2. Основні поняттяОсновні поняття
множина
Підмножина
Порожня множина
ФормуванняФормування
поняттяпоняття
Рівні множини
Упорядкована
множина
Комбінаторний аналіз
Розміщення з n
елементів по k
Перестановка з
n елементів
Способи завдання
множин
Біном Ньютона
Доповнення множини
Комбінація з n
елементів по k
4. Комбінаторний аналіз
Комбінаторика – розділ математики,
присвячений розв’язанню задач
вибору і розміщення елементів деякої,
зазвичай скінченної множини у
відповідності з деякими правилами.
5. Основні правила комбінаторики
Якщо деякий об’єкт А
можна вибрати m
способами, а другий об’єкт
В можна вибрати n
способами, то вибір “або
А, або В” можна здійснити
m + n способами
Правило суми
Якщо елемент А можна
вибрати m способами, а
елемент В – n способами,
то А і В (вибір пари АВ в
указаному порядку)
можна вибрати m · n
способами
Правило добутку
6. Правило суми мовою теорії множин
Якщо переріз скінчених множин А і В
порожня множина (А ∩ В = ∅), то
число елементів їх об’єднання
дорівнює сумі чисел елементів
множин А і В.
n (А∪В) = n (А) + n (В)
7. Правило суми мовою теорії множин
Кількість елементів об’єднання
будь-якої пари скінчених множин А і
В обчислюється за формулою
n (А∪В) = n (А) + n (В) – n (А∩В)
8. Правило суми мовою теорії множин
Для будь-якої трійки скінчених
множин А, В і С має місце формула
n(А∪В∪С) = n(А) + n(В) + n(С) –
n(А∩В) – n(А∩С) –
n(В∩С) +
n(А∩В∩С)
9. Приклад -1
Кожний учень спортивного класу займається
хоча б одним видом спорту триатлону: 10 учнів
займаються велосипедним спортом, 8 – легкою
атлетикою, 6 – плаванням, 4 учня займаються
велоспортом і плаванням, 3 – легкою
атлетикою і плаванням, 2 – велоспортом і
легкою атлетикою, 1 учень відвідує всі секції
т.б. займається триатлоном.
n(А) = 8
n(В) = 10
n(Р) = 6
n(А∩Р) = 3
n(Р∩В) = 4
n(А∩В) = 2
n (А∩В∩Р) = 1
10. Приклад - 1
1. Скільки учнів у класі?
n (А∪В∪Р) = n(А) + n(В) + n(Р) – n(А∩В) –
– n(А∩Р) – n(В∩Р) + n(А∩В∩Р) =
=8 + 10 + 6 – 2 – 3 – 4 + 1 = 16
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
11. Приклад - 1
2. Скільки з них займається лише велоспортом?
nв = n(В) – n(А∩В) – n(В ∩ Р) + n(А∩В∩Р)
=10 – 2 – 4 + 1 = 5
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
12. Приклад - 1
3. Скільки з них займається лише одним видом
спортом?
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
13. Приклад - 1
4. Скільки з них займається лише велоспортом і
плаванням?
Скільки з них займається велоспортом і плаванням,
але не займається легкою атлетикою?
nВР =n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
14. Приклад - 1
5. Скільки з них займається лише двома видами
спорту?
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
1
2
3
15. Приклад - 1
6. Скільки з них займається хоча б двома видами
спорту?
6. Скільки з них займається більше ніж одним
видом спорту?
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
1
2
3
16. Приклад - 1
7. Скільки з них займається хоча б одним видом
спорту?
1) n(А∪В∪Р) =
2) nА + nв + nР + n(А∩В) + n(А∩Р) + n(Р∩В) - 2n(А∩В∩Р)
=
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
1
2
3
17. Приклад - 1
8. Скільки з них не займаються велоспортом?
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
1
2
3
18. Приклад - 1
9. Скільки з них не займаються лише двома
видами спорту?
n(А)=8
n(В)=10
n(Р)=6
3
2
4
1
1
2
3
