el teorema presentat a complements 1

1. TEOREMA DE BOLZANO
JAUME VICENS OBRADOR
COMPLEMENTS 1
MFP 2012/13
UNIVERSITAT ILLES BALEARS

2. Perquè ens agrada aquest teorema
- PRINCIPALMENT:
- Per la simplicitat a l’hora de visualitzar-ho
i/o entendre (conceptualment), i la
dificultat que amaga per resoldre’l.
- I TAMBÉ:
- Per la importància que té en les
matemàtiques
- Per les aplicacions que té

3. Breu repàs històric
- Demostrat per Bernard Bolzano en el 1817.
Cauchy 1821 fa una altre demostració.
- Perquè:
- “Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones
y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones
continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga
data” (wikipedia)
- La visió de Bolzano fou la de definir una
visió general de continuitat i la de proveir
una prova basada en tal definiciò.

4. - El recíproc del teorema és fals, es a dir:
- No és necessari que una funció sigui
contínua perquè la conclusió del teorema
dels valors intermedis sigui certa. En 1875,
Darboux demostra que les funcions que
provenen d'una derivada, siguin contínues
o no, posseeixen la propietat dels valors
intermedis.

5. Teorema de Bolzano
- Enunciat:
“ Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si,
además, en los extremos del intervalo la función f(x)
toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0),
entonces existe al menos un valor c € (a, b) para el que
se cumple: f(c) = 0 ” (http://centros5.pntic.mec.es)

6. A T
I T
A C
E R
V

7. Aplicacions del teorema de Bolzano
- Aproximació d’arrels.
A causa de la seva interpretació gràfica,
la principal aplicació del teorema de
Bolzano és trobar arrels o zeros d'una
funció contínua per aproximacions.

8. Problemes que es resolen amb
Bolzano
- Utilitzant el teorema de Bolzano,
demostrar que l'equació:
x3 + x − 5 = 0, té almenys una solució
x = a tal que 1 < a < 2.
- Sigui la funció f(x) = x3 − x2 + 1. Es
pot afirmar que existeix almenys un
punt c a l'interior de l'interval [1,2]
tal que f(c) = 0?

9. En conclusió
- Simple però alhora complex
- Es un teorema que és cert
- Molt important en el món de les
matemàtiques

10. En conclusió
- Simple però alhora complex
- Es un teorema que és cert
- Molt important en el món de les
matemàtiques