1. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
Superficies cuádricas
Jana Rodriguez Hertz
GAL2
IMERL
9 de noviembre de 2010

2. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
superficie cuádrica
definición (forma cuadrática)
una superficie cuádrica está dada por la ecuación:

3. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
superficie cuádrica
definición (forma cuadrática)
una superficie cuádrica está dada por la ecuación:
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0

4. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
superficie cuádrica
definición (forma cuadrática)
una superficie cuádrica está dada por la ecuación:
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0
o, equivalentemente,
XtAX + 2BtX + c = 0

5. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
superficie cuádrica
definición (forma cuadrática)
una superficie cuádrica está dada por la ecuación:
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0
o, equivalentemente,
XtAX + 2BtX + c = 0
con A matriz simétrica, B vector de R3, c constante.

6. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
ejemplo 1
ejemplo 1
la esfera unitaria
x2 + y2 + z2 = 1
es una cuádrica

7. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
ejemplo 1
ejemplo 1
la esfera unitaria
x2 + y2 + z2 = 1
es una cuádrica

8. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
ejemplo 2
ejemplo 2
la cuádrica xy = 0

9. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
ejemplo 2
ejemplo 2
la cuádrica xy = 0
es la unión del plano x = 0 con el plano y = 0

10. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
definición
ejemplo 2
ejemplo 2
la cuádrica xy = 0
es la unión del plano x = 0 con el plano y = 0

11. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ecuación reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cuádrica quede en una forma reducida:

12. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ecuación reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cuádrica quede en una forma reducida:
definición
ecuación reducida de una cuádrica:

13. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ecuación reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cuádrica quede en una forma reducida:
definición
ecuación reducida de una cuádrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal

14. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ecuación reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cuádrica quede en una forma reducida:
definición
ecuación reducida de una cuádrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
y tiene uno de los siguientes tipos:

15. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ecuación reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cuádrica quede en una forma reducida:
definición
ecuación reducida de una cuádrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
y tiene uno de los siguientes tipos:
1 tipo I: x2 +

16. y2 +
z2 + = 0

17. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ecuación reducida
Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la
cuádrica quede en una forma reducida:
definición
ecuación reducida de una cuádrica:
se obtiene por un cambio de variables ortogonal
y tiene uno de los siguientes tipos:
1 tipo I: x2 +

18. y2 +
z2 + = 0
2 tipo II: x2 +

19. y2 +
z = 0

20. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ejemplos
ejemplo
el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con =

21. =
= 1 y
= 1

22. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
ejemplos
ejemplo
el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con =

23. =
= 1 y
= 1
el ejemplo 2 (xy = 0) no está en su forma reducida, ya
veremos cuál es

24. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
objetivos
1 ver cómo se llega a una ecuación reducida

25. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
forma reducida
objetivos
1 ver cómo se llega a una ecuación reducida
2 ver cuál es el dibujo de la superficie en su forma reducida

26. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
centro de una cuádrica
centro de una cuádrica
definición
XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica

27. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
centro de una cuádrica
centro de una cuádrica
definición
XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica
Q = (xQ; yQ; zQ) centro de la cuádrica si

28. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
centro de una cuádrica
centro de una cuádrica
definición
XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica
Q = (xQ; yQ; zQ) centro de la cuádrica si
A
0
@
xQ
yQ
zQ
1
A + B = ~0

29. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
centro de una cuádrica
observación
puede haber un único centro (sistema compatible
determinado)

30. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
centro de una cuádrica
observación
puede haber un único centro (sistema compatible
determinado)
puede haber infinitos centros (sistema compatible
indeterminado)

31. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
centro de una cuádrica
observación
puede haber un único centro (sistema compatible
determinado)
puede haber infinitos centros (sistema compatible
indeterminado)
puede no haber centros (sistema incompatible)

32. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
centro y clasificación de cuádricas
teorema 1
F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica

33. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
centro y clasificación de cuádricas
teorema 1
F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica
P1AP = diag(;

34. ;
) con P ortogonal

35. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
centro y clasificación de cuádricas
teorema 1
F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica
P1AP = diag(;

36. ;
) con P ortogonal
Si existe un centro Q = (xQ; yQ; zQ)t , entonces

37. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
centro y clasificación de cuádricas
teorema 1
F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica
P1AP = diag(;

38. ;
) con P ortogonal
Si existe un centro Q = (xQ; yQ; zQ)t , entonces
haciendo el cambio de variables X = PX0 + Q

39. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
centro y clasificación de cuádricas
teorema 1
F(x; y; z) = XtAX + 2BtX + c = 0 cuádrica
P1AP = diag(;

40. ;
) con P ortogonal
Si existe un centro Q = (xQ; yQ; zQ)t , entonces
haciendo el cambio de variables X = PX0 + Q
la cuádrica queda tipo I:
x02 +

41. y02 +
z02 + F(Q) = 0

42. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
cuando no hay centro
teorema 2
Si la cuádrica XtAX + 2BtX + c = 0 no tiene centro

43. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
cuando no hay centro
teorema 2
Si la cuádrica XtAX + 2BtX + c = 0 no tiene centro
) PtAP = diag(;

44. ; 0) y

45. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
teoremas
cuando no hay centro
teorema 2
Si la cuádrica XtAX + 2BtX + c = 0 no tiene centro
) PtAP = diag(;

46. ; 0) y
la ecuación reducida es de tipo II:
x02 +

47. y0z + z0 = 0 con 6= 0

48. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
cuádricas de tipo I
tipo I
x2 +

49. y2 +
z2 + = 0 cuádrica de tipo I

50. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
cuádricas de tipo I
tipo I
x2 +

51. y2 +
z2 + = 0 cuádrica de tipo I
hay dos casos importantes:

52. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
cuádricas de tipo I
tipo I
x2 +

53. y2 +
z2 + = 0 cuádrica de tipo I
hay dos casos importantes:
1 6= 0

54. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
cuádricas de tipo I
tipo I
x2 +

55. y2 +
z2 + = 0 cuádrica de tipo I
hay dos casos importantes:
1 6= 0
2 = 0

56. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
cuádricas de tipo I
tipo I
x2 +

57. y2 +
z2 + = 0 cuádrica de tipo I
hay dos casos importantes:
1 6= 0 ! 0x2 +

58. 0y2 +
0z2 = 1
2 = 0

59. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
cuádricas de tipo I
tipo I
x2 +

60. y2 +
z2 + = 0 cuádrica de tipo I
hay dos casos importantes:
1 6= 0 ! 0x2 +

61. 0y2 +
0z2 = 1
2 = 0 ! x2 +

62. y2 +
z2 = 0

63. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
clasificación de cuádricas de tipo I
clasificación
cómo se clasifican?

64. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
clasificación de cuádricas de tipo I
clasificación
cómo se clasifican?
1ero por 6= 0 o 6= 0

65. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I
clasificación de cuádricas de tipo I
clasificación
cómo se clasifican?
1ero por 6= 0 o 6= 0
luego por signo de ;

66. y

67. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
elipsoide
elipsoide
elipsoide
+ + + 1
3x2 + y2 + 4z2 = 1

68. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
elipsoide
elipsoide
elipsoide
+ + + 1
3x2 + y2 + 4z2 = 1

69. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de 1
hoja
+ + 1
x2 3y2 + z2 = 1

70. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de una hoja
hiperboloide de 1
hoja
+ + 1
x2 3y2 + z2 = 1

71. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de 2
hojas
+ 1
x2 + y2 z2 = 1

72. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de dos hojas
hiperboloide de 2
hojas
+ 1
x2 + y2 z2 = 1

73. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
cilindro elíptico
cilindro elíptico
cilindro elíptico
+ + 0 1
x2 + 2y2 = 1

74. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
cilindro elíptico
cilindro elíptico
cilindro elíptico
+ + 0 1
x2 + 2y2 = 1

75. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
cilindro hiperbólico
cilindro hiperbólico
cilindro elíptico
+ 0 1
x2 y2 = 1

76. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
cilindro hiperbólico
cilindro hiperbólico
cilindro elíptico
+ 0 1
x2 y2 = 1

77. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
dos planos paralelos
dos planos paralelos
dos planos
paralelos
+ 0 0 1
4x2 = 1

78. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
dos planos paralelos
dos planos paralelos
dos planos
paralelos
+ 0 0 1
4x2 = 1

79. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - 6= 0
otros casos
1 ! ;
0 1 ! ;
0 0 1 ! ;

80. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - = 0
cono
cono
cono
+ + 0
+ 0
x2 + 2y2 z2 = 0

81. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - = 0
cono
cono
cono
+ + 0
+ 0
x2 + 2y2 z2 = 0

82. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - = 0
planos que se cortan
planos que se cortan
planos que se
cortan
+ + 0
+ 0
x2 y2 = 0

83. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - = 0
planos que se cortan
planos que se cortan
planos que se
cortan
+ + 0
+ 0
x2 y2 = 0

84. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo I - = 0
otros casos
0 un punto
0 0 una recta
0 0 0 un plano

85. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
tipo II
tipo II
x2 +

86. y2 + z = 0 con 6= 0

87. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
tipo II
tipo II
x2 +

88. y2 + z = 0 con 6= 0
cómo se clasifican:

89. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
tipo II
tipo II
x2 +

90. y2 + z = 0 con 6= 0
cómo se clasifican:
por el signo de :

91. (el signo de no incide)

92. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
paraboloide elíptico
paraboloide elíptico
paraboloide
elíptico
:

93. 0
x2 + 2y2 = z

94. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
paraboloide elíptico
paraboloide elíptico
paraboloide
elíptico
:

95. 0
x2 + 2y2 = z

96. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
paraboloide hiperbólico
paraboloide hiperbólico
paraboloide
hiperbólico
:

97. 0
4x2 2y2 = z

98. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
paraboloide hiperbólico
paraboloide hiperbólico
paraboloide
hiperbólico
:

99. 0
4x2 2y2 = z

100. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
cilindro parabólico
cilindro parabólico
cilindro parabólico
:

101. = 0
2x2 = z

102. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
tipo II
cilindro parabólico
cilindro parabólico
cilindro parabólico
:

103. = 0
2x2 = z

104. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0

105. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A

106. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A B =
0
@
14
6
8
1
A

107. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A B =
0
@
14
6
8
1
A
Ecuación de centro: AQ + B = ~0

108. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A B =
0
@
14
6
8
1
A
Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1)
(1 centros)

109. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A B =
0
@
14
6
8
1
A
Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1)
(1 centros)
! TIPO I

110. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A B =
0
@
14
6
8
1
A
Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1)
(1 centros)
! TIPO I
vap de A: det(A I) = 3 + 212 92 = 0

111. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
A =
0
@
9 3 5
3 9 3
5 3 3
1
A B =
0
@
14
6
8
1
A
Ecuación de centro: AQ + B = ~0 Q = (3y 1; y; 6y + 1)
(1 centros)
! TIPO I
vap de A: det(A I) = 3 + 212 92 = 0
) (x regla Descartes) dos raíces +, una 0

112. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
Q = (3y 1; y; 6y + 1)

113. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
Q = (3y 1; y; 6y + 1)
ecuación reducida: x2 +

114. y2 + 0z2 + F(Q) = 0

115. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
Q = (3y 1; y; 6y + 1)
ecuación reducida: x2 +

116. y2 + 0z2 + F(Q) = 0
F(Q) = F(1; 0; 1) = 7 0

117. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
Q = (3y 1; y; 6y + 1)
7
ecuación reducida: x2 +

118. y2 + 0z2 + F(Q) = 0
F(Q) = F(1; 0; 1) = 7 0
ecuación reducida: x2 +

119. y2 7 = 1

120. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
Q = (3y 1; y; 6y + 1)
7
ecuación reducida: x2 +

121. y2 + 0z2 + F(Q) = 0
F(Q) = F(1; 0; 1) = 7 0
ecuación reducida: x2 +

122. y2 7 = 1
cilindro elíptico

123. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
Clasificar
9x2 +9y2 +3z2 +6xy 10xz 6yz +28x +12y 16z +15 = 0
ecuación reducida: 7x2 +

124. 7 y2 = 1
cilindro elíptico

125. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 2
ejemplo 2
Clasificar
5x2 y2 + z2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z 8 = 0
(cálculo en pizarrón)

126. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 2
ejemplo 2
Clasificar
5x2 y2 + z2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z 8 = 0
(cálculo en pizarrón)

127. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo3
ejemplo 3
Clasificar
x2 + yz + 2x 4z 5 = 0
(cálculo en pizarrón)

128. superficies cuádricas clasificación de las cuádricas ejemplos
ejemplo 1
ejemplo3
ejemplo 3
Clasificar
x2 + yz + 2x 4z 5 = 0
(cálculo en pizarrón)