Algorithm Study ppt

1. RECURSION & COMPLEXITY
장효원

2. WHAT IS ALGORITHM?
 문제에 대한 답을 찾기 위해 계산하는 절차
cf. 자료구조 (자료를 효율적으로 이용하기 위해 저장하는 방법)
 프로그램 = 알고리즘 + 자료구조
 https://www.youtube.com/watch?v=6hfOvs8pY1k
 https://youtu.be/zFenJJtAEzE?t=16m25s

3. ITERATIONVS RECURSION
 S(n) = 𝑖=1
𝑛
𝑖
 S(n) = 1 + 2 + ··· + n
int S1 (int n) {
int s = 0;
for (i=1; i<=n; i++)
s = s + i;
return s;
}
Main : sum = S1(10);

4. ITERATIONVS RECURSION
 𝑆(𝑛) =
0 𝑖𝑓 𝑛 ≤ 0
𝑆 𝑛 − 1 + 𝑛 𝑖𝑓 𝑛 > 0
int S2 (int n) {
if (n <= 0) return 0;
return ( S2(n-1) + n);
}
Main : sum = S2(10);

5. FIBONACCI SEQUENCE

6. THINK
 Tower of Hanoi http://carstart.tistory.com/20
 https://www.acmicpc.net/problem/2270
 http://yaraba.tistory.com/74
 https://www.acmicpc.net/problem/10872
 https://www.acmicpc.net/problem/1850
 https://www.acmicpc.net/problem/1003

7. COMPLEXITY
 Space Complexity
고정공간요구, 가변공간요구
저장기술의 발달로 그리 중요하게 여기지 않음
 Time Complexity
컴파일 시간 + 실행 시간
컴파일 시간은 정확히 수행된다는 것이 검증되면 다시 하지 않아도 되므로, 실
행 시간만 염두하면 됨

8. EXECUTIONTIME
 𝑐 × 𝑛 = 𝑐𝑛

9. EXECUTIONTIME
 𝑐 × 𝑛 × 𝑛 = 𝑐𝑛2

10. EXECUTIONTIME
 𝑐0 + 𝑐1 𝑛 + 𝑐2 𝑛2

11. EXECUTIONTIME
 최악의 경우 실행 시간
 𝑐0 + 𝑐1 + (𝑐2 + 𝑐3)𝑛

12. TIME COMPLEXITY
 Ο 𝑛 : 알고리즘의 최악의 경우의 성능, 수행 시간의 상한
 Ω 𝑛 : 알고리즘의 최선의 경우의 성능, 수행시간의 하한
 Θ 𝑛 : 알고리즘의 상한과 하한을 동시에 나타냄 (평균)
 𝜊(𝑛): 수행시간의 절대적 상한
 https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Family_of_Bachmann.E2.80.93La
ndau_notations

13. Ο 𝑛
 Ο 𝑔(𝑛) = {𝑓 𝑛 : 모든 𝑛 > 𝑛0에 대해, 0 ≤ 𝑓 𝑛 ≤ 𝑐𝑔 𝑛 을 만족하는 양의
상수 𝑐와 𝑛0가 존재한다. }

14. Ο 𝑛
 알고리즘 분석은 n이 매우 큰 값이므로 𝑛0 아래의 성장률은 고려하지 않음.
 𝑓 𝑛 = 3𝑛 + 8
𝑛 ≥ 8 인 모든 𝑛에 대해 3𝑛 + 8 ≤ 4
3𝑛 + 8 = 𝑂 𝑛 에 관해 𝑐 = 4 이고 𝑛0 = 8
 𝑓 𝑛 = 𝑛2
+ 1
𝑛 ≥ 1 인 모든 𝑛에 대해 𝑛2 + 1 ≤ 2𝑛2
𝑛2 + 1 = 𝑂 𝑛2 에 관해 𝑐 = 1 이고 𝑛0 = 1
 𝑛0와 𝑐가 유일한 집합은 아님.

15. Ω(𝑛)
 Ω 𝑔(𝑛) = {𝑓 𝑛 : 모든 𝑛 > 𝑛0에 대해, 0 ≤ 𝑐𝑔 𝑛 ≤ 𝑓 𝑛 을 만족하는 양의
상수 𝑐와 𝑛0가 존재한다. }

16. Ω(𝑛)
 𝑓 𝑛 = 5𝑛2
Ω 𝑛2
= 𝑐𝑛2
≤ 5𝑛2
⇒ 𝑐 = 1, 𝑛0 = 1

17. Θ(𝑛)
 Θ 𝑔(𝑛) = {𝑓 𝑛 : 모든 𝑛 > 𝑛0에 대해, 0 ≤ 𝑐1 𝑔 𝑛 ≤ 𝑓 𝑛 ≤ 𝑐2 𝑔 𝑛 을
만족하는 양의 상수 𝑐1, 𝑐2와 𝑛0가 존재한다. }

18. Θ(𝑛)
 𝑓 𝑛 =
𝑛2
2
−
𝑛
2
모든 𝑛 ≥ 1 에 대해
𝑛2
5
≤
𝑛2
2
−
𝑛
2
≤ 𝑛2
𝑛2
2
−
𝑛
2
= Θ n2 에 관해 𝑐1 =
1
5
, 𝑐2 = 1, 𝑛0 = 1

19. 𝜊(𝑛)
 𝜊 𝑔(𝑛) = {𝑓 𝑛 : 모든 𝑛 > 0에 대해, 0 ≤ 𝑓 𝑛 ≤ 𝑐𝑔 𝑛 을 만족하는 양의 상수
𝑐이 존재한다. }

20. 근데
 쓰는 건 거의 Ο 𝑛 라서 이것만 알면 됨