1. 1 Bevis i matematikk Grunnskolelærerutdanning 5.-10. trinn Institutt for realfagsdidaktikk Fakultet for humaniora og utdanningsvitenskap Høgskolen i Vestfold Uke 38, 2010
2. Forskjellige typer «bevis» Bevis som kun tyder på at noe kan være sant (“evidence”). Dette skal vi omtale «empirisk bevis». Et logisk argument som beviser at en påstand er sant i alle tilfeller (“proof”). Dette skal vi omtale «matematisk bevis». 2
3. 3 Et eksempel Påstand: Summen av vinklene i en trekant utgjør en likevinkel. Vi skiller mellom empiri som tyder på at påstanden er sann, det å bevise påstanden, og det å bruke resultatet videre Disse er tre forskjellige ting.
4. 4 En matematikers synspunkt «Hvis en student har fulgt undervisning i matematikk uten å ha ordentlig forstått noen bevis som det forrige, har han grunn til å rette en meget sterk kritikk* mot sin skole og lærere.» Pólya (1990: 216) * På engelsk: «address a scorching reproach»
5. 5 Matematiske påstand kan bevises En matematisk påstand kan ofte bevises eller motbevises på en «sterkere» måte enn i andre fag. I fysikk og kjemi har vi teorier, men i matematikk har vi teoremer eller setninger.
6. 6 Matematiske påstander skal bevises I matematikken, er det sjeldent at empirisk (altså fysisk/eksperimentalt) bevis eller intuisjon kan gi en 100% logisk vanntett begrunnelse for et påstand. Derfor, for å vite at en påstand virkelig er sann, må vi ha et matematisk bevis for det.
7. 7 Induktiv og deduktiv tenkning Induktiv tenkning: Det å formode om generelle regler ut fra observasjoner. En slik tankegang er ofte nyttig når vi setter i gang med en bevisføring. Deduktiv tenkning: Det å trekke logiske, uimotsigelige konklusjoner ut fra antagelser. Sluttproduktet av en bevisføring skal alltid være deduktivt argumentert.
8. Didaktisk verdi av bevis «Hvorfor er vinkelsummen i en trekant alltid lik 180o?» Ingen elev ønsker å høre «Sånn er det bare» fra matematikklæreren. Ofte (om ikke alltid) kan et bevis fungere bra som forklaring for en påstand. 8
9. 9 Eksempel La a, b og c være hele tall. Bevis at hvis a|b og a|(b + c), da må vi ha a|c.
10. 10 Begrepsavklaring AksiomEt utsagn som antas uten bevis, “for å komme i gang” Setning / TeoremEt “interessant” matematisk resultat som er blitt rigorøst bevist fra aksiomer
11. 11 LemmaEt hjelpe- (“auksiliær”)-resultat, som bevises til senere bruk i beviset til et større teorem. ProposisjonSom et teorem, men mindre i omfang. Proposisjoner også kan ofte være hjelperesultater som lemmata.
12. 12 Følge / KorollarEt «ekstra» resultat som følger lett/naturlig av et teorem Formodning / HypoteseEt utsagn som vi ikke har et bevis for, men som virker sannsynlig ut fra observasjoner vi har gjort
13. Sann/usann og gyldig/ugyldig En påstand er enten sann eller usann. Til gjengjeld, er et bevis enten gyldig (korrekt) eller ugyldig (feil). Et bevis kan være ugyldig, selv om selve påstanden er sann. 13
