Introducao a Logica

Lógica para Computação (IF61B)

Introdução à Lógica

Slides da disciplina “Lógica para Computação”, ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves
Kaestner, Dr. Eng.
(kaestner@dainf.ct.utfpr.edu.br) entre 2007 e 2008.
Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto
(adolfo@utfpr.edu.br)
Versão original disponível em
http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~kaestner/Logica/LogicaProposicional.ppt


Introdução
• Três citações*

1. É razoável esperar que a relação entre a
computação e a lógica matemática produza tantos
frutos ... quanto a que se instalou entre a Análise
Matemática e a Física no curso do século XIX (John
McCarthy, 1963).

(*) extraídas de “Logique: Méthodes pour l´informatique fondamentale”, de
Paul Gochet e Pascal Gribomont, Hermes, Paris, 1990.

12/06/09 Prof. Celso A A Kaestner 2


Introdução
• Três citações
1. Ao longo da maior parte do século XX, a Lógica
Matemática foi principalmente utilizada para a
introspecção. Como ferramenta para a criação de
provas na prática cotidiana, ainda não teve sua
chance. Para que possa realizar todas as
potencialidades parece ser necessário conceber o
objetivo da Lógica como sendo não de mimetizar o
pensamento humano, mas como o de fornecer um
substituto a este último na forma de um cálculo
(Edsger Dijkstra).



Introdução
• Três citações
1. As conexões entre a Lógica e a Informática
crescem e se aprofundam rapidamente. Ao lado da
demonstração automática, da programação em
lógica, da especificação e verificação de
programas, outros setores revelam uma fascinante
interação mútua com a Lógica, como a teoria de
tipos, a teoria do paralelismo, a inteligência artificial,
a teoria da complexidade, as bases de dados, a
semântica operacional e as técnicas de compilação
(José Meseguer).



Introdução

• História da Lógica:
http://pt.wikipedia.org/wiki/História_da_lógica
• Lógica:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica

Obs.: Artigos da Wikipédia (pt) em geral são pouco confiáveis,
mas contém rerefências para material de melhor qualidade.



Introdução
• O que é Lógica ?
1. O estudo da Lógica é o estudo dos métodos e
princípios usados para distinguir o raciocínio correto
do incorreto (“Introdução à Lógica”, Irving M. Copi,
Ed. Mestre Jou, São Paulo, 1968);
2. A Lógica formal é uma ciência que determina as
formas corretas (ou válidas) de raciocínio (“Noções
de Lógica Formal”, Joseph Dopp, Ed. Herder, São
Paulo, 1970);



Introdução

1. Lógica é o estudo de argumentos. Um argumento é
uma seqüência de enunciados na qual um dos
enunciados é a conclusão e os demais são
premissas, as quais servem para provar, ou pelo
menos fornecer alguma evidência para a conclusão
(“Lógica”, John Nolt e Dennis Rohatyn, Makron
Books, São Paulo, 1991).



Introdução
1. Lógica, hoje, designa uma vasta área do
conhecimento, com implicações em praticamente
todas os demais domínios da investigação. Da
antiga disciplina que estudava quot;o raciocínio corretoquot;,
ou as quot;formas válidas de inferência (ou de
raciocínio)quot;, a lógica transformou-se em uma
disciplina que alcançou resultados que, em termos
de complexidade e profundidade,nada ficam
devendo aos maiores resultados da matemática.
Aliás, a lógica é, presentemente, uma disciplina de
características matemáticas... (“Lógica: uma visão
geral da lógica atual”, Newton C.A. da Costa e
Décio Krause, em preparação).



Introdução
• No artigo intitulado “Truth of a proposition, evidence of
a judgment, validity of a proof” o lógico-matemático P.
Martin-Löf constata que não se pode expor a Lógica
(ou uma lógica) sem utilizar 5 noções primitivas:
1. A noção de proposição;
2. A noção de verdade de uma proposição;
3. A noção de asserção ou julgamento;
4. A noção de evidência ou de prova de um julgamento;
5. A noção de correção ou validade de uma prova.



Introdução
• Outros conceitos:

1. Termos gerais (ou universais) X termos singulares (ou
individuais);

1. Designação por intenção X por extensão;
– Intenção: qualidades ou propriedades que constituem o
conceito;
– Extensão: consiste dos elementos (exemplos) que constituem
o conceito.



Introdução
• Conceito de proposição (desde Platão):
• Combinação de um substantivo e de um verbo,
constituindo um sentença declarativa à qual se pode
atribuir um valor verdade (no caso clássico, verdadeiro
ou falso):
“O homem aprende”;
“O céu é azul”;
“Hoje é terça-feira”.
• Observe que estão excluídas, entre outras, sentenças
interrogativas, auto-referentes, etc.



Introdução
• A tradição aristotélica: lógica é o estudo da concepção,
do julgamento, e do raciocínio;
– Os conceitos são expressos por termos gerais;
– Os julgamentos são expressos por proposições;
– Os raciocínios são seqüências de proposições.
• Em Aristóteles as proposições são constituídas por dois
termos gerais ligados pelo verbo ser na forma “é” ou
“não é” (ligação chamada de cópula lógica).
• As proposições são relacionadas logicamente de acordo
com o “quadrado lógico” ou “ tábua de oposições”.



Introdução
Tábua de oposições
contrárias
A E
subalternas

subalternas
s con
it ória trad
trad itór
ias
con

I O
subcontrárias



Introdução
• Tipos de proposições e exemplos:
– A: afirmação universal (todo homem é mortal);
– E: negação universal (nenhum homem é mortal);
– I: afirmação particular (algum homem é mortal);
– O: negação particular (algum homem não é mortal).
• Relacionamento entre proposições :
– A e E são ditos contrários; se a proposição A é verdadeira então
E é falsa;
– A e O e também E e I são contraditórios: não podem ser nem
verdadeiros nem falsos conjuntamente;
– I e O são sub-contrários: não podem ser ambos falsos;
– I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é verdadeira, I
também o é, e se E é verdadeira então O também o é.



Introdução
• Relacionamento entre proposições:

– A existência de quatro tipos de proposições não é coincidência:
representam as quatro relações possíveis entre as extensões
dos termos gerais;
– O matemático Euler representou as quatro relações lógicas na
forma de diagramas de conjuntos (diagramas de Venn-Euler).

• Se S é o termo sujeito e se P é um predicado então as
proposições correspondem aos diagramas a seguir.



Introdução
• Proposição A: inclusão total P
(todo S é P) S

• Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P) P S

• Proposição I: inclusão parcial de S em P
SP
(algum S é P)

• Proposição O: exclusão parcial de S em P S P
(algum S não é P)


Introdução
• Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de seqüências de
proposições geradas por inferências imediatas obtidas da tábua de
oposições.
• Um silogismo é um discurso no qual, estando dadas certas
proposições premissas, uma nova proposição conclusão é obtida
necessariamente e unicamente a partir das premissas.
• Usualmente os silogismos são apresentados da seguinte forma:
» Premissa maior
» Premissa menor
» Conclusão
• O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o termo maior (P) é o
predicado da conclusão, e o termo comum às premissas é o termo
médio (M).



Introdução
• Exemplos:
– Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior)
– Todos os homens são mamíferos (premissa menor)
portanto
– Todos os homens são vertebrados (conclusão).

• Neste caso o termo menor S é “todos os homens”, o termo maior P
é “vertebrados”, e o termo médio M é “mamíferos”.

• Este silogismo tem portanto a forma: MP
SM
• Todas as proposições são do tipo A.
SP



Introdução
• Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O) então há
43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou seja 256 silogismos
no total;
• As figuras do silogismo são:

1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura

Premissa maior
MP PM MP PM
Premissa menor
SM SM MS MS
Conclusão
SP SP SP SP



Introdução
• Nem todos os silogismos são válidos; o estudo da Lógica por
Aristóteles, e posteriormente na idade média, buscou separar os
silogismos válidos, ou seja, aqueles em que a conclusão segue
necessariamente das premissas;
• Pode-se deduzir a validade ou não de um silogismo a partir dos
diagramas de Venn-Euler correspondentes;
• Exemplo:
– Nenhum peixe (M) é mamífero (P) <tipo E>;
– Todos os robalos (S) são peixes (M) <tipo A>; M
portanto S P
– Nenhum robalo (S) é mamífero (P) <tipo E>.
MP<E>
• Ou, esquematicamente: SM<A>
SP<E>


Introdução
• Exemplo:
– Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>;
– Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>;
portanto
– Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>.

• Esquematicamente: MP<A>
SM<I> M S
P
SP<I>



Introdução
• Em alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam o
inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo, várias
representações geométricas;
• Exemplo:
M S P
MP<E>
SM<I>
SP<O>
M S P

M S P



Introdução
• Verdade e validade (ou correção):
– Um silogismo é válido (correto) se e somente se (sse) a verdade da
conclusão segue necessariamente da verdade das premissas;
– Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das premissas à
conclusão;
– Esta definição exclui a possibilidade de que um silogismo válido possa
ter premissas verdadeiras e conclusão falsa;
– Isto não exclui a possibilidade de que a conclusão de um silogismo
válido seja falsa; neste caso alguma das premissas é falsa.
• Exemplo:
– Todos os animais marinhos são peixes;
– Todas as baleias são animais marinhos;
portanto
– Todas as baleias são peixes.



Introdução
Exercícios introdutórios:

1. Consulte os links indicados e navegue sobre assuntos

relacionados à história da Lógica e à sua definição;

2. Pesquise a definição de paradoxo e exemplifique este

conceito;

3. Encontre uma “charada” e apresente sua solução.



Introdução
• Exercícios sobre lógica aristotélica:
1. Indique a forma do silogismo (termos, figura,
diagrama), e indique se mesmo é válido ou não:
a) Todos os gregos são homens;
Todos os atenienses são gregos;
Todos os atenienses são homens.
b) Todos os socialistas são marxistas;
Alguns governantes são marxistas;
Alguns governantes são socialistas.
c) Todas as ações penais são atos cruéis;
Todos os processos por homicídio são ações penais;
Todos os processos por homicídio são atos cruéis.



Introdução
d) Alguns papagaios não são animais nocivos;
Todos os papagaios são animais de estimação;
Nenhum animal de estimação é nocivo.
e) Nenhum ator dramático é um homem feliz;
Alguns comediantes não são homens felizes;
Alguns comediantes não são atores dramáticos.
f) Todos os coelhos são corredores muito velozes;
Alguns cavalos são corredores muito velozes;
Alguns cavalos são coelhos.



Introdução
2. Escreva na forma típica, indique termos, figura,
diagrama, e verifique a validade:
a) Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio
mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio mercante,
visto que todos os submarinos de propulsão nuclear são
vasos de guerra;
b) Alguns conservadores não são defensores de tarifas
elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas são
republicanos, e alguns republicanos não são conservadores;
c) Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro é
bom professor; portanto, como algumas pessoas bem
informadas são indivíduos obstinados que nunca admitem um
erro, alguns bons professores não são pessoas bem
informadas.


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