1. 函數程式語
言： Haskell
基礎
黃耀賢
起頭
(Beginning)
Lambda
Calculus
有型態的
Lambda
Calculus
(Typed)
Haskell 基礎
(Basics)
小結
(Subtitle)
參考文獻
(Bibliography)
函數程式語言： Haskell 基礎
黃耀賢
edward@tc.program.com.tw
微程式技術研討會
October 22, 2008
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2. 函數程式語
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有型態的
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參考文獻
(Bibliography)
Outline
1 起頭 (Beginning)
2 Lambda Calculus
3 有型態的 Lambda Calculus (Typed)
4 Haskell 基礎 (Basics)
5 小結 (Subtitle)
6 參考文獻 (Bibliography)
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3. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
Leibniz 的理想
1 通用語言：創造一種語言，使能描述各種問題。
Frege 和 Russell 等數學家，以初階述語邏輯所描述的集
合論形式解決。
2 決策問題：找到一種決策法，將所有以通用語言描述的
問題解決。
為一哲學問題：「能夠以通用語言解答所有難題嗎？」，號稱為
Entscheidungsproblem /Ent"S2IdUNspô6bl@m/ (德語，意為「決策問
題」)。
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4. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
Entscheidungsproblem 求解
同時由 Church 與 Turing 各自證為否定。為了證明，需要下
列工具
• Lambda calculus：Alonzo Church 在 1936 年發明的正式
系統，並定義可執行函數的標記法。
• Turing machines：Alan Turing 在 1936 年 7 月發明的機
器類型，並定義可執行函數的標記法。
同年，Turing 證明二種模型有同樣強度，是由於定義了相同的可執
行函數。
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5. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
Turing machines 的發展
Figure: Turing Machine 的藝術式圖現。1
• Von Neumann 計算機以 Turing machine 概念為基礎。
• 命令程式語言，包括組合語言、 Fortran 、 Pascal 等等
都根據 Turing machine 接受指令的方式而出現。
1
圖摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Turing machine gallery
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6. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
Lambda calculus 的發展
• Alonzo Church 在 1936 年提出 lambda calculus 正式系
統，並定義可執行函數的標記法。
• Haskell Brookes Curry 和 Alonzo Church 先後在 1934 年
和 1940 年介紹有型態的 lambda calculus 。
• 函數程式語言，包括 Miranda 、 ML 、 Haskell 等等都
根據 lambda calculus 而出現。
• Lisp 是較早期的例子，但混雜一些其他概念。
• Reduction machines 由函數程式的執行而出現。
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7. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
算式的構成
• Lambda calculus 的算式都表達為函數，由 Lambda
Term (lambda 詞彙) 構成。
• 任意變數就是 lambda term 。
例如： x
x′
• 一些 lambda term 放在一起，也是 lambda term。
例如： x x′
(x x′) y z
• 以“λ 變變變數數數. lambda term”格式構成的詞彙，也是
lambda term。
例如： λx. x (lambda abstraction ， lambda 抽象
化)
λx y. x y
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8. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
算式的性質
• 範圍： “λ x. M”格式的 lambda term ，存在於 M 中的 x
都是「受限制的」(bound)。例如：
x ((λx. x + 1)y) z′
x 是受受受限限限制制制的的的變變變數數數。
• 不受限制的變數稱為自自自由由由變變變數數數(free variable)。
• 封封封閉閉閉的的的 lambda 詞詞詞彙彙彙：若一則 lambda 詞彙中沒有自由
變數（意思是所有的變數都受限制），是封閉 lambda
詞彙(closed λ term)。
• 不是封閉 lambda 詞彙的，是開開開放放放的的的 lambda 詞詞詞彙彙彙(open
λ term)。
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9. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
Combinator
• 如果一則 lambda 詞彙是封閉的，就是一個 combinator
。
• Identity combinator I ≡ λx. x。
• K ≡ λxy. x。
• K∗
≡ λxy. y。
• S ≡ λxyz. x z (y z)。
• Fixpoint combinator Y ≡ λf . (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) 使
∀F. F(Y F) = Y F。
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10. 函數程式語
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Reduction (簡化、約化)
• 令E為構成一函數程式的式子，E可以有一些改寫規則。
Reduction 是將P，E的一部份，根據改寫規則取代為另
一個式子P′，簡列為：
E[P] → E[P′]
• 可可可化化化簡簡簡的的的式式式子子子： λ 開頭的式子和其他參數放在一起，如
(λv.M)N，就可以化簡。
• 例如： (λxy. s x y) u v −→ s x y[x := u, y := v] ≡ s u v
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11. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
完全化約 (Full Reduction)
• 完完完全全全化化化約約約(full reduction)任何可化簡的式子可在任何時
候化簡。
• 例如：
id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
→ id(λz.z)
→ λz.z
→
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12. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
一般化約 (Normal Order Strategy
Reduction)
• 一一一般般般化化化約約約(normal order strategy)最外邊、最左邊的可
化簡式先化簡。
• 例如：
id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
→ λz.id z
→ λz.z
→
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參考文獻
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Call By Name
• Call by name較嚴格，不容許在抽象化的 lambda 詞
彙(即 λ 開頭的 lambda 詞彙)中做化約。
• 例如：
id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
→ λz.id z
→
• Call by name又稱為 lazy evaluation。
• Haskell採用優化的 lazy evaluation，所有相同的 lambda
詞彙，第一個已經化簡的就儲存起來，後續的詞彙直接
參考第一個化簡的結果，而節省重複的化簡動作。
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參考文獻
(Bibliography)
Call By Value
• Call by value由最外邊的可化約式，並要先將參數化
約。
• 例如：
id(id(λz.id z)) → id(λz.id z)
→ λz.id z
→
• Call by value又稱為 strict evaluation。
• (λbfg. if b then f else g) b f g 的化約不能做
call-by-value ，必須做 call-by-name 。
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參考文獻
(Bibliography)
建立數字計算系統
1 定義 true ≡ K 和 false ≡ K∗
。
2 定義選擇結構 [M, N] ≡ λz. z M N ，其中 z M N 表示
if B then M else N。於是，
[M, N] true = M
[M, N] false = N
Proof.
[M, N] true ≡ (λz. z M N) (λxy. x)
= z M N[z := (λxy. x)] ≡ (λxy. x) M N
= x[x := M, y := N] ≡ M
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建立數字計算系統(續)
3 遞迴定義數字，將每個自然數 n 的數字定義為 n ：
0 = I
n + 1 = [false, n ]
4 定義零和前後關係：
S+
n = n + 1
P−
n + 1 = n
Zero 0 = true
Zero n + 1 = false
Proof.
S+
≡ λx. [false, x]
P−
≡ λx. x false
Zero ≡ λx. x true
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參考文獻
(Bibliography)
建立數字計算系統(續)
• 想定義加法運算如
Add(0, y) = y
Add(x+1, y) = 1+Add(x, y)
• 意思和這個 lambda 詞彙相同：
Add x y = if Zero x then y else S+
(Add (P−
x) y)
• 用 Y combinator 製作遞迴：
Add ≡ Y(λaxy. if Zero x then y else S+
(a (P−
x) y))
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簡單型態系統
• 型態系統由 H. B. Curry 在 1934 年介紹，之後 1958 年
和 1972 年做了一些改變，用自然的方式推導 lambda
term 的型態。
• T 為型態的集合。
• 任何 lambda term M 都可以被指派為一個型態 σ ，只要
σ ∈ T。
• 函數套用：
M : σ → τ N : σ
M N : τ
• 函數抽象化：
x : σ
...
M : τ
λx. M : σ → τ
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參考文獻
(Bibliography)
Haskell 簡介
1 發明於 1987 年，以 Haskell Brookes Curry 為名。
2 Haskell 98 標準之後，舊版語言已拋棄。
3 Haskell 是有有有型型型態態態的函函函數數數式式式程式語言。
4 以 standard prelude 為預設標準函式庫。
5 有關資訊請參考 http://haskell.org 。2
2
http://haskell.org/ghc 為 GHC (一種 Haskell 98 的實作) 發佈的
網站，提供了 Windows 、 Linux 、 Solaris 和 Mac OS 版本的安裝程式。
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資料值 (Value) 和型態
• Haskell 預設下列資料型態：
• 5 :: Integer
• ’K’ :: Char
• False :: Bool
• [3,2,1] :: [Integer]
• (’b’, True) :: (Char, Bool)
• id :: a -> a
id x = x
• 測測測定定定型型型態態態(Typing)：“:: Type ” 是「有· · · 型態」的意
思，會做型態的建立和檢查。
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參考文獻
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基本型態
• Bool
• Char：用單引號圍起的字母。
• String：即一列 Char 資料，用雙引號圍起的許多字
母。 ”Hello” 就是 [’H’,’e’,’l’,’l’,’o’] 。
• Int：固定精確度的整數，值介 −231 ∼ 231 − 1 之間。
• Integer：任意精確度的整數。
• Float：單精確度的浮點數。
• List 型態：用方括號包含型態標記為指定型態，構成 list
型態。 [Int] 是整數型態的 list 型態。
• Tuple 型態：用圓括號包含逗點分隔的多個型態，構成
tuple 型態。 (Int, Int) 是一對整數型態的 tuple 型
態。
• 函數型態：用 -> 箭頭連接多個型態，構成函數型態。
Int -> Int 是從一個整數型態對應到另一個整數型態
的函數型態。
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自訂型態
• 語法：
data Type-constructor = Data-constructors
• 定義「顏色」型態：
data Color = Red | Orange | Yellow
| Green | Blue | Indigo | Violet
• 定義「點」型態：只有一個 data constructor ，必須參考
其他型態來建立型態。
data Point a = Pt a a
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「樹」資料結構
• data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)
• flatten :: Tree a -> [a]
flatten (Leaf x) = [x]
flatten (Branch x y) = flatten x ++ flatten y
• 練習：
1 將上述「樹」展平程式打字輸入在文字檔 test.hs ，存檔。
2 確定 GHC 已安裝。
3 在命令列模式視窗中，切換到 test.hs 所存放位置，執行 ghci
。
4 在 GHCi 環境輸入 :l test.hs 載入程式。若回應錯誤訊息請
檢查程式碼。
5 在 GHCi 環境輸入 flatten (Branch (Branch (Leaf ’a’)
(Leaf ’b’)) (Leaf ’c’)) 並觀察結果。
6 在 GHCi 環境輸入 :q 關閉 GHCi 環境。
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效能瓶頸
• (++) :: [a] -> [a] -> [a]
[]++ys = ys
(x:xs)++ys = x:(xs++ys)
• data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)
• flatten :: Tree a -> [a]
flatten (Leaf x) = [x]
flatten (Branch x y) = flatten x ++ flatten y
• 計算複雜度是 O2。
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減少 ++ 的計算量
• 利用累累累積積積變變變數數數(accumulating argument)減少 ++ 的計
算量。
• 令 flatten′ t acc = flatten t ++ acc ，
• flatten′ (Leaf x) acc
= { 由 flatten′ 的定義， }
flatten (Leaf x) ++ acc
= { 套用 flatten }
[x] ++ acc
= { 套用 ++ }
x:acc
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減少 ++ 的計算量(續)
• flatten′ (Tree x y) acc
= { 由 flatten′ 的定義 }
flatten (Tree x y) ++ acc
= { 套用 flatten }
(flatten x ++ flatten y) ++ acc
= { 由 ++ 的結合律 }
flatten x ++ (flatten y ++ acc)
= { 將 x 歸納 }
flatten′ x (flatten y ++ acc)
= { 將 y 歸納 }
flatten′ x (flatten′ y acc)
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減少 ++ 的計算量(末)
• 於是，
flatten′ :: Tree a -> [a] -> [a]
flatten′ (Leaf x) acc = x:acc
flatten′ (Tree x y) acc = flatten′ x (flatten′ y acc)
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小結和摘要
本次討論，我們知道了：
• 函數語言的源頭是 lambda calculus ，相對於命令式語言
的源頭是 Turing machines.
• Lambda calculus 定義了詞彙的構成與化簡規則。藉此可
以建立數學計算系統。
• Lambda 詞彙可以附加型態，並有合理的型態推導規
則。
• Lambda calculus 的化簡有幾種策略，包括完全化簡、一
般化簡、 call-by-name 和 call-by-value 。
• Haskell 是有型態的函數語言。從基本的資料值開始，每
個詞彙都可以合理地推導型態。
• Haskell 容許以關鍵字 data 自訂型態。
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參考文獻
(Bibliography)
將來的內容
將來會談論的項目有：
• 運算元。
• 類別。
• Haskell 的標準函式庫 (standard prelude) 。
• 以 lambda 詞彙方式撰寫 Haskell 程式。
• 以數學方式撰寫 Haskell 程式。
• 區域變數。
• 高階函數。
• 輸入和輸出。
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30. 函數程式語
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參考文獻
(Bibliography)
參考文獻
1 Benjamin C. Pierce. Types and Programming Language. MIT, 2002.
2 Graham Hutton. Programming in Haskell. Cambridge, 2007.
3 Henk Barendregt and Erik Barendsen. Introduction to Lambda
Calculus. [Online] Available:
ftp://ftp.cs.kun.nl/pub/CompMath.Found/lambda.pdf (Oct, 2008).
4 Hal Daum´e III. Yet another Haskell tutorial. [Online] Available:
http://www.cs.utah.edu/ hal/docs/daume02yaht.pdf (Oct, 2008).
5 Paul Hudak, John Peterson, and Joseph Fasel. A gentle introduction
to Haskell: Version 98. [Online] Available:
http://www.haskell.org/tutorial/ (Oct, 2008).
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