Transformada Conforme

Campos Electromagnéticos
Practica 2: La Transformada Conforme
Jackson F. Reyes Bermeo

INFORME DE PRÁCTICAS

Ejercicio 1: Cable coaxial

1.1.Dibujar las líneas equipotenciales y el campo eléctrico

Código: Grafica:

%calculando el potencial
clear all
close all
a=3e-3;
b=10e-3;
V0=7;

[x,y]=meshgrid(-b:b/20:b,-
b:b/20:b);
%distancia
r=sqrt(x.^2+y.^2);
%indices
id_conductor=(r<a);
id_malla=(r>b);
V=V0/(log(b/a)).*(log(r/a));
V(id_conductor)=0;
V(id_malla)=V0;
%gradiente
[px,py]=gradient(V,b/20,b/20);
hold on
%creando circulos del conductor
circulo(a,0,0);
circunferencia(b,0,0);
Figura 1: Potencial y campo eléctrico asociado en un hilo
contour(x,y,V,5); coaxial
quiver(x,y,-px,-py);
hold off
title('Potencial y Campo Electrico Asociado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
grid

El primer círculo verde representa el hilo de cobre del coaxial mientras que el segundo
circulo representa la malla que recubre el coaxial, como podemos observar el campo
eléctrico va desde el circulo mayor al menor, esto debido que el campo eléctrico va de
la carga positiva a negativo, puesto que el potencial en la malla es de 7V mientras que
en el hilo es de 0V, los demás círculos representan la intensidad del potencial


Ejercicio2.Cable Fibilar Asimétrico:
2.1.Solución del sistema para los datos del problema.

Figura 2: Cable Bifilar asimétrico

Usando la transformada generalizada
( )
y las ecuaciones de los círculos:
( )
( )

Realizando operaciones llegamos a las siguientes expresiones de cada conductor
circular:
( )

( )

Para eliminar la dependencia de x y hacer “u” constante tenemos que plantear las
siguientes condiciones:

Por lo que obtenemos:

( )

( )
Por lo cual tenemos que resolver el sistema.

(1)
(2)
(3)


Resolviendo el sistema obtenemos:

√

Para los datos del problema obtenemos:

2.2.Dibujar las curvas obtenidas al llamar a la función HallaDyA(R1, 5mm) y
HallaDyA(R2,5mm), con R1=2 mm y R2=10 mm. Dibujar, así mismo, el valor de
los puntos (d1,a) y (d2,a) obtenidos al resolver el sistema y comprobar que se
cumple la ecuación d1+d2=D (con D=15mm). ¿Se puede elegir cualquier valor
de d1 y d2 o por el contrario, para cada valor de a hay una relación fija entre d1 y
d2? (Ejerc. 2 y 3).

Grafica para HallaDyA(2mm,5mm)

Código:
function y=HallaDyA(2e-3,5e-3)
a=[-RangoA:RangoA/50:RangoA];
d=abs(sqrt(Radio.^2+a.^2));
plot(a,d), hold on

Grafica:

Figura 3: grafica de los pares de valores (d,a) para R1=2mm


Grafica para HallaDyA(10mm,5mm)

Codigo:
function y=HallaDyA(10e-3,5e-3)
a=[-RangoA:RangoA/50:RangoA];
d=abs(sqrt(Radio.^2+a.^2));
plot(a,d), hold on

Gráfica:

Figura 4: grafica de los pares de valores (d,a) para R2=10mm

Como podemos observar para cada valor de “a” se obtiene distintos valores de
es decir que dependen del valor de a que tomemos además tanto
están relacionadas, debiendo cumplir , para mantener constante
por lo cual si tomamos un a=cte podemos obtener los valores de .


2.3.Dibujar las líneas equipotenciales y el campo eléctrico (Ejerc. 4).

Figura 5: Potencial y Campo eléctrico Asociado Cable Bifilar Asimétrico

Código:
%potencial y campo electrico
%%datos
clear all
R1=2;
R2=10;
D=15;
V0=5;
%calculando parametros
d1=(D^2+R1^2-R2^2)/(2*D);
d2=(D^2+R2^2-R1^2)/(2*D);
a=sqrt(d1^2-R1^2);
u1=0.5*log((d1+a)/(d1-a));
u2=0.5*log((d2-a)/(d2+a));
[x,y]=meshgrid(-15:0.50:25, -15:0.50:15);
%potencial
A=(2*V0)/(u2-u1);
B=(V0*(u1+u2))/(u1-u2);
%puntos de los dos conductores
Ro1=sqrt((x+d1).^2+y.^2);
Ro2=sqrt((x-d2).^2+y.^2);
%indices dentro de cada conductor
dentroC1=(Ro1<=R1);
dentroC2=(Ro2<=R2);
V=zeros(size(x));
V(dentroC1)=-V0;
V(dentroC2)=V0;
%fuera de los conductores
fuera=(not(dentroC1)) & (not(dentroC2));
u(fuera)=log(abs( ( (x(fuera)-a)+i*y(fuera) ) ./(
(x(fuera)+a)+i*y(fuera) )));
%potencial fuera del conductor (dentro es 0)
V(fuera)=A*u(fuera)+B;
circulo(R1,-d1)
circulo(R2,d2)


contour(x,y,V,20);
hold on
[px,py]=gradient(V);
quiver(x,y,-px,-py);
hold off
axis equal;
title('Potencial y Campo Electrico asociado Cable Bifilar
Asimetrico');
xlabel('Eje x (mm)');
ylabel('Eje y (mm)');
colorbar

Como podemos observar el campo eléctrico converge al conductor de menor tamaño
puesto que es el que tiene un potencial negativo, mientras el otro tiene el potencial
positivo, recordar que siempre el campo eléctrico se dirige a potenciales menores,
según la gama de colores podemos observar que el potencial entre los dos conductores
es muy intenso mientras que a los extremos es menor.

2.4.Dibujar la capacidad en función de D/R1 para el cable bifilar asimétrico.
Describir el comportamiento de la capacidad (Ejerc. 5).

Figura 6: Capacidad por unidad de longitud en función de D/R1

Como podemos observar conforme va aumentado “D” la capacidad por unidad
de longitud disminuye esto debido a que los cables están los suficientemente
separados para que los campos no se induzcan en el otro terminal, esto se puede
observar en el plano transformado que se comporta como dos placas de un
condensador mientras se alejan estas pierden capacidad.


Ejercicio3.Cable coaxial descentrado:
3.1.Expresión de la función potencial y capacidad por unidad de longitud (Ejerc. 6).

El procedimiento para resolver este problema es similar para el del cable bifilar
asimétrico

Usando la transformada generalizada
( )
y las ecuaciones de los círculos:
( )
( )

Realizando operaciones llegamos a las siguientes expresiones de cada conductor
circular:
( )

( )

Para eliminar la dependencia de x y hacer “u” constante tenemos que plantear las
siguientes condiciones:

Por lo que obtenemos:

( )

( )
Como en la trasformada conforme obtenemos dos funciones constantes que dependen
solo de u además podemos utilizar la ecuación de LaPlace para encontrar la expresión
del potencial que resulta:

Aplicando condiciones en cada uno de los conductores obtenemos
𝑉(𝑢 𝑢 ) 𝑉 

𝑉(𝑢 𝑢 ) 𝑉 


Teniendo el potencial ya podemos obtener el campo eléctrico teniendo en cuenta que
solo depende de u.

⃗

Mediante una de las ecuaciones de contorno encontramos la densidad.
̂ (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ̂ ⃗⃗⃗⃗
Y si obtenemos la carga

∫
Por lo que tenemos

( )

3.2.Dibujar las líneas equipotenciales y el campo eléctrico (Ejerc. 7).

Figura 7: Potencial y Campo Eléctrico Figura 8: zoom donde el potencial es mayor

Como podemos observar el potencial en el conductor interior es mayor, esto porque es
un potencial negativo, al estar descentrado vemos que la esquina que se encuentra
cerca a la malla exterior el campo eléctrico es mayor, esto se puede observar en la
figura 8. En conclusión vemos que el campo eléctrico no está distribuido
uniformemente por el conductor sino que se concentra donde están mas juntos los dos
conductores


3.3.Dibujar la capacidad del coaxial en función del descentramiento D/R1. ¿Cómo
afecta el descentramiento a la capacidad del cable coaxial? (Ejerc. 8).

Codigo:
%datos
clear all
clc
e=1/(4*pi*9*10^9);
R1=2;
R2=20;
D=1:0.5:(R2-R1);
%calculo parametros
d2=(R2.^2-R1.^2+D.^2)./(2*D);
d1=d2-D;
a=sqrt(d1.^2-R1.^2);
u1=0.5*log((d1-a)./(d1+a));
u2=0.5*log((d2-a)./(d2+a));
%capacidad por unidad de metro
C_l=(4*pi*e)./abs(u2-u1);
plot(D/R1,C_l)
xlabel('D/R1'),ylabel('C/l')
title('Capacidad en funcion de D/R1');
xlabel('D/R1'),ylabel('C/l');
grid
title('Capaciadad en funcion del descentramiento');
xlabel('D/R1 (F/m)');
ylabel('C/l (mm)');

Grafica:

Figura 9: Capacidad según la posición del conductor interno


Como podemos observar conforme se va aumentando D, la capacidad va aumentando,
en otras palabras mientras el conductor interno se acerca la malla conductora del
coaxial este aumenta su capacidad, puesto que el campo eléctrico es mayor, por eso es
aconsejable que el conductor este centrado para evitar pérdidas por capacidades
parasitas originadas por la inducción de campo eléctrico que es intenso al estar muy
juntos.

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