1. Теорема ВиетаТеорема Виета
Франсуа Виет (1540–1603) родился воФрансуа Виет (1540–1603) родился во
Франции. Разработал почти всюФранции. Разработал почти всю
элементарную алгебру; ввёл в алгебруэлементарную алгебру; ввёл в алгебру
буквенные обозначения и построилбуквенные обозначения и построил
первое буквенное исчисление.первое буквенное исчисление.
2. ФормулировкаФормулировка
ЕслиЕсли xx11 ии xx22 – корни квадратного– корни квадратного
уравненияуравнения xx22
+px+q=0+px+q=0, то, то xx11+x+x22=-p=-p,,
аа xx11∙∙xx22==qq..
С помощью теоремы Виета можноС помощью теоремы Виета можно
выразить коэффициенты квадратноговыразить коэффициенты квадратного
уравнения через его корни.уравнения через его корни.
3. ДоказательствоДоказательство
Мы знаем, что приМы знаем, что при DD≥0≥0 корни приведённогокорни приведённого
квадратного уравнения находятся по формулеквадратного уравнения находятся по формуле
.
.
Теперь выполнимТеперь выполним алгебалгебраическиераические
преобразования – и теорема Виета доказана:преобразования – и теорема Виета доказана:
4. Обратим вниманиеОбратим внимание
Ещё одно интересное соотношение –Ещё одно интересное соотношение –
дискриминант уравнения равендискриминант уравнения равен
квадрату разности его корней:квадрату разности его корней:
D=(xD=(x11-x-x22))22
..
5. Посмотрим на теорему Виета в
действии
Приведённое квадратное уравнение x2
-7x+10=0
имеет корни 2 и 5. Их сумма равна 7, а
произведение 10.
Мы видим, что сумма корней равна второму
коэффициенту с противоположным знаком,
а произведение свободному члену.