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Aplicaciones de las_ecuaciones_diferenciales_2012

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Aplicaciones de las_ecuaciones_diferenciales_2012

  1. 1. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor1Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden1. Problemas de enfriamientoLa razón de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es proporcional a ladiferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente.Sea:T: temperatura del cuerpoTm: temperatura del medio ambientedtdT: razón de cambio de la temperatura del cuerpoEntonces se tiene que:)( mT-TdtdTkdonde k es una constante de proporcionalidad positiva.2. Problema de crecimiento y decrecimientoSi N(t) denota la cantidad de sustancia (o población) presente en un tiempo t determinado y sila razón de cambio de esta sustancia con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad desustancia presente, entonces se tiene que:)N(Ntkdtddonde:dttd )N(: denota la razón de cambio de la sustanciak: denota la constante de proporcionalidad3. Caída de cuerpos con resistencia del aireConsideremos un cuerpo de masa m que cae verticalmente. En esta caída influye la gravedady existe una resistencia del aire (la cual en muchos problemas se asume que es proporcional ala velocidad del cuerpo). En este tipo de problemas, también se asume que tanto la gravedadcomo la masa permanecen constantes. Además por conveniencia se asume que la direcciónhacia abajo es positiva.Segunda ley de Newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón decambio en el tiempo del momentum, o para una masa constante:dtdvmF  (1)
  2. 2. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor2donde:F: es la fuerza neta que se ejerce sobre el cuerpov: es la velocidad del cuerpo.Para la situación considerada existen dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo:a. La fuerza g de impulso, debida a la gravedad, la cual viene dada por el peso w del cuerpo,y por lo tanto viene descrita por mg, o sea que w = mg.b. La fuerza de resistencia debido al aire, dada por –kv, donde k  0, es la constante deproporcionalidadComo la fuerza neta F se descompone como: F = Fimpulso + Fresistencia se tiene que:F = mg – kv (2)De acuerdo a (1) y (2) se tiene que:dtdvm = mg – kv (3)La cual simplificada conduce a:gm vkdtdv(Ecuación del movimiento)Cuando no se conoce la masa del cuerpo, sino más bien su peso, entonces (3) se puedeexpresar así:v-wgwkdtdv (4)Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k = 0, y la ecuación delmovimiento se reduce a:gdtdvNotas:a. En las ecuaciones anteriores se supone que el sistema de medidas es el CGS (centímetros,gramos, y segundos) aunque los resultados son válidos para el sistema PLS (pie, libra ysegundos) y para el sistema MKS( metro, kilogramo, segundo).b. En el sistema CGS, la gravedad viene dada por g = 980cm/seg2.En el sistema PLS, la gravedad viene dada por g = 32pies/seg2.En el sistema MKS, la gravedad viene dada por g = 9,8 mts/seg2.
  3. 3. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor34. Problemas de soluciones químicasConsidérese un tanque, el cual inicialmente contiene V0 galones de solución salina y a librasnetas de sal. Otra solución salina que contiene b libras de sal por galón, se vierte en el tanquea razón de e galones por minuto, mientras que simultáneamente, la solución mezclada sale auna razón de f galones por minuto.Problema: Encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante.Sea:Q: cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.dtdQ: razón de cambio de Q con respecto al tiempo.V0 + et - ft: volumen de la solución salina en cualquier tiempo t.tt feVfQ0 : razón de cambio a la cual sale la sal al tanque (cantidad de sal que salepor minuto).be: razón de cambio a la cual entra la sal en el tanque (cantidad de sal que entra altanque por minuto).Por lo que:ttdtdfeVfQ-beQ0  con la condición Q(0) = aO sea:befeVfQQ0ttdtd, con la condición Q(0) = a5. Circuitos eléctricosI. Términos Generales:a. TensiónEs la expresión más utilizada para designar la presión eléctrica existente entre dospuntos y que es capaz de provocar la circulación de una corriente al cerrar elmecanismo de conexión entre ambos.Las expresiones fuerza electromotriz, potencial, diferencia de potencial y caída devoltaje se usan como sinónimos de tensión.Actúa como una fuente de energía, tal como una batería.
  4. 4. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor4b. Inductancia.Propiedad de un circuito o elemento de éste que se opone a la variación de lacorriente. La inductancia determina, por tanto, variaciones de corriente retrasadasrespecto a las variaciones de tensión.c. InductorUn determinado número de vueltas de alambre enrollados en forma de espiral, el cuales utilizado para aportar inductancia a un circuito eléctrico y para producir flujomagnético, o para reaccionar mecánicamente ante una variación del flujo magnético.d. Corriente.Circulación de electricidad de un punto a otro. La corriente consiste por lo general deun desplazamiento de electrones.La corriente eléctrica en un hilo (mediante electrones) va desde el polo negativo alpositivo, aunque en algunos contextos se usa una dirección “convencional”.e. Carga eléctricaCantidad de electricidad que circula en una corriente eléctrica. Cantidad de energíaeléctrica almacenada en un condensador.Las cargas eléctricas pueden ser positivas o negativas.f. ResistenciaPropiedad de los circuitos o componentes de éste, que transforman la energía eléctricaen energía calorífica (como una bombilla, tostador, etc).g. CapacitanciaPropiedad de un condensador que determina cuánta carga es capaz de almacenar, parauna tensión determinada entre sus terminales.II. Símbolos y UnidadesTérmino Símbolo UnidadVoltaje, fem, tensión E o V VoltioResistencia R OhmioInductancia L HenrioCapacitancia C FaradayCorriente I AmperioCarga Q CoulombLa unidad de corriente el amperio, corresponde a una carga de un coulomb quepasa por un punto dado del circuito por segundo.III. Planteo del problema
  5. 5. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor5La corriente es la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo, esto es:dtdQI Ley de KirchhoffLa suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero.Otra manera de enunciar esta ley, es que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma delas caídas de voltaje.Caso 1: Circuito RL (resistencia-inductor)Considérese un circuito eléctrico que consiste de una fuente de voltaje E (batería ogenerador), una resistencia R, un inductor L (bobina) como se indica en siguiente figura:Donde se conviene que la corriente fluye del lado positivo (+) de la batería o generador através del circuito hacia el lado negativo (-). Bajo las condiciones anteriores, se tiene según laLey de Kirchhoff que:ERIIL dtdcon I la corriente que fluye a través de la resistencia, y además:dtdIL : denota la caída del voltaje a través del inductorRI: denota la caída del voltaje a través de la resistencia.Caso 2: Circuito RC (resistencia-condensador)Suponga que se tiene un circuito eléctrico que consiste de una batería o generador de Evoltios en serie, con una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios, tal y comose muestra en la siguiente figura:
  6. 6. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor6Bajo las condiciones anteriores se cumple que:ECQQR dtddonde Q es la carga eléctrica en el condensador en el instante t, y además:dtdQR : denota la caída del voltaje a través de la resistencia.CQ: denota la caída del voltaje a través dl condensador.PROBLEMAS RESUELTOS1. La fuerza de resistencia del agua sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea, yes tal que a 20 pies/seg. la resistencia del agua es de 40 lb.El bote pesa 320 libras y el único pasajero 160 libras y el motor puede ejercer una fuerzaestable de 50 libras en la dirección del movimiento. Si se asume que el bote parte del reposo,encuentre la distancia x(t) y velocidad v(t) del bote en cualquier tiempo t.Solución:Ecuación a utilizar: kvFdtdvgwimpulso  . Sistema de medidas: PLSCondiciones iniciales:v(0) = 0 ; x(0) = 0i.Cálculo de la constante de proporcionalidad k.Como FR = kv, entonces 40 = k20, o sea que k = 2ii. Fuerza de impulso: FR = 50iii. Problema a resolver: vdtdv25032480 , con v(0) = x(0) = 0vdtdv25032480 vdtdv25015 
  7. 7. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor7 dtvdv 25015 1250ln215ctv  1152152250ln ctv  152152 1250 cteev  152250 tcev  152225)( tectv  , v(0) = 0 0 =225c , por lo que c = 50, o sea que 1522525)( tetv Como v(t) = x’(t) , entonces integrando v(t) se tiene que 2152237525)( cettx t Usando el hecho de que x(0) = 0 se tiene que c2 =2375De donde2375237525)( 152  tettx2. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de solución salinay 0.2 libras de sal por galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón seagrega en el tanque a una razón de 2 galones por minuto, mientras que la solución bienmezclada sale a una razón de 3 galones por minuto. Determine:a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.b. La cantidad de sal presente cuando el tanque contenga la mitad de la solución original,y la concentración de sal en ese instante.Solución:Ecuación a utilizar: beftetVfQdtdQ0, con la condición : Q(0) = a.Para este caso V0 = 50, a = 10, b = 1, e = 2, f = 3Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, obtenemos:(*) 2503tQdtdQ, con la condición Q(0) = 10La cual es una ecuación diferencial lineal con factor integrante:u(t) = 3)50ln(50ln3503)50(3teee tttdtMultiplicando la ecuación (*) por el factor integrante u(t) se tiene que:
  8. 8. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor8343)50(2)50(3)50(  tQttdtdQ  33)50(2)50()(  tttQ  dttttQ 33)50(2)50)(( ctttQ 2)50(2)50)((23 ctttQ   23)50()50)(( 3)50(50)( tcttQ  ,Como Q(0) = 10 , entonces Q(0) = 50 + c(50)3= 10, de donde 00032.0)50(403cAsí: 3)50(00032.050)( tttQ Para determinar la cantidad de sal en el tanque para cuando este contenga la mitad de lasolución original determinemos el tiempo t, para el cual 50 – t = 25, esto se logra cuando t =25.Por lo que Q(25) = (50 – 25) –0.00032(25)3= 25 – 5 = 20La concentración cuando t = 25 se obtiene calculando el cociente 8.025202550)25(Q3. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de solución salinay 0.2 libras de sal por galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón seagrega en el tanque a una razón de 3 galones por minuto, mientras que la solución bienmezclada sale a una razón de 2 galones por minuto. Determine:a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.b. La cantidad de sal presente cuando el tanque este lleno, y la concentración de sal enese instante.Respuestas: a. 2)50(2000)50(2)(tttQb. El tanque se llena cuando t = 20. ¿Porqué? y la concentración enese instante se obtiene calculando el cociente70)20(Q. Justifique4. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta a una altura de 1000 pies, sin velocidad inicial.El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad instantánea. Si lavelocidad límite vl es de 320 pies/seg. , determine:a. La velocidad v(t) y posición x(t) del cuerpo en cualquier tiempo tNota:kmgvl 
  9. 9. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor9Solución:Para resolver este problema utilizaremos la ecuación: kvwdtdvm  (*)La información dada es m = 10, g = 32, vl = 320.Como w = mg entonces w = (10)(32) = 320Además dekmgvl  se tiene quek320320  , de donde k = 1Realizando las correspondientes sustituciones en (*) se obtiene:vdtdv )32)(10(10vdtdv )32)(10(10 32101 vdtdv, ecuación lineal, con factor integrante 10)( tetu  10101032101 ttteveedtdv  101032 tteve  ceve tt 1010320 10320)( tcetv  , como v(0) = 0, se tiene que c = -320De donde 10320320)( tetv Integrando v(t) se tiene que:cettx t  103200320)( , usando que x(0) = 0x(0) = 0 + 3200 + c = 0, por lo que c = -3200Por consiguiente 32003200320)( 10 tettx .5. La velocidad de desintegración del radio (elemento químico) es proporcional a la cantidadpresente. Si el radio tiene una vida media de 2000 años. ¿Qué tiempo tomará para que sumasa inicial se reduzca en un 30%?Solución:N(t): denota la cantidad de radio presente en el tiempo t.N0 : masa inicial del radioCondición inicial N(0) = N0Información: N(2000) = 021NEcuación diferencial: kNdtdNSolución general de la ecuación diferencial: ktcetN )( o kteNtN 0)( Calculemos el valor de k:
  10. 10. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor10Como 021)2000( NN  entonceskeNN 20000021 ke200021 , de donde )2000()21ln( k , o sea2000)2ln(kPor lo que 20002ln0)( teNtN Se debe determinar t, tal que 000 7.03.0)( NNNtN 20002ln007.0 teNN  20002ln7.0 te t20002ln)7.0ln(10292ln)7.0ln()2000(t6. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidadpresente. Si después de una hora se observa que el 10% del material se ha desintegrado, hallarla vida media del material.Respuestas: teNtN 105.00)(  ; Vida Media: 6.6 hrs.7. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con81de libra de sal porgalón. Para t = 0, otra solución salina que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en eltanque a una razón de 4 gal/min. Mientras que una solución bien mezclada sale del tanque auna razón de 8 gal/min. Determine:a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.b. La cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 gal. de soluciónsalinaRespuestas: a. )20(4)20(407)( 2tttQ b. Primero verificar que el tanque contiene 40 galones de soluciónsalina en t = 10 y que en este tiempo el tanque contiene 22.5 libras8. Un cuerpo cuya temperatura inicial se desconoce es colocado 10:00 am en un refrigerador elcual tiene una temperatura constante de 00. Si a las 10:10 am la temperatura del cuerpo es de300F y a las 10:25 am la temperatura del cuerpo es de 200F. Determine la temperatura inicialdel cuerpo.Solución:Para simplificar el trabajo con las horas, digamos que las 10:00 am dentro del problemacorresponde a t = 0, las 10:10 a t = 10 y las 10:25 a t = 25.T(t): corresponde a la temperatura del cuerpo en el tiempo t.
  11. 11. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor11Tm : temperatura del refrigerador.Ecuación diferencial: )( mTTkdtdTSolución general: mktTcetT  )(Información:Tm = 0; T(10) = 30; T(25) = 20Como Tm = 0, se obtiene que ktcetT )(Además:30)10( 10  kceT , por lo que 3010 kce (*)20)25( 25  kceT , por lo que 2025 kce (**)De (*) se tiene que kkeec 10103030 y sustituyendo este valor de c en (**) obtenemos:2525 kce  2030 2510 kkee302015 ke =32 )32ln(15  k , o sea que  027031.01532lnkComo kec 1030 entonces 31112.3930 )027031.0(10 ecAsí tetT 027031.031112.39)( De donde T(0) = 31112.39 (temperatura inicial).9. Se sabe que la población de un estado crece a una razón proporcional al número de habitantesque viven actualmente en el estado. Si después de 10 años la población se ha triplicado ydespués de 20 años la población es de 150 000 habitantes, hallar el número de habitantes quehabía inicialmente en el estado.Respuesta: tetN 11.0620.16)(  , N0 = 16.62010. Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 libras. En el instante en que el paracaídas se abre,él está viajando verticalmente hacia abajo a 40 pies/seg. Si la resistencia del aire varíadirectamente proporcional a la velocidad instantánea y la resistencia del aire es de 80 librascuando la velocidad es de 20 pies/seg. Encuentre la distancia recorrida y la velocidad de caídadel paracaidista en el tiempo t.Solución:Ecuación:   amF ; donde ARESISTENCIPROPULSIÓNFFF  En este problema nos dan el peso, usemos que mgW  para calcular m42532200 mmmgW En este caso la fuerza de propulsión la da el peso W del cuerpo, donde 200W
  12. 12. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor12 Fuerza de resistencia: vkFR Como 80RF cuando 4208020  kkvEcuación diferencialvdtdv4200425 , con la condición v(0) = 40, x(0) = 0vdtdv4200425vdtdv1680025 2516800dtvdvCtv 25116800ln161Ctv 16251616800ln Cteev 16251616800  , como 40)0( v se tiene que_Cee CC 160ln161160640800 1616160ln16116251616800 eevt16016800 2516tev1050 2516 tevPor lo que la velocidad viene dada portetv 25161050)(Si )(tx denota la distancia recorrida, entonces tenemos que resolver:tedtdx 25161050Cettxt251616251050)(Como 0)0( xC162510008125 CPor lo que la distancia recorrida viene dada por:8125812550)( 2516tettx
  13. 13. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor1311. Un tanque A contiene 50 galones de una solución en la que se ha disuelto 50 lb. de sal. Aguapura a razón de 2 gal/min. entra en el A, y se mezcla uniformemente. Esta mezcla pasa a lamisma velocidad del tanque A a un segundo tanque B que contiene inicialmente 50 gal. deagua pura. La mezcla uniforme resultante sale del tanque B a razón de 2 gal/min.a. Determine la cantidad de sal en el tanque A en cualquier instante.b. Determine la cantidad de sal por galón que contiene el tanque A.c. Determine la cantidad de sal en el tanque B en cualquier instante.SoluciónSea :)(tQ la cantidad de sal en el tanque A, en cualquier instantea. Determinemos la cantidad de sal en el tanque A en cualquier instante.)2()0(502QdtdQ025QdtdQ025dtQdQCtQ 25lnCteetQ 25)( , como 50)0( QCee 25050Ce 50 50lnCPor lo que 50)( 2550ln25 tteeetQRespuesta: La cantidad de sal en el tanque A viene dada por 2550)(tetQb. Determine la cantidad de sal por galón que contiene el tanque A.Cantidad de sal por galón es igual a la cantidad de sal dividida entre volumen del líquido, esdecir0)(VtQ2525..5050ttgps eeCRespuesta: La cantidad de sal por galón en A, en el instante t viene dado por 25tec. Determinemos la cantidad de sal por galón que contiene el tanque B.Sea )(tR la cantidad de sal presente en el tanque B en cualquier instante252502teRdtdR
  14. 14. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor1425225teRdtdR 2252525 ReRett Ret25=2CtRet 225Respuesta: La cantidad de sal presente en el tanque B viene dada por 25252)(ttCetetR12. Una pequeña gota de aceite de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el reposo. Para unavelocidad de 40 cm/seg. la fuerza debido a la resistencia del aire es de 160 dinas. Asumiendoque la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad determine la velocidad y ladistancia recorrida como una función del tiempo.Solución:Ecuación gvmkdtdv , v(0) = 0, x(0) = 0En este caso: gm 2,0 , gsegcm980 . Además se sabe que 160RFComo kvFR 40160  k 4kPor lo que9802,04 vdtdv98020  vdtdvdtvdv20980Ctv  20980ln201Ctv 202020980ln Cteev 202020980 Como v(0) = se tiene que 980ln201980 20  Ce C98020980 20  tevtev 204949  tetv 20149)( Además: Cettx t 20204949)( , como 0)0( x
  15. 15. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor152049204900 CCPor lo que la distancia viene dada por2049204949)( 20  tettx13. Un tanque tiene 100 gal de agua salada con 40 lb. de sal disuelta. Agua pura entra a 2gal/min. y sale con la misma tasa. ¿Cuándo la concentración de sal será 0,2 lb/gal?SoluciónSea Q el número de libras de sal en el tanque después de t minutos.dtdQes la razón de cambio de la cantidad de sal con respecto al tiempo.perdidasaldecantidaddetasaganadasaldecantidaddetasadtdQPuesto que entran 2 gal/min conteniendo 0 lb/gal. tenemos que la razón con la sal ganada es 0y la pérdida es de2100 min 50 minQlb gal Q lbgal 50dQ Qdt 50dQ dtQ ln50tQ C   50tCQ e e  Como (0) 40Q  entonces 5040 ln 40 ( ) 40tCe C Q t e     Concentración 0,2 lb/gal505040 20,2100 100 5ttQ ee   502 1te 5012te 1ln50 2t 150 ln2t   34,657t 
  16. 16. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor1614. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su velocidad es proporcional alproducto de su posición instantánea x (medida desde x = 0) y el tiempo t (medido desde t =0). Si la partícula está localizada en x = 54 cuando t = 0 y x = 36 cuando t =1, determine x(t).Solucióndxkxtdtdxkxtdtdxtk dtx  dxkt dt Cx   2ln2tx k C  Como (0) 54x 2ln 54ln ln 542Ctx k   Además (1) 36x  ln36232 ln 54 ln36 2ln2kCk k        223ln 2ln ln542 23ln ln ln542txx t      15. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su velocidadinstantánea, y es tal que a 20 pies/seg. la resistencia del agua es de 40lb. Si el bote pesa 320 lby el único pasajero 160 lb y si el motor puede ejercer una fuerza estable de 50 lb en ladirección del movimiento. Encuentre la distancia recorrida y la velocidad en cualquier tiemposi se asume que el bote parte del reposo.Solución Fuerza de resistencia RF kv . Entonces 40 20 2k k    Fuerza de propulsión 50PF  Masa 480 32W m g m    4801532m m   
  17. 17. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor17a. Calculemos la velocidad del bote.15 50 2dvvdt 2 1015 3dvvdt  1550 2dvdtv 15ln 50 22v t C   2 215 152 2ln 50 215 1550 2tCtv Cv e e      Como (0) 0v  entonces15ln502CEntonces21550 2 50tv e  21525 25tv e   215( ) 25 1tv t e     Integrando la velocidad obtenida con respecto a t tenemos que :215375( ) 252tx t t e 16. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 1 lb de sal.Parte t = 0 otra solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se agrega al tanque a unarazón de 3 gal/min mientras que otra solución bien mezclada sale del tanque a lamisca razón.Halle:a. La cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.b. El tiempo en el cual la mezcla que está en el tanque contiene 2 lb de sal.Solución:En este caso 0 100 , 1, 1, 3V a b e f    Por lo que:0dQ fQbedt V et ft  33100 3 3dQ Qdt t t   33100dQQdt  
  18. 18. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor183 0,03dQQdt  3 0,03dQdtQ 0,03100tQ Ce  Si 0 1t a   por lo que 99C  Respuesta: 0,03( ) 99 100tQ t e  b. ( ) 2Q t  entonces0,032 99 1000,338 mintet   17. En t = 0 una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2 henriosen serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t=0. Determine lacorriente para cualquier instante.SoluciónEn este caso 20, 2, 40E L R  EcuacióndIL RI Edt 2 40 20dIIdt  2 40 20dIIdt  10 20dIIdt  10 20dIdtI 1ln 10 2020I t C   20 1( )2tI t Ce  Como condición inicial (0) 0I 20 0 102Ce   12C  201( ) 12tI t e  
  19. 19. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor1918. Una resistencia de 200 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0,01 faradios y unafem en voltios dada por 3 640 20t te e  . Si 0 en 0Q t  , muestre que la caída máxima en elcondensador es de 0,25 colombios.Solución:dQ QR Edt C 3 620, 0.01, 40 20t tR C E e e    tteeQdtdQ 63204001,020 tteeQdtdQ 63204010020 tteeQdtdQ 6325   ttteeQe  252CeeQe ttt 25tttCeeetQ 563)( Como la condición inicial 0)0( QtteetQ 63)( AhoratteetQ 6363)( 063 63  ttee  0213 33  ttee12 3  te213  te21ln3  t21ln31t19. Se sabe que la población de ciertas bacterias aumenta a una razón proporcional al número debacterias presentes en el tiempo t. Para t = 0 la población inicial es 0N . Si después de 2 añosla población se ha duplicado y después de tres años la población es de 20 000 bacterias,determine al población inicial 0N .Solución
  20. 20. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor20Sea N población presente en el tiempo tkNdtdNktCeN  kteNNCNt 000  keNNNNt 2000 222 ke22 k22ln 2ln21 k . 3200002000032ln021 eNNt 3200002ln021eN71,700 N20. Un circuito tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de 1henrio y no tiene corriente inicial. Halle la corriente en el circuito para cualquier tiempo t.Solución:5E , 50R , 1L ,550  IdtdI101)( 50  tCetIComo la condición 0)0( I1010  C101 C101101)( 50  tetI21. Un tanque que contiene 100 litros de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos enagua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 lit/seg y la mezcla se extrae a la
  21. 21. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor21misma razón. ¿Cuánto tiempo transcurre antes que queden solamente 10 kg de sal en eltanque?Solución::Q cantidad de sal en el tiempo t:e razón a la cual entra el líquido:f razón a la cual sale el líquido:a la cantidad de sal en el tanque si t=0:b la cantidad de sal por litro que hay en el líquido que entra.En este caso5 fe100a0bPor lo que la ecuación diferencial viene dada por:01005QdtdQ020QdtdQ20)(tet 0202020tteQdtdQe020tQeCQet 2020)(tCetQComo la condición inicial es 100)0( Q20100)(tetQAhora sabemos que 10)( tQ2010010te20101te
  22. 22. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor2220101lntt101ln2022. Un tanque contiene inicialmente 10 gal de agua pura. Para t=0 una solución salina quecontiene21libra de sal por galón. Se agrega en el tanque a una razón de 2 gal/min mientrasque una solución bien mezclada sale del tanque a la misma razón. Hallara. La cantidad de sal en el tiempo tb. La concentración de sal en tanque en cualquier tiempo tSolución:100 V , 0a ,21b , 2e , 2f122102ttQdtdQ15QdtdQ 1 15 5t tQe e 1 15 55t tQe e C  15( ) 5tQ t Ce  Como (0) 0Q  entonces 5C  15( ) 5 5tQ t e  Se sabe que 0V V et ft   por lo que 10V 15( ) 1 12 2tQ teV  23. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina, 8 libras de sal por galón. Parat = 0, otra solución salina que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanque a unarazón de 4 gal/min mientras que la solución bien mezclada sale a una razón de 8 gal/min.Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 gal de solución.Solución:
  23. 23. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor23Tenemos que 0 80V  , 10a  , 1b  , 4e  y 8f  .8480 4 8dQ Qdt t t  8480 4dQ Qdt t  8480 4dQ Qdt t  20221( )(20 )dttt et  2 3 22 4(20 ) (20 ) (20 )Q Qt t t    224 (20 )(20 )Qtt      124 (20 )(20 )Qt Ct    2( ) 4 (20 ) (20 )Q t t C t     Como (0) 10Q 10 80 400C  740C Por lo que 27( ) 4(20 ) (20 )40Q t t t   40 80 8 4t t   40 80 4t   10t      27 7(10) 4 20 10 20 10 40 100 4040 40Q       24. Una tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene15de librade sal por galón. Para t=0 se vierte agua pura en el tanque a una razón de 5 gal/min mientrasque sale del tanque una solución bien mezclada a la misma razón. Halle la cantidad de sal enel tanque en el tiempo t.Solución:0 100V  , 20a  , 0b  , 5e  y 5f 50100 5 5dQ Qdt t t  
  24. 24. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor24020dQ Qdt   1200tQe 120( )tQ t Ce Como (0) 20 20Q C   .120( ) 20tQ t e 25. Un cuerpo a una temperatura de 50°F se coloca al aire libre donde la temperatura es de100°F. Si después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60°F , encontrara) ¿Cuánto tiempo le tomará al cuerpo llegar a 75°F?b) La temperatura del cuerpo después de 20 minutosSolución:Sea:la temperatura del cuerpola temperatura del medio ambientemTTmdTkT kTdt 100dTkT kdt Condiciones:0, 50 (condición inicial)5, 60t Tt T  ( ) 50 100ktT t e a) 75 15,4T t   .b) 20 79,5t T F   26. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a unatemperatura constante de 30°F. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0°F ydespués de 20 minutos es de 15°F. Hallar la temperatura inicial del cuerpo.Solución:30dTkT kdt 3ktT Ce  
  25. 25. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor2510200, 0 3020, 15 15kkt T Cet T Ce          0,06960kC 0 30t T F    27. Un condensador de 35 10 faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una femde 50 voltios. El interruptor se cierra en t=0. Asumiendo que la carga en el condensador escero en t=0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.Solución:En este caso 50E  , 25R  , 35 10C  EcuacióndQ QR Edt C 3255 10dQ QEdt  25 200 50dQQdt  8 2dQQdt  2 8dQQdt  8 2dQdtQ  8 1( )4tQ t Ce  Como (0) 0Q  entonces1 104 4C C      81( ) 14tQ t e 8( ) ( ) 2 tI t Q t e 28. Una resistencia de 20 ohmios y un inductor de 5 henrios se conectan en serie en un circuitoeléctrico en el cual hay un flujo de corriente de 20 amperios en el tiempo t = 0. Encuentre lacorriente para 0t 
  26. 26. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor26Solución:20R  , 5L  , 0E  y (0) 20I 5 20 0dIIdt 4dIIdt  14dIdtI  1ln4I t C   ln 4 4I t C   4 4C tI e e   4( ) tI t C e  Como (0) 20 20I C  4( ) 20 tI t e 
  27. 27. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor27
  28. 28. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor28
  29. 29. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor29
  30. 30. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor30
  31. 31. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor31
  32. 32. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor32
  33. 33. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor33
  34. 34. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor34Ejercicios propuestos1. Supongamos que un termómetro ha marcado 700F dentro de la casa, posteriormente eltermómetro se pone en el exterior de la casa, donde la temperatura del aire es de 100F. Si3 minutos después se encuentra que el termómetro marca 250F, determine la temperaturadel termómetro fuera de la casa para cualquier tiempo.2. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su velocidadinstantánea, y es tal que a 20 pies/seg la resistencia del agua es de 40 libras. El bote pesa320 libras y el único pasajero pesa 160 libras. El motor puede ejercer una fuerza establede 50 libras en la dirección del movimiento. Encuentre la velocidad del bote en cualquierinstante, si se supones que éste parte del reposo.3. Se está remolcando una lancha a una velocidad de388pies/seg. En el momento t = 0 quese suelta la cuerda del remolque, un hombre que está en la lancha comienza a remarsiguiendo la dirección del movimiento y ejerciendo una fuerza estable de 20 libras. Si elpeso conjunto del hombre y la lancha es de 480 libras y la resistencia del agua es igual1,75v, donde v está en pies/seg. Determine la velocidad de la lancha después de ½ minuto.4. Una masa es arrastrada por el hielo sobre un trineo, incluido el trineo el peso total es de80 libras. Suponiendo que el trineo parte del reposo, que la resistencia del hielo esdespreciable y que el aire opone una resistencia es libras igual a 5 veces la velocidad (vpies/seg), determine:a. La fuerza constante ejercida por el trineo, si se sabe que la velocidad límite(velocidad cuando el tiempo tiende a infinito) es de344pies/seg.b. La velocidad del trineo al cabo de 48 seg.5. Un cuerpo con un peso de 320 libras se suelta desde una cierta altura, sin velocidadinicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad.Si la velocidad límite es de 320 pies/seg determine:a. La velocidad del cuerpo en cualquier instanteb. Tiempo requerido para alcanzar la velocidad de 160pies/seg.6. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salada con 15libras de sal por galón entra a 3 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma razón.a. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.b. Encuentre la concentración de sal después de 10 minutos.7. Un tanque contiene 100 galones de una solución que consta de 100 libras de sal disueltasen la solución. Se bombea solución pura hacia el tanque a una razón de 5 gal/min y la
  35. 35. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor35mezcla se extrae a la misma razón. ¿Cuánto tiempo transcurre antes de quedar solamente10 libras de sal en el tanque?.8. Se disuelven inicialmente 50 libras de sal en un tanque que contiene 300 galones de agua.Posteriormente se bombea agua con sal a razón de 3 galones por minuto y luego lasolución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones porminuto. Si la concentración de sal en el agua que entra es de 2 lib/gal, determine lacantidad de sal en cualquier instante. ¿Cuánta sal hay después de 50 minutos?.9. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con81de libra de sal porgalón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanquea una razón de 4 gal/min mientras que la solución bien mezclada sale a la misma razón.Hallar la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante.10. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidadpresente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 miligramos de material presente ydespués de dos años se observa que el 5% de la masa original se ha desintegrado, hallar:a. Una expresión para la masa presente en cualquier instante.b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado el 10% de la masa original.11. Se sabe que la población de una cierta especie crece a una razón proporcional al númerode habitantes que viven actualmente. Si después de 10 años la población se ha triplicado ydespués de 20 años la población es de 150 000, determine el número de habitantesiniciales.12. Una fem de 200 voltios se conecta en serie con una resistencia de 100 ohmios y uncondensador cuya capacitancia es de 5 x 10-6faradios. Sabiendo que la corriente es de 0.4amperios cuando t = 0, determine la carga y la corriente, para cualquier tiempo.13. Una resistencia de 20 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0.01 faradios yuna fem en voltios dada por ttee 632040  . Si Q = 0 en t = 0,determine la carga y lacorriente en el tiempo t. Demuestre que la caída máxima en el condensador es de 0.25coulombs.14. En t = 0 una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2henrios en serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t = 0,determine la corriente para cualquier instante.15. Un condensador de 5 x 10-3está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fem de50 voltios. El interruptor se cierra en t = 0. Asumiendo que la carga en el condensador escero en t = 0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.16. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 voltios a un circuito RC, en que la resistenciaes de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 x 10-6faradios. Encuentre la carga Q(t) del
  36. 36. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor36capacitador si I(0) = 0.4 amperios. Determine la carga y la corriente para t = 0.005segundos. Halle la carga cuando t  .17. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es L = 0.1 y la resistencia es de 50 ohmios,se le aplica una fem de 30 voltios. Determine I(t) si I(0) = 0. Determine I(t) cuando t .18. Se está remolcando una barca a una velocidad de 12 millas por hora. En el momento t = 0que se suelta la cuerda del remolque, un hombre, que está en la barca, comienza a remarsiguiendo la dirección del movimiento y ejerciendo una fuerza de 20 libras. Si el pesoconjunto del hombre y la barca es de 480 libras y la fuerza de resistencia (en libras) esigual a 1.75 veces la velocidad instantánea (la velocidad está en pies/seg.) . Determine lavelocidad de la barca después de 0.5 minutos.19. Desde una cierta altura se deja caer un objeto cuyo peso es de 96 libras con una velocidadinicial de 10 pies/seg.Asumiendo que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidadinstantánea y que a una velocidad de 20 pies/seg. la fuerza debida a la resistencia delaire es de 60 libras, determine la velocidad y la distancia recorrida como función deltiempo. Determine la velocidad límite.20. Un depósito contiene 100 galones de agua en las que hay disueltas 40 libras de sal. Sedesea reducir la concentración de sal hasta 0.1 libras por galón introduciendo agua pura enel depósito a razón de 5 galones por minuto y permitiendo que la mezcla salga a la mismarazón. ¿En cuánto tiempo se logrará el propósito?21. Un tanque contiene 50 galones de una solución en la que se ha disuelto 50 lib. de sal.Agua pura a razón de 2gal/min entra en el tanque A, y se mezcla uniformemente. Estamezcla pasa a la misma velocidad del tanque A a un segundo tanque B que contieneinicialmente 50 galones de agua pura. La mezcla uniforme resultante sale del tanque B auna razón de 2 gal/min.a. Determine la cantidad de sal en el tanque A en cualquier tiempo.b. Determine la cantidad de sal por galón que contiene el tanque A.c. Determínela cantidad de sal en el tanque B, en cualquier tiempo.d. Determine la cantidad de sal en el tanque B, al cabo de una hora.22. El isótopo radiactivo plutonio 241 decae de modo que satisface la ecuación diferencial:)(0525.0 tQdtdQdonde Q está en miligramos y t en años.a. Determine la vida media del plutonio 241.b. Si se tienen en este momento 50 miligramos de plutonio, ¿Cuánto quedará al cabo de10 años?.
  37. 37. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de MatemáticaEcuaciones Diferenciales II Semestre de 2012MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor3723. Un tanque contiene 100 galones de agua y en los cuales se disuelven 10 libras de sal. Unasolución salina que contiene 0.5 libras de sal por galón se bombea al tanque a una rapidezde 6 galones por minuto y la solución adecuadamente mezclada, se bombea hacia fueradel tanque a una razón de 4 galones por minuto.a. Determine la cantidad de sal en el tanque como función del tiempo.b. ¿Cuál es la cantidad y la concentración de sal que hay en el tanque cuando éstecontiene 200 galones de solución?24. Determinación de fechas por medio del carbono radiactivo. Una herramientaimportante en la investigación arqueológica es la determinación de fechas por medio delcarbono radiactivo. Este es un medio de determinación de la edad de ciertos árboles yplantas y, por lo tanto, de huesos de animales y humanos o de artefactos que seencontraron enterrados en los mismos niveles. El procedimiento fue desarrollado por elquímico americano Willard Libby en los primeros años de la década de 1950 y tuvo comoresultado que ganara el premio Nóbel de química en 1960. Este método se basa en elhecho de que ciertas maderas o plantas siguen conteniendo cantidades residuales decarbono 14, un isótopo radiactivo del carbono. Este isótopo se acumula durante la vida dela planta y empieza a decaer a su muerte. Puesto que la vida media del carbono 14 es larga(aproximadamente 5600 años), después de muchos miles de años, permanecen cantidadesmensurables de carbono 14. Entonces Libby demostró que, por medio medicionesaproximadas de laboratorio, si está aún presente aproximadamente 0.002 o más de lacantidad original de carbono 14, puede determinarse con exactitud la proporción de lacantidad original que persiste. En otras palabras, si Q(t) es la cantidad de carbono 14 en elinstante t y Q0 es la cantidad original, entonces puede determinarse la razón0)(QtQalmenos si esta cantidad no es demasiado pequeña.a. Suponiendo que Q satisface la ecuación diferencial )(tkQdtdQ verifique quek = -0.00012378.b. Si Q(0) = Q0 calcule Q(t)c. Suponga que se descubren ciertos restos en los que la cantidad residual actual decarbono 14 es el 20% de la cantidad original, determine la edad de estos restos.25. Suponga que una gota de lluvia esférica se evapora a una rapidez proporcional a su áreasuperficial. Si el radio original es de 3mm y una hora después se redujo a 2 mm, verifiqueque el radio viene dado por r(t) = 3 – t, donde 0 < t < 3.

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