Exposicion de Fourrier

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Exposicion de Fourrier

  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas (U.NE.F.A.) Guacara Edo. Carabobo SerieS de Fourier TranSFormadaS de Fourier TranSFormadaS de LapLace Integrantes: Arnias Leonel 16.154.608 Borjas Juan 15.606.482 Escorcha Karry 18.435.494 Lotero Marvin 15.979.718 Salom Roxany 14.753.527 Sección 005-N
  2. 2. Serie de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras) Las series de Fourier tienen la siguiente forma: Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x)
  3. 3. Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es: • Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores: Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja: Los coeficientes ahora serían:
  4. 4. Aplicaciones de la serie de Fourier • Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. • Análisis en el comportamiento armónico de una señal • Reforzamiento de señales. • Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
  5. 5. Formulación general • Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x. • Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo". • Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.
  6. 6. Transformada de Fourier • En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente: • Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
  7. 7. Propiedades Básicas de la transformada de Fourier • La transformada de Fourier es una aplicación lineal: • Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f: • Cambio de escala: • Traslación: • Traslación en la variable transformada: • Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,
  8. 8. • Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable: Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes. En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define da la manera siguiente: Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad: También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada:
  9. 9. Teorema de inversión La idea del teorema de inversión es que dada una función f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos: Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable. Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes.
  10. 10. Series de Fourier de senos y cosenos Dada una función en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas funciones en (−pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las extensiones tendrá una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones tienen especial interés. Teniendo en cuenta la propiedad 4 de la sección 1.3, se puede elegir la extensión de manera que tengamos una función par y, en ese caso, la serie de Fourier sólo tiene cosenos. Se llama serie de Fourier de cosenos de la función original y sus coeficientes se calculan por la fórmula (1.6) (en la que sólo interviene la función dada en el intervalo original). Del mismo modo, si elegimos una extensión impar, la serie que resulta es la serie de Fourier de senos de la función dada y sus coeficientes vienen determinados por (1.7). Se pueden hacer construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo.
  11. 11. Uso en la ingenieria La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio frecuencial» una señal para así obtener información que no es evidente en el «dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de señales trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes: • La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y la oída humana se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz. • Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransmisores. • La transformada de Fourier también es utilizada en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.
  12. 12. Transformada de Laplace • La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por: • Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: • La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
  13. 13. Propiedades de la Transformada de Laplace • Linealidad: • Potencia enésima: • Seno: • Coseno: • Seno hiperbolico:
  14. 14. Propiedades de la Transformada de Laplace • Coseno hiperbolico: • Logaritmo natural: • Raíz enésima: • Función de Bessel de primera especie: • Función modificada de Bessel de primera especie:

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