Website: www.toanhocdanang.com Phone: 0935 334 225 Facebook: ToanHocPhoThongDaNang

1. DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
HÌNH HỌC
10
GV:Phan Nhật Nam
TỔNG HIỆU HAI VECTƠ

2. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
TỔNG & HIỆU HAI VECTƠ
I. Cơ sở lý thuyết :
1. Phép cộng vectơ : Tổng của 2 vectơ a và b được xác định như sau
Dựng AB = a và BC = b khi đó AC là vectơ tổng của a và b
Quy tắc 3 điểm:
Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC AB BC= +
  
(hoặc AC BC AB= +
  
)
Dấu hiệu: điểm đầu của vectơ này trùng với điểm cuối của vectơ kia
(trong ký hiệu trên thì đều là điểm B)
Ví dụ :Trong một phòng học có một
người kéo một cái bàn theo chiều của a

(tức là kéo từ điểm A đến điểm B) đồng
thời trên bàn có một HS đi theo chiều của
vectơ b

. Khi đó xét trong phòng học thì
HS đó đã đi từ A đến C. Vì vậy di chuyển
từ A→ C là tổng hợp của 2 di chuyển
theo chiều a

và b

.
Khi đó trong toán học người ta ký hiệu:
AC a b= +
  
Quy tắc quy tắc hình bình hành:
Cho hình bình hành ABCD như hình vẽ
Khi đó theo quy tắc 3 điểm ta có: AB BC AC+ =
  
(1)
Mặt khác vì ABCD là hình bình hành nên: BC AD=
 
(2)
Thay (2) vào (1) ta có: AB AD AC+ =
  
Từ đó ta có quy tắc cộng sau:
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC+ =
  
(hoặc BA DA CA+ =
  
)
Dấu hiệu: Hai vectơ có cùng chung điểm đầu hoặc cùng chung điểm cuối
(trong ký hiệu trên thì các vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) là điểm A)
a

b

A
B
C
AB a=
 
BC b=
 
AC AB BC a b= + =+
    
A
B C
D

3. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
Ví dụ : Khi ta tác động đồng thời 2 lực 1F

và 2F

vào một điểm đặt O nào đó thì ta có
thể biểu diễn 2 lực đó là 2 vectơ có chung gốc là O
(vì khi nói đến lực tác dụng ta
phải quan tâm đến độ lớn của
lực và chiều tác dụng của lực nên lực là một vectơ
– hiểu theo ngôn ngữ toán học) . Dựng hình bình hành OABC cóOA

,OC

biểu diễn 1F

và 2F

. Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên điểm đặt O là 1 2F F F= +
  
được biểu diễn bởi OB

2. Phép trừ vectơ :
a – b = a + (–b )
a – b = c ⇔ a = b + c
Quy tắc trừ (được suy ra từ quy tắc 3 điểm và khái niệm vectơ đối)
Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC BC BA= −
  
(hoặc AC AB CB= −
  
)
Chú ý: Gọi I là trung điểm AB khi đó ta có
IA

và IB

là hai vectơ có cùng độ lớn nhưng ngược chiều
⇔ IA

và IB

là hai vectơ đối nhau 0IA IB IA IB⇔ =− ⇔ + =
    
Kết luận:
I là trung điểm AB 0IA IB⇔ + =
  
.
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a. Tính độ dài
của vectơ tổng : AB AC+
 
và vectơ hiệu AB AC−
 
Ví dụ 2: Cho sau điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:
AC BD EF AF BC ED+ + = + +
     
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng:
0GA GB GC+ + =
   
O
A
C
B
1F

2F
1 2F F F= +
  

4. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý .chứng minh rằng:
a. BD BA OC OB− = −
   
b. 0BC BD BA− + =
   
c. MA MC MB MD+ = +
   
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc  0
60ABC = .
Tính môđun của các vectơ : AB AC+
 
và AB AC−
 
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của
AD và BC. Chứng minh rằng:
a. 0AD MB NA+ + =
   
b. 0CD CA CB− + =
   
Ví dụ 7: Cho hai vectơ a

và b

khác 0

a. Khi nào thì ta có: a b a b+ = +
   
b. Khi nào thì ta có: a b a b+ = −
   
Ví dụ 8: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính đồ dài các vectơ :
a. AB BH+
 
b. AB AC−
 
c. AB AC+
 
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB AC+
 
có giá là đường phân giác
trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?
Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau
a. AC AB−
 
b. AB AD+
 
c. AB BC+
 
Ví dụ 11: Cho hai lực 1F

và 2F

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt
tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng.
Ví dụ 12: Cho hai lực 1F

và 2F

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O,Tính cường
độ tổng lực của 2 lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau
a. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0
120

5. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
b. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0
60
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành
ABIJ , BCPQ và CARS. Chứng minh 0RJ IQ PS+ + =
   
Ví dụ 14: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng:
a. 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =
      
b. 0OA OC OE+ + =
   
c. AB AO AF AD+ + =
   
d. MA MC ME MB MD MF+ + = + +
     
(với M là điểm tùy ý)
Ví dụ 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng :
a. AB CD EA CB ED+ + = +
    
b. AD BE CF AE BF CD+ + = + +
     
c. AB CD EF GA CB ED GF+ + + = + +
      
d. 0AB AF CD CB EF ED− + − + − =
      
Ví dụ 16: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC
Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP+ + = + +
     
(với O là điểm tùy ý).
Ví dụ 17: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là
điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C.
Chứng minh rằng : ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +
     
Ví dụ 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là
một đường kính:
a. Chứng minh rằng: HB HC HD+ =
  
b. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng : 'HA HB HC HH+ + =
   
Ví dụ 19: Chứng minh rằng AB CD=
 
khi và chỉ khi trung điểm của
hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Ví dụ 20: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đặt AO a=
 
và BO b=
 
.
Tình các vectơ : ; ; ;AB BC CD DA
   
theo hai vectơ a

và b

.
Ví dụ 21: Cho tam giác ABC. Xác định (dựng) điểm M sao cho: 0MA MB MC− + =
   

6. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Hướng dẩn giải các ví dụ :
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a. Tính độ dài
của vectơ tổng : AB AC+
 
và vectơ hiệu AB AC−
 
Giải
Dựng hình bình hành ABDC như hình vẽ ta có:
AB AC AD AB AC AD AD BC+ = ⇒ + = = =
     
(vì ABDC là hình chữ nhật)
Mặt khác theo pitago cho ABC∆ ta có: 2 2
5BC AB AC a= + =
Vậy 5AB AC a+ =
 
5AB AC CA AB CB AB AC CB CB a− = + = ⇒ − = = =
       
Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: AC BD EF AF BC ED+ + = + +
     
Giải:
AC BD EF AF FC BC CD ED DF+ + = + + + + +
        
( ) ( )AF BC ED FC CD DF= + + + + +
     
0AF BC ED= + + +
   
AF BC ED= + +
  
(đpcm)
Bình luận :Với những bài toán chứng minh đẳng thức vectơ ta chỉ cần sử dụng
quy tắc 3 điểm để biến đổi VT ra các vectơ có trong VP và các vectơ dư ra
nhất định có tổng bằng 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng: 0GA GB GC+ + =
   
Giải :
Gọi M là trung điểm của BC
Gọi D là điểm đối xứng của G qua M
Khi đó ta có G là trung điểm của AD (tính chất trọng tâm)
0GA DG GA GD⇒ = ⇔ + =
    
(1)
Ta có BC và DG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
nên BDCG là hình bình hành GD GB GC⇒ = +
  
(2)
Thay (2) vào (1) ta có: 0GA GB GC+ + =
   
(đpcm)
A
B
C
D
M
A
B
C
M
D
G
.

7. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý .chứng minh rằng:
a. BD BA OC OB− = −
   
b. 0BC BD BA− + =
   
c. MA MC MB MD+ = +
   
Giải :
a. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
AD BC AB BD BO OC BD BA OC OB= ⇔ + = + ⇔ − = −
         
(đpcm)
b. ABCD là hình bình hành nên : 0 0AD BC BC AD BC DA= ⇔ − =⇔ + =
       
(*)
0VT BC DB BA BC DA= + + = + =
     
(đpcm) { theo (*) }
c. ABCD là hình bình hành nên : AD BC=
 
AM MD BM MC MD BM MC AM MB MD MA MC⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ + = +
           
(đpcm)
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc  0
60ABC = .
Tính môđun của các vectơ : AB AC+
 
và AB AC−
 
Giải :
Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

( ) 
( )
cos 2
1cos
2
AB AB a
ABC BC a
BC ABC
= ⇔ = = =
Dựng hình chữ nhật ABDC như hình vẽ ta có:
2AB AC AD AD BC a+ = = = =
  
(vì ABCD là hình chữ nhật)
2AB AC BC a− = =
  
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của
AD và BC. Chứng minh rằng:
a. 0AD MB NA+ + =
   
b. 0CD CA CB− + =
   
A
D
B
C
O
A B
C
0
60
D
a

8. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Giải
a. M, N lần lượt là các trung điểm củaAD và BC
0 0
0 0
MA MD MN NA MD
NB NC NM MB NC
 += + += 
⇔ ⇔ 
+= + +=  
      
      
0MN NA MD NM MB NC⇒ + + + + + =
      
0NA MB AM MD⇔ + + + =
    
(vìANCM là hình bình hành nên NC AM=
 
)
0NA MB AD⇔ + + =
   
(đpcm)
Bình luận: vẫn theo nguyên tắc : gt → đẳng thức vectơ → các vectơ có trong ycbt
Những vectơ thừa ra ta sẽ biến đổi sau tùy thuật tính chất đề toán (trong bài này
đương nhiên dùng tính chất hình bình hành để lấy các vectơ bằng nhau)
b. ABCD là hình bình hành DA CB DC CA CB⇔ = ⇔ + =
    
0DC CA CB⇔ − − + =
   
0CD CA CB⇔ − + =
   
(đpcm)
Ví dụ 7:
a. a b a b+ = +
   
khi ,a b
 
cùng chiều b. a b a b+ = −
   
khi a b⊥
 
Ví dụ 8:Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính đồ dài các vectơ :
a. AB BH+
 
b. AB AC−
 
c. AB AC+
 
Giải
AH là cạnh của tam giác đều cạnh a
3
2
a
AH⇒ =
Dựng hình bình hành ABCD
a.
3
2
a
AB BH AH AH+ = = =
  
b. AB AC CB CB a− = = =
  
c. 2 3AB AC AD AD AH a+ = = = =
  
Ví dụ 9:Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB AC+
 
có giá là đường phân giác
trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?
Giải:
Dựng hình bình hành ABDC khi đó ta có : AB AC AD+ =
  
A
B
H
C
D

9. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Đường chéo AD là phân giác trong của BAC
⇒ ABDC phải là hình thoi AB AC ABC⇒ = ⇔ ∆ là tam giác cân tại A
Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau
a. AC AB−
 
b. AB AD+
 
c. AB BC+
 
Giải:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau
a. AC AB BC BC a− = = =
  
b. 2AB AD AC AC a+ = = =
  
(vì AC là đường chéo của hình vuông cạnh a)
c. 2AB BC AC AC a+ = = =
  
Ví dụ 11:Cho hai lực 1F

và 2F

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt
tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng.
Giải
Đặt : 1F OA=
 
và 2F OB=
 
Dựng hình chữ nhật ABDC khi đó:
2 2
100OD AB OA OB= = + = (N)
Gọi F

là hợp lực của 1F

và 2F

1 2 100( )F F F OA OB OD OD N= + = + = = =
     
Vậy độ lớn của tổng lực là 100( )N
Ví dụ 12:Cho hai lực 1F

và 2F

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O, Tính cường độ
tổng lực của hai lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau
a. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0
120
b. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0
60
Giải
Đặt : 1F OA=
 
và 2F OB=
 
O
B
A
D
2F

1F

1 2F F F= +
  
A
O
H
D
1F

2F

F


10. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Dựng hình bình hành AOBD khi đó:
a. 1 2 50( )F F F OA OB OD OD N= + = + = = =
     
Vì tam giác OAD đều cạnh 50 (N)
b. Ta có:  0 0
60 30AOB AOD= ⇒ =
Sử dụng hệ thức lượng cho AOH∆ vuông tại H ta có:

( ) 
( ) 50 3
cos cos 25 3
2
OH
AOH OH OA AOH
OA
= ⇒ = = =
( )1 2 2 2. 25 3 50 3( )F F F OA OB OD OD OH N= + = + = = = = =
     
Ví dụ 13:Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành
ABIJ , BCPQ và CARS. Chứng minh 0RJ IQ PS+ + =
   
Giải:
ABIJ , BCPQ và CARSlà các hình bình hành nên:
,AB JI BC QP= =
   
vàCA SR=
 
Lại có : 0 0AB BC CA JI QP SR+ + = ⇔ + + =
       
0JR RI QI IP SP PR⇔ + + + + + + =
      
RI IP PR JR QI SP⇔ + + =− − −
     
RP PR RJ IQ PS⇔ + = + +
    
0RJ IQ PS⇔ + + =
   
(đpcm)
Ví dụ 14:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng:
a. 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =
      
b. 0OA OC OE+ + =
   
c. AB AO AF AD+ + =
   
d. MA MC ME MB MD MF+ + = + +
     
(với M là điểm tùy ý)
Giải
Ta có :
O là trung điểm của AD 0OA OD⇒ + =
  
(1)
A
B
C
J
I
R
S
P
Q
F
A B
C
O

11. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
O là trung điểm của BE 0OB OE⇒ + =
  
(2)
O là trung điểm của CF 0OC OF⇒ + =
  
(3)
a. Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta có:
0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =
      
(đpcm)
b. Ta có OCDE là hình bình hành nên :
OD OC OE= +
  
(4)
Thay (4) vào (1) ta có: 0OA OC OE+ + =
   
(đpcm)
c. ABOF là hình bình hành nên ta có: AF AB AO+ =
  
AF AB OD AO OD⇔ + + = +
    
AF AB AO AD⇔ + + =
   
(đpcm) (vì O là trung điểm của AD nên OD AO=
 
)
d. Ta có: OBCD và OEFA là các hình bình hành nên BO CD=
 
và OA EF=
 
Lại có: 0AB BO OA+ + =
   
0AB CD EF⇔ + + =
   
0AM MB CM MD EM MF⇔ + + + + + =
      
MB MD MF AM CM EM⇔ + + =− − −
     
MB MD MF MA MC ME⇔ + + = + +
     
Ví dụ 16:Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC
Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP+ + = + +
     
(với O là điểm tùy ý).
Giải:
M là trung điểm AB 0 0 2MA MB MO OA MO OB OM OA OB⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +
          
(1)
N là trung điểm AC 0 0 2NA NB NO OA NO OC ON OA OC⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +
          
(2)
P là trung điểm BC 0 0 2PB PC PO OB PO OC OP OB OC⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +
          
(3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có: OM ON OP OA OB OC+ + = + +
     
(đpcm)
Ví dụ 17:Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là
điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C.
Chứng minh rằng : ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +
     
Giải:

12. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
Cách 1:
A là trung điểm của BA’ ' 'BA AA BO OA AO OA⇔ = ⇔ + = +
     
(1)
B là trung điểm của CB’ ' 'CB BB CO OB BO OB⇔ = ⇔ + = +
     
(2)
C là trung điểm của AC’ ' 'AC CC AO OC CO OC⇔ = ⇔ + = +
     
(3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:
' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +
     
(đpcm)
Cách 2:
( )' ' ' 2 0C A A B B C CA AB BC+ + = + + =
      
(vì A,B,C là trùng điểm của BA’, CB’,C’A)
' ' ' 0C O OA A O OB B O OC⇔ + + + + + =
      
⇔ ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +
     
(đpcm)
Ví dụ 18:Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là
một đường kính:
a. Chứng minh rằng: HB HC HD+ =
  
b. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng : 'HA HB HC HH+ + =
   
Giải:
a. Ta có:
HC AB
DB AB
⊥
⇒
⊥
HC // BD (1)
HB AC
DC AC
⊥
⇒
⊥
HB // DC (2)
Từ (1) và (2) ta có: BDCH là hình bình hành
Do đó : HB HC HD+ =
  
(3) (theo quy tắc hình bình hành)
b. Vì O đồng thời là trung điểm của HC và AD nên AHDH’ là
hình bình hành
Do đó ta có: 'HH HA HD= +
  
(4)
Thay (3) vào (4) ta có: 'HH HA HB HC= + +
   
(đpcm)
Ví dụ 19:Chứng minh rằng AB CD=
 
khi và chỉ khi trung điểm của
hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Giải:
B
A
A’
C’ C
B’
A
.
B C
D
O
H
H’

13. TỔNG HIỆU HAI VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
Gọi I, J lần lượt là trùng điểm của AD và BC
0
0
IA ID
JB JC
 + =
⇔ 
+ =
  
  
AB CD AI IJ JB CJ JI ID= ⇔ + + = + +
       
( ) ( ) 2IA ID JB JC IJ⇔ + = + +
    
0IJ I J⇔ = ⇔ ≡ ⇔
 
AD và BC có trung điểm trùng nhau. (đpcm)
Ví dụ 20:Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đặt AO a=
 
và BO b=
 
.
Tình các vectơ : ; ; ;AB BC CD DA
   
theo hai vectơ a

và b

.
Giải:
AB AO OB OA OB AB a b= + =− + ⇔ =− +
       
BC BO OC OB CO OA OB BC a b= + =− − =− − ⇔ =− −
         
( )CD BA AB a b CD a b= =− =− − + ⇔ = −
       
( )DA CB BC a b DA a b= =− =− − − ⇔ = +
       
Ví dụ 21:Cho tam giác ABC. Xác định (dựng) điểm M sao cho: 0MA MB MC− + =
   
Giải:
0MA MB MC BA MC BA CM− + =⇔ =− ⇔ = ⇔
       
ABCM là hình bình hành
Vậy điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
A B
D C
a

b

O