This topic is genuinely new and discovered by the author on 08 August 2007 in Lima Peru - Nana - The Era, Peruvian Union University, Technological University of Prague (CVUT), Faculty of Engineering Physics (Fjfi): noverbal@hotmail.com , cell: 954 638 125. LIMITS OF FACTORS OF CHANGES OF THE FUNCTION OF FORM:f: y = m rooth x to the n

1. Emil Núñez Rojas
Este tema es auténticamente nuevo y descubierto por el Autor el 08 de agosto de 2007 en Lima Perú – Ñaña – La Era, Universidad
Peruana Unión, Universidad Tecnológica de Praga (CVUT), facultad de ingeniería Física (Fjfi) : noverbal@hotmail.com, cel: 954
638 125.
LIMITES DE LOS COEFICIENTES DE VARIACIONES DE LA FUNCIÓN
DE LA FORMA: nmx y f : ; Nnm,
Se cumple que el límite de la función potencia n x y f  : (para N n  ) que pasa por la diagonal de la tabla de límites de las variaciones:
1
n
2 1
x
n
lim ( )


x
 n
x

Y la fórmula general de los límites de los coeficientes de variaciones de las funciones de la tabla está dada por:
m

Aunque en la tabla se ha considerado de que N n m  , Sin embargo se cumple que R n m   , .
De otro modo. Si b m  , entonces b b a n    2 . Se cumple la misma propiedad:
b
a
  
 
CV x a b b b
x
 



2
lim .
TABLA DE LOS LIMITES DE LOS COEFICIENTES DE VARIACIONES DE LA FUNCION DE LA FORMA: n m x y f : ; Nnm,
Números
naturales
raíz
Inversa
*2
*3
*4
1 1
1
   

1
lim ( ) 1 1 1 2
CV x x
2
1    

1
lim ( ) 1 2 2 2 2
CV x x
3
2    

1
lim ( ) 1 3 3 3 2
CV x x
4
3    

1
lim ( ) 1 4 4 4 2
CV x x
4
2 1,41421356
1
   

2
lim ( ) 2 1 1 2
CV x x
0,70710678
2
   

2
lim ( ) 2 2 2 2 2
CV x x
1,41421356
3
   

2
lim ( ) 2 3 3 3 2
CV x x
2,12132034
4
  

2
lim ( ) 18 4 4 CV x x
2,82842712
3 1,73205081

limCV(x)
x


limCV( x ) 2
x
1
3
=0,57735027
2
   

3
lim ( ) 3 2 2 2 2
CV x x
1,15470054
3
   

3
lim ( ) 3 3 3 3 2
CV x x
1,73205081
4
  

3
lim ( ) 19 4 4 CV x x
2,30940108
4 2
1
   

4
lim ( ) 4 1 1 2
CV x x
0,5
2
   

4
lim ( ) 4 2 2 2 2
CV x x
3
1    

4
lim ( ) 4 3 3 3 2
CV x x
1,5
4
lim CV ( 20 
4 x 4 )   2
x 
4
5 2,23606798
1
   

5
lim ( ) 5 1 1 2
CV x x
0,4472136
  lim ( ) 2 CV x x
lim ( ) 4 CV x x =
2
   

5
lim ( ) 5 2 2 2 2
CV x x
2
5
=0,89442719
3
   

5
lim ( ) 5 3 3 3 2
CV x x
1,34164079
4
  

5
lim ( ) 21 4 4 CV x x
1,78885438
6 2,44948974
1
   

6
lim ( ) 6 1 1 2
CV x x
0,40824829
2
   

6
lim ( ) 6 2 2 2 2
CV x x
0,81649658
3
   

6
lim ( ) 6 3 3 3 2
CV x x
1,22474487
4
  

6
lim ( ) 22 4 4 CV x x
1,63299316
7 2,64575131
1
   

7
lim ( ) 7 1 1 2
CV x x
0,37796447
2
   

7
lim ( ) 7 2 2 2 2
CV x x
0,75592895
lim ( ) 6 CV x x
lim ( ) 3 CV x x =
3
   

7
lim ( ) 7 3 3 3 2
CV x x

3
7
1,13389342
4
  

7
lim ( ) 23 4 4 CV x x
1,51185789
(2 )
lim . ( )
n m n
CV x n m
x 


2. 2
8 2,82842712
1
8
CV x
lim ( ) 
x
1
   

8
lim ( ) 8 1 1 2
CV x x
0,35355339
2
   

8
lim ( ) 8 2 2 2 2
CV x x
0,70710678
3
   

8
lim ( ) 8 3 3 3 2
CV x x
1,06066017
4
  

8
lim ( ) 24 4 4 CV x x
1,41421356
9 3
1
   

9
) ( lim 9 1 1 2
x CV x
0,33333333
2
   

9
) ( lim 9 2 2 2 2
x CV x
0,66666667
3
   

9
lim ( ) 9 3 3 3 2
CV x x
1   lim ( ) 4 CV x x
  lim ( ) 8 CV x x
4
   

9
) ( lim 9 16 4 4 x CV x
=1,33333333
10 3,16227766
1
   

10
lim ( ) 10 1 1 2
CV x x
0,31622777
2
   

10
lim ( ) 10 2 2 2 2
CV x x
0,63245553
3
   

10
lim ( ) 10 3 3 3 2
CV x x
0,9486833
4
   

10
lim ( ) 10 16 4 4 CV x x
1,26491106
11 3,31662479
1
   

11
lim ( ) 11 1 1 2
CV x x
0,30151134
2
   

11
lim ( ) 11 2 2 2 2
CV x x
0,60302269
3
   

11
lim ( ) 11 3 3 3 2
CV x x
0,90453403
4
   

11
lim ( ) 11 16 4 4 CV x x
1,20604538
12 3,46410162
1
   

12
lim ( ) 12 1 1 2
CV x x
0,28867513
2
   

12
lim ( ) 12 2 2 2 2
CV x x
0,57735027
3
   

12
lim ( ) 12 3 3 3 2
CV x x
0,8660254
4
   

12
lim ( ) 12 16 4 4 CV x x
1,15470054
13 3,60555128
1
   

13
lim ( ) 13 1 1 2
CV x x
0,2773501
2
   

13
lim ( ) 13 2 2 2 2
CV x x
0,5547002
3
   

13
lim ( ) 13 3 3 3 2
CV x x
0,83205029
4
   

13
lim ( ) 13 16 4 4 CV x x
1,10940039
14 3,74165739
1
   

14
lim ( ) 14 1 1 2
CV x x
0,26726124
2
   

14
lim ( ) 14 2 2 2 2
CV x x
0,53452248
3
   

14
lim ( ) 14 3 3 3 2
CV x x
0,80178373
4
   

14
lim ( ) 14 16 4 4 CV x x
1,06904497
15 3,87298335
1
lim ( ) 15 1 1 2
CV x x
   
 15
1
CV x =0,25819889
15
lim ( ) 3 
x
2
   

15
lim ( ) 15 2 2 2 2
CV x x
0,51639778
3
   

15
lim ( ) 15 3 3 3 2
CV x x
0,77459667
4
   

15
lim ( ) 15 16 4 4 CV x x
1,03279556
16 4
1
   

16
lim ( ) 16 1 1 2
CV x x
0,25
2
   

16
lim ( ) 16 2 2 2 2
CV x x
0,5
3
   

16
lim ( ) 16 3 3 3 2
CV x x
0,75
4
   

16
lim ( ) 16 16 4 4 CV x x
1
17 4,12310563
1
   

17
lim ( ) 17 1 1 2
CV x x
0,24253563
2
   

17
lim ( ) 17 2 2 2 2
CV x x
0,48507125
3
   

17
lim ( ) 17 3 3 3 2
CV x x
0,72760688
4
   

17
lim ( ) 17 16 4 4 CV x x
0,9701425
18 4,24264069
1
   

18
lim ( ) 18 1 1 2
CV x x
0,23570226
2
   

18
lim ( ) 18 2 2 2 2
CV x x
0,47140452
3
   

18
lim ( ) 18 3 3 3 2
CV x x
0,70710678
4
   

18
lim ( ) 18 16 4 4 CV x x
0,94280904
19 4,35889894
1
   

19
lim ( ) 19 1 1 2
CV x x
0,22941573
2
   

19
lim ( ) 19 2 2 2 2
CV x x
0,45883147
3
   

19
lim ( ) 19 3 3 3 2
CV x x
0,6882472
4
   

19
lim ( ) 19 16 4 4 CV x x
0,91766294
20 4,47213595
1
   

20
lim ( ) 20 1 1 2
CV x x
0,2236068
2
   

20
lim ( ) 20 2 2 2 2
CV x x
0,4472136
3
   

20
lim ( ) 20 3 3 3 2
CV x x
0,67082039
4
   

20
lim ( ) 20 16 4 4 CV x x
4
  
20
lim ( ) 4 CV x x
0,89442719
21 4,58257569
1
   

21
lim ( ) 21 1 1 2
CV x x
0,21821789
2
 
lim . ( ) 3 2 CV x
x
 21
2
   

21
lim ( ) 21 2 2 2 2
CV x x
0,43643578
3
   

21
lim ( ) 21 3 3 3 2
CV x x
0,65465367
4
   

21
lim ( ) 21 16 4 4 CV x x
0,87287156
22 4,69041576
1
lim ( ) 22 1 1 2
CV x x
   
 22
0,21320072
2
   

22
lim ( ) 22 2 2 2 2
CV x x
0,42640143
3
   

22
lim ( ) 22 3 3 3 2
CV x x
0,63960215
4
   

22
lim ( ) 22 16 4 4 CV x x
0,85280287
23 4,79583152
1
   

23
lim ( ) 23 1 1 2
CV x x
0,20851441
2
   

23
lim ( ) 23 2 2 2 2
CV x x
0,41702883
3
   

23
lim ( ) 23 3 3 3 2
CV x x
0,62554324
4
   

23
lim ( ) 23 16 4 4 CV x x
0,83405766
24 4,89897949
1
   

24
lim ( ) 24 1 1 2
CV x x
1
CV x =0,20412415
24
lim ( ) 4 
x
2
   

24
lim ( ) 24 2 2 2 2
CV x x
0,40824829
3
   

24
lim ( ) 24 3 3 3 2
CV x x
0,61237244
4
   

24
lim ( ) 24 16 4 4 CV x x
0,81649658
25 5
1
   

25
lim ( ) 25 1 1 2
CV x x
0,2
2
   

25
lim ( ) 25 2 2 2 2
CV x x
0,4
3
   

25
lim ( ) 25 3 3 3 2
CV x x
0,6
4
   

25
lim ( ) 25 16 4 4 CV x x
0,8
26 5,09901951
1
   

26
lim ( ) 26 1 1 2
CV x x
0,19611614
2
   

26
lim ( ) 26 2 2 2 2
CV x x
0,39223227
3
   

26
lim ( ) 26 3 3 3 2
CV x x
0,58834841
4
   

26
lim ( ) 26 16 4 4 CV x x
0,78446454
27 5,19615242
1
   

27
lim ( ) 27 1 1 2
CV x x
0,19245009
2
   

27
lim ( ) 27 2 2 2 2
CV x x
0,38490018
3
   

27
lim ( ) 27 3 3 3 2
CV x x
3
 
lim . ( ) 3 3 CV x
x
 27
0,57735027
4
   

27
lim ( ) 27 16 4 4 CV x x
0,76980036

3. 2
lim ( ) 50 1 1 2
CV x x    

3
lim ( ) 50 2 2 2 2
CV x x    

3
28 5,29150262
1
   

28
lim ( ) 28 1 1 2
CV x x
0,18898224
2
   

28
lim ( ) 28 2 2 2 2
CV x x
0,37796447
3
   

28
lim ( ) 28 3 3 3 2
CV x x
0,56694671
4
   

28
lim ( ) 28 16 4 4 CV x x
0,75592895
29 5,38516481
1
   

29
lim ( ) 29 1 1 2
CV x x
0,18569534
2
   

29
lim ( ) 29 2 2 2 2
CV x x
0,37139068
3
   

29
lim ( ) 29 3 3 3 2
CV x x
0,55708601
4
   

29
lim ( ) 29 16 4 4 CV x x
0,74278135
30 5,47722558
1
   

30
) ( lim 30 1 1 2
x CV x
0,18257419
2
   

30
) ( lim 30 2 2 2 2
x CV x
0,36514837
3
   

30
) ( lim 30 3 3 3 2
x CV x
0,54772256
4
   

30
) ( lim 30 16 4 4 x CV x
0,73029674
31 5,56776436
1
   

31
) ( lim 31 1 1 2
x CV x
0,1796053
2
   

31
) ( lim 31 2 2 2 2
x CV x
0,3592106
3
   

31
) ( lim 31 3 3 3 2
x CV x
0,53881591
4
   

31
) ( lim 31 16 4 4 x CV x
0,71842121
32 5,65685425
1
   

32
lim ( ) 32 1 1 2
CV x x
0,1767767
2
   

32
lim ( ) 32 2 2 2 2
CV x x
0,35355339
3
   

32
) ( lim 32 3 3 3 2
x CV x
0,53033009
4
   

32
) ( lim 32 16 4 4 x CV x
0,70710678
33 5,74456265
1
   

33
lim ( ) 33 1 1 2
CV x x
0,17407766
2
   

33
lim ( ) 33 2 2 2 2
CV x x
0,34815531
3
   

33
lim ( ) 33 3 3 3 2
CV x x
3
 
lim . ( ) 5 3 CV x
x
 33
0,52223297
4
   

33
lim ( ) 33 16 4 4 CV x x
4
 
lim . ( ) 3 4 CV x
x
 33
0,69631062
34 5,83095189
1
   

34
lim ( ) 34 1 1 2
CV x x
0,17149859
2
   

34
lim ( ) 34 2 2 2 2
CV x x
0,34299717
3
   

34
lim ( ) 34 3 3 3 2
CV x x
0,51449576
4
   

34
lim ( ) 34 16 4 4 CV x x
0,68599434
35 5,91607978
1
   

35
lim ( ) 35 1 1 2
CV x x
1
CV x = 0,16903085
35
lim ( ) 5 
x
2
   

35
lim ( ) 35 2 2 2 2
CV x x
0,3380617
3
   

35
lim ( ) 35 3 3 3 2
CV x x
0,50709255
4
   

35
lim ( ) 35 16 4 4 CV x x
0,6761234
36 6
1
   

36
lim ( ) 36 1 1 2
CV x x
0,16666667
2
   

36
lim ( ) 36 2 2 2 2
CV x x
0,33333333
3
   

36
lim ( ) 36 3 3 3 2
CV x x
0,5
4
   

36
lim ( ) 36 16 4 4 CV x x
0,66666667
37 6,08276253
1
   

37
lim ( ) 37 1 1 2
CV x x
0,16439899
2
   

37
lim ( ) 37 2 2 2 2
CV x x
0,32879797
3
   

37
lim ( ) 37 3 3 3 2
CV x x
0,49319696
4
   

37
lim ( ) 37 16 4 4 CV x x
0,65759595
38 6,164414
1
   

38
lim ( ) 38 1 1 2
CV x x
0,16222142
2
   

38
lim ( ) 38 2 2 2 2
CV x x
0,32444284
3
   

38
lim ( ) 38 3 3 3 2
CV x x
0,48666426
4
   

38
lim ( ) 38 16 4 4 CV x x
0,64888568
39 6,244998
1
   

39
lim ( ) 39 1 1 2
CV x x
0,16012815
2
   

39
lim ( ) 39 2 2 2 2
CV x x
0,32025631
3
   

39
lim ( ) 39 3 3 3 2
CV x x
0,48038446
4
   

39
lim ( ) 39 16 4 4 CV x x
0,64051262
40 6,32455532
1
   

40
lim ( ) 40 1 1 2
CV x x
0,15811388
2
   

40
lim ( ) 40 2 2 2 2
CV x x
0,31622777
3
   

40
lim ( ) 40 3 3 3 2
CV x x
3
 
lim . ( ) 4 3 CV x
x
 2 10
0,47434165
4
   

40
lim ( ) 40 16 4 4 CV x x
0,63245553
41 6,40312424
1
   

41
lim ( ) 41 1 1 2
CV x x
0,15617376
2
   

41
lim ( ) 41 2 2 2 2
CV x x
0,31234752
3
   

41
lim ( ) 41 3 3 3 2
CV x x
0,46852129
4
   

41
lim ( ) 41 16 4 4 CV x x
0,62469505
42 6,4807407
1
   

42
lim ( ) 42 1 1 2
CV x x
0,15430335
2
   

42
lim ( ) 42 2 2 2 2
CV x x
0,3086067
3
   

42
lim ( ) 42 3 3 3 2
CV x x
0,46291005
4
   

42
lim ( ) 42 16 4 4 CV x x
0,6172134
43 6,55743852
1
   

43
lim ( ) 43 1 1 2
CV x x
0,15249857
2
   

43
lim ( ) 43 2 2 2 2
CV x x
0,30499714
3
   

43
lim ( ) 43 3 3 3 2
CV x x
0,45749571
4
   

43
lim ( ) 43 16 4 4 CV x x
0,60999428
44 6,63324958
1
   

44
lim ( ) 44 1 1 2
CV x x
0,15075567
2
   

44
lim ( ) 44 2 2 2 2
CV x x
0,30151134
3
   

44
lim ( ) 44 3 3 3 2
CV x x
0,45226702
4
   

44
lim ( ) 44 16 4 4 CV x x
0,60302269
45 6,70820393
1
   

45
lim ( ) 45 1 1 2
CV x x
0,1490712
2
   

45
lim ( ) 45 2 2 2 2
CV x x
0,2981424
3
   

45
lim ( ) 45 3 3 3 2
CV x x
0,4472136
4
   

45
lim ( ) 45 16 4 4 CV x x
0,59628479
46 6,78232998
1
   

46
lim ( ) 46 1 1 2
CV x x
0,14744196
2
   

46
lim ( ) 46 2 2 2 2
CV x x
0,29488391
3
   

46
lim ( ) 46 3 3 3 2
CV x x
0,44232587
4
   

46
lim ( ) 46 16 4 4 CV x x
0,58976782
47 6,8556546
1
   

47
lim ( ) 47 1 1 2
CV x x
0,14586499
2
   

47
lim ( ) 47 2 2 2 2
CV x x
0,29172998
3
   

47
lim ( ) 47 3 3 3 2
CV x x
0,43759497
4
   

47
lim ( ) 47 16 4 4 CV x x
0,58345997
48 6,92820323
1
   

48
lim ( ) 48 1 1 2
CV x x
1
CV x =0,14433757
48
lim ( ) 6 
x
2
   

48
lim ( ) 48 2 2 2 2
CV x x
0,28867513
3
   

48
lim ( ) 48 3 3 3 2
CV x x
0,4330127
4
   

48
lim ( ) 48 16 4 4 CV x x
0,57735027
49 7
1
   

49
lim ( ) 49 1 1 2
CV x x
0,14285714
2
   

49
lim ( ) 49 2 2 2 2
CV x x
2
 
lim . ( ) 5 CV x
x
 49
0,28571429
3
   

49
lim ( ) 49 3 3 3 2
CV x x
0,42857143
4
   

49
lim ( ) 49 16 4 4 CV x x
0,57142857
50 7,07106781
1
   

50
50
4
lim ( ) 50 3 3 3 2
CV x x    

50
50
lim ( ) 50 16 4 4 CV x x

4. 0,14142136 0,28284271 0,42426407 0,56568542
4
Datos de las edades de 10 personas adultas
40
41
42
45
48
52
56
56
58
59
Promedio
49,7
Desviación estándar
7,40945342
Coeficiente de variación
0,14908357
EFICIENCIA E
 
m
n m n
E x n m


2
m 
b
2
n  a  b 
b
a  n 2
m 
n
b
a
  
2
  E x a b b b  
b
a
CV 
Ejemplo: Tomando el CV de los datos anteriores:
b
0,14908357  2 a  44,9925319 b
a
44,9925319 1 1 1 2
44,9925319

 
   E x

5,7817794 1 E x  
  0,14908357
44,9925319

5. 5
Demostración:
x 5,7817794 x DESVESTA PROMEDIO CV
1 1
2 1,12736692 0,09006201 1,06368346 0,08466994
3 1,20926512 0,10545262 1,11221068 0,09481353
4 1,27095616 0,11710481 1,15189705 0,10166257
5 1,32096664 0,12649924 1,18571097 0,1066864
6 1,36328548 0,1343767 1,21530672 0,11057019
7 1,40012154 0,14116332 1,24170884 0,11368472
8 1,43283393 0,14712735 1,26559947 0,11625112
9 1,46232212 0,15244877 1,28745754 0,11841072
10 1,48921408 0,15725427 1,3076332 0,1202587
11 1,5139666 0,16163642 1,32639078 0,12186184
12 1,53692295 0,1656649 1,34393513 0,12326853
13 1,55834801 0,16939352 1,36042843 0,12451483
14 1,5784507 0,17286465 1,37600145 0,12562824
15 1,59739888 0,17611227 1,39076128 0,12663012
16 1,61532957 0,17916406 1,40479679 0,12753735
17 1,63235615 0,18204286 1,41818264 0,12836348
18 1,64857358 0,18476769 1,43098213 0,1291195
19 1,66406221 0,18735465 1,44324951 0,12981446
20 1,67889069 0,18981739 1,45503157 0,13045586
21 1,69311813 0,19216765 1,46636902 0,13104999
22 1,70679586 0,19441557 1,47729751 0,13160218
23 1,71996871 0,19656997 1,48784844 0,13211693
24 1,73267609 0,19863859 1,49804959 0,13259814
25 1,74495286 0,20062822 1,50792572 0,13304914
26 1,75682999 0,2025449 1,51749896 0,13347284
27 1,76833513 0,20439398 1,52678919 0,13387178
28 1,77949309 0,20618025 1,53581433 0,13424816
29 1,7903262 0,207908 1,5445906 0,13460395
30 1,80085464 0,20958109 1,55313273 0,13494088
31 1,81109673 0,21120303 1,56145415 0,13526047
32 1,82106911 0,21277697 1,56956712 0,13556411
33 1,830787 0,21430581 1,57748287 0,13585302
34 1,84026432 0,21579216 1,58521174 0,13612829
35 1,84951384 0,21723843 1,59276323 0,13639091
36 1,85854731 0,21864682 1,60014612 0,13664178
37 1,86737559 0,22001936 1,60736854 0,13688171
38 1,87600868 0,22135791 1,61443802 0,13711143
39 1,88445589 0,2226642 1,62136155 0,13733162
40 1,89272582 0,22393983 1,62814566 0,13754287
41 1,90082649 0,22518626 1,63479641 0,13774575
42 1,90876537 0,22640488 1,64131948 0,13794077
43 1,91654943 0,22759696 1,64772018 0,13812841
44 1,92418518 0,22876369 1,65400347 0,13830908
45 1,93167874 0,22990619 1,66017403 0,13848319
46 1,93903581 0,2310255 1,66623625 0,13865111
47 1,94626178 0,23212258 1,67219424 0,13881317
48 1,9533617 0,23319835 1,67805189 0,13896969
49 1,96034031 0,23425368 1,68381288 0,13912097
50 1,96720212 0,23528936 1,68948067 0,13926727
51 1,97395135 0,23630615 1,69505852 0,13940884
52 1,98059201 0,23730477 1,70054955 0,13954593
53 1,98712787 0,2382859 1,70595669 0,13967875
54 1,99356252 0,23925017 1,71128272 0,13980751
55 1,99989937 0,24019819 1,7165303 0,13993239
56 2,00614164 0,24113053 1,72170193 0,14005358
57 2,01229239 0,24204772 1,72680001 0,14017125

6. 6
58 2,01835453 0,24295029 1,73182681 0,14028556
59 2,02433083 0,24383871 1,7367845 0,14039664
60 2,03022394 0,24471346 1,74167516 0,14050465
30630 5,96913129 0,75849677 5,08904491 0,14904501
30631 5,96916499 0,75850106 5,08907365 0,14904502
30632 5,9691987 0,75850535 5,08910238 0,14904502
30633 5,9692324 0,75850964 5,08913111 0,14904502
30634 5,9692661 0,75851393 5,08915984 0,14904502
30635 5,96929981 0,75851822 5,08918857 0,14904502
30636 5,96933351 0,7585225 5,0892173 0,14904502
30637 5,96936721 0,75852679 5,08924603 0,14904502
30638 5,9694009 0,75853108 5,08927475 0,14904502
30639 5,9694346 0,75853537 5,08930348 0,14904503
30640 5,9694683 0,75853965 5,08933221 0,14904503
30641 5,969502 0,75854394 5,08936093 0,14904503
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7. 7
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