integrales multiples

1. INTEGRALES MULTIPLES
Facilitador: Elaborado
por:
Mayira bravo Yamileth Rivas
Charallave, Agosto de 2019
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Bicentenario de Aragua
Corporativos Valles del Tuy
CREATEC- Charallave
Cátedra: Matemática III
Carrera: Ingeniería de Sistema
Trimestre: II

2. INTRODUCCION
 Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son
necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas
consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra
al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.
 Se generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables, obteniendo las
llamadas integrales de área o de volumen, respectivamente. Esto nos permitirá calcular el volumen de
cuerpos limitados por superficies, no necesariamente de revolución. También permitirá calcular áreas
mediante integrales dobles.
 Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble
existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe,
entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo
general uno la calcula calculando una sola de estas.

3. DEFINICION Y TEOREMA
Decir que el limite existe significa que:
donde L pertenece al conjunto de los reales.

4. DEFINICION Y TEOREMA

5. PROPIEDADES
Si f y g son funciones integrables sobre la región acotada D ⊂ 𝑅2
1.
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷
𝑑𝐴 = Area de la región plana D,
Linealidad
2.
𝐷
𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ; k es constante
3.
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ±
𝐷
𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Monotonía:
4. Si f(x,y) ≤ g(x , y ) sobre D entonces
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤
𝐷
𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
Aditividad
5. Si D = 𝐷1 ∪ 𝐷2 , 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅ , 𝐷1 𝑦 𝐷2 son
acotados, entonces
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =
𝐷1
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 +
𝐷2
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
6. Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 > 0
7. Teorema del valor medio .- Si f : 𝐷 ⊂ 𝑅2
→ 𝑅 es continua
entonces en el punto 𝑥 𝑜, 𝑦𝑜 ∈ 𝐷 , tenemos:
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑜, 𝑦𝑜 𝐴(𝐷)
donde A(D) es el área de la región D

6. APLICACIONES
 Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las
físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el
cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo
de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia
para una región bidimensional.

7. APLICACIONES Figuras Planas

8. APLICACIONES Centro de Masa

9. APLICACIONES Volumen de solido

10. INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN
Sea f una función real definida sobre un
rectángulo D ], la cual es continua y positiva
en D Entonces la gráfica de f es una
superficie definida por la ecuación:
z = f (x, y)
Sea S el sólido que está definido sobre la
región D y bajo la superficie definida por la
gráfica de f . En la figura 1.5 se aprecia el
sólido S .

11. Cálculo de integrales dobles
La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales
iteradas.
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R.
Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra
variable.
   
b
a
d
c
d
c
b
a
R
y )dy dxf (x,y )dxdyf (x,y )dAf (x,

12. Límites de integración
Secciones transversales verticales: La región R está limitada por
las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por
R: a  x  b , g1(x)  y  g2(x)
y = g1(x)
y = g2(x)
a b
R
  
b
a
(x)g
(x)g
R
2
1
y )dy dxf (x,y )dAf (x,
TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el
rectángulo R= [a , b]x[c, d]
Entonces

13. Límites de integración
Secciones transversales horizontales: La región R está limitada
por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita
por
R: c  y  d , h1(y)  x  h2(y)
x = h1(x)
x = h2(x)
c
d
R   
d
c
(y)h
(y)h
R
2
1
y )dxdyf (x,y )dAf (x,

14. LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES
T:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
⟹ 𝐽(𝑟, 𝜃 =
𝑥 𝑟 𝑥 𝜃
𝑦𝑟 𝑦 𝜃
=
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑟
De allí que
𝑆 𝑥𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷 𝑟𝜃
𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜃
Esta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece 𝑥2
+ 𝑦2
en el
integrando o en los límites de integración.

15. Cambio de variable
A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más
cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de
corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de
una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta
transformación la que exige estos ajustes.
Si se utiliza una transformación que siga la relación:
Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

16. Cambio de variable
Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las
variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie
de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que
esta existe.

17. INTEGRAL TRIPLE
La definición de integral triple es análoga a la de integral
doble. En el caso más simple consideremos una caja
rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0,
y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de
tres variables definida en todo (x,y,z) de R.
Subdividimos el espacio en cajas rectángulares mediante
planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1,
B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen
puntos de R

18. Volumen de Integral Triple

19. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las
integrales
Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:
1) 𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ± 𝑐 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = 𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ± 𝑐 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2) 𝑄
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑄1
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 + 𝑄2
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
donde Q = 𝑄1 ∪ 𝑄2.
𝑄1 y 𝑄2 se llaman «solapamientos»

20. Ejemplo DE LA INTEGRAL TRIPLE
Proyectando sobre el plano XY, hacemos z
= 0 , entonces
y = 𝑥2 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑦 = 4 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = −2 ∨
𝑥 = 2
-2≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥2
≤ 𝑦 ≤ 4
− 𝑦 − 𝑥2 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦 − 𝑥2
x

21. TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES
Si suponemos que la región de integración es de la primera forma
Q: a≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝜑1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜑2 𝑥 , 𝛾1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝛾2 𝑥, 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶
𝑄
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑎
𝑏
,𝜑1 𝑥
,𝜑2 𝑥
𝛾1 𝑥,𝑦
𝛾2 𝑥,𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
𝐷 𝛾1 𝑥,𝑦
𝛾2 𝑥,𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

22. Cambio de Variable INTEGRALES TRIPLES

23. Cambio de Variable INTEGRALES TRIPLES

24. Gracias por su Atención