10. Процесс Мандельброта
– это процесс с обратной связью, в котором одна и
та же операция, а именно
zn+1 = f(zn,c) = zn2 + c,
выполняется снова и снова. При этом результат
одной итерации является начальным значением
для следующей:
11. Построение фракталов
Мандельброта и Жюлиа
При построении множеств Жюлиа и Мандельброта
комплексное число
zn = Rezn + i·Imzn
возводится в квадрат, затем к этому квадрату
прибавляется комплексное число
c = Rec + i·Imc.
Для множества Жюлиа комплексный параметр с
выбирается один раз и никогда не изменяется.
Для множества Мандельброта параметр с меняется
для каждой начальной точки.
12. Построение фракталов
Мандельброта и Жюлиа
Для (n+1)-ой итерации необходимо найти формулы вычисления
действительной и мнимой составляющих числа
zn+1 = Rezn+1 + i·Imzn+1:
zn+1= f(zn,c)= zn2+ c = (Rezn+ i·Imzn)2+ Rec + i·Imc =
= (Rezn)2 + 2·Rezn·i·Imzn + (i·Imzn)2 + Rec + i·Imc =
=[(Rezn)2 - (Imzn)2 + Rec] + i·[2·Rezn·Imzn + Imc],
Следовательно,
Rezn+1 = (Rezn)2 - (Imzn)2 + Rec,
Im zn+1 = 2·Rezn·Imzn + Imc.
14. Другие алгебраические фракталы
Помимо процесса z→z2+с,
возможно реализовать такие процессы, как
z→z3+ с, z→z4+с, z→z5+с,...
Эти процессы имеют схожие свойства с процессом z→z2+с, но
вид множества качественно меняется.
Реализация процесса z→z2+с Реализация процесса z→z3+с
15. Другие алгебраические фракталы
Изображение процессов z→zn+с делится на
несколько ярко выраженных фрагментов в
зависимости от степени, в которую возводится
комплексное число.
Реализация процесса z→z2+0,27 Реализация процесса z→z3+0,4
16. Другие алгебраические фракталы
Число фрагментов для множеств Жюлиа
равно показателю степени.
Реализация процесса z→z4+0,485 Реализация процесса z→z5+0,551
17. Другие алгебраические фракталы
Для множества Мандельброта число
фрагментов на единицу меньше, чем
показатель степени.
Реализация процесса z→z4+с Реализация процесса z→z5+с
Editor's Notes
Для построения кривой Коха необходимо произвольный отрезок разбить на три равные части. Затем средний отрезок совместить с основанием треугольника, все стороны которого равны длине этого отрезка, после чего нужно убрать основание треугольника. Так мы получим кривую Коха 1-го порядка.
Если мы перечисленные действия повторим для каждого отрезка кривой Коха первого порядка, то получим кривую Коха второго порядка.
Аналогичным образом можно построить кривую любого порядка.
<number>
Для построения снежинки Коха некоторого порядка нужно в равностороннем треугольнике заменит все стороны на кривую Коха соответствующего порядка.
<number>
На слайде представлены салфетки (треугольники) Серпинского нулевого, первого, второго и третьего порядка соответственно.
<number>
Здесь представлены ковры Серпинского нулевого, первого и второго порядка соответственно.
<number>
