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Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合論のごく基本的な事項

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wakate 2014

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Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合論のごく基本的な事項

  1. 1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果 に必要な記述集合論のごく基本的な事項 石井大海 筑波大学数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程一年 November 20, 2014 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  2. 2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 目次 1 事前知識 2 記述集合論:解析的集合と木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  3. 3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  4. 4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  5. 5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  6. 6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 今回:Solovay-Shelah そのものには立ち入らず,現在勉強中 の前提知識について 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  7. 7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 今回:Solovay-Shelah そのものには立ち入らず,現在勉強中 の前提知識について ⋆ 特に記述集合論の基本知識について 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  8. 8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 今回:Solovay-Shelah そのものには立ち入らず,現在勉強中 の前提知識について ⋆ 特に記述集合論の基本知識について 動機を見据えて,以下選択公理は制限された従属選択公理 (DC)のみを用いる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  9. 9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 基本的な事項 I Definition 1 κ が正則 def ⇐==⇒ κ は長さ・濃度 κ 未満の列で近似出来ない κ が強極限基数 def ⇐==⇒ ∀λ < κ [2λ < κ] κ が到達不能基数 def ⇐==⇒ κ は非可算で正則な強極限基数. 次の言明を従属選択公理(DC)と呼ぶ: ∀A∀R ⊆ A × A [∀x ∈ A∃y ∈ A (y R x) −→ ∃{xn}n<ω ⊆ A ∀n < ω (xn+1 R xn)] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  10. 10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 基本的な事項 II Fact 2 選択公理の下で,Lebesgue 非可測な実数の集合が存在する. κ を到達不能基数とすると,Vκ |= ZFC.従って到達不能基 数から ZFC の無矛盾性が出るので,不完全性定理より到達 不能基数の存在は ZFC から証明出来ない. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  11. 11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 目次 1 事前知識 2 記述集合論:解析的集合と木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  12. 12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  13. 13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  14. 14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する Definition 3 位相空間 X がポーランド空間 def ⇐==⇒ X は可分完備距離化可能空間 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  15. 15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する Definition 3 位相空間 X がポーランド空間 def ⇐==⇒ X は可分完備距離化可能空間 その中でも専ら扱うのは Baire 空間やその直積である. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  16. 16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 II Definition 4 (Baire 空間) 自然数の可算列全体 ωω = { f : ω → ω } に次の形の集合を基本開 集合とする位相を入れた空間を Baire 空間と呼び,N で表す. O(s) := { σ ∈ ω ω : σ ⊇ s } (s ∈ <ω ω) Fact 5 Baire 空間はポーランド空間である.d(f , f ) = 0, d(f , g) = 1 n+1(但し n = min { k : f (k) ̸= g(k) })は距離の例 Baire 空間の基本開集合は閉集合の可算共通部分で書け, 従って閉集合でもある:O(s) = ∩ t∈lh(s)ω,t̸=s O(t)c 「一致する桁数が多いほど近い」位相になっている. Baire 空間は連分数展開を通じて無理数の空間と同相となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  17. 17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  18. 18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  19. 19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると,自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  20. 20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると,自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る こうした形で記述可能な集合について,様々な望ましい性質 を示していくのが記述集合論の議論 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  21. 21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると,自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る こうした形で記述可能な集合について,様々な望ましい性質 を示していくのが記述集合論の議論 Solovay-Shelah の結果もその延長線上にあるもの(らしい) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  22. 22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 望ましい性質 「望ましい性質」の代表例は次の三つ: Lebesgue 可測性 みんな知ってるやつ 完全集合性質 A が完全集合性質を持つ def ⇐==⇒ A は可算であるか 完全集合(孤立点を持たない閉集合)を含む Baire の性質 A が Baire の性質を持つ def ⇐==⇒ A と適当な開集合の 対称差が meager(A は開集合と疎集合の可算和ぶん の差しかない) 今回は時間(と講演者の理解の度合い)の関係上,完全集合性 質について主に議論する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  23. 23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  24. 24. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  25. 25. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  26. 26. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている (i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  27. 27. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている (i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T) [T] := { σ ∈ N : ∀n < ω, σ ↾ n ∈ T } の元を,T を貫く path (path through T, cofinal path in T)と呼ぶ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  28. 28. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている (i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T) [T] := { σ ∈ N : ∀n < ω, σ ↾ n ∈ T } の元を,T を貫く path (path through T, cofinal path in T)と呼ぶ. A ⊆ N に対し,TA := { t ∈ <ωω : ∃τ ∈ A, τ ⊇ t } と置く 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  29. 29. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木と path ∅ ⟨0⟩ ⟨0, 1⟩ ⟨0, 1, 3⟩ ⟨0, 2⟩ ⟨0, 5⟩ ⟨0, 5, 3⟩ ⟨0, 5, 7⟩ ⟨1⟩ ⟨0, 1, 3, . . .⟩ , ⟨0, 5, 7, . . .⟩ , . . . . . . } [T] = { 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  30. 30. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木と path ∅ ⟨0⟩ ⟨0, 1⟩ ⟨0, 1, 3⟩ ⟨0, 2⟩ ⟨0, 5⟩ ⟨0, 5, 3⟩ ⟨0, 5, 7⟩ ⟨1⟩ ⟨0, 1, 3, . . .⟩ , ⟨0, 5, 7, . . .⟩ , . . . . . . } [T] = { 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  31. 31. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  32. 32. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  33. 33. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  34. 34. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  35. 35. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  36. 36. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  37. 37. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  38. 38. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  39. 39. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  40. 40. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  41. 41. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  42. 42. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する=「一致する桁数が延びていく」 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  43. 43. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する=「一致する桁数が延びていく」 ⇝ f が A の集積点 ⇔ ∀n < ω∃g ∈ A (g ̸= f ∧ g ↾ n = f ↾ n) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  44. 44. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する=「一致する桁数が延びていく」 ⇝ f が A の集積点 ⇔ ∀n < ω∃g ∈ A (g ̸= f ∧ g ↾ n = f ↾ n) そこで,木と閉集合の対応を鑑みて次のような定義をする: Definition 8 ω 上の木 T が完全 def ⇐==⇒ ∀t ∈ T ∃s, s′ ∈ T (s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′) (但し s ⊥ s′ def ⇐==⇒ s ̸⊆ s′ ∧ s ̸⊇ s′) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  45. 45. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全な木のイメージ ∅ ⟨1⟩ ⟨1, 2⟩ ⟨1, 2, 0⟩ ⟨1, 2, 3⟩ ⟨1, 2, 7⟩ ⟨1, 3⟩ ⟨1, 3, 4⟩ 完全な木=(十分先を見れば)常に分岐しつづけているような木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  46. 46. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  47. 47. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 1 TA は(木として)完全 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  48. 48. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 1 TA は(木として)完全 2 A は完全集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  49. 49. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 1 TA は(木として)完全 2 A は完全集合 証明は右図から明らか. t0 s0 σ0 t1 s1 σ1 tn sn σn tn+1 τ n→∞ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  50. 50. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Cantor-Bendixon の定理 Theorem 10 (Cantor-Bendixon) Baire 空間の任意の閉集合は完全集合性質を持つ 証明の方針 1 今までの結果を踏まえて,対応する木 T が完全になるまで繰 り返し刈り込んでいけば良さそう. 2 T の濃度は高々可算だから,可算ステップで刈り込みの結果 は空になるか一定になる. 3 各ステップで刈り込んだ残りの木から得られる閉集合は必ず 高々可算であることを示す 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  51. 51. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  52. 52. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  53. 53. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  54. 54. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  55. 55. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  56. 56. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  57. 57. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × •′ ⇝ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  58. 58. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × •′ ⇝ S = S′ ̸= ∅ ⇐⇒ S は完全. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  59. 59. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  60. 60. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  61. 61. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  62. 62. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  63. 63. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる. 残りの [T] [Tη] が高々可算であることを示せば証明が完了. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  64. 64. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる. 残りの [T] [Tη] が高々可算であることを示せば証明が完了. 定義から [T] [Tη] = ∪ α<η([Tα] [T′ α]) なので,各 [Tα] [T′ α] が可算であることが云えればよい. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  65. 65. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  66. 66. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  67. 67. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 対応 σ → s(σ) は単射となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  68. 68. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 対応 σ → s(σ) は単射となる. (∵) s(σ) = s(τ) /∈ S′ とすると,S′ の定義から s(σ), s(τ) より上の S の元は全順序で並んでいる.よって特に σ, τ の任意有限部 分は一致するから,結局 σ = τ となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  69. 69. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 対応 σ → s(σ) は単射となる. (∵) s(σ) = s(τ) /∈ S′ とすると,S′ の定義から s(σ), s(τ) より上の S の元は全順序で並んでいる.よって特に σ, τ の任意有限部 分は一致するから,結局 σ = τ となる. よって [S] [S′] は <ωω に埋め込めるので,高々可算. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  70. 70. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  71. 71. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  72. 72. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  73. 73. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度.よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  74. 74. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度.よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 ⇝ A が完全集合性質を持つ =⇒ A は非可算なら連続体濃度 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  75. 75. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度.よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 ⇝ A が完全集合性質を持つ =⇒ A は非可算なら連続体濃度 ⋆ informal には,より多くの集合が完全集合性質を持てば,そ れだけ連続体仮説の信憑性が高まる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  76. 76. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  77. 77. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  78. 78. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  79. 79. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path(path through T)と呼ぶ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  80. 80. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path(path through T)と呼ぶ. p[T] := { σ ∈ N : ∃τ ∈ ωα, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } を T の射影と呼ぶ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  81. 81. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path(path through T)と呼ぶ. p[T] := { σ ∈ N : ∃τ ∈ ωα, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } を T の射影と呼ぶ x ∈ N に対し Tx := { s ∈ <ωα : (x ↾ lh(s), s) ∈ T } とおく 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  82. 82. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ω × α 上の木 α ω α ω α ω ω × ω 上の木の概念図 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  83. 83. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ω × α 上の木 α ω α ω α ω 木を貫く path を取り各頂点を ω 軸に射影したものが p[T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  84. 84. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  85. 85. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  86. 86. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的(coanalytic) def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  87. 87. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的(coanalytic) def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 Π1 1 := { A ⊆ N : A は補解析的 } , ∆1 1 := Σ1 1 ∩ Π1 1 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  88. 88. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的(coanalytic) def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 Π1 1 := { A ⊆ N : A は補解析的 } , ∆1 1 := Σ1 1 ∩ Π1 1 { As ⊆ N : s ∈ <ωω } が s ⊆ t → As ⊇ At を満たす時,Suslin 演算 AsAs を次で定義する: As As := ∪ σ∈ωω ∩ n<ω Aσ↾n 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  89. 89. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Suslin 演算のイメージ 各頂点に点集合が割り当てられていて,レベル毎にどんどん 細かくなっていく それが「収束」する先を全部集める 「収束」といっても一点になる訳ではない p[T] の操作と似ている 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  90. 90. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 II Lemma 13 A ⊆ N に対し,次は同値: 1 A は解析的 2 閉集合の族 { As ⊆ N : s ∈ <ωω } が存在し,A = As As 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  91. 91. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 補題の証明 I まずは p[T] が実際に A で書けることを観察する. p[T] = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω∀n < ω, ⟨σ ↾ n, τ ↾ n⟩ ∈ T } そこで AT s := { σ ∈ N : (σ ↾ lh(s), s) ∈ T } とおけば, = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω∀n < ω, σ ∈ AT τ↾n } = ∪ τ∈<ωω ∩ n<ω AT τ↾n = A t AT t 以上を踏まえて証明する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  92. 92. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 補題の証明 II Proof. 解析的 ⇒ 閉集合の Suslin 演算.A = p[T] とすれば,あとは上の 各 AT t が閉集合であることが云えればよい.これは,適当な収束 点列を持ってきた時,十分先の方を見てやれば長さ lh(s) までは 変化がないように出来る事から明らか. 閉集合の Suslin 演算 ⇒ 解析的.T := { (x ↾ lh(s), s) : x ∈ As } と 置けばよい. この特徴付けにより,一般のポーランド空間で解析的集合を定義 することも出来る. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  93. 93. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば,先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  94. 94. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば,先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い. ω × α 上の木の射影として表せる集合を α-Suslin 集合と呼ぶ ことにすれば,より一般に次が示せる: 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  95. 95. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば,先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い. ω × α 上の木の射影として表せる集合を α-Suslin 集合と呼ぶ ことにすれば,より一般に次が示せる: Theorem 14 A ⊆ N が κ-Suslin かつ |A| > κ なら A は完全集合を含む. Proof. 明らか. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  96. 96. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか? 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  97. 97. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか? Theorem 15 Borel 集合は解析的であり,更に補解析的でもある.よって ∆1 1 で ある. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  98. 98. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか? Theorem 15 Borel 集合は解析的であり,更に補解析的でもある.よって ∆1 1 で ある. 証明の方針 Σ1 1 が開・閉集合を含み,可算和・可算共通部分について閉じる事 を示せば良い.Baire 空間の基本開集合は閉集合でもあったので, 1 Σ1 1 は可算和・可算共通部分について閉じている 2 Σ1 1 は閉集合を含む の二つを示せば十分.Borel 集合が補集合について閉じることか ら補解析的であることも従う. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  99. 99. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  100. 100. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 各 Tn を ω × ω 上の木として,An = p[Tn] とおく. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  101. 101. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 各 Tn を ω × ω 上の木として,An = p[Tn] とおく. 可算和.ここで, T := { (s, t) : ∃n < ω [t = n ⌢ t′ ∧ (s ↾ lh(t′ ), t′ ) ∈ Tn] } とおけば,これは木で,明らかに p[T] = ∪ n p[Tn]. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  102. 102. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 各 Tn を ω × ω 上の木として,An = p[Tn] とおく. 可算和.ここで, T := { (s, t) : ∃n < ω [t = n ⌢ t′ ∧ (s ↾ lh(t′ ), t′ ) ∈ Tn] } とおけば,これは木で,明らかに p[T] = ∪ n p[Tn]. 可算共通部分.第二引数につき単調な全単射 e : ω × ω → ω を取 る.t ∈ <ωω に対し,t(n) := ⟨te(n,ℓ)|e(n, ℓ) < lh(t)⟩ として, T := { (s, t) : ∀n < ω [(s ↾ lh(t(n) ), t(n) ) ∈ Tn] } とおけば,これは木で,p[T] = ∩ n p[Tn] となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  103. 103. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 e による可算個の列の統合の概念図 t(0) t(1) t(2) t(3) t(4) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  104. 104. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ∆1 1 集合と Borel 集合 先程の定理の「逆」も成立する: Theorem 16 ∆1 1-集合は Borel 集合である.従って ∆1 1 は Borel 集合全体と一致 する. これは先程の定理と,次の定理から従う: Theorem 17 (Σ1 1-分離原理) 任意の二つの互いに交わらない解析的集合は Borel 集合により分 離出来る.即ち, ∀A, B ∈ Σ1 1 [A ∩ B = ∅ → ∃C : Borel, A ⊆ C ∧ B ⊆ Cc ] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  105. 105. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 I A = p[T], B = p[S] とする.各 s, t ∈ <ωω に対し, As t := { x ∈ A : s ⊆ x ∧ ∃y (t ⊆ y ∧ (x, y) ∈ [T]) } Bs t := { x ∈ B : s ⊆ x ∧ ∃y (t ⊆ y ∧ (x, y) ∈ [S]) } とおく.各 As t , Bs t はそれぞれ (s, t) の収束先に含まれているよう な点全体であり,特に定義から A∅ ∅ = A, B∅ ∅ = B となっている. また,常に (s, t) ∈ T ⇒ As t = ∪ { As⌢n t⌢m : (s ⌢ n, t ⌢ m) ∈ T } が成立している(S, Bs t についても同様).以下 A, B が分離されな いとして矛盾を導く(背理法). 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  106. 106. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 II まずは次を示す: Claim 2 A = ∪ n<ω An, B = ∪ k<ω Bk とする.A が Borel 集合で分離できな いなら,An, Bk が分離出来ないような n, k が存在する. Proof. 対偶を示す.各 An, Bk が Borel 集合で分離出来るなら, ∪ n An, ∪ k Bk も分離出来る事を示せばよい.そこで,Dn k を An, Bk を分離する Borel 集合とする.すると, D := ∪ n<ω ∩ k<ω Dn k が A, B を分離する Borel 集合となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  107. 107. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  108. 108. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  109. 109. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  110. 110. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  111. 111. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  112. 112. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  113. 113. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  114. 114. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  115. 115. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明(続き) I ここで,As t = ∪ n,k<ω As⌢n t⌢k, Bs t = ∪ n,k<ω Bs⌢n t⌢k が成立することに 気をつけると,次を満たすような x, y, u, v ∈ N が取れる: (x, y) ∈ [T] ∧ (u, v) ∈ [S] ∧ ∀n < ω, [Ax↾n y↾nと Bu↾n v↾n は分離不能] (*) n = 0 の時は,背理法の仮定から A = A∅ ∅ と B = B∅ ∅ が分離不能で あることから常に成立している.x, y, u, v の n 桁目までが定まっ たとすれば,先程の補題から,Ax↾n⌢k y↾n⌢ℓ と Bu↾n⌢m v↾n⌢i が分離不能とな るような k, ℓ, m, i < ω が存在しなければならない.そこでそんな k, ℓ, m, i を取って,x, y, u, v の (n + 1) 桁として定めればよい. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  116. 116. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明(続き) II すると,取り方から x ∈ A = p[T], u ∈ B = p[S] であり, A ∩ B = ∅ より x ̸= u である.Baire 空間は完備距離化可能空間で あり,従って特に Hausdorff 空間なので,x, u の基本開近傍 U = O(x ↾ jx ), V = O(u ↾ ju) で U ∩ V = ∅ となるものが取れる. そこで改めて j := max{jx , ju} とおけば,明らかに Ax↾j y↾j ⊆ U かつ Bu↾j v↾j ⊆ V .よって Ax↾j y↾j と Bu↾j v↾j は Borel 集合 U により分離される ことになり,(*) に反する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  117. 117. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合 I ∆1 1 集合は Borel 集合となることがわかった. ? Σ1 1 だが Π1 1 でないような集合は存在するのか? · · · 次の普遍 Σ1 1 集合を使った対角線論法で示される: Fact 18 N2 の Σ1 1 集合 B で次を満たす物が存在する: ∀A ⊆ N [A ∈ Σ1 1 ⇐⇒ ∃z ∈ N A = { x : (x, z) ∈ B }] このような B を普遍 Σ1 1 集合と呼ぶ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  118. 118. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合 II ⋆ この時,A = { x ∈ N : (x, x) ∈ B } は Σ1 1 だが Π1 1 ではない. (∵) A が Π1 1 だとすると,Ac = { x ∈ A : (x, x) /∈ B } は Σ1 1.する と B は普遍 Σ1 1 集合なので ∀x ∈ N [(x, x) /∈ B ⇐⇒ (x, z) ∈ B] を満たす z ∈ N が存在 する.特に x = z とおけば,(z, z) /∈ B ⇐⇒ (z, z) ∈ B とな り矛盾.よって A は Π1 1 ではない. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  119. 119. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合の存在 I ωk × ω 上の木の概念は ω × ω 上の木と同様に定義出来る. pk[T] := { u ∈ Nk : ∃z ∈ N (u ⌢ z ∈ [T]) } Nk の Σ1 1 集合は pk[T] の形で書ける集合と定義する. 普遍 Σ1 1 集合は N2 の部分集合なので,ω2 × ω 上の木の射影 として定義したい そこで,有限木を有限列でコードすることを考える. e : <ωω × <ωω → ω を,∀n < ω, e(s ↾ n, t ↾ n) ≤ e(s, t) を満 たすような単射とする. u ∈ <ωω が有限木のコード def ⇐==⇒ Tu := { (s, t) : lh(s) = lh(t) < ω ∧ e(s, t) < lh(u) → u(e(s, t)) = 1 } が有限木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  120. 120. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合の存在 II ここで T := { (s, u, t) : u は有限木のコード∧ ∀i<ω [e(s↾i,t↾i)<lh(u)→u(e(s↾i,t↾i))=1] } と定めれば,T は ω2 × ω 上の木. そこで B = p2[T] と置けば,これが求めるものとなる. (x, σ, y) ∈ [T] とすれば,σ が ω × ω 上の木の witness であり, (x, y) ∈ Tσ となっている. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  121. 121. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 射影階層 Σ1 1 や Π1 1 集合の射影を取って,射影階層を定義出来る: Definition 19 Σ1 1(Nk ) := { pk[T] ⊆ N : T はωk × ω上の木 } Π1 1(Nk ) := { N A : A ∈ Σ1 1(Nk ) } Σ1 n+1(Nk ) := { ∃N B : B ∈ Π1 n(Nk+1 ) } Π1 n+1(Nk ) := { N A : A ∈ Σ1 n+1(Nk ) } ∆1 n(Nk) := Σ1 n(Nk) ∩ Π1 n(Nk) 但し A ⊆ Nk+1 に対し ∃N A = { (s1, . . . , sk) : ∃z ∈ N(s1, . . . , sk, z) ∈ A }. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  122. 122. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 射影集合と Solovay-Shelah の結果(予告) 以下,これから学ぶこと. Solovay:κ が到達不能基数で G が Col(ω, < κ)-generic / V の時,V [G] において順序数を用いて定義可能な実数の集合 は Lebesgue 可測性,Baire の性質,完全集合性質を持つ. ⇝ ここで示した「あるクラスの集合が好ましい性質を持つ」こ との拡張的な結果と見れる Shelah:任意の Σ1 3 集合が Lebesgue 可測なら,任意の実数 z について ωV 1 は L[z] で到達不能基数になっている. ここまでの内容で,記述集合論に属する部分について上の主 張の意味は理解できるようになった. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  123. 123. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 参考文献 I Thomas Jech. Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer, 2002. Alexander S. Kechris. Classical Descriptive Set Theory. English. 1st ed. Vol. 156. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York, Inc., 1995. isbn: 978-1-4612-8692-9. Kenneth Kunen. Set Theory. Vol. 34. Mathematical Logic and Foundations. College Publications, 2011. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  124. 124. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 参考文献 II Yiannis N. Moschovakis. Descriptive Set Theory. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, 2009. isbn: 978-0821848135. Ralf Schindler. Set Theory: Exploring Independence and Truth. Universitext. Springer International Publishing Switzerland, 2014. isbn: 978-3-319-06724-7. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合

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