Analisis de error en estado estacionario

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Analisis de error en estado estacionario

  1. 1. Análisis de error en estado estacionario
  2. 2. Análisis de error en estado estacionario Si en la etapa en estado estable la salida es diferente al valor deseado, se dice que existe un error en estado estacionario, este error depende del tipo de sistema de control (en forma específica de la función de transferencia de lazo abierto) y de la señal de entrada. Otra clasificación de los sistemas de control: (Tipo) Se clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parabólicas y otras. Las entradas reales se suelen considerar como una combinación de ellas. Los valores de los errores estacionarios debidos a esas entradas individuales son indicativos del desempeño del sistema.
  3. 3. Análisis de error en estado estacionario Considere la siguiente función de transferencia de lazo abierto: G (s) H (s) = K (Ta s + 1)(Tb s + 1)  (Tm s + 1) s N (T1s + 1)(T2 s + 1)  (T p s + 1) El esquema de clasificación está basado en la cantidad de integraciones indicadas por la función de transferencia de lazo abierto ( ver s N ) Así: si N=0, el sistema se denomina tipo cero, si N=1, el sistema se denomina tipo uno, y así sucesivamente. Comentarios: 1. Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del sistema. 2. Al aumentar el número del tipo, disminuye el error en estado estable. 3. Al aumentar el número del tipo, empeora el problema de estabilidad.
  4. 4. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: Se considera el siguiente sistema de lazo cerrado R (s ) C (s ) E (s ) + G (s ) - B (s ) H (s ) la señal de error E(s) en Laplace es 1 E ( s) = R( s) 1 + G ( s) H ( s) utilizando el teorema del valor final podemos encontrar el valor final de la señal de error sR ( s ) ees = lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim t →∞ s →0 s →0 1 + G ( s ) H ( s )
  5. 5. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: De la ecuación se observa que el valor del error depende tanto del sistema como del tipo de entrada. Se acostumbra definir el error en coeficientes de error estáticos, dependiendo del tipo de entrada. Constante K P de error de posición. El error estacionario del sistema, para una entrada escalón unitario, es s 1 1 ees = lim = s →0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + G (0) H (0) la constante K P se define como: K P = lim G ( s ) H ( s ) = G (0) H (0) s →0
  6. 6. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: así el error estático en términos de la constante K P es 1 ees = 1+ KP Para un sistema tipo 0 K (Ta s + 1)(Tb s + 1)  =K s →0 (T1s + 1)(T2 s + 1)  K P = lim ees = 1 1+ K Para un sistema tipo 1 o superior K (Ta s + 1)(Tb s + 1)  K P = lim N =∞ s →0 s (T s + 1)(T s + 1)  1 2 ees = 0
  7. 7. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: Constante K v de error estático de velocidad. El error estacionario del sistema, para una entrada rampa unitaria, es s 1 1 ess = lim = lim 2 s →0 1 + G ( s ) H ( s ) s s →0 s + sG ( s ) H ( s ) La constante K v se define como KV = lim sG ( s ) H ( s ) s →0 así el error estático en términos de la constante 1 ees = KV K v es
  8. 8. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: Para un sistema tipo 0 sK (Ta s + 1)(Tb s + 1)  KV = lim =0 s →0 (T1s + 1)(T2 s + 1)  1 ees = =∞ KV Para un sistema tipo 1 sK (Ta s + 1)(Tb s + 1)  KV = lim =K s →0 s (T1s + 1)(T2 s + 1)  1 1 ees = = KV K Para un sistema tipo 2 o superior K (Ta s + 1)(Tb s + 1)  KV = lim N =∞ s →0 s (T s + 1)(T s + 1)  1 2 1 ees = =0 KV
  9. 9. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: Error en estado estacionario en términos de la ganancia K Entrada escalón Entrada rampa r (t ) = 1 Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2 1 1+ K 0 0 r (t ) = t Entrada aceleración r (t ) = t 2 ∞ ∞ 1 K ∞ 0 2 K
  10. 10. Análisis de error en estado estacionario Errores en estado estacionario: Error en estado estacionario en términos de la ganancia K Entrada escalón Entrada rampa r (t ) = 1 Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2 1 1+ K 0 0 r (t ) = t Entrada aceleración r (t ) = t 2 ∞ ∞ 1 K ∞ 0 2 K

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