1. FAKTORIZAZIOA

2. FAKTORIZAZIOA
Polinomio bat, bera baino maila txikiagoa
duten beste polinomioen arteko
biderketan deskonposatzea da, hau da,
Pi polinomioak deskonposaezinak direnean,
P(x) polinomioa guztiz faktorizatuta dagoela
esango dugu
P(x) = P1(x) · P2(x) . . . · Pn(x) /
deg(Pi(x)) < deg (P(x)) ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}

3. AdibideaAdibidea
P(x) = x4
-1 =
= (x2
-1).(x2
+1) =
= (x-1).(x+1).(x2
+1)
Guztiz faktorizatuta
√

4. Faktorizatzeko bideak
•Biderkagai komuna
•Identitate nabarmenak
•Bigarren mailako ekuazioa
•Ruffini

5. Biderkagai komuna
Batugai guztietan elementuren bat (edo batzuk)
errepikatzen bada erabili daiteke.

6. x2
=x.x x3
=x.x.x x
1. adibidea:
8x2
y4
z + 4x3
y2
+ 6xy2
z
Orduan 2xy2
amankomuna da.
8x2
y4
z + 4x3
y2
+ 6xy2
= 2xy2
.(4xy2
z + 2x2
+3)
Kasu honetan ez, baina begiratu beharko genuke beste metodo
batekin jarraitu daitekeen ala ez faktorizatzen.
8=2.2.2 4=2.2 6=2.3
y4
=y.y.y.y y2
=y.y y2
=y.y

7. 2. adibidea
8x2
y + 4x3
y + 2xy
KONTUZ: 3. batugaia osorik kanporatu behar dugu, orduan 1
zenbakia ipini behar da parentesian.
8x2
y + 4x3
y + 2xy = 2xy.(4x + 2x2
+ 1)
8=2.2.2 4=2.2 2
x2
=x.x x3
=x.x.x x
y y y
1

8. Identitate nabarmenak
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2
(2 + 3x)2
= 4 +12x + 9x2
(-2 + x)2
= 4 -4x + x2
(-2 - x)2
= 4 + 4x + x2
(2 - x).(2 + x) = 4 - x2
(-3 + 2x).(-3-2x) = 9 - 4x2
(-2 - x).(2 - x) = x2
- 4
Adibidez
interpretazioa

9. 1.adibidea
x2
- 6x + 9
Identitate nabarmena izatekotan bigarrena da. ( - )2
Maila handiena duen batugaia x2
da
Maila txikiena duen batugaia 9 da
Identitate nabarmena izatekotan: (x - 3)2
Baina erdiko maila ez dugunez erabili konprobatu behar da.
(x - 3)2
= x2
- 6x + 9
Orduan
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2
x2
- 6x + 9= (x - 3)2
39 =
xx =2

10. 2.adibidea
x2
+ 5x + 4
Identitate nabarmena izatekotan lehenengoa da. ( + )2
Maila handiena duen batugaia x2
da
Maila txikiena duen batugaia 4 da
Identitate nabarmena izatekotan: (x + 2)2
Baina erdiko maila ez dugunez erabili konprobatu behar da.
(x + 2)2
= x2
+ 4x + 4
Orduan ezin da metodo honekin faktorizatu.
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2
xx =2
24 =

11. 3. adibidea
-4x2
+ 12x - 9
Identitate nabarmena izatekotan bigarrena da. ( - )2
Maila handiena duen batugaia 4x2
da
Maila txikiena duen batugaia 9 da
Identitate nabarmena izatekotan: (2x - 3)2
Baina erdiko maila ez dugunez erabili konprobatu behar da.
(2x - 3)2
= 4x2
- 12x + 9
Orduan
Maila handia eta maila txikia derrigorrez + izan behar dira,
beraz horrela ezin da erabili identitate nabarmena.
-4x2
+ 12x - 9 = -
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2
(4x2
- 12x + 9)
-x2
+12x - 9 = -(2x - 3)2
xx 24 2
=
39 =

12. 4. adibidea
4x2
- 9
Identitate nabarmena izatekotan hirugarrena da: ( - ).( + )
Positiboa 4x2
Negatiboa 9
Orduan 4x2
- 9 = (2x - 3).(2x + 3)
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2
xx 24 2
=
39 =

13. 5. adibidea
-x2
+ 16
Identitate nabarmena izatekotan hirugarrena da: ( - ).( + )
Positiboa 16
Negatiboa x2
Orduan -x2
+ 16 = (4 - x).(4 + x)
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2
416 =
xx =2

14. 6. adibidea
x2
+ 1
Biak positiboak direnez, ezin da metodo honekin faktorizatu.
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a - b).(a + b) = a2
- b2

15. Bigarren mailako ekuazioa
ax2
+ bx +c =0
2. mailako polinomioekin erabiltzen da bakarrik.
formula erabiliz P(x) = 0 ekuazioa askatzen da.
P(x)= a.(x-k1).(x-k2)
k2
k1
a
acbb
x
2
42
−±−
=

16. 1. adibidea
P(x)= x2
-6x +8
x2
-6x +8 =0
x2
-6x +8 = (x-2) .(x-4)
a
acbb
x
2
42
−±−
=
2
26
2
32366 ±
=
−±
=x
4
2

17. 2. adibidea
P(x)= 2x2
-8x +6
2x2
-8x +6 =0
2x2
-8x +6 = 2.(x-3) .(x-1)
a
acbb
x
2
42
−±−
=
2
24
2
12164 ±
=
−±
=x
3
1
x2
-4x+3=0

18. 3. adibidea
P(x)= 6x2
- x - 1
6x2
- x -1 = 0
6x2
- x -1 =
a
acbb
x
2
42
−±−
=
12
51
12
2411 ±
=
+±
=x
3
1
12
4
2
1
−=−






+⋅





−⋅
3
1
2
1
6 xx 




 +
⋅




 −
⋅=
3
13
2
12
6
xx
( ) ( )1312 +⋅−= xx

19. 4. adibidea
P(x)= -x2
- 4x +5
-x2
- 4x + 5 = 0
- x2
- 4x + 5 = -(x + 5) .(x - 1)
x2
+ 4x - 5 = 0
a
acbb
x
2
42
−±−
=
2
64
2
20164 ±−
=
+±−
=x
-5
1

20. 5. adibidea
P(x)= x2
+ x + 2
x2
+ x + 2 = 0
x2
+ x +2 polinomioa ezin da faktorizatu.
a
acbb
x
2
42
−±−
=
2
811 −±−
=x

21. Ruffini
Gai askea desberdin zero duten edozein mailatako polinomioetan erabil
daiteke.
Paolo Ruffini 1765 ean jaio zen Valentanon (Italia) eta
1822 an hil zen. Mediku, filosofo eta matematikaria izan
zen. Modenako unibertsitatearen errektorea izan zen.

22. 1. adibidea
1 -4 5 -2
1
P(x) = x
3
-4x
2
+5x-2
1
1
-3
-3
2
2
0
1
1
1
-2
-2
0
2
1
2
0
x3
-4x2
+5x-2 = (x-1).(x-1).(x-2).1= (x-1)2
.(x-2)
Gai askearen zatitzaileak: -1,1,-2,2
P(-1)≠0P(1) = 0

23. 2. adibidea
2 -9 3 4
1
P(x) = 2x
3
- 9x
2
+ 3x + 4
2
2
-7
-7
-4
-4
0
1
2 -5
-5
-9 ≠ 0
2x3
- 9x2
+ 3x + 4 = (x-1).(x-4).(2x+1)
Gai askearen zatitzaileak: -1,1,-2,2,-4,4
24
2
8
1
4
0
Bi zenbaki gelditzen direnean eta lehenengoa bigarrena baino
handiagoa denean ezin da jarraitu faktorizatzen.

24. 3. adibidea
1 -1 0 -4
P(x) = x
3
- x
2
-4
x3
- x2
- 4 = (x-2).(x2
+ x +2)
2
1
2
1
2
2
4
0
Azkenengo zenbakiaren zatitzaileekin ez da berriro ateratzen beraz
emaitzaren bat edukitzekotan ez da zenbaki osoa izango.
x3
– x2
– 4 = (x-2).(x2
+ x + 2)
Saiatuko gara bigarren mailako ekuazioarekin
2
811 −±−
=xx2
+ x + 2 = 0
= x3
– x2
+ 0x - 4

25. 4. adibidea
P(x) = x4
+ x2
+ 2x + 1
Gai askearen zatitzaileak: -1,1
P(-1)≠0 eta P(1)≠0 denez ezin da Ruffiniren bidez faktorizatu.
Badakigu ez daukala emaitza osorik baina ez dakigu osoa ez
den emaitzarik duen, orduan ez dakigu faktorizatu ahal den
ala ez.

26. 5. adibidea
6 -7 0 1
1
P(x) = 6x
3
-7x
2
+ 1
6
6
-1
-1
-1
-1
0
Gai askearen zatitzaileak: -1,1
1
6
6
5
5
4≠0
P(1)=0
12
51
12
2411 ±
=
+±
=x
3
1
12
4
2
1
−=−
6x2
– x – 1 = 0
P(x) = (x-1).(6x2
– x – 1) = 





+⋅





−⋅
3
1
2
1
6 xx(x-1).
( ) ( ) ( )1312.1 +⋅−−= xxx( ) 




 +
⋅




 −
⋅−=
3
13
2
12
1.6
xx
x
=
ariketak