El lugar de las raíces
Introducción <ul><li>Los sistemas realimentados son un tipo especial de sistemas muy empleados en control. </li></ul><ul><...
Definición <ul><li>Dado un sistema realimentado del tipo </li></ul><ul><li>La técnica del  lugar de las raíces  permite co...
<ul><li>Expresión de la función de transferencia </li></ul><ul><ul><li>Los polos en bucle cerrado vienen dados por las raí...
<ul><li>Ejemplo de lugar de las raíces. </li></ul>
Criterio del módulo y criterio del argumento <ul><li>A partir de la ecuación característica tenemos </li></ul><ul><li>Para...
<ul><ul><li>Evaluación gráfica del criterio del módulo y del argumento. </li></ul></ul>s i -p 1 -p 2 -p 3 -c 1 m p3 a c1 <...
Reglas de construcción <ul><li>1) Expresar la ecuación característica en la forma </li></ul><ul><ul><li>Donde  K  es el pa...
<ul><li>2) Situar los polos y ceros del sistema en bucle abierto. </li></ul><ul><ul><li>Descomponiendo la función de trans...
<ul><ul><li>Para la ecuación característica  D(s)+KN(s)=0 ,  en los extremos de variación del parámetro tenemos </li></ul>...
<ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul></ul>(s+2)/(s+1) K + - R(s) Y(s) Ecuación característica: <ul><ul><ul><li>K=0: </li></ul></...
s=-1 s=-2 (K=0) (K=  )
<ul><li>3) Número de ramas y simetría. </li></ul><ul><ul><li>El lugar de las raíces tiene un número de ramas igual al orde...
<ul><ul><li>La región donde se encuentran dos ramas del lugar da origen a puntos de ruptura (confluencia/dispersión). </li...
<ul><li>4) Lugar sobre el eje real. </li></ul><ul><ul><li>Existe lugar sobre el eje real en aquellas secciones que dejan u...
<ul><ul><li>Ejemplo de punto  no   perteneciente  al lugar. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>El criterio del argumento daría...
<ul><li>5) Centroide y asíntotas. </li></ul><ul><ul><li>Las asíntotas intersectan sobre el eje real en un punto que viene ...
<ul><ul><li>El ángulo que forman las asíntotas con el eje real se calcula como sigue </li></ul></ul> 1
<ul><li>6) Ángulos de partida y de llegada. </li></ul><ul><ul><li>El ángulo de partida de un polo es el que forma la tange...
<ul><li>7) Intersección con el eje imaginario. </li></ul><ul><ul><li>Criterio de Routh-Hurwitz (límite de la estabilidad)....
<ul><li>8) Puntos de ruptura (confluencia/dispersión). </li></ul><ul><ul><li>Donde el lugar de las raíces abandona el eje ...
Ejemplos <ul><li>Sistemas de primer orden. </li></ul>
<ul><li>Sistemas de segundo orden. </li></ul>
Ejercicio <ul><ul><li>Trazar el lugar de las raíces frente a la ganancia en bucle abierto  K  para el siguiente sistema. <...
<ul><ul><li>Ecuación característica. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Función de transferencia. </li></ul></ul></ul><ul><ul>...
<ul><ul><li>Polos y ceros. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Cero en -3. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Polos en 0, -1 y...
<ul><ul><li>Lugar sobre el eje real. </li></ul></ul>
<ul><ul><li>Asíntotas. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Número: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Cruce: </li></ul></ul></...
<ul><ul><li>LdR. </li></ul></ul>
Aplicaciones <ul><li>El lugar de las raíces puede emplearse para diferentes propósitos: </li></ul><ul><ul><li>Ajuste/sinto...
 
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  1. 1. El lugar de las raíces
  2. 2. Introducción <ul><li>Los sistemas realimentados son un tipo especial de sistemas muy empleados en control. </li></ul><ul><li>La tarea de diseño consiste en ajustar los parámetros variables de la parte de control para conseguir el comportamiento global deseado. </li></ul><ul><li>El lugar de las raíces es una técnica gráfica empleada en el análisis y diseño de sistemas de control . </li></ul>Sistema Control + -
  3. 3. Definición <ul><li>Dado un sistema realimentado del tipo </li></ul><ul><li>La técnica del lugar de las raíces permite conocer cómo varían los polos del sistema en bucle cerrado cuando se modifica el valor del parámetro de interés . </li></ul>G(s) K + - R(s) Y(s)
  4. 4. <ul><li>Expresión de la función de transferencia </li></ul><ul><ul><li>Los polos en bucle cerrado vienen dados por las raíces de la ecuación característica. </li></ul></ul>G(s) K + - R(s) Y(s) <ul><ul><li>El lugar de las raíces representa gráficamente sobre el plano s , las posiciones de los polos de M(s) cuando K varía entre 0 e infinito. </li></ul></ul>
  5. 5. <ul><li>Ejemplo de lugar de las raíces. </li></ul>
  6. 6. Criterio del módulo y criterio del argumento <ul><li>A partir de la ecuación característica tenemos </li></ul><ul><li>Para que un punto s i pertenezca al lugar de las raíces deben darse dos condiciones: </li></ul><ul><ul><li>A) Criterio del módulo : </li></ul></ul><ul><ul><li>B) Criterio del argumento : </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>donde p es un número entero. </li></ul></ul></ul>
  7. 7. <ul><ul><li>Evaluación gráfica del criterio del módulo y del argumento. </li></ul></ul>s i -p 1 -p 2 -p 3 -c 1 m p3 a c1 <ul><ul><ul><li>Los ángulos se toman con respecto al semieje real positivo, y en sentido antihorario. </li></ul></ul></ul>
  8. 8. Reglas de construcción <ul><li>1) Expresar la ecuación característica en la forma </li></ul><ul><ul><li>Donde K es el parámetro de interés y G es una función en s . </li></ul></ul><ul><ul><li>Generalmente, el parámetro de interés suele ser la ganancia del sistema en bucle abierto, aunque el método es válido para cualquier otro parámetro. </li></ul></ul>
  9. 9. <ul><li>2) Situar los polos y ceros del sistema en bucle abierto. </li></ul><ul><ul><li>Descomponiendo la función de transferencia en bucle abierto en numerador y denominador, la ecuación característica queda </li></ul></ul><ul><ul><li>Deberán situarse entonces los polos ( D(s)=0 ) y los ceros ( N(s)=0 ) del sistema sobre el plano s. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Suele emplearse el símbolo “*” para los polos y el “o” para los ceros. </li></ul></ul></ul>
  10. 10. <ul><ul><li>Para la ecuación característica D(s)+KN(s)=0 , en los extremos de variación del parámetro tenemos </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Luego el lugar de las raíces parte ( K=0 ) de los polos del sistema en bucle abierto y llega ( K=  ) a los ceros . </li></ul></ul></ul>
  11. 11. <ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul></ul>(s+2)/(s+1) K + - R(s) Y(s) Ecuación característica: <ul><ul><ul><li>K=0: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>K=1: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>K=10: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>K=100: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>K=1/2: </li></ul></ul></ul>
  12. 12. s=-1 s=-2 (K=0) (K=  )
  13. 13. <ul><li>3) Número de ramas y simetría. </li></ul><ul><ul><li>El lugar de las raíces tiene un número de ramas igual al orden del sistema (número de polos). </li></ul></ul><ul><ul><li>Para un sistema con n polos y m ceros, existirán n-m ramas asintóticas (tienden a un cero en el infinito). </li></ul></ul><ul><ul><li>El lugar es simétrico con respecto al eje real del plano s. </li></ul></ul>
  14. 14. <ul><ul><li>La región donde se encuentran dos ramas del lugar da origen a puntos de ruptura (confluencia/dispersión). </li></ul></ul>
  15. 15. <ul><li>4) Lugar sobre el eje real. </li></ul><ul><ul><li>Existe lugar sobre el eje real en aquellas secciones que dejan un número impar de polos+ceros a su derecha. </li></ul></ul>
  16. 16. <ul><ul><li>Ejemplo de punto no perteneciente al lugar. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>El criterio del argumento daría 360º -> no se cumple. </li></ul></ul></ul>
  17. 17. <ul><li>5) Centroide y asíntotas. </li></ul><ul><ul><li>Las asíntotas intersectan sobre el eje real en un punto que viene dado por la siguiente expresión: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>donde n es el número de polos y m el número de ceros de G(s). </li></ul></ul></ul>
  18. 18. <ul><ul><li>El ángulo que forman las asíntotas con el eje real se calcula como sigue </li></ul></ul> 1
  19. 19. <ul><li>6) Ángulos de partida y de llegada. </li></ul><ul><ul><li>El ángulo de partida de un polo es el que forma la tangente del lugar en ese punto con el eje real. </li></ul></ul><ul><ul><li>El ángulo de llegada a un cero es el que forma la tangente del lugar en ese punto con el eje real. </li></ul></ul>a <ul><ul><li>Se calculan aplicando el criterio del argumento en un punto muy cercano a la raíz de interés. </li></ul></ul>
  20. 20. <ul><li>7) Intersección con el eje imaginario. </li></ul><ul><ul><li>Criterio de Routh-Hurwitz (límite de la estabilidad). </li></ul></ul><ul><ul><li>Se obtiene el valor límite del parámetro y se resuelve la ecuación característica para ese valor. </li></ul></ul>
  21. 21. <ul><li>8) Puntos de ruptura (confluencia/dispersión). </li></ul><ul><ul><li>Donde el lugar de las raíces abandona el eje real. </li></ul></ul><ul><ul><li>Se obtienen a partir de la expresión. </li></ul></ul>
  22. 22. Ejemplos <ul><li>Sistemas de primer orden. </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Sistemas de segundo orden. </li></ul>
  24. 24. Ejercicio <ul><ul><li>Trazar el lugar de las raíces frente a la ganancia en bucle abierto K para el siguiente sistema. </li></ul></ul>G(s) K + - R(s) Y(s) <ul><ul><ul><li>Donde. </li></ul></ul></ul>
  25. 25. <ul><ul><li>Ecuación característica. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Función de transferencia. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ecuación característica. </li></ul></ul></ul>
  26. 26. <ul><ul><li>Polos y ceros. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Cero en -3. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Polos en 0, -1 y -2±j. </li></ul></ul></ul>
  27. 27. <ul><ul><li>Lugar sobre el eje real. </li></ul></ul>
  28. 28. <ul><ul><li>Asíntotas. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Número: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Cruce: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ángulos: </li></ul></ul></ul>4 polos -1cero = > 3 asíntotas -2/3 60, 180, -60.
  29. 29. <ul><ul><li>LdR. </li></ul></ul>
  30. 30. Aplicaciones <ul><li>El lugar de las raíces puede emplearse para diferentes propósitos: </li></ul><ul><ul><li>Ajuste/sintonización de parámetros internos. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Obtención de valores adecuados para los parámetros variables de un sistema con el fin de obtener una mejor respuesta. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Diseño de controladores. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Diseño de unidades externas al sistema para controlar su funcionamiento. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Estudio de estabilidad. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Análisis de la estabilidad absoluta y relativa de un sistema frente a un parámetro determinado. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Robustez. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sensibilidad de un sistema ante variaciones de un parámetro de interés. </li></ul></ul></ul>

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