1. NOIP2000NOIP2000 解题报告解题报告
by Leoby Leo

2. 题题 1.1. 进制转换进制转换
 问题描述问题描述
设计一个程序，读入一个十进制数的基数设计一个程序，读入一个十进制数的基数
和一个负进制数的基数，并将此十进制数和一个负进制数的基数，并将此十进制数
转换为此负进制下的数：转换为此负进制下的数： -R {-2∈-R {-2∈ ，， -3-3 ，， --
4,....-20}4,....-20}
样例：样例：
输入输入 -15{-15{ 十进制下数十进制下数 } -2{} -2{ 转化为转化为 -R-R 进制进制 }}
输出输出 110001 (base -2)110001 (base -2)

3. 如何将十进制整数转换为如何将十进制整数转换为 -2-2
进制整数？进制整数？
 采用“除采用“除 -2-2 取余，逆序排列”取余，逆序排列”
法法
具体做法：具体做法：
-2|-15 +-----..1
-2|8
+-----...0
-2|-4
+-----...0
-2|2
+-----...0
-2|-1
+-----...1
-2|1
+-----...1
0
结论：
1 、当 a 为非负数时， a
整除 b 结果为 a div b 。
2 、当 a 为负数时， a 整
除 b 结果为 a div b + 1 。
3 、余数 = 被除数 - 商 *
（ -R ）

4. 题目小结题目小结
11 、和正基底进制数转化方法类似，使用短、和正基底进制数转化方法类似，使用短
除法进制转换 。除法进制转换 。
22 、常规做法，没有特殊点，可以、常规做法，没有特殊点，可以 ACAC

5. 题题 2.2. 乘积最大乘积最大
 问题转述：问题转述：
 给出一个长度给出一个长度 NN （（ 6<=N<=406<=N<=40 ）的数字串，要）的数字串，要
求使用求使用 KK （（ 1<=K<=61<=K<=6 ）个乘号将它分成）个乘号将它分成 K+1K+1
个部分，找出一种分法，使得这个部分，找出一种分法，使得这 K+1K+1 个部分的个部分的
乘积能够为最大。乘积能够为最大。
 样例样例 ::
 输入输入
4 24 2
12311231
 输出输出
6262

6. 算法分析：算法分析：
11 、、 4040 位数字插入位数字插入 66 个乘号，需要使用个乘号，需要使用
高精度。高精度。
22 、数据规模大，搜索无法满足，使用动、数据规模大，搜索无法满足，使用动
态规划。态规划。
如何进行动态规划？

7. 样例分析样例分析
 1*23=231*23=23
 12*3=36 max=3612*3=36 max=36
 我们把第我们把第 ii 位数上，插入位数上，插入 KK 个乘号的状态个乘号的状态
表示为表示为 FF 【【 ii ，， kk 】，显然】，显然
 FF 【【 ii ，， kk 】】 =max{F[1,k-1]*s[2,i],F[2,k-=max{F[1,k-1]*s[2,i],F[2,k-
1]*s[3,i],…,f[i-1,k-1]*s[i]}1]*s[3,i],…,f[i-1,k-1]*s[i]}
输入： 3 1
123
转移方程为：
f[i,k]=Max{f[j,k-1]*s[j+1,i]} (j<i)
f[i,k] 表示从第一位到第 i 位的数字串中填入 k
个乘号所得到的最大乘积；
s[i,j] 表示从第 i 位到第 j 位所组成的数字。
通过状态转移方程推出所有状态的最优值，最
后 f[n,k] 即为答案

8. 题目小结题目小结
 11 、简单的动态规划、简单的动态规划
 22 、加入高精度乘法，注意编写程序时各、加入高精度乘法，注意编写程序时各
部分的联系部分的联系
 33 、因为填入第、因为填入第 kk 个乘号只与含有个乘号只与含有 k-1k-1 个个
乘号的算式有关，所以可以用乘号的算式有关，所以可以用滚动数组滚动数组解解
决，空间复杂度从决，空间复杂度从 O(n*k)O(n*k) 降为降为 O(n)O(n) 。。
 44 、数据小，其实不加入高精度也可以、数据小，其实不加入高精度也可以
ACAC ，使用，使用 int64int64 （（ 2020 位整数）位整数）

9. 题题 33 、单词接龙、单词接龙
 题目转述：题目转述：
 给出给出 NN 个单词及开头字母个单词及开头字母 XX ，求出长度最，求出长度最
长的接龙的长度。其中，每个单词至多出长的接龙的长度。其中，每个单词至多出
现两次，在两个单词相连时，其重合部分现两次，在两个单词相连时，其重合部分
合为一部分，例如合为一部分，例如 beastbeast 和和 astonishastonish ，如，如
果接成一条龙则变为果接成一条龙则变为 beastonishbeastonish ，另外相，另外相
邻的两部分不能存在包含关系，例如邻的两部分不能存在包含关系，例如 atat 和和
atideatide 间不能相连。间不能相连。

10. 分析：分析：
 拿到题目，首先想到的就是搜索了，可是拿到题目，首先想到的就是搜索了，可是
N≤20N≤20 的范围着实吓了人一跳，不过事实的范围着实吓了人一跳，不过事实
上，测试数据并不大，最大不过上，测试数据并不大，最大不过 88 ，所以，所以
大胆搜索就可以了。大胆搜索就可以了。
 在搜索前，可预先处理下第在搜索前，可预先处理下第 jj 个单词接到个单词接到
第第 ii 个单词后增加的长度，并把结果储存个单词后增加的长度，并把结果储存
在一个二维数组中，如果增加的长度为零在一个二维数组中，如果增加的长度为零
，则表示第，则表示第 jj 个单词不能加到第个单词不能加到第 ii 个单词个单词
后面。后面。

11. 细节处理：细节处理：
这是一道搜索题，可以转化为图论，求有向图无环最长路径。这是一道搜索题，可以转化为图论，求有向图无环最长路径。
 11 、、由于每个单词最多可以用两次，为方便起见由于每个单词最多可以用两次，为方便起见
，先把每个单词复制一遍，看做两个相同的单词，先把每个单词复制一遍，看做两个相同的单词
。。
 22 、、把能接龙的单词把能接龙的单词 aa 与与 bb 之间建立一条边之间建立一条边 (a,b)(a,b) ，边，边
权为单词权为单词 bb 的长度的长度 -a,b-a,b 重合部分的长度。把起始字母看重合部分的长度。把起始字母看
做一个节点，建立起始字母能接到的单词做一个节点，建立起始字母能接到的单词 aa 的边，边权的边，边权
为为 aa 的长度。最后从起始点开始搜索最长路径即可。的长度。最后从起始点开始搜索最长路径即可。
 33 、、该题测试数据中没有很强大的，所以这该题测试数据中没有很强大的，所以这
样就可以过了。样就可以过了。

12. 注意！注意！
 有两点要注意，题上说的很不明确，容易有两点要注意，题上说的很不明确，容易
造成误解。造成误解。
 11 、所谓“两部分不能存在包含关系”，是、所谓“两部分不能存在包含关系”，是
指两部分接龙后不能长度不增加。例如指两部分接龙后不能长度不增加。例如
abababababab 和和 abababababab ，可以接成，可以接成
abababababababababab ，但不能为，但不能为 abababababab 。。
 22 、接龙时，如果两个单词接龙后的单词、接龙时，如果两个单词接龙后的单词
有多种情况，要尽可能保证接龙后的单词有多种情况，要尽可能保证接龙后的单词
最长。例如最长。例如 cababcabab 和和 ababcababc ，，一定要接一定要接
成成 cabababccabababc ，为而不是，为而不是 cababccababc 。。

13. 题题 4.4. 方格取数方格取数
 问题转述：问题转述：
 给出给出 N*NN*N 方格图，某些方格中有方格图，某些方格中有
正整数，剩余的其它方格中的数字正整数，剩余的其它方格中的数字
为零。从图的左上角的为零。从图的左上角的 AA 点出发，点出发，
可以向下行走，也可以向右走，直可以向下行走，也可以向右走，直
到到达右下角的到到达右下角的 BB 点。在走过的点。在走过的
路上，可以取走方格中的数（取走路上，可以取走方格中的数（取走
后的方格中将变为数字后的方格中将变为数字 00 ）。从）。从 AA
点到点到 BB 点共走两次，试找出点共走两次，试找出 22 条这条这
样的路径，使得取得的数之和为最样的路径，使得取得的数之和为最
大。大。

14. 分析：分析：
 显然，贪心算法是不能解决该题的，显然，贪心算法是不能解决该题的，
由“由“ N≤8”N≤8” 可以很自然地想到搜索。但是题可以很自然地想到搜索。但是题
目要求走两条路径，这样搜索便会超时。目要求走两条路径，这样搜索便会超时。
如果题目要求只走一条路，那么除了搜索如果题目要求只走一条路，那么除了搜索
之外，还有一种很容易想到的方法就是动之外，还有一种很容易想到的方法就是动
态规划。将动态规划运用到解两条路径的态规划。将动态规划运用到解两条路径的
问题：因为走过的方格内的数字是要清零问题：因为走过的方格内的数字是要清零
的，就需要特别处理两条路相交的部分，的，就需要特别处理两条路相交的部分，
似乎比较麻烦。那么该怎么办呢？似乎比较麻烦。那么该怎么办呢？

15. DFS+DPDFS+DP ！！
 将深搜与动态规划结合将深搜与动态规划结合
 首先用首先用 DFSDFS 找到一条路径，然后将这条找到一条路径，然后将这条
路径经过的点赋路径经过的点赋 00 ，然后动态规划找第二，然后动态规划找第二
条路，相加便为一种解条路，相加便为一种解
 然后再然后再 DFSDFS 找第二种情况，比较，最终找第二种情况，比较，最终
找到最大值。找到最大值。

16. 问题：如果数据规模变大怎么问题：如果数据规模变大怎么
办？办？
例如在例如在 NOIP2008NOIP2008 题题 33 传纸条中，问题基传纸条中，问题基
本一致，但如果用本一致，但如果用 DFS+DPDFS+DP 的方法只能的方法只能
过过 33 组数据组数据

17. 双线程双线程 DPDP
 我们已知我们已知一取方格数的动态转移方程为：
f[i,j]:=max{f[i-1,j],f[i,j-1]};
 那么二取方格是否能像一取那样去做
呢？
 我们来看下面这幅图：00 33 77
44 55 22
33 66 00
Step=1
1<=step<=m+n-1
1<=i1<=m
1<=i2<=m
f[x,i,j] 表示走到第 x 步时，
第 1 条路线走到横坐标为 i
的地方，第 2 条路线走到了
横坐标为 j 的地方。这样，
我们只要枚举 x ， i ， j ，
就能递推出来了。

18. 双线程双线程 DPDP
 For x:=3 To m+n Do
 For i:=1 To Min(x,n) Do
 For j:=1 To Min(x,n) Do
 Begin
 f[x,i,j]:=Max(f[x-1,i,j],f[x-1,i-1,j],f[x-1,i,j-1],f[x-1,i-1,j-1]);
 If i=j Then Inc(f[x,i,j],a[i,x-i])
 Else Begin
 Inc(f[x,i,j],a[x-i,i]);
 Inc(f[x,i,j],a[x-j,j]);
 End;
 End;
同样的，三取方格数只要求
f[x,i,j,k] ，用同样的方法即可。

19. 试题小结试题小结
 20002000 年的题目都比较平和，但注重基本年的题目都比较平和，但注重基本
知识的结合运用。比如第二题知识的结合运用。比如第二题 DP+DP+ 高精高精
度度 ++ 滚动数组 第四题滚动数组 第四题 DFS+DPDFS+DP 这些题这些题
目拿到后该如何去做都很明显，关键就是目拿到后该如何去做都很明显，关键就是
要能将这些基础知识熟练的组合运用，在要能将这些基础知识熟练的组合运用，在
有限的考试时间中求得答案。有限的考试时间中求得答案。
 另外这一年数据都比较弱，如果换成较强另外这一年数据都比较弱，如果换成较强
的测试数据，难度就上去了的测试数据，难度就上去了

20. 预祝大家在今年的考试预祝大家在今年的考试
中取得好成绩！中取得好成绩！
谢谢！谢谢！