Ejercicio gestión financiera

INFORME DE EJERCICIO
PROPUESTO
Gestión Financiera
15 DE JUNIO DE 2016
SAMANTHA MOHEDANO BARRENA Y BEATRIZ MONTEJANO COLOMER
Máster en Management y Gestión del Cambio

Asignatura: Gestión Financiera
Informe EjercicioPropuesto
ENUNCIADO
Ustedtiene 40 años y se plantea la realizaciónde un plan de jubilaciónpara complementar
su pensióna partir de cuando se jubile a los 70 años. Acuerda con el banco la siguiente
operación:desde este momento y durante lospróximos 10 años, realizará imposiciones
trimestralescrecientesun0,1% trimestralmente de forma acumulativa. Siendola primera
imposicióntrimestral de 1500€.
Durante los siguientes5años, ingresará cantidades semestralesconstantese igualesal 50%
de la últimacantidad trimestral.Durante el restode los años y anualmente ingresará 6000€.
A partir de su jubilación,recibirá enese momentola cuarta parte del capital que haya
ahorrado y durante los siguientes20 años una cuantía al final de cada mes que disminuirá un
0.05% cada mes de forma acumulativa.
Se pide:
a) Cantidad que se tendrá ahorrada en el momentode la jubilación
b) Cantidad que recibirá el 1º y el últimomes desde que empiezaa cobrar la jubilación.
c) Si el sujetomuere a los 15 años de comenzarla operación,¿qué capital le corresponderáa
sus herederos?
d) Si el sujetomuere a los80 años ¿cuánto le queda a sus herederos?
Tipos de interés:para los 20 primerosaños 4% efectivoanual y para lossiguientes4,5%. Tras
la jubilación,para los8 primeros años 6% nominal/anual y el resto de los años 3%
nominal/anual.

Explicación del Ejercicio:
- Plan Jubilación (30 años)
Al tratarse de un plande jubilación(plande ahorro),nosencontramosante rentas
prepagables.A lahorade calcularla cantidadfinal ahorradaenel momentode lajubilación,se
puede observarque enel períodode ahorrode 30 años,aparecen4 rentasdiferentes.
1ª Renta: Tiene unaduraciónde 10 años y se realizanimposicionestrimestrales(m=4)
crecientesun0,01% trimestralmente de formaacumulativa.Laprimeraimposiciónesde
1500€ yel interésutilizadoesdel 4%efectivoanual (i).
Por ello,estamosante unarentaprepagable fraccionada anticipadavariableenprogresión
geométrica.
2ª Renta: Tiene unaduraciónde 5 años.En este caso,se realizanimposicionessemestrales
(m=2) constantes,donde laprimeraimposiciónesigual al 50% de la últimaimposición
trimestral de laprimerarenta,esdecir,C = al 50% de 1500*Q36
. El interésparaesta rentael
del 4% efectivoanual (i).
Por ello,estamosante unarentaprepagable anticipada fraccionadaconstante
3ª Renta: Tiene unaduraciónde 5 años.Presentaimposicionesanualesconstantesde 6000€,
a un tipode interésdel 4%efectivoanual (i).
Por ello,estamosante unarenta prepagable constante
4º Renta: Presentaunaduraciónde 10 años. Al igual que latercerarenta, muestra
imposicionesanualesconstantesporvalorde 6000€. El interésutilizadoenestarentaesel
4,5% efectivoanual (i).
Por ello,nosvolvemosaencontrar ante una rentaprepagable inmediataconstante.

- Cobro plan de pensiones (20 años)
Una vez que ha finalizadoel plande ahorro(30 años),llegael momentodel cobrode dicho
plan.Para ello,el ejercicionosmuestradichocobroendosrentas.Cabe mencionar,que en
este caso nosencontramosante rentaspospagables.
1ª Renta:Tiene unaduraciónde 8 años.Durante este períodose realizanretiradasde capital
mensuales(m=12) decrecientesenun0,05% cada mesde maneraacumulativa.Siendoel
primercapital el importe obtenidode retirarlacuarta parte del capital obtenidoenV30. El
interésutilizadoparaestarentaesel 6% nominal/anual (j(m))
Por ello,nosencontramosante unarentapospagable inmediatafraccionadavariableen
progresióngeométrica.
2ª Renta:tiene unaduraciónde 12 años.Al igual que la rentaanterior,durante este períodose
realizaránretiradasde capital mensuales(m=12) decrecientesenun0,05% cada mesde
maneraacumulativa.Siendoel primercapital C8Q^95
, en este caso Q está elevado a 95
porque se trata de una renta pospagable en la que Q decrece de manera mensual. Por
ello, los períodos pertenecientes a este capital son 95. Esta rentapresentauntipode
interésdel 3%nominal/anual (j(m)).
Comoen el caso anterior,nosencontramosante unarentapospagable diferidafraccionada
variable enprogresióngeométrica.

Dibujo de la renta explicativa para el apartado a)

Solución:
a) Cantidad que se tendrá ahorrada en el momento de la
jubilación
Comonos pide lacantidadahorrada enel momentode lajubilación,hayque capitalizartodas
lasrentas de la operacióndel plande ahorroal año 30, que es el momentoenel que se jubila.
Comolas dosprimerasrentas,sonrentas fraccionadas variablesenprogresióngeométricay
nos danel interésefectivoanual (i),hayque calcularprimeroel interés“m”períodos(i(m)) de
cada una de ellas.
i = 4% 1ª Renta:m=4 2ª Renta:m=2
i(m) = (1+i) 1/m
-1
1ª Renta m=4
i(m) = (1+i) 1/m
-1, i(4) = (1,04)1/4
– 1 = 0,00985
2ª Renta m=2
i(m) = (1+i) 1/m
-1, i(2) = (1,04)1/2
– 1 = 0,0198
Una vez calculadoslosinteresesde “m”períodos correspondientes,hayque capitalizarcada
una de las cuatro rentasal año 30. Para ello,utilizaremoslasiguiente expresión:
- Rentas Prepagables Constantes:
RentasAnuales:
V̈n = 𝐶
1−(1+i)−𝑛
𝑖
(1+i)n
(1 + 𝑖)̈

Rentas“m” períodos:
V̈nxm = 𝐶
1−(1+im)−𝑛𝑥𝑚
𝑖 𝑚
(1+im)nxm
(1 + 𝑖 𝑚)̈
- Rentas Prepagables Variables en progresión geométrica
Rentasanuales
V̈n = 𝐶
1−(1+i)−𝑛 qn
1+𝑖−𝑞
(1+i)n
(1 + 𝑖)̈
Rentas“m” períodos
V̈nxm = 𝐶
1−(1+im)−𝑛𝑥𝑚q 𝑛𝑥𝑚
1+𝑖 𝑚−𝑞
(1+im)nxm
(1 + 𝑖 𝑚)̈
1ª Renta:
Comoya se ha comentadoestamosante unarentaprepagable,anticipada, fraccionaday
variable enprogresióngeométrica,donde:
n= 10 años
m= 4
trimestres
Q = 1,001
C = 1500€
i= 4%
i(m) = 0,00985

V̈nxm = 𝐶
1+𝑖 𝑚−𝑞
(1+im)nxm
(1 + 𝑖 𝑚)̈
V̈40 = 1500
1−(1+0,00985)−10𝑥4(1,001)10𝑥4
1+0,00985−1,001
(1+0,00985)10x4 (1+0,00985)
(1,04)5 (1,04)5 (1,045)10
Comose puede observarenlaoperaciónanterior,paracapitalizarlaprimerarenta,también
debemosmultiplicarporlosinteresesde lasotras tresrentasrestantes hastallegaral año30.
𝑽̈ 40 = 172.841,97 €
2ª Renta:
Comoya se ha comentadoanteriormente,eneste casoestamosante unarentaprepagable,
anticipada,fraccionadayconstante.Enla que tal y comonos dice el enunciado, las
imposicionesde estarenta seránimposicionessemestralesconstantes,siendolaprimera
imposición el 50%de la últimaimposición trimestral de laprimerarenta,esdecir,C= al 50%
de 1500*Q36
1500 x q36
= 1500 x (1,001)36
= 1554,956
C = 50% 1554,956 = 777,478
Datos de la 2º Renta:
n= 5 años
m= 2 semestres
C = 777,478
i= 4%
i(m) = 0,0198
Intereses 2ª, 3ª y 4ª renta
renta

V̈nxm = 𝐶
1−(1+im)−𝑛𝑥𝑚
𝑖 𝑚
(1+im)nxm
(1 + 𝑖 𝑚)̈
V̈10 = 777,478
1−(1+0,0198)−5𝑥2
0,0198
(1+0,0198)5x2
(1+0,0198) (1,04)5
(1,045)10
Comose puede observarenlaoperaciónanterior,paracapitalizarlasegunda renta,también
debemosmultiplicarporlosinteresesde lasotras dosrentasrestantes hastallegaral año 30.
𝑽̈ 15 = 16.388,83 €
3ª Renta
En este caso,tal y como se ha comentadoanteriormente,nosencontramosante unarenta
prepagable anticipadaconstante.
Datos de la 3ª Renta:
n= 5 años
C= 6000€
i= 4%
V̈n = 𝐶
1−(1+i)−𝑛
𝑖
(1+i)n
(1 + 𝑖)̈
V̈5 = 6000
1−(1+0.04)−5
0,04
(1+0.04)5
(1 + 0,04)̈ (1,045)10
Comose puede observarenlaoperaciónanterior,paracapitalizarlatercera renta,también
debemosmultiplicarporlosinteresesde laotra rentarestante hastallegaral año 30.
𝐕̈ 𝟐𝟓 = 52.487,03 €
Intereses 3ª y 4ª renta
renta
Intereses 4ª renta
renta

4ª Renta:
Al igual que enla anteriorrenta,nosencontramosante unarenta prepagable inmediata
constante.
Datos de la 4ª Renta:
n= 10 años
C= 6000€
i= 4,5%
V̈n = 𝐶
1−(1+i)−𝑛
𝑖
(1+i)n
(1 + 𝑖)̈
V̈10 = 6000
1−(1+0.045)−10
0,045
(1+0.045)10
(1 + 0,045)̈
𝐕̈ 𝟏𝟎= 77.047,07 €
Una vez explicadas individualmente, las 4 rentas que forman parte del plan de
jubilación, vamos a proceder a representar cómo quedaría finalmente V30.
𝑉̈30= 1500
1−(1+0,00985)−10𝑥4(1,001)10𝑥4
1+0,00985−1,001
(1+0,00985)10x4
(1+0,00985)
(1,04)5
(1,04)5
(1,045)10
+ 777,478
1−(1+0,0198)−5𝑥2
0,0198
(1+0,0198)5x2
(1+0,0198)(1,04)5
(1,045)10
+ 6000
1−(1+0.04)−5
0,04
(1+0.04)5
(1 + 0,04)̈ (1,045)10
+6000
1−(1+0.045)−10
0,045
(1+0.045)10
(1 + 0,045)̈
𝑽̈ 30= 318.764,91 €

Dibujo de la renta explicativa para el apartado b)

Solución:
b) Cantidad que recibirá el 1º y el último mes desde que
empieza a cobrar la jubilación.
Para podercalcularla cantidadque recibiráenel 1º y últimomesdesde que empiezaacobrar
la jubilación,necesitamosactualizarlasdosrentasydespejarC. Comose ha comentado
anteriormente,dichasrentassonpospagables.
Por otro lado,partimosde labase que V0 eneste caso,será V30 menoslacuarta parte,ya que,
segúnel enunciado,esacuartaparte se ladan enel momentode su jubilación. Porloque V0
tiene unvalorde 239.073,68 €
Comoambas rentas,sonrentasfraccionadasvariablesenprogresióngeométricaynosdan el
interésnominal/anual(j(m)),hayque calcularprimeroel interés“m”períodos(i(m)) de cadauna
de ellas.
j(m) = 6% 1ª Renta:m=12
j(m) = 3% 2ª Renta:m=2
i(m) = j(m)/m
1ª Renta m=12
i(m) = j(m)/m,i(12) = j(12)/12, i(12) = 0,06/12 =0,005
2ª Renta m=12
i(m) = j(m)/m, i(12) = j(12)/12, i(12) = 0,03/12 = 0,0025
Una vez calculadoslosinteresesde “m”períodoscorrespondientes,hayque actualizarcada
una de las dosrentasal año 0 para podercalcularla cantidadque recibiráel primermes.Para
ello,utilizaremoslasiguiente expresión

- Rentas Prepagables Variables en progresión geométrica
Rentas“m” períodos
V0 = 𝐶
1+𝑖 𝑚−𝑞
1º Renta:
Es una rentapospagable,inmediata,fraccionadayvariable en progresión geométricadonde
nos dice que decrece mensualmente un0.05%.
Datos 1ª Renta:
n= 8 años
m= 12 meses
Q= 0,9995
C = cte
j(m) =6%
i(m) = 0,005
V0 =239.073,68 €
V0 = 𝐶
1+𝑖 𝑚−𝑞
239.073.68 = 𝐶
1−(1+0,005)−8𝑥12(0,9995)8𝑥12
1+0,005−0,995
2ª Renta
Es una rentapospagable,diferida, fraccionadayvariable en progresión geométricadonde nos
dice que lascantidades decrecenmensualmenteun0.05%.

Al ser unarenta pospagable,ydecrecer“q”de maneramensual,el capital porel cual
empezarálasegundarenta,se multiplicarápor“q” elevadoa95, ya que se trataría de 7 años
por m=12 períodosy al serpospagable,enel año8 sólocontaríamos 11 períodos/meses
(7x12+11 = 95 períodos/meses).
Datos 2ª Renta:
n= 12 años
m= 12meses
Q= 0,9995
C = cte
j(m) =3%
i(m) =0,0025
V0 = 239.073,68 €
V0 = 𝐶𝑞95 1−(1+im)−𝑛𝑥𝑚q 𝑛𝑥𝑚
1+𝑖 𝑚−𝑞
(1+𝑖 𝑚)-nxm
239.073.68 = 𝐶(0.9995)95 1−(1+0.0025)−12𝑥12(0.9995)12𝑥12
1+(0,0025)−(0.9995)
(1+0,005)-8x1
Una vez explicadas individualmente, las 2 rentas pertenecientes al cobro de la
jubilación, vamos a proceder a representar cómo quedaría finalmente V0 y así, poder
sacar el capital C.
239.073.68 = 𝐶
1−(1+0,005)
−8𝑥12
(0,9995)
8𝑥12
1+0,005−0,995
+
𝐶(0.9995)95 1−(1+0.0025)−12𝑥12(0.9995)12𝑥12
1+(0,0025)−(0.9995)
(1+0,005)-8x12
C= 1.628,11 €
Para calcularla cantidadque se recibiráenel últimoperíodo,tendremosque multiplicarCpor
“q” elevadoa239 ya que esel períodoal que pertenece estarentapospagable(19añosx 12
meses+ 11 mesesdel últimoaño).
Por loque,la cantidadque se recibiráenel últimomesserá:
C20= C x q239
= 1.628,11 (0.9995)239
= 1.444,68 €
Hay que actualizar la renta al año 0, por ello se
multiplica por (1+𝑖 𝑚)-nxm

Dibujo de la renta explicativa para el apartado c)

Solución
c) Si el sujeto muere a los 15 años de comenzar la operación,
¿qué capital le corresponderá a sus herederos?
En el primerapartado,hemos realizadounaoperaciónde ahorroa 30 años.En este apartado,
nos preguntancuál seráel valorde esaoperaciónde ahorroen el año15. Por ellosi cogemos
parte de lainformacióndel apartadoa),enparticularla sumade la renta 1 y 2 del apartadoa)
quitándole lacapitalizaciónde interesesde lasrestas3 y 4, obtendremoslacantidadque le
corresponderánasusherederosenel año15. Dichoprocesoquedaríaasí:
Renta 1
apartado a) sólo con los interesesde capitalización de la renta 2:
Rentaprepagable, anticipada, fraccionadayvariable enprogresióngeométrica.
V̈40 = 1500
1−(1+0,00985)−10𝑥4(1,001)10𝑥4
1+0,00985−1,001
(1+0,00985)10x4 (1+0,00985) (1,04)5
𝐕̈ 𝟒𝟎 =91.478,62€
Renta 2
apartado a) sin interesesde capitalización,ya que esta operación acaba al finalde dicha renta.
Rentaprepagable, fraccionada, inmediatay constante.
V̈10 = 777,478
1−(1+0,0198)−5𝑥2
0,0198
(1+0,0198)5x2
(1+0,0198)
𝐕̈ 𝟏𝟎 =8.673,98 €

Por loque
V15= 1500
1−(1+0,00985)−10𝑥4(1,001)10𝑥4
1+0,00985−1,001
(1+0,00985)10x4 (1+0,00985) (1,04)5 +
777,478
1−(1+0,0198)−5𝑥2
0,0198
(1+0,0198)5x2
(1+0,0198)
𝑽𝟏𝟓̈ = 100.152,60€

Dibujo de la renta explicativa para el apartado d)

Solución
d) Si el sujeto muere a los 80 años ¿cuánto le queda a sus
herederos?
En este caso,el sujetomuere alos 10 añosde comenzara recibirlospagosde la jubilación.
Tenemosque calcularlacantidadque lesquedaa susherederoscorrespondiente alosotros
10 años que aún nohan sidocobrados.
Estamosante unarenta pospagable,fraccionada,inmediatay variable enprogresión
geométrica.
n= 10 años
m= 12meses
Q= 0,9995
C = cte
j(m) =3%
i(m) =0,0025
V10x12= 𝐶𝑞119 1−(1+0,025)−10𝑥12(0,9995)10𝑥12
1+0,025−0,995
Se puede observarque el capital esmultiplicadopor“q”elevadoa119, ya que ocurre lo
mismocomolo comentadoenlarenta 2 del apartado b) estamosante una rentapospagable y
se trata de 9 añospor m=12 períodos y al serpospagable,enel año10 sólocontaríamos11
períodos/meses(9x12+11 = 119 períodos/meses).
V120= 1.628,11 (0.995)119 1−(1+0,025)−10𝑥12(0,9995)10𝑥12
1+0,025−0,995
V120= 154.464,21 €

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