2. DESPLAZAMIENTO, TIEMPO Y
VELOCIDAD MEDIA.
DESPLAZAMIENTO:
Llamamos desplazamiento a la distancia que existe
entre la posición final e inicial de un movimiento (o de
una parte del movimiento).
Matemáticamente, el desplazamiento ∆𝒙 se calcula
como:
∆𝒙 = 𝒙 𝒇 − 𝒙𝒊 , donde 𝒙 𝒇 es la posición final y 𝒙𝒊 es la
posición inicial del objeto.
3. DESPLAZAMIENTO, TIEMPO Y
VELOCIDAD MEDIA.
TIEMPO:
El tiempo es una magnitud escalar con la que
medimos la duración o separación de acontecimientos,
sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a
observación.
VELOCIDAD MEDIA:
Se define a la velocidad media como una cantidad
vectorial. Y es la razón entre el cambio de posición que
experimenta la partícula (desplazamiento) dividido
entre el intervalo de tiempo.
4. VELOCIDAD MEDIA
Su expresión viene dada por: 𝑉𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥 𝑓
−𝑥𝑖
𝑡 𝑓
−𝑡𝑖
,
donde:
𝑉𝑚 : vector velocidad media en el intervalo
estudiado.
∆𝑥: cambio de la cantidad de la distancia.
∆𝑡: cambio de la cantidad del tiempo.
𝑥 𝑓 ,
𝑥𝑖: Instantes de distancia en los que el cuerpo se
encuentra en los puntos inicial P1 y final P2
respectivamente.
𝑡 𝑓 ,
𝑡𝑖: Instantes de tiempo en los que el cuerpo se
encuentra en los puntos inicial P1 y
final P2respectivamente.
5. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad física de un cuerpo en un punto o
velocidad instantánea es la que tiene el cuerpo en un
instante específico, en un punto determinado de su
trayectoria.
Definición:
La velocidad instantánea es el limite de la velocidad
media conforme el intervalo de tiempo se acerca a
cero; es igual a la tasa instantánea de cambio de
posición con el tiempo.
Expresión:
𝑉𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
6. La Derivada.
Definición Geométrica
DEFINICION: La recta tangente a la curca 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el
punto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) es la recta que pasa por P con pendiente.
𝑚 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑦
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Cuando el límite existe.
7. La Derivada.
Significado Geométrico
Corresponde a la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto
𝑑𝑦
𝑑𝑦
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑦
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥)
8. Regla para la derivada de
un término polinómico
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥 𝑛
𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑐𝑥 𝑛−1
9. Ejemplo 1
La función de posición de una partícula que se
mueve en línea recta, viene dada por la expresión:
𝑥 𝑡 = 32 + 16𝑡 − 16𝑡2
Entonces la función de la velocidad respecto al
tiempo es:
𝑣 𝑡 = 16 − 32𝑡
La función de aceleración respecto al tiempo es:
𝑎 𝑡 = −32
10. Ejemplo 2
Un guepardo acecha 20 m al este del escondite de un
observador. En el tiempo 𝑡 = 0, el guepardo ataca a un
antílope y empieza a correr en línea recta. Durante los
primeros 2.0 𝑠 del ataque, la coordenada 𝑥 del
guepardo varia con el tiempo según la ecuación :
𝑥 = 20 𝑚 + (5.0
𝑚
𝑠2)𝑡2.
A. Obtenga el desplazamiento del guepardo entre 𝑡1 = 1.0𝑠 y
𝑡2 = 2.0𝑠
B. Calcule la velocidad media en dicho intervalo.
C. Calcule la velocidad instantánea en 𝑡1 = 1.0𝑠 tomando
∆𝑡 = 0.1𝑠, luego ∆𝑡 = 0.01𝑠, luego ∆𝑡 = 0.001𝑠
D. Deduzca una expresión general para la velocidad
instantánea en función del tiempo, y con ella calcule 𝑣 𝑥 en
𝑡1 = 1.0𝑠 y 𝑡2 = 2.0𝑠.
12. Resolución del ejemplo 2
A. En 𝑡1 = 1.0𝑠, la posición 𝑥1 del guepardo es:
𝑥1 = 20𝑚 + 5.0
𝑚
𝑠2
1.0𝑠 2 = 25 𝑚
En 𝑡2 = 2.0, su posición 𝑥2 es:
𝑥2 = 20𝑚 + 5.0
𝑚
𝑠2
2.0𝑠 2 = 40 𝑚
El desplazamiento en este intervalo es:
∆𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 = 40𝑚 − 25𝑚 = 15𝑚
B. La velocidad media durante este intervalo es:
𝑉𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥 𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡 𝑓 − 𝑡𝑖
=
40𝑚 − 25𝑚
2.0𝑠 − 1.0𝑠
=
15𝑚
1.0𝑠
= 15
𝑚
𝑠
13. Resolución del ejemplo 2
C. Con ∆𝑡 = 0.1𝑠, el intervalo es de 𝑡1 = 0.1𝑠 a 𝑡2 = 1.1𝑠 s. En 𝑡2
la posición es:
𝑥2 = 20𝑚 + 5.0
𝑚
𝑠2
1.1𝑠 2 = 26.05𝑚
La velocidad media durante estos intervalos es:
𝑉𝑚 =
26.05𝑚 − 25𝑚
1.1𝑠 − 1.0𝑠
= 10.5
𝑚
𝑠
con ∆𝑡 = 0.01𝑠, la posición es:
𝑥2 = 20𝑚 + 5.0
𝑚
𝑠2 1.01𝑠 2 = 26.05𝑚 y 𝑉𝑚 = 10.05
𝑚
𝑠
con ∆𝑡 = 0.001𝑠
𝑥2 = 20𝑚 + 5.0
𝑚
𝑠2 1.001𝑠 2 = 26.05𝑚 y 𝑉𝑚 = 10.005
𝑚
𝑠
Al disminuir ∆𝑡, la velocidad media se acerca a 10
𝑚
𝑠
, por lo
que concluimos que la velocidad instantánea en 𝑡 = 1.0𝑠
es de 10
𝑚
𝑠
.
14. Resolución del ejemplo 2
D. Al calcular la velocidad instantánea en función del
tiempo, derive la expresión de 𝑥 con respecto a 𝑡. La
derivada de una constante es cero, y para cualquier
𝑛 la derivada de 𝑡 𝑛
es 𝑛𝑡 𝑛−1
, así que la derivada de
𝑡2 es 2𝑡. Por lo tanto,
𝑥 = 20 𝑚 + 5.0
𝑚
𝑠2 𝑡2 →
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑡 5.0
𝑚
𝑠2
𝑉𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2t 5.0
𝑚
𝑠2 = 10
m
s2 t
En 𝑡 = 1.0𝑠, 𝑉𝑥 = 10
𝑚
𝑠
, como vimos en el inciso c). En
𝑡 = 2.0𝑠, 𝑉𝑥 = 20
𝑚
𝑠
.
15. Aceleración media e
instantánea
Así como la velocidad describe la tasa de cambio de
posición con el tiempo, la aceleración describe la
tasa de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual
que la velocidad, la aceleración es una cantidad
vectorial.
17. LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
El primer problema al que se ve enfrentada la Física al
buscar una descripción precisa del movimiento es por
consiguiente el de eliminar todos aquellos factores
que son accesorios y el de encontrar el lenguaje
matemático más apropiado
Consideremos ahora el problema inverso. Dado el
vector aceleración 𝑎(𝑡) nos proponemos determinar
el vector posición 𝑟(𝑡) en función del tiempo o
TAMBIEN llamado ley horaria.
18. LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
Sea :
𝑎(𝑡) = 𝑎𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑎𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑎𝑧(𝑡)𝑘
Las componentes de la velocidad v(t) deben ser tales que sus
derivadas coincidan con las componentes respectivas de la
aceleración. Es decir:
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑥(𝑡) 𝑖 + 𝑉𝑦(𝑡) 𝑗 + 𝑉𝑧(𝑡)𝑘
Con:
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥 ,
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎𝑦 ,
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎 𝑧
y por lo tanto:
𝑉𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐶𝑥 , 𝑉𝑦(𝑡) = 𝐴𝑦(𝑡) + 𝐶𝑦, 𝑉𝑧(𝑡) = 𝐴𝑧(𝑡) + 𝐶𝑧
Donde 𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧 son respectivamente primitivas de 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧
19.
20. LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
En notación vectorial podemos escribir:
𝑣(𝑡) = 𝐴(𝑡) + 𝐶
Con:
𝐴 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑡 𝑑𝑡 𝑘
Si se conoce el valor de la velocidad en cualquier instante
de tiempo t0, se puede determinar el vector constante C:
𝑣(𝑡0) = 𝑉0 = 𝐴(𝑡0) + 𝐶
Por lo tanto:
𝑉 𝑡 = 𝑉0 + 𝐴 𝑡 – 𝐴 𝑡0 = 𝑉0 +
𝑡0
𝑡
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
21. LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
Por consiguiente, dada la aceleración en función del
tiempo y la velocidad inicial 𝑣(𝑡0) = 𝑉0 , hemos podido
determinar la velocidad en función del tiempo; es decir,
la velocidad para cualquier instante t.
Un razonamiento análogo nos permite determinar la
posición 𝑟(𝑡) , una vez conocida la velocidad 𝑣(𝑡), y la
posición inicial 𝑟0 = 𝑟(𝑡0)
𝑟(𝑡) = 𝑟0 + 𝑉(𝑡)– 𝑉(𝑡0) = 𝑟0 + 𝑡0
𝑡
𝑉 𝑡 𝑑𝑡
Donde 𝑉(𝑡) = 𝑉 𝑡 𝑑𝑡 es primitiva a la velocidad.
22. ECUACIONES CISTEMATICAS
Definición de aceleración:
También se puede escribir en términos de una integral:
Para el caso especial en donde la aceleración es una
constante , se reduce a: 𝑉 = 𝑎𝑡 + 𝐶1
𝐶1 depende de las condiciones iníciales del movimiento. Si se
toma 𝑉 = 𝑉0 cuando 𝑡 = 0 y se sustituye en la ultima ecuación,
se tiene: 𝑉0 = 𝑎(0) + 𝐶1
𝐶1 = 𝑉0
ENTONCES: 𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 para aceleración constante.
LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
23. Definicion de velocidad:
En forma integral:
Dado que 𝑉 = 𝑉0 +at esto viene siendo :
Si 𝑋 = 𝑋0 cuando 𝑡 = 0. 𝐶2 = 𝑋0
LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
24. Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que
su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo.
Halle:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros
segundos.
b) la distancia recorrida durante es
= = = 0
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en
el instante t = 3 que en el instante t = 0.
LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
25. La distancia recorrida es:
distancia recorrida
=
=
= = =
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.
LA INTEGRAL EN LA FÍSICA
26. Movimiento con
aceleración constante
El movimiento acelerado mas sencillo es el rectilineo
con aceleracion constante. En este caso, la
velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo.
𝑣 𝑦 = 𝑣 𝑜𝑦 + 𝑎 𝑦 𝑡
∆𝑦 = 𝑣 𝑜𝑦 𝑡 +
1
2
𝑎 𝑦 𝑡2
𝑣 𝑦
2
= 𝑣 𝑜𝑦
2
+ 2𝑎 𝑦 (∆𝑦)
∆𝑦 =
𝑣 𝑦 + 𝑣 𝑜𝑦
2
𝑡
