2. Означення пропорції. Основна
властивість пропорції
Учення про відношення та пропорції стародавні греки називали
музикою, яку вважали галуззю математики.
В музичному інструменті багато (або декілька) струн. Щоб усі вони під
час гри звучали узгоджено, їх довжини повинні в певному відношенні.
Пропорційність має широке застосування в архітектурі, живописі,
скульптурі. Вона означає дотримання певних співвідношень між окремими
частинами споруди, картини, скульптури, що справляє найприємніше
враження. Архітектуру часто називають “завмерлою музикою”.

3. 72˚
72˚
36˚
36˚
72˚
36˚
Рівнобедрений трикутник.
Означення. Властивості кутів
72˚
А В
С
0
000
72
2
144
2
36180
==
−
А В
С
36˚
D
AD – бісектриса кута

4. 72˚
72˚
36˚
Подібність трикутників. Перша
ознака подібності трикутників
А В
С
36˚
36˚
D
∆ABC~∆BDA за двома кутами
Їх сторони пропорційні
;
AB
BD
AC
AB
=
BDACAB ⋅=2
середнє пропорційне, або
середнє геометричне

5. Правильний десятикутник
О
В
А 00
3610:360 ==∆AOB
∆AOB -
рівнобедрений

6. Задача №1
0
108
0
36
0
36
D
B
E C
A
β
α
Довести: AE ll BD
ABCDE – правильний п’ятикутник
180(n-2) – сума внутрішніх кутів
00
0
108180
5
3
5
3180
=⋅=
⋅
=α
00
0
108336
5
3180
=⋅=
⋅
==∠ αC
0
000
36
2
72
2
108180
==
−
=∠=∠ CBDCDB
000
7236108 =−=∠β
000
18072108 =+=+ βα
AE ll BD

7. D
B
E C
A
О
Задача №2
OC
DC
DC
EC
=
γ
Знайти відношення, в
якому діагоналі
правильного
п’ятикутника
поділяються точкою
перетину.
BD ll AE, та CE ll AB, тому ABOE – паралелограм
за означенням
Оскільки AB = AE за умовою, то ABOE – ромб.
∆ECD~∆DCO
CE = EO + OC;
DC = EO, то OC
EO
EO
OCEO
=
+
x
OC
EO
нехай
OC
EO
EO
OC
==+ ,1
0;
1
1 ≠=+ xx
x
012
=−− xx ( ) 51141 =−⋅−=D
;0
2
51
1 <
−
=x 0
2
51
2 >
+
=x
не задовольняє
умову
6,1≈x
6,1≈
OC
EO
51
2
+
=
EO
OC
2
15
15
)15(2 −
=
−
−
6,0≈
EO
OC

8. Золотий перерізЗолотий переріз
M BA
x a - x
AB = a > 0
BM
AM
AM
AB
=
xa
x
x
a
−
= ( ) 2
xxaa =−
022
=−+ aaxx ( ) 222
514 aaaD =−⋅⋅−=
2
5
2,1
aa
x
±−
=
0
2
5
1 <
−−
=
aa
x ;
2
5
2
aa
x
+−
= ax
2
15
2
−
=
ax 06182 ≈ Під золотим перерізом розуміють поділ відрізка
точкою так, щоб більша частина відрізка, була
середньою пропорційною величиною між
меншою частиною і всім відрізком.
Термін золотий переріз увів Леонардо до ВінчіТермін золотий переріз увів Леонардо до Вінчі
наприкінцінаприкінці XVXV ст..ст..

9. Пентагон
DB
E
C
A
D1
B1
E1 C1
A1
Піфагор вважав правильний
п’ятикутник незвичайною фігурою і
дарував його зображення тільки
друзям, як символ дружби.
Діагоналі п’ятикутника утворюють
правильну зірка, яку піфагорійці
сприймали як символ здоров’я.
Для побудови такої правильної
зірки піфагорійці користувалися
тим, що кожна з п’яти діагоналей
ділить іншу в певному відношенні
(відношення золотого перерізу),
тобто
BD
DA
DA
BA 1
1
1
= 




 ∆∆
111
1111
||
~
CABD
CBABDD
Усередині п’ятикутника
знаходиться зірка, усередині
зірки – п’ятикутника, у ньому –
знову зірка і т. д..
П’ятикутна зірка - пентограма –
завжди привертала увага людей
досконально формою. П’ятикутна
зірка зустрічається на прапорах і
гербах Китаю, США, Сінгапуру,
В’єтнаму, Пакистану, Туреччини,
Євросоюзу і т. д..

10. N
BМ
С
A
Побудування золотого перерізу
x
a
2
a2
a
Відрізок x можна побудувати,
використавши теорему Піфагора.
1) коло (С; а/2)
2) коло (А; x)
3) т. М перетин кола №2 і АВ.
ЗавданняЗавдання:: побудувати довільний
відрізок і знайти його золотий
переріз, використовуючи циркуль і
лінійку.
;5
24
5
4
22
2 aaa
aAC ==+=
.
2
15
22
5
a
aa
AMAN
−
=−==

11. Висновок
Золотий переріз – це поділ відрізка на дві нерівні частини так, що довжина
всього відрізка відноситься до довжини більшої його частини, як довжина
більшої частини до довжини меншої. Золотий переріз називають
гармонійнимгармонійним.
a
0,618a
( )тауτ ( )фіϕабо
В
А
х
AB – зріст людини
т. Х – на талії, тоді
AB
Bx
Bx
Ax
=
(людина)
Квітник смуги
квіти
трава
5 : 8 або 8 : 13