1. TRABAJO COLABORATIVO 2.
ALGEBRA LINEAL
LILIANA RUIZ RUEDA
C.C 37.514.904
ADRIANA CASTRO AYALA
C.C. 23.325.182
ARNULFO TRISTANCHO
C.C. 16.454.401
JOSE ORLANDO MARIN
JOSEFINA MALAGON
CODIGO DEL CURSO
100408
GRUPO 5
TUTOR:
CAMILO ARTURO ZUÑIGA G
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
2011
2. INTRODUCCIÓN
La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia
aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en la
administración existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y
solución de tales sistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las
carreras administrativas de la UNAD, en la materia Algebra lineal, se incluya el
tema solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de GaussJordán, por las ventajas que este ofrece.
Recordemos que en las últimas décadas él. Algebra Lineal se ha convertido en
una parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al
desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo gira
actualmente en torno a los sistemas computacionales.
Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referente
muy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo de
educación autónomo.
La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios
presentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, a
través de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminación
gaussiana, regla de cramer, empleando la factorización y la matriz inversa.
3. OBJETIVOS
Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana,
factorización LU, la matriz inversa, rectas en R3, planos, espacios vectoriales,
entre otros, ponerlos en práctica reconociendo su importancia y aplicabilidades.
Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en práctica y con
las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las
herramientas apropiadas.
4. 1. Utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan, para encontrar todas las
soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1.
2x-4y-7z = -7
5x-7y-z = -1
-8x+y+6z = 6
ENTONCES
Reemplazamos:
1) 2x – 4y – 7z = -7
2(0) – 4(0) – 7(1) = -7
-7 = -7
2) 5x – 7y – z = -1
5(0) – 7(0) -1 = -1
-1 = -1
3) -8x +y +6z = 6
-8(0) + 0 + 6(1) = 6
6 =6
5. 1.2.
3x-4y-z+4w = 11
5x-10y-z-2w = -18
La matriz A ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que el
método finaliza allí.
Escribamos el sistema resultante:
x – 7z + 88w = 1457
y–
Note que las variables z y w están presentes en las dos ecuaciones. A: z y w las
llamamos variables libres. Para encontrar un vector que satisfaga las dos
ecuaciones se requiere asignarle a z y w, valores arbitrarios con eso ob tenemos
los valores para x y.
Despejamos x en la primera ecuación
X= 1457+7z-88w
Despejamos y en la segunda ecuación
Y=
z y w son arbitrarias (cualquiera). Recuerde que lo que buscamos es un vector
, que satisfaga el sistema por lo tanto podemos escribirlo así:
6. (1)
Observe que cada valor que se le asigne para z y w (variables libres) se obtiene
un vector que satisface las dos ecuaciones.
Como podemos asignar a z y w, todos los valores que deseemos, se trata pues un
caso de infinitas soluciones. La forma de solución escrita en (1), recibe el nombre
de solución general, ya que contiene la forma de todas las posibles soluciones.
Si deseamos encontrar un vector cualquiera que satisfaga el sistema, le
asignamos un valor a z y w (cualquiera) a este vector lo llamaremos solución
particular.
Veamos pues una solución particular:
Por ejemplo si z=0 y w=0, resulta.
Solución particular 1.
Otra solución particular si z=2 y w=1, resulta.
Solución particular 2.
7. 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice
el método que prefiera para hallar A -1)
8.
9. 3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:
3.1. Contiene a los puntos P= (-5,-1,2) y Q= (-1,5,-3)
20. CONCLUSIONES
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal
de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Un espacio vectorial V sobre un campo k (pueden ser los números reales),
es un conjunto de objetos que se pueden sumar y se pueden multiplicar por
los elementos de k, de tal forma que la suma de dos elementos de V es, de
nuevo un elemento de V, el producto de un elemento de V por un elemento
de k es un elemento de V.
