Este documento presenta los resultados de un artículo sobre la aplicación del control estocástico al análisis semiclásico. Discuten el límite de soluciones diferenciables de la ecuación de Hamilton-Jacobi con viscosidad caracterizadas por la fórmula estocástica de Lax, que convergen a una solución de viscosidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi. También demuestran un teorema sobre el comportamiento del estado base de un operador de Schrödinger en el límite cuando el parámetro tiende a infinito.

1. ´Indice
Planteamiento del problema
La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis
Semicl´asico
Juliho David Castillo Colmenares
Depto. de Matem´aticas, CINVESTAV
Juliho David Castillo Colmenares Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis Semicl´asico

2. ´Indice
Planteamiento del problema
La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
´Indice
1 Planteamiento del problema
2 La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
3 Soluciones de viscosidad
4 La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
5 Demostraci´on del teorema
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3. ´Indice
Planteamiento del problema
La Ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Los resultados que a continuaci´on se presentan pueden encontrarse en el
art´ıculo de exposici´on “Aplicaciones del Control Estoc´astico al An´alisis
Semicl´asico”, publicado en Aportaciones Matem´aticas, Memorias 45
(2012) pag. 69-96.
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Planteamiento del problema
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Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
En este art´ıculo, discutimos el l´ımite de las soluciones diferenciables de la
ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad, caracterizadas por la
F´ormula estoc´astica de Lax, que converjen a una soluci´on de viscosidad
de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. Las soluciones de la ecuaci´on de
Hamilton-Jacobi con viscosidad est´an relacionadas con las soluciones del
la ecuaci´on de Schr¨odinger y determinan el comportamiento cl´asico a
partir del cu´antico.
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
Consideremos el operador de Schr¨odinger
H(λ) : L2
(Rn
) → L2
(Rn
),
definido por
H (λ) = −
1
2
∆ + λ2
V (x), (2.1)
donde λ es un parametro (real) y ∆ es el operador de Laplace. Para
ψ ∈ L2
(Rn
),
[H(λ)ψ](x) = −
1
2
(∆ψ)(x) + λ2
V (x)ψ(x).
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Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Supondremos que el potencial V : Rn
→ R cumple las siguientes
hip´otesis:
(1) V es C∞
y no negativa;
(2) l´ım x →∞ V (x) = ∞;
(3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2
V /∂xi ∂xj es una
matriz no singular para x = a, b.
(4)
l´ım inf
λ→∞
( ja(Ω0)(λ) 2 jb(Ω0(λ)) 2) > 0,
donde · 2 es la norma en L2
(Rn
) y para k = a, b, jk : Rn
→ R es
una funci´on caracter´ıstica.
(5) ∆V esta acotado, lo que es equivalente a que V : Rn
→ R sea
semiconcavo.
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Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
El conjunto de todos los eigenvalores de H(λ), llamado espectro y
denotado por σ(H(λ)), es puramente discreto.
E0(λ) ≡´ınf σ(H(λ)) es un eigenvalor, al cual llamaremos nivel m´ınimo de
energ´ıa, mientras que al primer eigenvalor E1(λ) > E0(λ) le llamaremos
energ´ıa del primer estado excitado.
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
El nivel m´ınimo de energ´ıa tiene asociada una ´unica eigenfunci´on
Ω0(λ) : Rn
→ Rn
, que se conoce como estado base. Dicha eigenfunci´on
es positiva y no degenerada. Por lo que E0 tambien es conocida como
“energ´ıa del estado base”.
Observaci´on
Pediremos Ω0(λ) este normalizado, es decir, Ω0(λ) 2 = 1, donde · 2 es
la norma en L2
(Rn
).
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Demostraci´on del teorema
Definici´on (M´etrica de Agmon)
∀x, y ∈ Rn
, definimos la m´etrica de Agmon como
ρ(x, y) = ´ınf
γ∈Γx,y
1
2
T
0
|˙γ(s)|2
ds +
T
0
V (γ(s))ds (2.2)
donde
Γx,y := {γ : [0, T] → Rn
|T > 0, γ ∈ AC[0, T], γ(0) = x, γ(T) = y} ,
y AC[0, T] es el conjunto de funciones absolutamente continuas en [0, T].
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Demostraci´on del teorema
El resultado principal del art´ıculo es una demostraci´on alternativa del
siguiente teorema
Teorema
Si se satisfacen las hip´otesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial V
es semiconcavo, entonces para cualquier x
l´ım sup
λ→∞
1
λ
ln |Ω0(λ; x)| = − m´ın {ρ (x, a) , ρ (x, b)} ,
siendo este l´ımite uniforme en subconjuntos compactos.
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Soluciones de viscosidad
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Demostraci´on del teorema
En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn
× Rn
→ R
de la forma
L(x, v) =
1
2
|v|2
+ V (x)
con el Hamiltoniano H : Rn
× Rn
→ R asociado
H(x, p) =
1
2
|p|2
− V (x)
donde V : Rn
→ R.
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Demostraci´on del teorema
La ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0 (3.1)
tiene soluciones φ : Rn
→ R, las cuales no son soluciones cl´asicas, y que
en este contexto llamaremos soluciones de viscosidad que, de hecho,
dependen de los valores en a y b.
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Soluciones de viscosidad
La F´ormula Estoc´astica de Lax y Estimaciones
Demostraci´on del teorema
Consideremos ahora la
Definici´on (Ecuaci´on de Hamilton Jacobi con viscosidad)
ε∆φ(x) +
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = c(ε), (3.2)
donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad.
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Demostraci´on del teorema
Si φε es una soluci´on de (3.2), entonces exp(φε/2ε) es una soluci´on de la
Definici´on (Ecuaci´on de Schr¨ondinger)
2ε2
∆ψ − V (x)ψ = c(ε)ψ. (3.3)
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Demostraci´on del teorema
Considere ahora la sustituci´on ε = 1/2λ, de la cual obtenemos (con
algunas manipulaciones algebraicas)
−
1
2
∆ + λ2
V (x) ψ1/2λ = −λ2
c
1
2λ
ψ1/2λ,
y como ψ1/2λ es positiva, si escogemos c( ) de manera que
c
1
2λ
= −
E0(λ)
λ2
,
concluimos que es el estado base de nuestro problema.
Por [6], teorema 1.1, c(ε) → 0, cuando ε → 0.
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Observaci´on
A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con la
notaci´on ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tener
presente las relaciones 2ε = 1
λ y ψε = eφε/2ε
.
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Demostraci´on del teorema
Para obtener la demostraci´on del teorema 2.1, estudiaremos el
comportamiento de las soluciones φε de la ecuaci´on con viscosidad (3.2),
cuando ε → 0, de manera que podamos obtener subsucesiones que
convergen uniformemente a una soluci´on de viscosidad φ de la ecuaci´on
(3.1).
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Demostraci´on del teorema
Definici´on
Una funci´on continua φ : Rn
→ R se dice soluci´on de viscosidad (hacia el
futuro) de la ecuaci´on (3.1) si satisface las siguientes propiedades:
1 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´aximo local en x0 entonces
1
2
|Dv(x0)|
2
− V (x0) ≤ 0. (4.1)
2 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´ınimo local en x0 entonces
1
2
|Dv(x0)|
2
− V (x0) ≥ 0. (4.2)
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Demostraci´on del teorema
Proposici´on ([1], Proposici´on 1.3)
1 Si φ ∈ C(Rn
) es una soluci´on cl´asica de (3.1), es decir, es
diferenciable en todo x ∈ Rn
y satisface
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0,
entonces es una soluci´on de viscosidad de (3.1).
2 Si φ ∈ C1
(Rn
) es una soluci´on de viscosidad de (3.1), entonces es
una soluci´on cl´asica de (3.1).
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Demostraci´on del teorema
Proposici´on
Si φ ∈ C(Rn
) es una soluci´on de viscosidad de (3.1), entonces
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = 0
en cualquier punto x ∈ Rn
donde φ es diferenciable.
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Demostraci´on del teorema
Una ´ultima caracterizaci´on de las soluciones de viscosidad es la siguiente:
Proposici´on
Una funci´on φ es una soluci´on de viscosidad hacia el futuro de (3.1) si y
solo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para toda
x ∈ Rn
, t ≥ 0,
φ(x) = sup
γ:[0,t]→Rn,γ(0)=x
{φ(γ(t)) −
t
0
1
2
|˙γ(s)|
2
+ V (γ(s))ds} (4.3)
donde el supremo se toma sobre las curvas C1
a trozos.
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Demostraci´on del teorema
Observaci´on
Esta f´ormula es conocida como de Lax-Oleinik, el cual se obtiene del
m´etodo de programaci´on din´amica.(Veas´e [5], [2] cap´ıtulo 3, [1] secci´on
1.5)
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Demostraci´on del teorema
Lema ([4], [7])
φ(x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} .
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Demostraci´on del teorema
La soluci´on a la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi con viscosidad (3.2) puede
ser caracterizada por una f´ormula variacional an´aloga a (4.3).
En el caso viscoso, necesitamos introducir un espacio de probabilidad
(Ω, F, P) dotado de un un movimiento Browniano W (t) : Ω → Rn
.
Denotaremos por E la esperanza con respecto a la medida de
probabilidad P.
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Demostraci´on del teorema
La soluci´on a la ecuaci´on (3.2) satisface la
Definici´on (F´ormula Estoc´astica de Lax)
φε(x)
= sup
v
E φε(Xε(τ)) −
τ
0
1
2
|v(s)|
2
+ V (Xε(s))ds − c(ε)τ ,
donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempo
de paro finito y Xε es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial estoc´astica
dXε(t) = v(t)dt + (2ε)dW (t)
Xε(0) = x
(5.1)
que se deduce del lema 3.1 en [3].
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Demostraci´on del teorema
El siguiente lema se demuestra usando la F´ormula de Lax y la ´ultima
hipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo.
Lema
Existe una subsuceci´on {φεn
}
∞
n=0 , de manera que
εn∆φεn (x) +
1
2
|Dφεn (x)|
2
− V (x) = c(εn),
de manera que
l´ım
εn→0
φεn
(x) = φ(x). (5.2)
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Demostraci´on del teorema
Ahora bien, por el lema 5.1, sabemos que para alguna subsucesi´on {εn}
φ(x) = l´ım
εn→0
φεn(x).
Pero
φεn(x) = 2εn ln ψεn
.
Recordemos que ψεn
es, en este contexto, igual el estado base Ω(λ; x) del
operador de Schr¨odinger, dado por la ecuaci´on (2.1).
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Entonces
φεn
=
1
λ
Ω(λ; x).
Como εn → 0 es equivalente a λn = 1
2εn
→ ∞, sabemos que existe una
subsucesi´on {λn} , de manera que,
l´ım
λn
1
λn
Ω(λn; x) = φ(x).
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29. ´Indice
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Demostraci´on del teorema
Usando el lema 4.4, obtenemos
l´ım
λn→∞
1
λn
Ω(λn; x) = − m´ın {ρ(x, a), ρ(x, b)} .
Pero esto quiere decir, bajo las hipotesis (A1)-(A4), adem´as de suponer
que la funci´on V : Rn
→ R es semiconcava, hemos demostrado que
l´ım sup
λ→∞
1
λ
Ω(λ; x) = − m´ın (ρ(x, a), ρ(x, b)) .
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Demostraci´on del teorema
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