שיטות הסתרותיות תרגול 10 אוניברסיטת חיפה מדעי מחשב Игорь Клейнер Введене в теорию вероятностных методов практическое занятие номер 10 матройд позитива (c) Igor Kleiner introduction to probabilistic methods class 10 igor_eta

1. ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
'‫מס‬ ‫תרגול‬10.
16.06.2007
version 1.
:‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
.‫מבוא‬
1.‫קומבינאטורים‬ ‫אובייקטים‬ ‫של‬ ‫קיום‬ ‫להוכחת‬ ‫מהדרכים‬ ‫אחד‬ ‫הן‬ ‫ש"ה‬
:‫הבאים‬ ‫עקרונות‬ ‫בעזרת‬ ,‫מסוימות‬ ‫תכונות‬ ‫בעלי‬
1.‫מרחב‬ ‫נגדיר‬ ,‫מסוימות‬ ‫תכונות‬ ‫עם‬ ‫אובייקט‬ ‫קיום‬ ‫להוכיח‬ ‫מנת‬ ‫על‬
‫מדגם‬ ‫ממרחב‬ ‫באקראי‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬ ‫נגריל‬ ‫שאם‬ ‫ונראה‬ ‫מדגם‬
.‫שרצינו‬ ‫תכונות‬ ‫עם‬ ‫אובייקט‬ ‫נקבל‬ ‫חיובית‬ ‫בהסתברות‬ ,‫שהוגדר‬
:‫הדגמה‬
‫היא‬ ‫מהכד‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫להוציא‬ ‫שהסתברות‬ ‫הוכחנו‬ ‫אם‬0.2‫אזי‬ ,
.‫לפחות‬ ‫אחד‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫יש‬ ‫שבכד‬ ‫להסיק‬ ‫ניתן‬
2.‫היות‬ ,‫המתאים‬ ‫מבנה‬ ‫של‬ ‫קיומו‬ ‫על‬ ‫מעידה‬ ‫מ"מ‬ ‫של‬ ‫התוחלת‬
‫כערך‬ ‫לפחות‬ ‫הוא‬ ‫מיקרי‬ ‫המשתנה‬ ‫ערך‬ ‫חיובית‬ ‫ובהסתברות‬
- ‫כלומר‬ .‫התוחלת‬0)Pr( >≥ EXX
:‫הדגמה‬
‫הינו‬ ‫אמצע‬ ‫בבוחן‬ ‫ממוצע‬ ‫שציון‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬75‫כי‬ ‫להסיק‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ ,
‫במבחן‬ ‫קיבל‬ ‫אחד‬ ‫סטודנט‬ ‫לפחות‬75‫סטודנט‬ ‫לפחות‬ ).‫יותר‬ ‫או‬
‫במבחן‬ ‫קיבל‬ ‫אחד‬75.(‫פחות‬ ‫או‬
2.:‫תרגיל‬
‫הסתברותיות‬ ‫בשיטות‬ ‫להשתמש‬ ‫צורך‬ ‫אין‬ .‫פשוטה‬ ‫דוגמא‬ ‫קודם‬ ‫נראה‬
.‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫מנת‬ ‫על‬
‫הוכח‬‫לכל‬ ‫כי‬ :n‫אחד‬ ‫שבת‬ ‫נקודת‬ ‫בעלת‬ ‫תמורה‬ ‫קיימת‬ ,‫חיובי‬ ,‫טבעי‬
.‫לפחות‬

2. :'‫א‬ ‫דרך‬ ‫הוכחה‬
.‫זהות‬ ‫תמורת‬ ‫ניקח‬
:'‫ב‬ ‫דרך‬ ‫הוכחה‬
‫בת‬ ‫אחד‬ ‫תמורה‬ ‫את‬ ‫אחיד‬ ‫אקראי‬ ‫באופן‬ ‫נבחר‬n‫מכל‬ ‫-איברים‬
‫על‬ ‫תמורת‬n.‫-איברים‬
‫שנבחרה‬ ‫בתמורה‬ ‫שבת‬ ‫נקודות‬ ‫מספר‬ ‫תוחלת‬ ‫כי‬ ‫קודם‬ ‫הוכחנו‬
-‫ל‬ ‫שווה‬1‫אחד‬ ‫שבת‬ ‫נקודה‬ ‫עם‬ ‫אחד‬ ‫תמורה‬ ‫לפחות‬ ‫קיימת‬ ‫ז"א‬ .
.‫יותר‬ ‫או‬
.‫מ.ש.ל‬
‫קלה‬ ‫יותר‬ ‫הרבה‬ '‫ב‬ ‫דרך‬ ‫שאלות‬ ‫בהרבה‬ ,‫זו‬ ‫מדוגמא‬ ‫להבדיל‬ :‫הערה‬
.'‫א‬ ‫מדרך‬ ‫ושקופה‬
3.:‫תרגיל‬
:‫טענה‬
‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ ‫בהינתן‬mEnVEVG == ||||),(‫של‬ ‫חלוקה‬ ‫.קיימת‬
:‫זרות‬ ‫הקבוצות‬ ‫לשתי‬ ‫הגרף‬ ‫צמתי‬B,A: ‫ש‬ ‫כך‬
2
|}),(,,:),{(|
m
EvuBvAuvu ≥∈∈∈‫המחוברות‬ ‫הקשתות‬ ‫מספר‬ ‫כלומר‬
- ‫מי‬ ‫שווה‬ ‫גדול‬ ‫הינו‬ ‫הקבוצות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬2
m
.
:‫הוכחה‬
‫הצומת‬ ‫את‬ ‫נוסיף‬ "‫"ראש‬ ‫יוצא‬ ‫אם‬ :‫הוגן‬ ‫מטבע‬ ‫נטיל‬ ‫צומת‬ ‫כל‬ ‫עבור‬
‫לקבוצה‬A‫לקבוצה‬ ‫אחרת‬ ,B.
-‫ב‬ ‫נסמן‬Y‫בין‬ ‫המחוברות‬ ‫הקשתות‬ ‫כמות‬ ‫הסופר‬ ‫מ"מ‬A-‫ל‬B:‫.אזי‬
2
)1()...( 111
m
YmPmEYEYYEEY m ====++=
,‫הקשתות‬ ‫ממספר‬ ‫לחצי‬ ‫שווה‬ ‫הקבוצות‬ ‫בין‬ ‫קשתות‬ ‫מספר‬ ‫תוחלת‬ ‫ז"א‬
.‫כנ"ל‬ ‫חלוקה‬ ‫קיימת‬ ‫ז"א‬
.‫מ.ש.ל‬
4.: ‫תרגיל‬
‫נוסחת‬ ‫נתונה‬3CNF‫עם‬m-‫ו‬ ‫פסוקיות‬n.‫משתנים‬

3. )
‫כזכור‬3CNF‫מהפעלת‬ ‫מורכבת‬and‫פסוקית‬ ‫כשכל‬ ‫פסוקיות‬ ‫על‬
‫היא‬or.‫בדיוק‬ ‫משתנים‬ ‫שלושה‬ ‫עם‬ ‫שלילותיהם‬ ‫ואו‬ ‫משתנים‬ ‫של‬
‫היא‬ ‫הבאה‬ ‫הנוסחא‬ ‫למשל‬3CNF.
)()()( 431431521 xxxxxxxxx ∪∪∩∪∪∩∪∪.
(
:‫טענה‬
‫נוסחא‬ ‫לכל‬ϕ‫בצורת‬3CNF‫תמיד‬‫לפחות‬ ‫שמספקת‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬
m
8
7
.‫מהפסוקיות‬
‫בעיה‬ ‫היא‬ ‫הנוסחה‬ ‫ספיקות‬ ‫בדיקת‬ ‫כי‬ ‫נזכיר‬NP_COMPLETE.
‫כן‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫הבאה‬ ‫הבעיה‬ ‫מזה‬ ‫יותר‬NP_COMPETE:
‫לפחות‬ ‫המספקת‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ :‫הבעיה‬0)(
8
7
>+ εεm
.‫מהפסוקיות‬
:‫פתרון‬
:‫רעיון‬.‫אקראית‬ ‫השמה‬
:‫מהמשתנים‬ ‫אחד‬ ‫לכל‬nxx ,...1.‫ב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫בוליאני‬ ‫ערך‬ ‫נגריל‬
‫מ"מ‬ ‫של‬ ‫סדרה‬ ‫נגדיר‬miYi ..1=: ‫כאשר‬
m
i
YYY
else
lesatisfatibisinumberclause
Y
++=



=
...
0
1
1
‫אזי‬Y‫ההשמה‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המסופקות‬ ‫הפסוקיות‬ ‫מספר‬ ‫הסופר‬ ‫מ"מ‬ –
.‫שבחרנו‬
‫נחשב‬EY.
mYmEYEYEYYEEY mm
8
7
)()(...)()...( 111 ==++=+=
‫עיקרון‬ ‫לפי‬ ‫ולכן‬2‫לפחות‬ ‫המספקת‬ ‫אחד‬ ‫השמה‬ ‫לפחות‬ ‫קיימת‬ :m
8
7
.‫מהפסוקיות‬
.‫מ.ש.ל‬
5.‫תרגיל‬
1.‫טענה‬:

4. ‫יהי‬),( EVG‫גרף‬‫לא‬‫מכוון‬.mEnV == ||2||
‫אזי‬‫קיימת‬‫חלוקה‬‫של‬‫הצמתים‬‫שלו‬‫לשתי‬‫הקבוצות‬‫זרות‬:B,A‫כך‬‫ש‬
:
2)1(2
*
|}),(,,:),{(|#
m
n
nm
EvuBvAuvu >
−
≥∈∈∈=‫כלומר‬‫מספר‬
‫הקשתות‬‫המחברות‬‫בין‬‫שתי‬‫הקבוצות‬‫הינו‬‫גדול‬‫שווה‬‫מי‬)1(2
*
−n
nm
.
2.‫הוכחה‬:
‫נבחר‬‫באקראי‬)‫באופן‬‫אחיד‬(‫ללא‬‫החזרה‬n‫צמתים‬‫ונוסיף‬‫אותם‬
‫לקבוצה‬A,‫שאר‬‫הצמתים‬‫נוסיף‬‫לקבוצה‬B.
‫נסמן‬‫ב‬-Y‫מ‬"‫מ‬‫הסופר‬‫כמות‬‫הקשתות‬‫המחברות‬‫בין‬A‫ל‬-B.
‫נגדיר‬‫סדרה‬‫של‬‫מ‬"‫מ‬mYY ,...,1‫על‬‫ידי‬:



=
else
BandAbetweenconnectedinumberedge
Yi
0
1

5. )12()12(*2
*
2
)!2(
!!
*
)!1()!1(
)!22(
2
2
1
22
1
2
)1()...( 111
−
=
−
=
−−
−
=
=












−
−






====++=
n
mn
nn
nn
m
n
nn
nn
n
m
n
n
n
n
mYmPmEYEYYEEY m
.‫מ.ש.ל‬
2.:‫צרנוב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬
1.‫על‬ ‫כלומר‬ ,‫הזנב‬ ‫להסתברות‬ ‫הקשורות‬ ‫יא-שוויונות‬ ‫על‬ ‫לדבר‬ ‫נמשיך‬
:‫מהסוג‬ ‫הסתברות‬)Pr(),Pr( cXcX <>.
2.:‫תזכורת‬
1.:‫מרקוב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬
‫יהי‬X:‫אזי‬ ‫סופית‬ ‫תוחלת‬ ‫עם‬ ‫אי-שלילי‬ ‫מ"מ‬ξ
ξ
1
)( ≤≥ EXXP.
2.:‫צבישב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬
‫יהי‬X:‫אזי‬ ‫סופיות‬ ‫ושונות‬ ‫תוחלת‬ ‫עם‬ ‫מ"מ‬
2
1
)|(|
ξ
ξσ ≤≥− EXXP.
3..‫צרנוב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬
‫יהי‬{ }n
iiX 1=‫מ"מ‬ ‫של‬ ‫סדרה‬‫אינדיקטורים‬ ‫ב"ת‬‫כאשר‬ .

6. 


=−
=
==∀
01
1
)(
ip
ip
iXPi
i
i
i
‫יהי‬X:‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגדר‬ ‫מ"מ‬∑=
=
n
i
iXX
1
‫אזי‬
n
a
n
a
n
a
eaEXXP
eaEXXP
eaEXXP
2
2
2
2
2
2
2]|[|
][
][
−
−
−
≤≥−
≤−<
≤+>
:‫לב‬ ‫שימו‬∑=
=
n
i
ipEX
1
.
4.‫תרגיל‬1:
‫הוגן‬ ‫מטבע‬ ‫מטילים‬n‫יהי‬ .‫פעמים‬X‫הראשים‬ ‫מספר‬ ‫הסופר‬ ‫מ"מ‬
.‫שהתקבלו‬
‫את‬ ‫הערך‬)
4
3
(
n
XP ≥.
:‫פתרון‬
:‫מרקוב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬ ‫בעזרת‬ ‫הוכחנו‬3
2
)
4
3
( ≤≥
n
XP.
:‫צבישב‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬ ‫בעזרת‬ ‫הוכחנו‬n
n
XP
1
)
4
3
( ≤≥.
.‫צרנוב‬ ‫יא-שוויון‬ ‫ב‬ ‫נשתמש‬ ‫כעת‬
‫יהי‬iX-‫ל‬ ‫ששווה‬ ‫אינדיקאטור‬ ‫מ"מ‬1'‫מס‬ ‫בזריקה‬ ‫עם‬i."‫"ראש‬ ‫קיבלנו‬
:‫אזי‬
2
1
n
npnEXEX
XX
i
n
i
i
===
= ∑=
:‫נקבל‬ ‫בצרנוב‬ ‫שימוש‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫ואז‬
816
2 2
)
42
()
4
3
(
n
n
n
ee
nn
XP
n
XP
−−
=≤+≥=≥.
5.‫תרגיל‬2:

7. ‫מטילים‬n" ‫לקבל‬ ‫הסתברות‬ .(‫אחד‬ ‫פעם‬ ‫קובייה‬ ‫)כל‬ ‫שונות‬ ‫קוביות‬6‫על‬ "
'‫מס‬ ‫קובייה‬i-‫ל‬ ‫שווה‬n
i
‫יהי‬ .X‫שנקבל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫הסופר‬ ‫מ"מ‬6.
‫את‬ ‫הערך‬)
10
(
n
XP ≤.
25
8
100
16*2
11
2
))
2
1
10
4
(
2
1
()
10
(
2
1
n
n
n
n
i
n
i
i
ee
nn
XP
n
XP
n
n
i
XEEX
−−
==
=≤+−
+
≤=≤
+
=== ∑∑