selec ia retrogradă Se începe cu estimarea modelului complet şi apoi, într-un număr de paşi succesivi, se elimină din model variabilele nesemnificative. La fiecare pas, pe baza unui test F par ial, se elimină acea variabilă care are cea mai mare probabilitate critică. Procesul se opreşte atunci când nici o variabilă nu mai poate fi eliminată. Criteriul uzual este acela de fixare a unui prag de eliminare (POUT) şi considerarea doar a variabilelor care au probabilitatea critică mai mare decât acest prag. Selec ia pas cu pas Procedura pas cu pas (stepwise regression) este o combina ie a celor două metode descrise anterior. La un pas ulterior al regresiei prospective se permite eliminarea unei variabile, ca în regresia retrogradă. O variabilă eliminată din model devine candidată pentru includerea în model, iar o variabilă inclusă în model devine candidată la excludere. Pentru ca procesul să nu intre într- un ciclu infinit, trebuie ca PIN ≤ POUT.
  • 73.
    73 CAPITOLUL 5. APLICAII ŞI PROBLEME 5.1.Instrumente Excel - Regression Estimarea coeficien ilor unui model liniar prin metoda celor mai mici pătrate şi calculul statisticilor necesare testelor statistice asociate sunt efectuate de procedura Regression, una dintre cele mai complexe din pachetul de prelucrări statistice din Excel. Procedura permite şi construirea graficelor necesare pentru aprecierea vizuală a potrivirii modelului liniar. Deşi acestea, din motive evidente, necesită prelucrări suplimentare de scalare înainte de interpretare, existen a lor este un real ajutor pentru statistician. Termeni Modelul liniar estimat de procedură este Y = α0X0 + α1X1 + α2X2 + … + αp-1Xp-1 + ε, care exprimă faptul că variabila Y se poate ob ine ca o combina ie liniară a variabilelor X0, X1,…, Xp-1 la care se adaugă o "eroare" ε. Pentru estimarea parametrilor modelului se consideră disponibile n observa ii asupra tuturor variabilelor din model. Valorile sunt structurate ca un tablou dreptunghiular, fiecare variabilă ocupând o coloană (deci o linie este referită drept o observa ie), este prezentat în figura nr.13. Figura nr.13: Dialogul procedurii Regression
  • 74.
    74 Input Input Y Range– se precizează domeniul (coloana) pe care se află valorile variabilei dependente yi. Input X Range – se precizează domeniul pe care se află valorile tuturor variabilelor independente. Acest domeniu trebuie să fie compact, fiecare variabilă Xi ocupând o coloană. Labels – se marchează boxa de control în cazul în care prima linie din tabloul de date este cu denumirile variabilelor (situa ie recomandată). Constant Is Zero – se marchează boxa de control dacă modelul care se estimează este fără termen liber. Confidence Level – se precizează, procentual, siguran a statistică dorită în raportarea intervalelor de încredere deci valoarea (1–α)×100, unde α este pragul de semnifica ie. Intervalele ob inute sunt suplimentare, întotdeauna afişându-se cele pentru α = 0,05. Boxa se va marca doar dacă se doreşte şi un alt prag de semnifica ie. Output options Output Range, New Worksheet Ply, New Workbook – Precizează zona unde se vor înscrie rezultatele. Zona de rezultate este foarte complexă, cuprinde tabele care depind de mărimea modelului, de numărul de observa ii, de numărul graficelor dorite etc. Prin urmare se va prefera o foaie de calcul nouă sau o zonă liberă în dreapta şi în jos. Residuals Residuals – se marchează boxa de control în cazul când se doreşte calcularea reziduurilor modelului estimat. Residual Plots – se marchează boxa de control în cazul când se doreşte ob inerea diagramelor reziduuri – variabilă independentă, adică vizualizarea punctelor de coordonate (xij, rj), j = , având ca abscisă o valoare a variabilei independente Xi, iar ca ordonată reziduul corespunzător. Standardized Residuals – această boxă de control se va marca dacă se doreşte calculul valorilor standardizate ale reziduurilor. Valorile astfel ob inute provin, teoretic, dintr-o distribu ie normală standard, astfel încât o histogramă a acestor valori trebuie să se apropie de curba normală (clopotul lui Gauss). Line Fit Plots – se marchează această boxă de control dacă se doreşte afişarea diagramelor Y – variabilă independentă, prin care se vizualizează, pe un acelaşi grafic, punctele de coordonate (xij, yobs,i), (xij, yest,i), j= , unde abscisele sunt valorile variabilei independente, iar ordonatele sunt valorile observate şi cele estimate ale variabilei dependente. Este desenat câte un grafic pentru fiecare variabilă independentă. Interpretarea acestor diagrame poate oferi indica ii asupra adecvan ei modelului, asupra valorilor aberante. Normal Probability Normal Probability Plots – se marchează dacă se doreşte vizualizarea reparti iei de sondaj a variabilei Y într-o re ea de probabilitate.
  • 75.
    75 5.2.Aplica ii practice InstrumenteExcel Pentru prelucrarea unui set de date memorat într-un document Excel se pot utiliza atât func iile statistice ale aplica iei, cât şi proceduri ob inute prin Tools – Data Analysis. Func iile statistice uzuale sunt (în ordine alfabetică): AVEDEV – abaterea medie absolută AVERAGE – media aritmetică BINOMDIST – func ia de reparti ie binomială CHIDIST – func ia de reparti ie χ2 CHIINV – inversa func iei de reparti ie χ2 CHITEST – aplicarea testului χ2 CONFIDENCE – intervalul de încredere pentru medie FDIST – func ia de reparti ie F FINV – inversa func iei de reparti ie F FTEST – aplicarea testului F HARMEAN – media armonică KURT – coeficientul de aplatizare MIN, MAX – valorile extreme din listă MEDIAN – mediana MODE – valoarea mod NORMDIST – func ia de reparti ie normală NORMINV – inversa func iei de reparti ie normală NORMSDIST – func ia de reparti ie normală standard NORMSINV – inversa func iei de reparti ie normală standard PERCENTILE – quantile QUARTILE – quartile RANK – rangul argumentului într-o listă SKEW – coeficientul de asimetrie STANDARDIZE – valoarea standardizată a argumentului STDEV – abaterea standard TDIST – func ia de reparti ie Student, t TINV – inversa func iei de reparti ie Student TTEST – aplicarea testului Student VAR – dispersia Pentru a utiliza procedurile statistice, trebuie ca prin Tools – AddIns să se verifice dacă este instalat utilitarul Analysis ToolPak. În caz afirmativ, comanda Tools – Data Analysis va deschide dialogul Data Analysis din care sunt accesibile o serie de prelucrări statistice conduse de dialogurile asociate. Astfel, Descriptive Statistics va produce indicatorii statistici ai unei variabile continue. Tot în partea de descriere statistică poate fi încadrată şi metoda de creare a cuburilor OLAP prin Data – Pivot Table, metodă prin care se ob in distribu iile simple sau multivariate ale unor variabile discrete sau indicatorii statistici esen iali ai subpopula iilor.
  • 76.
    76 De asemenea, pentruprocedurile legate de reprezentările grafice se ini iază Insert - Chart (sau uneltele corespunzătoare) oferind grafice, histograme etc. Exemplu de aplicare a modelului unifactorial Se cunosc următoarele date privind câştigul salarial net lunar real26 şi popula ia ocupată civilă în România, în perioada 2002-2008 (vezi Tabelul nr.5): Tabelul nr.5 Anul Popula ia ocupată (mii pers.) Câştig salarial net lunar real (RON/salariat) 2002 8329 379 2003 8306 536,272 2004 8238 733,775 2005 8390 1044,4 2006 8469 1320,65 2007 8726 1719,3 2008 8730 2293,498 Sursa: Anuarul Statistic al României 2009,INS, Bucureşti a) Să se construiască un model econometric care descrie legătura dintre cele două variabile; b) Ştiind că în anul 2009, popula ia ocupată a fost estimată să scadă la 8715 mii persoane, să se estimeze valoarea câştigului salarial nominal net lunar real pentru anul 2009. Rezolvare: a) Notând cu: y = câştigul salarial nominal net lunar real; x = popula ia ocupată civilă; Modelul va fi de forma: . Pentru alegerea func iei matematice f(x) se recurge la reprezentarea grafică a celor două şiruri de valori. Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin puncte. Prin alegerea liniei de tendin ă care aproximează cel mai bine func ia putem identifica ecua ia. (vezi Figura nr.14) 26 Câştig salarial nominal net lunar real a fost calculat aplicând câştigului salarial nominal net lunar o corec ie cu indicele câştigului salarial real (2000=100).
  • 77.
    77 Figura nr.14: Diagramaprin puncte a corela iei dintre câştigul salarial nominal net lunar real şi popula ia ocupată civilă Dacă deschidem dialogul Data Analysis, Analysis Tools, Regression, (programul EXCEL), din analiza rezultată func ia de regresie determinată are următoarea formă: unde: Pentru a verifica corela ia dintre cele două variabile y şi x avem coeficientul de corela ie liniară R (0,924) care cu cât este mai aproape de 1 legătura dintre cele două variabile este mai strânsă. Valoarea coeficientului de determinare (R2 ) este de 0,853 (apropiată de 1). Tabelul nr.6: Coeficientul de corela ie al func iei de regresie Regression Statistics Multiple R 0,923594487 R Square 0,853026777 Adjusted R Square 0,823632132 Standard Error 287,7189046 Observations 7 Unde: Multiple R – coeficientul multiplu de corela ie. R Square – coeficientul de determinare (este egal cu pătratul coeficientului de corela ie multiplă). Poate fi gândit, exprimat procentual, drept propor ia din varia ia variabilei dependente explicată de varia ia variabilelor independente: 85,3% din varia ia lui y este explicată de variabila x. Adjusted R Square – valoarea corectată a coeficientului de determinare. Este introdusă pentru a contracara (par ial) efectul creşterii mecanice a lui R2 o dată cu numărul variabilelor independente. Standard Error – eroarea standard a estima iei. Se calculează ca abaterea standard a reziduurilor (pentru numărul gradelor de libertate utilizat se va vedea tabloul ANOVA, în continuare) şi este estima ia abaterii standard a erorilor u (în ipoteza normalită ii acestora). Observations – numărul de observa ii din eşantion.
  • 78.
    78 În vederea testăriipotezelor, în continuare, vom interpreta tabelul analizei dispersionale (ANOVA). Tabelul nr.7: Analiza dispersională - ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 2402322 2402322 29,0198023 0,002973402 Residual 5 413910,8 82782,17 Total 6 2816233 Coloanele acestui tablou au semnifica iile uzuale într-un tablou ANOVA: Sursa de varia ie – arată descompunerea varia iei totale în varia ia explicată de regresie şi cea reziduală (neexplicată). df – numărul gradelor de libertate; SS – sumele de pătrate potrivit descompunerii; MS – media sumelor de pătrate: SS împăr ită la numărul respectiv de grade de libertate. Valoarea de pe linia a doua (Residual) este estima ia dispersiei pentru reparti ia erorilor şi este pătratul erorii standard a estima iei. F – valoarea statisticii F pentru testul Fisher-Snedecor; Significance F – este probabilitatea critică unilaterală. Primul test utilizat în analiza regresiei – Testul F - este un test global de semnifica ie a ansamblului coeficien ilor (exceptând termenul liber). Cele două ipoteze sunt: Η0 : b=0; H1 : (∃) i astfel încât b≠0. Numărul de grade de libertate (df), ataşat fiecărei sumă de pătrate (SS) ne ajută să identificăm valoarea lui Fαp-1, n-p (valoare tabelată Fisher-Snedecor). Astfel, p-1 = 1 n-p = 5 n-1 = 6; unde: p – variabila x plus termenul liber (1+1) n – numărul de observa ii (7). Valoarea calculată a lui Fc este de 29,02, fiind mai mare decât valoarea tabelată a lui F0,05;1;5 de 6,61, ceea ce respinge ipoteza nulă. Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus ini ial. De asemenea, valoarea lui Significance F (probabilitatea critică unilaterală) de 0,003 trebuie să fie mai mică, şi este, decât pragul de semnifica ie de 0,05, respingându-se, astfel, ipoteza nulă în favoarea ipotezei alternative. (vezi, Tabelul nr.7) Dată fiind situa ia - ipoteza nulă este respinsă -, se acceptă că ecua ia de regresie este semnificativă la nivel global, cu men iunea că s-ar putea ca anumi i coeficien i să nu fie semnificativi. Astfel, că al doilea test t testează fiecare coeficient cu ipotezele: H0 : a,b=0 H1 : a,b≠0.
  • 79.
    79 Tabelul nr.8: Valorileestimate pentru coeficien ii modelului şi statisticile necesare verificării ipotezelor Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept -25684,71619 4981,95556 -5,155549041 0,00359812 -38491,24064 -12878,19174 X Variable 1 3,173255373 0,58905765 5,387003094 0,0029734 1,659034483 4,687476263 Liniile tabelului se referă la variabilele din model, incluzând şi termenul liber. Coloanele tabelului sunt următoarele: (prima coloană) – sunt afişate denumirile existente în tabloul de date sau create automat pentru variabilele independente implicate. Intercept este denumirea pentru termenul liber (constant) al modelului. Coefficients – con ine valorile estimate ale coeficien ilor. În ipotezele distribu ionale ale modelului liniar, valorile calculate ale coeficien ilor provin din reparti ii normale, fiind astfel posibile verificări statistice ale coeficien ilor. Standard Error – eroarea standard a coeficientului (abaterea standard a reparti iei coeficientului). t Stat – statistica t P-value – probabilitatea critică bilaterală a testului t cu ipotezele precizate la t Stat. Lower 95%, Upper 95% – limitele inferioară şi superioară ale intervalului de încredere pentru parametrul respectiv. Limitele la pragul 0,05 sunt calculate automat, indiferent de ini ializarea procedurii Regression. Din Tabelul nr.8 rezultă următoarele aspecte: - valoarea lui t Stat calculată în tabel, pentru variabila exogenă şi termenul liber, se situează peste valoarea lui t0,05,5 = 2,573 (valoarea teoretică a lui t pentru n-p grade de libertate şi un prag de semnifica ie de 0,05), ceea ce respinge, de fiecare dată, ipoteza nulă, variabilele fiind semnificative pentru model; - probabilitatea critică bilaterală a testului t cu ipotezele precizate la t stat (P-value) se situează sub pragul de semnifica ie de 0,05, respingând ipoteza de nulitate. Tabelul nr.9: Valorile estimate pentru variabila reziduală Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals 1 745,3278132 -366,327813 -1,394736346 2 670,756312 -134,484312 -0,512028164 3 457,5135509 276,261449 1,05182263 4 940,1656931 104,234307 0,396855961 5 1190,535542 130,114458 0,495390623 6 2004,792871 -285,492871 -1,086969837 7 2017,803218 275,694782 1,049665133 Observation – numărul de ordine al observa iei. Predicted y – valoarea y prognozată pentru observa ia respectivă; se ob ine înlocuind valorile x ale observa iei în modelul estimat. Residuals – valoarea erorii de predic ie (diferen a dintre valoarea observată şi valoarea prognozată).
  • 80.
    80 Standard Reziduals –valoarea standardizată a erorii. Este ob inută prin împăr irea reziduului la abaterea standard a reziduurilor (rezultatul nu este sus inut absolut riguros de teorie). Ipoteza de independen ă a erorilor, care presupune cov(ui,uj) =0, pentru , se realizează pe baza calculării coeficientului de autocorelare de ordinul I: ceea ce confirmă ipoteza de independen ă a erorilor. Ipoteza homoscedasticită ii este verificată prin procedeul grafic, figura de mai jos confirmând necorelarea dintre variabila x şi variabila reziduală u, punctele din figura nr.15 pot fi considerate într-o regiune de tip bandă orizontală. Figura nr.15: Diagrama reziduurilor corelată cu valorile variabilei x În ceea ce priveşte ipoteza normalită ii, punctele din figura nr.16, diagrama reziduuri – variabilă dependentă y, se pot considera într-o regiune de tip bandă orizontală ceea ce nu contrazice ipotezele de normalitate a erorilor. Forma de bandă uniformă reflectă constan a dispersiei reziduurilor pentru tot domeniul variabilei dependente y. Figura nr.16: Diagrama reziduurilor corelată cu valorile variabilei y b) unde x = 8715 rezultă y = 1967,695 Astfel, la o scădere a popula iei ocupate civile cu 15 mii persoane (de la 8730 la 8715 mii pers.), câştigul salarial nominal mediu net lunar real se va diminua cu 325,8 RON (până la valoarea de 1967,695 RON/salariat).
  • 81.
    81 5.3.Probleme rezolvate 1. Specialiştiipe Managementul Resurselor Umane (MRU) din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de angaja i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie (r) între acestea de 0,80. Utilizând regresia avem posibilitatea să estimăm ce tulburări emo ionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de aten ie şi tipul de rela ie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 16, iar abaterea standard 4, să se determine coeficien ii ecua iei de regresie liniară a şi b. Rezolvare: Notă teoretică: Regresia simplă (o variabilă dependentă şi una independentă) şi liniară (rela ia dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte). Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corela ie. O asociere puternică între două elemente conduce la creşterea preciziei predic iei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o corela ie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă. Procesul de regresie presupune doi paşi. Primul se referă la determinarea ecua iei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecua ii în predic ie. Forma generală prin care se exprimă o ecua ie de regresie este: Unde: Y- prim este rezultatul estimat; a - este interceptul (locul pe ordonata unde dreapta de regresie se intersectează cu OY, valoarea lui Y pentru X=0); b - este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică Y atunci când X creşte (scade) cu o unitate; X - este variabila criteriu (cunoscuta). Calcularea coeficien ilor de regresie a, respectiv b conduce la realizarea primului pas din procesul regresiei. Există două posibilită i de calculare a lor: I. dacă se cunoaşte valoarea coeficientului de corela ie dintre cele două variabile X şi Y, media şi abaterea standard a celor două variabile putem aplica următoarele formule: Unde: r este valoarea coeficientului de corela ie dintre X şi Y; Sy este abaterea standard a variabilei Y; Sx este abaterea standard a variabilei X.
  • 82.
    82 Unde: My estemedia variabilei Y; Mx este media variabilei X. II. dacă nu se cunosc decât datele brute prin metoda celor mai mici pătrate. b = r = 0,80 x = 0,64 a = 16 - 0,64 * 20 = 3,2 Ecua ia de regresie va fi: 2. Plecând de la func ia de regresie să se estimeze valorile lui Y pentru X0 = 0, X1 = 1 şi X2 =2 şi să se interpreteze rezultatele. Rezolvare: Dacă un subiect ob ine scorul 0 la deficit de aten ie, estimăm să ob ină rezultatul 3,2 la scala de tulburări emo ionale. Dacă un alt subiect ob ine nota 1 la deficitul de aten ie, predic ia noastră este că va ob ine rezultatul de 3,84 la testul de tulburări emo ionale, iar dacă va ob ine nota 2 rezultatul va fi de 4,48. 3. Specialiştii MRU din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de subiec i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie r = 0,80. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 16, iar abaterea standard 4, să se determine eroarea standard Sy/x şi să se interpreteze rezultatul. Rezolvare: Formula de calcul prescurtată a acestei erori standard este: unde: Sy este abaterea standard a variabilei y r este valoarea coeficientului de corela ie Vom ob ine: Să luăm cazul în care un subiect ob ine nota 1 la proba de deficit de aten ie. Valoarea estimată a tulburărilor emo ionale este de 3,84. Cu ajutorul acestei erori standard putem
  • 83.
    83 aproxima că în68% din cazurile în care un subiect ob ine nota 1 la deficitul de aten ie (adică, între –1 şi +1 Sy/x) vom ob ine o valoare estimată de tulburări emo ionale de 3,84 ± 2,4. Cu cât coeficientul de corela ie este mai mare, cu atât eroarea de estimare va fi mai mică. 4. La nivelul unei firme care îşi desfăşoară activitatea în sectorul comercial s-au înregistrat următoarele date legate de personalul din compartimentul vânzări (60 de angaja i): Nr. Crt. Sex Vechimea în muncă Salariul lunar Timp nelucrat ani mii lei minute 1 M 2 752 61 2 F 11 760 35 3 F 21 770 42 4 M 10 759 47 5 M 16 769 54 6 M 28 779 30 7 F 19 769 57 8 M 9 759 48 9 F 5 755 49 10 F 11 760 37 11 F 25 776 40 12 M 27 779 31 13 M 17 766 57 14 F 1 750 62 15 M 20 765 59 16 F 31 781 30 17 F 23 772 33 18 M 3 753 48 19 M 16 767 55 20 M 7 756 47 21 F 11 760 36 22 F 22 773 42 23 M 4 754 46 24 F 21 771 56 25 M 17 768 57 26 F 8 755 35 27 F 24 774 34 28 M 23 773 32 29 M 16 765 50 30 M 11 759 45 31 F 18 768 58
  • 84.
    84 A. Să segrupeze personalul după varia ia celor 4 caracteristici pe intervale egale. Rezolvare: Notă teoretică: Indicatorul statistic este expresia numerică a unui fenomen, proces sau a unei categorii economico-sociale, definite în timp şi în spa iu. Indicatori primari (absolu i) şi indicatori deriva i. Indicatorii utiliza i se împart în indicatori primari sau absolu i şi în indicatori deriva i. Nr. Crt. Sex Vechimea în muncă Salariul lunar Timp nelucrat ani mii lei minute 32 F 8 757 46 33 F 14 765 39 34 M 29 778 31 35 F 22 770 44 36 F 7 756 47 37 M 21 774 43 38 F 17 767 51 39 M 2 755 60 40 F 16 765 52 41 M 16 765 50 42 M 15 764 52 43 M 34 784 30 44 F 17 768 52 45 F 30 778 34 46 M 17 768 51 47 F 14 763 45 48 M 25 775 33 49 M 8 757 45 50 M 18 769 44 51 M 12 760 38 52 F 26 775 32 53 M 10 758 45 54 F 21 771 42 55 M 14 763 45 56 M 6 755 49 57 F 1 750 61 58 M 32 783 31 59 F 15 764 53 60 M 16 765 40 Total - 960 45939 2698
  • 85.
    85 Indicatorii primari sauabsolu i exprimă direct nivelul real de dezvoltare al caracteristicii cercetate, caracterizând fenomenul/procesul la modul cel mai general din punct de vedere cantitativ. Indicatorii deriva i se ob in în faza de prelucrare statistică a mărimilor absolute prin aplicarea variantelor metode şi procedee de calcul statistic. Mărimea relativă sau indicatorul relativ este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi exprimă printr-un singur număr propor iile indicatorului raportat fa ă de indicatorul bază de raportare. Forma cea mai simpla de exprimare a mărimilor relative este în unită i sau coeficien i. Forma cea mai obişnuită şi sugestivă de exprimare a mărimilor relative este cea a procentelor. Promolele se folosesc când indicatorul comparat este mult prea mic fa ă de indicatorul bază de comparare şi exprimarea în coeficien i sau chiar in procente. În cazul în care rezultatul raportului dintre cele două mărimi comparate are o valoare foarte mică se utilizează prodecimile sau procentimele. Tabelele statistice constituie un ansamblu de judecă i prezentate într-o formă succintă în cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomene şi procese studiate. Elementele de con inut se referă la subiectul şi predicatul tabelului. Subiectul tabelului îl reprezintă colectivitatea şi păr ile sale componente şi se înscrie în capetele rândurilor. Predicatul tabelului este format din totalitatea aspectelor cantitative referitoare la colectivitatea cercetată şi se înscrie în capătul coloanelor. Elementele de formă ale unui tabel: titlul general, titlurile interioare, re eaua şi notele explicative. În etapa observării se întocmesc tabelele descriptive sau enumerative. În etapa prelucrării se întocmesc tabelele de prelucrare. După felul cum este prelucrat subiectul sau predicatul sau ambele, se disting: tabele simple, tabele pe grupe, tabele combinate, tabele combinate cu dublă intrare, tabele de asociere. Numărul de grupe se alege diferen iat atât pentru caracteristicile numerice, cât şi pentru cele nominative. După mărimea varia iei caracteristicii studiate, se disting grupări pe variante (numerice şi nominative) şi grupări pe intervale de varia ie (egale sau neegale). Mărimea intervalului de grupare se ob ine făcând diferen a între două limite inferioare sau superioare a două grupe alăturate, fie între limita superioară şi limita inferioară a aceluiaşi interval. Mărimile relative ale planului sunt specifice oricărei economii moderne. Mărimile relative ale sarcinii de plan pot avea valori minime sau maxime. Mărimile relative pot fi: de structură (con inutul informa ional al mărimii relative de structură poate fi acela de pondere sau greutate specifică); de coordonare; ale dinamicii; de intensitate. Mărimile medii constituie instrumente principale de cunoaştere a fenomenelor de masă şi au un mare grad de aplicabilitate în activitatea practică.
  • 86.
    86 Prin defini ie,media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esen ial, tipic şi obiectiv în apari ia, manifestarea şi dezvoltarea lui – sub rezerva faptului că acest indicator are relevan ă pentru fenomenul studiat. Media aritmetică simplă se foloseşte pentru seriile simple. În cazul unei serii de distribu ie, media aritmetică simplă este înlocuită cu media aritmetica ponderată. Media armonică se calculează din valorile inverse ale termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată. Media pătratică este acea valoare care înlocuind termenii seriei ridica i la pătrat nu modifică suma pătratelor lor. Media geometrică se bazează pe rela ia de produs a termenilor seriei. Media cronologică este o forma transformată a mediei aritmetice şi, anume, este o medie generală din medii par iale. Mediile mobile se utilizează pentru a determina nivelul mediu al unei serii de momente şi pentru a măsura sezonalitatea. Seria statistică este prezentarea paralelă a două şiruri de date în care primul şir prezintă caracteristica de grupare, iar cel de al doilea, rezultatul centralizării frecven elor sau valorile unei alte caracteristici cu care se află în raport de interdependen ă. După posibilită ile de caracterizare a fenomenelor seriile pot fi: serii statistice independente; serii statistice interdependente. După con inutul caracteristicii: de timp (dinamice sau cronologice); de spa iu (teritoriale); de distribu ie (reparti ie). Gruparea salaria ilor după caracteristica atributivă calitativă – sex exprimată prin cuvinte: Masculin 32 Feminin 28 Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie continuă cu limita superioară inclusă în interval: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 34 – 1 = 33 se utilizează func iile MAX şi MIN r = 7 k = = = 4,71 ∼5
  • 87.
    87 Grupe de salariai după vechime Nr. de salaria i 1 – 6* 8 6-11 12 11-16 12 16-21 13 21-26 8 26-31 5 31-36 2 Total 60 Notă * - limita superioară inclusă în interval Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie discontinuă: Grupe de salaria i după vechime Nr. de salaria i 0-5 7 6-10 9 11-15 10 16-20 15 21-25 11 26-30 5 31-35 3 Total 60 Gruparea salaria ilor după caracteristica salariul net încasat pe intervale de grupare cu varia ie continuă: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 784 – 750 = 34 r = 7 k = = = 4,85 ∼5 Grupe de salaria i după salariul net încasat Nr. de salaria i 750-755 9 755-760 12 760-765 10 765-770 12 770-775 9 775-780 5 780-785 3 Notă * - limita superioară inclusă în interval
  • 88.
    88 Gruparea salaria ilordupă caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie discontinuă: Grupe de salaria i după salariul net încasat Nr. de salaria i 750-754 5 755-759 12 760-764 8 765-769 16 770-774 9 775-779 7 780-784 3 Gruparea salaria ilor după caracteristica timp nelucrat pe intervale de grupare cu varia ie continuă: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 62 – 30 = 32 r = 7 k = = = 4,57 ∼5 Grupe de salaria i după timpul nelucrat Nr. de salaria i 30-35 14 35-40 6 40-45 11 45-50 11 50-55 8 55-60 7 60-65 3 Notă * - limita superioară inclusă în interval Gruparea salaria ilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu varia ie discontinuă: Grupe de salaria i după timpul nelucrat Nr. de salaria i 30-34 12 35-39 6 40-44 8 45-49 14 50-54 9 55-59 7 60-64 4
  • 89.
    89 B. Să segrupeze salaria ii pe intervale neegale în func ie de: media aritmetică şi abaterea medie liniară. Rezolvare: Media aritmetică simplă: AVERAGE(xi) = Media aritmetică ponderată: = Abaterea medie liniară pentru serii simple: AVEDEV(xi) = Abaterea medie liniară pentru serii de frecven e: = Notăm: y – vechimea în muncă z – salariul lunar w – timpul nelucrat n – numărul de angaja i = = = 16 ani = = = 765,65 ∼766 mii lei = = = 44,96 ∼45 minute y = = = 6,57 z = = = 7,03 w = = = 7,70 - y = 16-6,57 =9,43∼9 + y = 16+6,57=22,57∼22
  • 90.
    90 - z =766-7,03 =758,97 + z = 766+7,03=773,03 - w = 45-7,70 =37,30 + w = 45+7,70=52,7 Grupe de salaria i după vechime Nr. de salaria i Mică 0-9 ani 14 Medie 10-22 ani 33 Mare 23-35 ani 13 Grupe de salaria i după salariul net Nr. de salaria i Mic 750-759 mii lei 14 Mediu 760 -773 mii lei 34 Mare 774-785 mii lei 12 Grupe de salaria i timp nelucrat Nr. de salaria i pu in 30-37 minute 16 mediu 38-52 minute 31 mult 53-64 minute 13 5.4.Probleme de rezolvat 1. O firmă ce organizează licita ii pentru vânzarea unor antichită i doreşte să determine rela ia dintre pre ul ob inut pentru articolele licitate (u.m.) şi numărul de persoane care participă la licita ie. În ipoteza unui model de regresie liniară, rezultatele prelucrării în Excel sunt: Regression Statistics Multiple R 0,860271 R Square 0,740066 Adjusted R Square 0,707575 Standard Error 177,7908 Observations 10
  • 91.
    91 Analiza dispersională -ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 719973,5 719973,5 22,77708 0,001404 Residual 8 252876,5 31609,56 Total 9 972850 Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept 1086,691 174,4825 6,228079 0,000252 Mărimea audien ei X 9,329102 1,954748 4,772534 0,001404 Să se interpreteze rezultatele din tabele. 2. O companie de construc ii sus ine că în timpul perioadelor în care se percep rate ridicate ale dobânzii, numărul autoriza iilor de construc ie s-a redus considerabil. Pentru 5 luni s-au înregistrat: rata dobânzii (%) (X) şi numărul autoriza iilor de construc ie (Y): a) Reprezenta i grafic datele şi determina i modelul de regresie adecvat analizei legăturii dintre cele două variabile; b) Testa i validitatea modelului de regresie găsit, pentru un nivel de semnifica ie de 5% (Fα=10,13); c) Să se determine în ce propor ie rata dobânzii influen ează varia ia numărului de autoriza ii. 3. Pentru a decide în ce zonă să fie amplasat un magazin de casete video, managerul unei firme de comercializare şi închiriere de casete video realizează un studiu. Astfel, el consideră că succesul afacerii este cuantificat prin profitul anual brut ob inut (sute euro). Principalul factor de influen ă considerat pentru succesul acestei afaceri este venitul mediu al locuitorilor de pe o rază de un kilometru (zeci euro). Sunt selectate aleator 5 supermarket-uri şi sunt înregistrate valorile celor 2 variabile. a) Estima i parametrii ecua iei de regresie, în ipoteza unei dependen e liniare. b) Testa i validitatea modelului de regresie, pentru un nivel de semnifica ie de 5% (Fα=10,13); a) Măsura i intensitatea legăturii dintre cele două variabile, folosind un indicator adecvat şi testa i semnifica ia acestuia, pentru un nivel de încredere de 95% (tα= 4,541, Fα= 10,13). Rata dobânzii (%) X 18 11 15 12 16 Nr. autoriza iilor de construc ie Y 43 119 82 90 80 Profit (mii euro) 2 6 8 11 15 Venit (sute euro) 4 12 21 25 20
  • 92.
    92 5.5.Grile de întrebări 1.În ce an a fost înfiin ată Societatea de Econometrie avându-i ca ini iatori pe I. Fisher, Bortkiewicz Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi al ii: a) 1930 b) 1933 c) 1926 2. Defini ia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei „Econometrica” (ianuarie 1933): a) în elegerea efectivă a realită ilor constitutive din economie prin unificarea temei economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice; b) considera ca există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastice). Sus inătorii acestei defini ii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele induc iei statistice (teoria estima iei, verificarea ipotezelor statistice) la verificarea rela iilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele economice cercetate; c) include domeniile men ionate atunci când ea este în eleasă în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării opera ionale. 3. Un studiu econometric presupune: a) existenta prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă verificarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat; b) posibilitatea aplicării metodelor induc iei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice; c) posibilitatea aplicării metodelor deduc iei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice. 4. Modelul econometric: a) un instrument de cercetare ştiin ifica, o imagine conven ionala, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării; b) are întotdeauna o finalitate practică, opera ională, el devenind instrument de control şi dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice; c) reproduce în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat. 5. Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi: a) variabile economice; variabila eroare (aleatoare), u; variabila timp, t. b) variabile econometrice; variabila eroare (aleatoare), u; variabila regresiva. c) variabile economice; variabila Fisher; variabila timp, t. 6. Omogenitatea datelor presupune: 1) colectarea lor de la unită i statistice diverse; 2) reprezentarea aceloraşi defini ii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spa iu;
  • 93.
    93 3) descrierea evoluiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condi iile de desfăşurare a procesului analizat; 4) exprimarea variabilelor în aceleaşi unită i de măsură, condi ie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în pre uri comparabile sau pre uri reale. a) 2,3,4; b) 1,3,4; c) toate. 7. O serie de spa iu rezultă prin: a) observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică; b) observarea variabilelor Y şi X într-o anumită perioadă de timp - luna, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unită i socio-economice omogene, i= , n = numărul unită ilor de acelaşi profil, ce apar in aceluiaşi sector economic etc.; c) observarea variabilelor Y si X într-o anumita perioada de timp - luna, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unită i socio-economice diverse, i= , n = numărul unită ilor de acelaşi profil, ce apar in mai multor sectoare economice etc.. 8. Valori centrate si normate au media egala cu: a) 1 b) 0 c) -1 9. Următoarea formulă este expresia: a) Mediei aritmetice; b) Dispersiei; c) Abaterii medie pătratice. 10. Rela iile institu ionale sunt: a) de tipul ecua iilor de balan ă folosite in „Sistemul de balan e ale economiei na ionale”. b) sunt acele ecua ii stochastice care reflecta şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. c) sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stochastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradi ie sau de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de exemplu, ecua iile care explică stabilirea impozitelor sau a cotiza iilor în func ie de venit.
  • 94.
    94 11. Rela iilede … sunt de tipul ecua iilor de balan ă folosite în „Sistemul de balan e ale economiei na ionale”. 12. Testele … sunt instrumente de lucru indispensabile investiga iei econometrice. Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul ca demersul econometric consta într-o înşiruire logica de ipoteze privind semnifica ia variabilelor exogene, a calită ii estima iilor ob inute, a gradului de performan ă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t - student, testul F-Fisher etc. 13. Matematica, statistica şi economia în interferen ă dau atribut complex econometriei, preponderent fiind: a) studiul cantitativ al realită ii micro sau macroeconomice. b) studiul calitativ al realită ii micro sau macroeconomice. c) studiul economic al realită ii micro sau macroeconomice. 14. Statisticile în procesele economice cercetate reprezintă: a) intrările (inputs); b) ieşirile (outputs); c) feed-back-ul. 15. Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o defini ie mai largă a acestuia: un ansamblu organizat, o clasa de fenomene care satisfac următoarele exigen e: 1) să se poată specifica un set, o mul ime de elemente identificabile; 2) să existe rela ii identificabile cel pu in intre unele dintre ele; 3) să nu existe rela ii identificabile între ele; 4) anumite rela ii să implice alte rela ii (lan ul infinit de rela ii); 5) un complex de rela ii, la un timp dat implica un anume complex la un timp următor, aspect ce pune în eviden ă dinamica sistemului. a) 1,2,4,5; b) 1,3,4,5; c) toate. 16. Ca şi componentă a sistemului econometric este un anumit raport între elemente, care le reuneşte în cadrul func ionării sistemului: a) Elementul; b) Conexiunea; c) Structura. 17. Se numeşte imagine econometrică: a) rezultatul oricărei transformări; b) mul imea stărilor posibile ale sistemului econometric; c) mul imea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică. 18. … apare ca un dispozitiv ce recep ionează ac iunile exterioare, format din elemente identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recep ionează informa ii.
  • 95.
    95 19. Adaptabilitatea este: a)sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în ansamblu, superior organizat în condi iile unui mediu ce produce perturba ii; b) însuşirea de a men ine la ieşire valoarea de comanda neschimbata, în condi iile unui mediu perturbator; c) capacitatea de a recep iona informa ii exterioare, sau orice ac iune informa ională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior ac ionează asupra sistemului; 20. Legătura inversă (feed-back-ul) este: a) capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se depărtează de valoarea de comanda dată; b) un proces de adaptare la perturba ii externe pe calea diversificării structurii, cu scopul de păstrare a stabilită ii, de a nu oscila, de a nu se distruge; c) capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux permanent din spa iu, dinspre punctul terminus (unde se eviden iază ieşirea) spre dispozitivul de reglare. 21. Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt: 1) Caracterul aleator; 2) Caracterul dinamic; 3) Comportarea; 4) Feed-back-ul; 5) Caracterul complex. a) toate; b) 1,2, 4 si 5; c) 1,3,4 si 5. 22. Rela iile valorice reprezintă: a) setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care rezultă o valoare de întrebuin are; b) conexiunile între for a de muncă şi mijloacele materiale exprimate valoric, necesare reproduc iei; c) omul ca proprietar al unei cantită i de bogă ie materială, opus celorlal i subiec i economici. 23. Legea lui Pareto consideră faptul că: a) în lume, produc ia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar popula ia în progresie geometrică; b) atunci când venitul na ional creşte într-o ară dezvoltată: cheltuielile alimentare cresc într-o propor ie mai mică; cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi propor ie; cheltuielile pentru bunuri de folosin ă îndelungată cresc într-o propor ie mai mare; c) un număr tot mai mare de locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari.
  • 96.
    96 24. Spre deosebirede modelul determinist modelul econometric introduce în schema de descriere a legită ii de manifestare a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă: a) aleatoare; b) economică; c) timp. 25. Modelele econometrice după numărul de variabile pot fi: a) liniare sau neliniare; b) cu o singura ecua ie sau cu ecua ii multiple; c) unifactoriale sau multifactoriale. 26. Modelele euristice se mai numesc şi: a) ra ionale; b) deterministe; c) decizionale. 27. Raportarea modelelor par iale la modelele globale permite formulare următoarelor aprecieri: 1) agregarea modelelor par iale conduce la ob inerea modelului global al variabilei respective; 2) modelul global rezultă ca o medie a modelelor par iale; 3) în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explica ie istorică a dependen ei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate estima pe baza modelelor par iale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului global de regresie (coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficien ilor par iali); 4) în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă coeficientul global de regresie rămâne stabil. a) toate; b) 1,2,4; c) 2,3,4. 28. Modelele dinamice cu variabila timp sunt acelea în care: a) se introduce în pachetul de variabile explicative „xj”, ăn mod explicit, variabila timp; b) variabila factorială „x” îşi exercită influen a asupra varia iei variabilei „y” pe mai multe perioade de timp; c) în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi variabila explicată „y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k. 29. Dacă notăm cu yi – valorile observate ale variabilei dependente, – valoarea mediei variabilelor dependente, ŷ - valoarea ajustată, dată de ecua ia de regresie; suma pătratelor globale SPg va fi: a) ; b) ; c) .
  • 97.
    97 30. Valoarea luiSignificance F (probabilitatea critică unilaterală) trebuie să fie: a) mai mică decât pragul de semnifica ie; b) mai mare decât pragul de semnifica ie; c) egală cu pragul de semnifica ie. 31. Specialiştii pe Managementul Resurselor Umane (MRU) din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de angaja i pentru a se determina deficitul de aten ie şi tulburările emo ionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a ob inut un coeficient de corela ie (r) intre acestea de 0,60. Utilizând regresia avem posibilitatea sa estimăm ce tulburări emo ionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de aten ie şi tipul de rela ie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de aten ie) a fost 10, iar abaterea standard 4. In acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emo ionale) a fost 20, iar abaterea standard 2, să se determine coeficien ii ecua iei de regresie liniară a şi b. a) 17 şi 0,3; b) 0,3 şi 20; c) 3 şi 1,2. 32. Dacă coeficien ii a şi b ai func iei de regresie sunt 3,2 şi 0,26 să se estimeze valorile lui Y pentru X1 = 5 şi X2 =6. a) 4,5 şi 4,76; b) 16 şi 1,56; c) 16,26 şi 19,46. 33. La nivelul unei firme care îşi desfăşoară activitatea în sectorul comercial s-au înregistrat următoarele date legate de personalul din compartimentul vânzări (4 angaja i): Nr. Crt. Sex Vechimea in munca Salariul lunar Timp nelucrat ani mii lei minute 1 M 2 752 61 2 F 11 760 35 3 F 21 770 42 4 M 10 759 47 Să se calculeze pentru variabila timp nelucrat media aritmetică simplă şi abaterea medie liniară. a) 46,25 şi 7,75; b) 46,25 şi 0; c) 185 şi 46,25. 34. Liniaritatea rela iei se referă la … şi nu la variabile. Astfel, modelul: y = α 1x1 2 + α 2 +…+ α 3 + este tot un model liniar.
  • 98.
    98 35. Variabila …,t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice. Răspunsuri: 1.a, 2.a, 3.b, 4.b, 5.a, 6.a, 7.b, 8.b, 9.a, 10.c, 11. identitate, 12. statistice, 13.a, 14.a, 15.a, 16.b, 17.a, 18. Intrarea, 19.b, 20.c, 21.a, 22.b, 23.c, 24.a, 25.c, 26.a, 27.c, 28.a, 29.a, 30.a, 31.a, 32.a, 33.a, 34. Coeficien i, 35. Timp.
  • 99.
    99 BIBLIOGRAFIE Andrei T., BourbonnaisR., în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008 Andrei T., Statistică şi econometrie, Bucureşti, Ed. Economică, 2004 Anghelache C., Capanu I., Indicatori macroeconomici. Calcul şi analiza economică, Ed. Economică, Bucureşti, 2003 Anghelache C., Tratat de statistică teoretică şi economică, Ed. Economică, Bucureşti, 2008 Balteş N.(coord.), Analiza economico-financiară a întreprinderii, Ed. Universită ii „Lucian Blaga" din Sibiu, 2003 Banca Centrală a Maltei, ianuarie 2011, A structural macro-econometric model of the Maltese economy, disponibil la adresa: http://www.centralbankmalta.org/updates/Downloads/pdfs/econometric_model.pdf (accesat iunie 2011) Begu L.S., Statistică şi software statistic, Ed. Claudet, 1999 Bianchi C., Brillet J.L., Panattoni L, Uncertainty and Stability in a Macro-Econometric Model, Annales d-Economie et de Statistique, no 6/7, 1987 disponibil la adresa: http://annales.ensae.fr/anciens/n0607/vol67-16.pdf (accesat mai 2011) Biji E.M, Lilea E., Roşca E., Vătui M., Statistica pentru economişti, Ed. Economică, Bucureşti, 2010 Bucur I., Macroeconomie, Ed. C.H. Beck, Bucureşti, 2010 Cenuşă Gh., Săcuiu I., Burlacu V., Teoria probabilită ilor şi statistică matematică, Bucureşti, Ed. ASE, 1999 Constantin D. L., Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998 Enache C., Mecu C., Economie politică 1 şi 2, edi ia a VII-a, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2009 Fair R., Using a Macroeconometric Model to Analyze the 2008–2009 Recession and Thoughts on Macroeconomic Forecastability, martie 2009, disponibil la adresa: http://fairmodel.econ.yale.edu, (accesat iulie 2011) Gavrilă I., Ghi ă P.T., Ni escu D., Popescu C., Economie. Aplica ii. Teste. Probleme. Răspunsuri, edi ia a V-a, revizuită şi îmbunătă ită, Ed. Economică, Bucureşti, 2003 Gâf-Deac I., Econometrie, Ed. Funda iei România de Mâine, Bucureşti, 2007 Greene W. H., Econometric Analysis, edi ia a 4-a, Prentice Hall International, 2000 Griffiths W. E., Hill R. C., Judge G. G., Learning and Practicing Econometrics, New York, John Wiley& Sons, 1993 Hymans, S. H., Forecasting and Econometric Models. The Concise Encyclopedia of Economics, 2008, disponibil la adresa: http://www.econlib.org/library/Enc/ForecastingandEconometricModels.html (accesat septembrie 2011) Iacob Patache L., Pia a muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Ed. Universitară, Bucureşti, 2010 Jula D., Introducere în Econometrie, Ed. Profesional Consulting, Bucureşti, 2003 Kennedy P., A Guide to Econometrics, edi ia a 5-a, Cambridge: MIT Press, 2003 Klein L. R. (coord.), Comparative Performance of U.S. Econometric Models. Oxford: Oxford University Press, 1991 Lapin L. L., Statistics for Modern Business Decisions, Harcourt Brace Iovanovich Publishers, N.Y., 1987 Leontief, W.W., Input-Output Economics, Oxford University Press, 1966 Lucey T., Tehnici cantitative. Quantitative techniques, Ed. Tehnică, Bucureşti, 2001 Novotorov A. V., Brikach G. E., New Model of Forecasting Commodity Prices for Farmers. Insights to Changing World Journal. June, 2008 disponibil la adresa: http://www.franklinpublishiihg.net (accesat august 2011)
  • 100.
    100 Patache L., Evoluia câştigului salarial prin prisma modelului unifactorial, Vol. Educa ie şi cercetare în spa iul comun european al învă ământului superior/ Ed. Ex Ponto, vol.1, pp.118-127, 2010 Patache L., Reflec ii asupra convergen ei – sigma la nivelul României sub inciden a politicii regionale de coeziune a Uniunii Europene, vol. „Sub semnul creativită ii şi inova iei”, Ed. Europolis, Constan a, 2009 Patache L., Foresight over the evolution of the employment from Constantza County, in 2009-2013 period, Editura Muntenia, 2008 Patache L., Foresight over the evolution of the employment from Tulcea County, in 2009-2013 period, Editura Muntenia, 2008 Pearson E.S., Hartley H.O., Biometrika Tables for Statisticians, vol.I, Londra, Cambridge University Press, 1966 Pecican E. Şt., Tănăsoiu O., Iacob A. I., Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001 Pecican E. Şt., Econometrie, Ed. All, Bucureşti, 1994 Pecican E. Şt., Econometrie ed.a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colec ia Oeconomica, Bucureşti, 2006 Pivodă D., Analiza şi actualizarea la infla ie, Ed. Economică, Bucureşti, 2001 Popescu T., Serii de timp-aplica ii în analiza sistemelor, Bucureşti, Editura Tehnică, 2000 Ra iu-Suciu C., Luban F., Hîncu D., Ciocoiu N, Modelare economică, edi ia a 2-a, Ed. ASE, 2009 Samuelson P., Nordhaus D., Economie politică, Ed. Teora, 2000 Shumway R. H., Stoffer D.S., Time Series Analysis and Its Applications: With R Example, edi ia a treia, Springer Texts in Statistics, 2010 Taşnadi Al., Econometrie, Ed. ASE, Bucureşti, 2005 Tănăsoiu O., Iacob A., Econometrie. Studii de caz, Ed. ASE, Bucureşti, 1998 Zadeh L.A., Polak E., Teoria sistemelo”, Editura Tehnică, Bucureşti,1973 Zaman G., Econometrie, Ed. Pro Democra ia, Bucureşti, 1998
  • 101.
    101 ANEXA 1 Distribu iaF Tabelul con ine valorile F corespunzătoare ariei indicată pe grafic, definită de o pereche de grade de libertate. Valorile F sunt tipărite cu caractere sub iri, iar valorile α sunt redate cu caractere îngroşate. Numărul de grade de libertate ale numărătorului mediei pătratice este înregistrat în capul coloanelor, iar numărul de grade de libertate de la numitorul mediei pătratice este pe linii.
  • 102.
  • 103.
  • 104.
  • 105.
  • 106.
  • 107.
  • 108.
  • 109.