1. Ing. Guaman Tandazo Ezequiel Alberto
Grupo 4
Integrantes:
Borja Jaramillo Jorge Iván
Gualotuña Fajardo JeffersonSantiago
Gaibor Mariño Miguel Angel
Vega Varela RogerPaul
2. Objetivo general
Definir y encontrar la representación mediante ecuaciones
diferenciales del circuito serie RL y RC.
Objetivos Específicos
Aplicar la ley de Kirchhoff para la solución de este tipo de
circuitos.
Determinar mediante E.D. el comportamiento de este tipo de
circuitos
Marcoteórico
Circuito RL
Un circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia y
un inductor. Se dice que el inductor se opone transitoriamente al
establecimiento de una corriente en el circuito.
3. Según la segunda ley de Kirchhoff aplicada al circuito RL de la figura,
el voltaje aplicado es igual a la suma de caída de voltajes a través del
inductor y el resistor.
Y si se tiene una corriente (i):
dq
i
dt
donde q es la carga aplicando la
ley de ohm para hallar la caída de voltaje para el Inductor en función
de la corriente es igual a
di
L
dt
y la caída de voltaje para la resistencia
en función de la corriente igual a R i
Entonces reemplazando las caídas de voltaje en la ley de Kirchhoff:
( )
di
E t L R i
dt
Ecuación diferencial en corriente para el circuito L-R
Si dividimos todo para L :
( )
di R E t
i
dt L L
Ecuación DiferencialLineal
Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el factor de
integración
R R
dt t
L L
e e
( )
R R R
t t t
L L L
di R E t
e e i e
dt L L
( )
R R
t t
L L
d E t
e i e
dt L
4. ( )
R R
t t
L L
E t
e i e dt C
L
( )
R
t R R
L t t
L L
e
i t e E dt Ce
L
Ecuación Diferencialpara la corriente ( )
i t
Para el circuito RL por lo general se da la corriente inicial i(0) como
condicióninicial.
CIRCUITO RC
Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un
resistor.
Dicho circuito puede representar cualquier conexión de resistores y
capacitores cuyo equivalente sea un solo resistor en serie con un solo
capacitor.
En la figura se muestra un circuito RC conectado a una fuente de
voltaje continuo. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargar
al capacitor.
El proceso inicia cuando el interruptor se conmuta a la posición “a” en
el tiempo t=0 [s] y se considera que el capacitor se encuentra
descargado.Aplicando ley de kirchhoff a la malla.
5. Sustituyendo
Ecuación diferencial lineal de primer orden, no homogénea y de
coeficientes constantes, cuya solución consta de dos partes: la
solución homogéneay la solución particular.
1.- La solución homogénea
6. Al integrar ambos miembros de la igualdad.
Obteniendo el antilogaritmo en ambos miembros.
2.- La solución particular
Debido a que el segundo miembro de la ecuación diferencial no
homogéneaes una constante, la solución particular será del tipo
8. la corriente
Definiendo la constante de tiempo como
Las ecuaciones anteriores se expresan como:
Las siguientes figuras muestran las gráficas de las ecuaciones
anteriores en función del tiempo y con una escala en múltiplos de
10. En las gráficas o en las ecuaciones, se observa que el capacitor, para
cuando, se carga y adquiere el voltaje de la fuente ε. Para entonces ya
no existe diferencia de potencial en las terminales del resistor, por lo
que la corriente es cero, es decir, si
Afortunadamente no es necesario esperar un tiempo infinito para
considerar que el capacitor se ha cargado, de acuerdo con las gráficas
para el tiempo
el capacitor prácticamente ya se cargo y la corriente es casi nula. Es
decir, para
se ha alcanzado el 98.2% del valor final del voltaje en el capacitor y se
tiene el 1.8% de la corriente inicial en el circuito; es por ello que, para
fines prácticos,se consideraque para
se han alcanzado las condicionesestables delcircuito.
Resumiendo:
En el tiempo t=0 el capacitor se comporta como un corto circuito ya
fluye la máxima corriente.
11. En el tiempo t = 4Ƭ o mayor el capacitor se comporta como circuito
abierto ya que en sus extremos tiene un voltaje, prácticamente, igual al
de la fuente y ya no circula corriente.
Si Después de cargado el capacitor hasta alcanzar una diferencia de
potencial Vc=V0 se cambia el interruptor a la posición “b”, como se
muestra en la siguiente figura, se obtendrá un circuito a través del cual
se pueda descargar el capacitor, transformando su energía
almacenada en energíaen forma de calor en el resistor.
Circuito de descarga
Aplicando la LVK
Pero
Además
12. Al sustituir todas las expresiones en la primera ecuación se tiene:
Dividiendo entre RC
La solución de esta última ecuación es:
Utilizando las condiciones iniciales para evaluar K
Finalmente
y la corriente se obtiene
13. En la tabla siguiente se muestran los valores de la diferencia de
potencial y de la corriente en el capacitor para diferentes valores de la
constante de tiempo y considerando como condiciones iniciales
Vc=V0=1 [V] y Vo/R=1 [A].
TÉRMINO TRANSITORIO Y ESTACIONARIO
Para entender este tema, empezaremos por definir lo que es cada uno
de estos estados.
Estado estacionario se da cuando las características físicas de un
sistema no varían con el tiempo. Este es el fundamento en el que se
basan las teorías de a electrostáticay la magnetostática.
14. Estado transitorio es la respuesta de un circuito eléctrico que
disminuye con el tiempo, en oposición al régimen estacionario, que es
la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el
circuito o bien la alteración del mismo.
Para un estudio orientado hacia circuitos, debemos entender que
hablaremos sobre el estudio y análisis de ondas u oscilaciones.
Así se tiene la ecuación diferencial que describe las oscilaciones
forzadas y es:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2𝛾
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔2
𝑥 =
𝐹
𝑚
cos(𝑤𝑓𝑡)
La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la
forma
Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones
iniciales. Una solución particular de la ecuación diferencial completa
tiene la forma
x2= A cos(ωft)+ B sen(ωf t)
Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación
diferenciallineal completa
La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de
la solución general de la homogénea más la solución
particular x=x1+x2.
15. El primer término, describe el estado transitorio que desaparece al
cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las
condiciones iniciales. El segundo término, describe el estado
estacionario.
Bases para resolver problemasde circuitos
La siguiente ecuación muestra un circuito que contiene una fuerza
electromotriz de V volt (V), un capacitor con capacitancia de C faradios
(F) y un resistorcon una resistenciade R ohm.
La caída de voltaje a través del capacitor Q/C, donde Q es la carga en
coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:
𝑅𝐼(𝑡) +
𝑄
𝐶
= 𝑉(𝑡)
𝐼(𝑡) =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑄 = 𝑉(𝑡)
A continuación se muestra la manera de resolver ejercicios de
circuitos, y se plantean otros:
16. Ejercicios
Ejercicio 1
Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡2
, la capacitancia es de 𝑡F,
la batería suministra un voltaje constante de 1. Determinar la ecuación
dada la carga inicial es de Q (1) = 5C.
𝑡2
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑡𝑄 = 1
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
𝑡
𝑄 =
1
𝑡2
𝑢(𝑡) = 𝑒
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒ln|𝑡|
= 𝑡
𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑄 =
1
𝑡
𝑑
𝑑𝑡
[𝑡 ∗ 𝑄] =
1
𝑡
𝑑[𝑡 ∗ 𝑄] =
1
𝑡
𝑑𝑡
∫𝑑[𝑡 ∗ 𝑄] = ∫
1
𝑡
𝑑𝑡
𝑡 ∗ 𝑄 = ln(𝑡) + 𝐶1
𝑄 =
ln(𝑡) + 𝐶
𝑡
𝑡𝑄 = ln(𝑡) + 𝐶
𝐶 = 𝑡𝑄 − ln(𝑡) Q (1)=5
𝐶 = 1 ∗ 5 − ln(1)
𝐶 = 5
𝑄 =
ln(𝑡) + 5
𝑡
17. Ejercicio 2
Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 5 F,
la batería suministra un voltaje constante de 20. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 1C.
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 5𝑄 = 20
𝑢(𝑡) = 𝑒∫ 5𝑑𝑡
= 𝑒5t
𝑒5t
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑒5t
𝑄 = 20𝑒5t
𝑑
𝑑𝑡
[𝑒5t
∗ 𝑄] = 20𝑒5t
𝑑[𝑒5t
∗ 𝑄] = 20𝑒5t
𝑑𝑡
∫𝑑[𝑒5t
∗ 𝑄] = 20∫𝑒5t
𝑑𝑡
𝑒5t
∗ 𝑄 = 20
𝑒5t
5
+ 𝐶1
𝑄 =
4𝑒5t
+ 𝐶
𝑒5t
𝑒5t
𝑄 = 4𝑒5t
+ 𝐶
𝐶 = 𝑒5t
𝑄 − 4𝑒5t
Q (0) = 1C
𝐶 = 𝑒5∗0
∗ 1 − 4𝑒5∗0
𝐶 = −3
𝑄 =
4𝑒5t
− 3
𝑒5t
18. Ejercicio 3
Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4tF,
la batería suministra un voltaje constante de 20t. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 3C.
𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 4𝑡𝑄 = 20𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 4𝑄 = 20
𝑢(𝑡) = 𝑒∫ 4𝑑𝑡
= 𝑒4𝑡
𝑒4𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑒4𝑡
𝑡𝑄 = 𝑒4𝑡
20
𝑑
𝑑𝑡
[𝑒4𝑡
∗ 𝑄] = 𝑒4𝑡
20
𝑑[𝑒4𝑡
∗ 𝑄] = 𝑒4𝑡
20𝑑𝑡
∫𝑑[𝑒4𝑡
∗ 𝑄] = 20∫𝑒4𝑡
𝑑𝑡
𝑒4𝑡
∗ 𝑄 = 20
1
4
𝑒4𝑡
+ 𝐶1
𝑄 =
5𝑒4𝑡
+ 𝐶
𝑒4𝑡
𝑒4𝑡
𝑄 = 5𝑒4𝑡
+ 𝐶
𝐶 = 𝑒4𝑡
𝑄 − 5𝑒4𝑡
Q (0)=3
𝐶 = 𝑒4∗0
∗ 3 − 5𝑒4∗0
𝐶 = −2
𝑄 =
5𝑒4𝑡
− 2
𝑒4𝑡
19. Ejercicio 4
Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 1/t F,
la batería suministra un voltaje constante de 5𝑡 + 8𝑡2
. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 0C.
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
𝑡
𝑄 = 5𝑡 + 8𝑡2
𝑢(𝑡) = 𝑒
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒ln |𝑡|
= 𝑡
𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑄 = 5𝑡2
+ 8𝑡3
𝑑
𝑑𝑡
[𝑡 ∗ 𝑄] = 5𝑡2
+ 8𝑡3
𝑑[𝑡 ∗ 𝑄] = (5𝑡2
+ 8𝑡3
)𝑑𝑡
∫𝑑[𝑡 ∗ 𝑄] = ∫(5𝑡2
+ 8𝑡3
)𝑑𝑡
𝑡 ∗ 𝑄 =
5
3
𝑡3
+
8
4
𝑡4
+ 𝐶1
𝑄 =
5
3
𝑡2
+ 2𝑡3
+
𝐶
𝑡
𝑄 =
5𝑡2
+ 6𝑡3
+ 𝐶
3𝑡
𝐶 = 3𝑡𝑄 − 5𝑡2
− 6𝑡3
Q (1)=0
𝐶 = 3 ∗ 1 ∗ 0 − 5 ∗ 12
− 6 ∗ 13
𝐶 = −11
𝑄 =
5
3
𝑡2
+ 2𝑡3
−
11
𝑡
24. Ejercicio 9
Un circuito en el cual la resistencia es de 2, la capacitancia es de
0.001F, la batería suministra un voltaje constante de 10 sen (60t).
Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C.
2
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
0.001
𝑄 = 10𝑠𝑒𝑛(60𝑡)
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 500𝑄 = 5𝑠𝑒𝑛(60𝑡)
𝑢(𝑡) = 𝑒∫ 500𝑑𝑡
= 𝑒500𝑡
𝑒500𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 500𝑄𝑒500𝑡
= 5𝑒500𝑡
𝑠𝑒𝑛(60𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
[𝑒500𝑡
∗ 𝑄] = 5𝑒500𝑡
𝑠𝑒𝑛(60𝑡)
𝑑[𝑒500𝑡
∗ 𝑄] = 5𝑒500𝑡
𝑠𝑒𝑛(60𝑡)𝑑𝑡
∫𝑑[𝑒500𝑡
∗ 𝑄] = 5∫𝑒500𝑡
𝑠𝑒𝑛(60𝑡)𝑑𝑡
𝑒500𝑡
∗ 𝑄 =
𝑒500𝑡(25𝑠𝑒𝑛(60𝑡)−3 cos(60𝑡))
2536
+ 𝐶1
𝑄 =
𝑒500𝑡(25𝑠𝑒𝑛(60𝑡) − 3 cos(60𝑡)) + 𝐶
2536𝑒500𝑡
2536𝑒500𝑡
𝑄 = 𝑒500𝑡(25𝑠𝑒𝑛(60𝑡) − 3 cos(60𝑡)) + 𝐶
𝐶 = 2536𝑒500𝑡
𝑄 − 𝑒500𝑡(25𝑠𝑒𝑛(60𝑡) − 3 cos(60𝑡)) Q (0)=0
𝐶 = 2536𝑒500∗0
∗ 0 − 𝑒500∗0(25𝑠𝑒𝑛(60∗ 0) − 3cos(60 ∗ 0))
𝐶 = −22
𝑄 =
𝑒500𝑡(25𝑠𝑒𝑛(60𝑡) − 3 cos(60𝑡)) − 22
2536𝑒500𝑡
25. Ejercicio 10
Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 1 F,
la batería suministra un voltaje constante de 5t cos (8t). Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 0C.
𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑄 = 5𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡)
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
𝑡
𝑄 = 5𝑐𝑜𝑠(8𝑡)
𝑢(𝑡) = 𝑒
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒ln |𝑡|
= 𝑡
𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑄 = 5𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
[𝑡 ∗ 𝑄] = 5𝑡𝑠𝑒𝑛(8𝑡)
𝑑[𝑡 ∗ 𝑄] = 5𝑡𝑠𝑒𝑛(8𝑡)𝑑𝑡
∫𝑑[𝑡 ∗ 𝑄] = 5 ∫𝑡𝑠𝑒𝑛(8𝑡)𝑑𝑡
𝑡 ∗ 𝑄 =
5
64
(𝑠𝑒𝑛(8𝑡) − 8𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡)) + 𝐶1
𝑄 =
5𝑠𝑒𝑛(8𝑡) − 40𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡)) + 𝐶
64𝑡
64𝑡 ∗ 𝑄 = (5𝑠𝑒𝑛(8𝑡) − 40𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡)) + 𝐶
𝐶 = 64𝑡 ∗ 𝑄 − (5𝑠𝑒𝑛(8𝑡) + 40𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡)) Q (2) = 0C
𝐶 = 64 ∗ 2 ∗ 0 − 5𝑠𝑒𝑛(8 ∗ 2) + 40 ∗ 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(8 ∗ 2)
𝐶 = 75.5
𝑄 =
5𝑠𝑒𝑛(8𝑡) − 40𝑡𝑐𝑜𝑠(8𝑡) + 75.5
64𝑡
26. EjerciciosPropuestos
1.- Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 1
F, la batería suministra un voltaje constante de (8t+3). Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 3C.
2.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡2
, la capacitancia es de t
F, la batería suministra un voltaje constante de 9t. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 2C.
3.- Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de
t+3 F, la batería suministra un voltaje constante de 𝑡2
+ 𝑡. Determinar
la ecuación dada la carga inicial es de Q (3) = 5C.
4.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡3
, la capacitancia es de
t+5 F, la batería suministra un voltaje constante de 𝑡2
+ 5 . Determinar
la ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 7C.
5.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡2
+ 𝑡, la capacitancia es
de 1/t F, la batería suministra un voltaje constante de 5t. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (3) = 7C.
6.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡2
, la capacitancia es de
t/(5+t) F, la batería suministra un voltaje constante de 8t. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 8C.
7.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡4
, la capacitancia es de
t+6 F, la batería suministra un voltaje constante de 𝑡 + 5. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (5) = 8C.
8.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡3
, la capacitancia es de
1/t F, la batería suministra un voltaje constante de 𝑡2
. Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (9) = 4C.
9.- Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 5
F, la batería suministra un voltaje constante de 𝑡2
+ 5 . Determinar la
ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 9C.
27. 10.- Un circuito en el cual la resistencia es de 𝑡2
, la capacitancia es de
1/t F, la batería suministra un voltaje constante de 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) .
Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 4C.
Conclusiones
Definimos y encontramos la representación mediante ecuaciones
diferenciales delcircuito serie RL y RC.
Aplicamos la ley de Kirchhoff para la solución de este tipo de
circuitos.
La ley de Ohm es de gran importancia para los circuitos
eléctricos.
Determinamos mediante E.D. el comportamiento de este tipo de
circuitos
Las características físicas de un sistema no varían con el tiempo;
es el fundamento en el que se basan las teorías de
a electrostáticay la magnetostática.
BIBLIOGRAFÍA:
Kent Nagle - Edward Saff - Arthur David, ECUACIONES
DIFERENCIALES,cuarta Edición, México, 2005
https://www.youtube.com/watch?v=Ans9yM9xKL0
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transito
rio.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gimen_transitorio_(electr%
C3%B3nica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_estacionario
