Modern Control Matlab_Dr. Khaki Seddigh

1
‫ﺗﻌﺎﻟﯽ‬ ‫ﺑﺎﺳﻤﻪ‬
‫اﻓﺰار‬ ‫ﻧﺮم‬ ‫ﮐﺎرﺑﺮد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﮕﺎﻫﯽ‬Matlab
‫در‬
‫ﻣﺪرن‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬
)‫ﮐﺘﺎب‬ ‫ﺿﻤﯿﻤﮥ‬”‫ﻣﺪرن‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫اﺻﻮل‬“‫ﺻﺪﯾﻖ‬ ‫ﺧﺎﮐﯽ‬ ‫ﻋﻠﯽ‬ ‫دﮐﺘﺮ‬ ‫ﺗﺄﻟﯿﻒ‬(
‫ﮐﻨﻨﺪه‬ ‫ﺗﻬﯿﻪ‬:‫اﻣﺎﻧﯽ‬ ‫ﻣﺮادی‬ ‫ﻋﻠﯽ‬

3
‫ﻓﻬﺮﺳﺖ‬
1-‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬
2-‫ﺑﺮرﺳﯽ‬‫اﻓﺰار‬ ‫ﻧﺮم‬ ‫دﺳﺘﻮرﻫﺎی‬Matlab‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬‫ﻣﺪرن‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺑﺤﺚ‬ ‫ﺑﺎ‬
2-1-‫دﺳﺘﻮر‬acker
2-2-‫دﺳﺘﻮر‬canon
2-3-‫دﺳﺘﻮر‬care
2-4-‫دﺳﺘﻮر‬cdf2rdf
2-5-‫دﺳﺘﻮر‬ctrb
2-6-‫دﺳﺘﻮر‬Ctrbf
2-7-‫دﺳﺘﻮر‬diag
2-8-‫دﺳﺘﻮر‬eig
2-9-‫دﺳﺘﻮر‬estim
2-10-‫دﺳﺘﻮر‬exam
2-11-‫دﺳﺘﻮر‬Gram
2-12-‫دﺳﺘﻮر‬initial
2-13-‫دﺳﺘﻮر‬kalman
2-14-‫دﺳﺘﻮر‬Lyap
2-15-‫دﺳﺘﻮر‬null
2-16-‫دﺳﺘﻮر‬obsv
2-17-‫دﺳﺘﻮر‬obsvf
2-18-‫دﺳﺘﻮر‬place
2-19-‫دﺳﺘﻮر‬ss
2-20-‫دﺳﺘﻮر‬ssdata
2-21-‫دﺳﺘﻮر‬ss2ss
2-22-‫دﺳﺘﻮر‬ss2tf
2-23-‫دﺳﺘﻮر‬tf2ss
3-‫ﮐ‬ ‫ﻣﺘﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬‫ﺘﺎب‬
3-1-‫رﺳﻢ‬‫ﭘﺎﺳﺨﻬﺎی‬‫ﻏﯿﺮﺧﻄﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬)‫ﻣﺜﺎل‬5-3(
3-2-‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬acker)‫ﻣﺜﺎل‬6-8(
3-3-‫اﻧﺘﮕﺮال‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬)‫ﻣﺜﺎل‬6-9(
3-4-‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫دﯾﻨﺎﻣﯿﮑﯽ‬ ‫رﻓﺘﺎر‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﺗﻐﯿﯿﺮ‬ ‫اﺛﺮ‬)‫ﻣﺜﺎل‬6-10(
3-5-‫رؤﯾﺘﮕﺮﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬)‫ﻣﺜﺎل‬7-1(
3-6-‫رؤﯾﺘﮕﺮ‬‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‬)‫ﻣﺜﺎل‬7-2(
3-7-‫رؤﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬)‫ﻣﺜﺎل‬7-3(

4
3-8-‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫رؤﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬)‫ﻣﺜﺎل‬7-4(
3-9-‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﻬﯿﻨﻪ‬ ‫ﮐﻨﻨﺪۀ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬)‫ﻣﺜﺎل‬8-1(
3-10-‫ﺗﻐﯿﯿﺮات‬ ‫ﺣﺴﺎب‬ ‫و‬ ‫ﺑﻬﯿﻨﻪ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬)‫ﻣﺜﺎل‬8-2(
3-11-‫ﮐﻨﺘﺮل‬‫ﭘﺎﯾﺪاری‬ ‫درﺟﮥ‬ ‫و‬ ‫ﺑﻬﯿﻨﻪ‬)‫ﻣﺜﺎل‬8-3(
3-12-‫ﮐﺎﻟﻤﻦ‬ ‫ﻓﯿﻠﺘﺮ‬)‫ﻣﺜﺎل‬8-4(
3-13-‫ﮐﺎﻟﻤﻦ‬ ‫ﻓﯿﻠﺘﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﮐﻨﻨﺪۀ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬)‫ﻣﺜﺎل‬8-5(

6
‫اﻓﺰار‬ ‫ﻧﺮم‬ ‫دﺳﺘﻮرﻫﺎی‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬Matlab
‫ﻣﺪرن‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺑﺤﺚ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬
2

8
2-1-‫دﺳﺘﻮر‬acker:
•‫ﻫﺪف‬:‫ورودی‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﺟﺎﯾﺎب‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬
•‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﻧﮕﺎرش‬:
K=acker(A,B,P)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ورودی‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬:
BuAxx +=
•
‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬K‫ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫را‬‫ﺑﺮدار‬ ‫در‬P
‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬.‫دﺳﺘﻮر‬K=acker(A,B,P)‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫آﮐﺮﻣﻦ‬ ‫ﻓﺮﻣﻮل‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬(K)‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫را‬
‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن‬u = -Kx،‫ﺑﺮدار‬ ‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬P‫دﻫﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬.‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫دﯾﮕﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻪ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬A-BK‫اﻋﻀﺎ‬ ‫ﻣﺤﻞ‬ ‫در‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ی‬P‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬.،‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﺗﮑﻪ‬ ‫در‬K،
‫ﻧﺎﭘﺎﯾﺪار‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬‫ﺑﻪ‬P=[-2,-3]‫ﻣ‬‫ﻨﺘ‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻘﻞ‬.
A=[2,0,-1,-1]
B=[1;1]
P=[-2,-3 ]
K=acker(A,B,P)
‫ﻣﯿ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬‫دﺳﺘﻮر‬ ‫از‬ ‫ﺘﻮان‬acker‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬‫ﻟﯿﻮﻧﺒﺮﮔﺮ‬‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻧﯿﺰ‬
‫ﮐﺮد‬.‫اﮔﺮ‬y=Cx‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬،‫ﺑﺮدار‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬L‫ﮐﺮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬:
L = (acker(A’,C’,P))’
‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬ ‫و‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬P‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬.
•‫ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎ‬:
1.‫دﺳﺘﻮر‬acker‫اﺳﺖ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ورودی‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫ﻓﻘﻂ‬.
2.(A,B)‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬.
3.‫اﯾﻦ‬‫از‬ ‫ﺑﯿﺶ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫درﺟﻪ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬ ‫و‬ ‫ﻧﯿﺴﺖ‬ ‫ﺑﺮﺧﻮردار‬ ‫ﺑﺎﻻﯾﯽ‬ ‫اﻃﻤﯿﻨﺎن‬ ‫ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ‬ ‫از‬ ‫روش‬5‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﺑﻮده‬
‫ا‬ ‫دﭼﺎر‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺿﻌﯿﻒ‬‫ﺷﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺷﮑﺎل‬.
•‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬ ‫دﺳﺘﻮرات‬:
‫دﺳﺘﻮر‬place‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ورودی‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﺟﺎﯾﺎﺑﯽ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬.
2-2-‫دﺳﺘﻮر‬canon:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫در‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
CSYS= canon(SYS,’TYPE’)
[CSYS,T]= canon(SYS,’TYPE’)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫در‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﯾﮏ‬ ،‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬LTI‫ﺑﺎ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬SYS
‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬.‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫در‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫دو‬‫ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﮐﻪ‬
TYPE‫ﻣﯽ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب‬‫ﮔﺮدد‬.

9
‫اﻟﻒ‬-‫ﻓﺮم‬MODAL:
‫دﺳﺘﻮر‬CSYS= canon(SYS,’modal’)‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﯾﮏ‬MODAL‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫از‬SYS‫در‬ ‫و‬ ‫آورده‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫را‬CSYS
‫ﻣﯽ‬‫رﯾﺰد‬.،‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫در‬‫ﺣﻘﯿﻘﯽ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬SYS‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎی‬ ‫روی‬A‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬‫ﻫﺮ‬ ‫ازاء‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬‫زوج‬‫ﯾﮏ‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ﻗﻄﺐ‬
‫ﺑﻠﻮک‬2×2‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫در‬A‫ﻣﯽ‬ ‫ﻇﺎﻫﺮ‬‫ﺷﻮد‬.‫ﺳﯿﺴ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺘﻤﯽ‬),,( 21 λωσλ j±،‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬A‫در‬
‫ﻓﺮم‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬MODAL‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬:












−
2
1
000
00
00
000
λ
σω
ωσ
λ
‫ب‬-‫ﻓﺮم‬COMPANION:
‫دﺳﺘﻮر‬CSYS = canon(SYS,’companion’)‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﯾﮏ‬COMPANION‫از‬SYS‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬‫ﺿﺮاﯾﺐ‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬
‫رو‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫راﺳﺖ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬ ‫اﻟﯿﻪ‬ ‫ﻣﻨﺘﻬﯽ‬ ‫ﺳﺘﻮن‬ ‫ی‬A‫ﻗﺮار‬‫ﮔﯿﺮد‬ ‫ﻣﯽ‬.‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬:
nn
nn
asasassP ++++= −
−
1
1
1 ...)(
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬A‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫در‬COMPANION‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬:
















−
−
−
−
=
−
1
2
1
10000
01000
0001
0000
a
a
a
a
A
n
n
MMMMMM
K
K
‫اﮔﺮ‬SYS‫دﺳﺘﻮ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫ر‬[CSYS,T]=canon(SYS,’TYPE’)‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬
‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬T‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫آن‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫را‬:xTxc .=
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬SYS، ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬T‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺗﻬﯽ‬.
‫در‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺎت‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫روﻧﺪ‬‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬SYS‫داده‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫و‬ ‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬SS‫آﯾﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻓﺮم‬.‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫در‬MODAL‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬P‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﮐﻪ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬A‫ﺗﺸ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﭙﺲ‬ ‫و‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬‫ﺎﺑﻬﯽ‬T=P-1
‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫و‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﻪ‬
‫آﯾﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬:
DuCPxy
BuPAPxPx cc
+=
+= −−
•
11
‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬T‫ﻫﻤﺎن‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ‬ ‫اﺟﺮای‬ ‫ﻧﺘﺎﯾﺞ‬ ‫از‬ ‫ﮐﻪ‬P-1
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬.‫ﻓﺮم‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬COMPANION
‫آ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬‫ﯾﺪ‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫زﯾﺮ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬:
[ ]xy
uxx
001
1
1
1
25.03
651
021
=










+










−=
•
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬A‫از‬ ‫ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ‬:

10
6571.6
571.26715.0
3
2,1
=
±=
λ
λ j
‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫آوردن‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮای‬MODAL‫ﺑﺮﻧﺎﻣ‬ ‫ﺗﮑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬‫ﮥ‬‫دارﯾﻢ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬:
A=[1 2 0;-1 5 6;3 0.5 2];
B=[1;1;1];
C=[1 0 0];
D=0;
SYS=ss(A,B,C,D);
[CSYS,T]=canon(SYS,’modal’);
[Ac,Bc,Cc,Dc]=ssdata(SYS);
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬Dc , Cc , Bc , Ac‫و‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺗﺘﺤﻘﻖ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی‬T‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬.‫ﺑﻪ‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬:
[ ] ccc
cccc
xuDxCy
uxuBxAx
3178.02081.0473.0
93.1
2267.1
2776.0
6571.600
06715.0571.2
0571.26715.0
−=+=










−+










−=+=
•
1.‫ﻣﯽ‬ ‫ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫زﻣﺎﻧﯽ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬‫ﮐ‬ ‫دﻫﺪ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻪ‬A‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻪ‬ ‫ﺗﮑﺮاری‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺪار‬.
2.‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫در‬COMPANION‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ورودی‬ ‫اوﻟﯿﻦ‬ ‫از‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬.
3.The companion form is often poorly conditioned for most state-space
computation avoid using it when possible.
‫دﺳﺘﻮر‬ss2ss‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺑﺮای‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬‫ر‬‫ود‬.
2-3-‫دﺳﺘﻮر‬care:
•‫ﻫﺪف‬:‫زﻣﺎن‬ ‫ﺟﺒﺮی‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬ ‫ﺣﻞ‬-‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬
•‫ﻧﮕﺎرش‬:
[X,L,G,rr]=care(A,B,Q)
[X,L,G,rr]=care(A,B,Q,R,S,E)
[X,L,G,report]=care(A,B,Q,…,’report’)
[X1,X2,L,report]=care(A,B,Q,…,’implicit’)
‫دﺳﺘﻮر‬[X,L,G,rr]=care(A,B,Q)‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬ ‫ﻣﻨﺤﺼﺮﺑﻔﺮد‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬‫ﮐﻨﺪ‬:
0)( =+−+= QXXBBXAXAXRic TT
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋۀ‬ ‫ﻣﻘﺎذﯾﺮ‬ ‫ﻫﻤﮥ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﻧﺤﻮی‬ ‫ﺑﻪ‬A-BBT
X‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﭼﭗ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬X‫ﻣﺘﻘﺎرن‬1
‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬
‫ﭘﺎﯾﺪارﺳﺎز‬2
‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬Ric(X)=0‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺎﻣﯿﺪه‬‫ﺷﻮد‬.‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻮارد‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬‫دﻫﺪ‬:
1-‫ﺑﺮدار‬L‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋۀ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺷﺎﻣﻞ‬ ‫ﮐﻪ‬A-BBT
X‫اﺳﺖ‬.
2-‫ﺑﻬﺮۀ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬G=BT
X
1
Symmetric
2
Stabilizing

11
3-‫ﻧﺴﺒﯽ‬ ‫ﻣﺎﻧﺪۀ‬3
‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﮐﻪ‬‫ﺷﻮد‬:
F
F
X
XRic
rr
)(
=
‫دﺳﺘﻮر‬[X,L,G,rr]=care(A,B,Q,R,S,E)‫ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫را‬ ‫ﺗﺮی‬‫ﮐﻨﺪ‬:
0)()()( 1
=+++−+= −
QSXEBRSXBEXAEXEAXRic TTTTT
‫ﺑ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬‫اﯾﻨﺤﺎﻟﺖ‬ ‫در‬ ‫ﻬﺮه‬)(1 TT
SXEBRG += −
‫ﺑﺮدار‬ ‫در‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫وﯾﮋۀ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫و‬ ‫ﺑﻮده‬
),*( EGBAeigL −=‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬.
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫دﯾﮕﺮ‬ ‫ﻧﮕﺎرش‬ ‫دو‬care‫ﮐﻨﻨﺪۀ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬ ‫ﻧﻈﯿﺮ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‬ ‫ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎی‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﮐﻤﮏ‬ ‫ﺑﺮای‬H∞‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬
‫ﺷﺪه‬‫اﻧﺪ‬4
.
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻓﺮض‬ ‫ﺑﺎ‬
[ ] 3,11,
1
0
,
11
23
=−=





=




−
= rCBA
‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬
01
=+−+ −
CCXBXBRXAXA TTT
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬:
A=[-3 2;1 1];
B=[0;1]
C=[1 –1];
R=3;
[X,L,g]=care(A,B,C’*C,r);
‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫اﯾﻦ‬‫دﻫﺪ‬:
X=
0.5895 1.8216
1.8216 8.8188
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋۀ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﻘﺎﯾﺴﮥ‬A‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺎ‬A-B*g‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺎﯾﺪارﺳﺎز‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬:
» [eig(A) eig(A-B*g)]
ans=
-3.4495 -3.5026
1.4495 -1.4370
•‫آﻟﮕﻮرﯾﺘﻢ‬:
‫دﺳﺘﻮر‬care‫ﺗﻮﺳﻌﻪ‬ ‫ﻫﺎﻣﯿﻠﺘﻮﻧﯿﻦ‬ ،‫ﻫﺎﻣﯿﻠﺘﻮﻧﯿﻦ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫از‬‫آﻟﮕﻮرﯾﺘﻢ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬QZ‫ﺑﺮای‬‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﮥ‬ ‫ﺣﻞ‬
‫ﻣﯽ‬‫ﮐﻨﺪ‬5
.
‫زوج‬(A,B)‫ﭘﺎﯾﺪاری‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬.‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻫﯿﭻ‬ ‫ﻫﺎﻣﯿﻠﺘﻮﻧﯿﻦ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ،‫ﺑﻌﻼوه‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻪ‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫روی‬ ‫ای‬.‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺮای‬
‫ﮐﺎﻓﯿﺴﺖ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫از‬ ‫ﯾﮑﯽ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر‬:
1-‫زوج‬(Q,A)‫آﺷﮑﺎری‬‫ﮐﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﯽ‬ ‫در‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬:S=0 , R>0
2-0>





RS
SQ
T
3
Relative residual
4
‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫در‬ ‫ﮐﺎﻣﻠﺘﺮ‬ ‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬ ‫ﺑﺮای‬help‫ﻧﺮم‬‫اﻓﺰار‬Matlab‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌﻪ‬.
٥‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﯽ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺮﺟﻊ‬ ‫در‬ ‫آﻟﮕﻮرﯾﺘﻤﻬﺎ‬ ‫اﯾﻦ‬‫اﻧﺪ‬:
Arnold, W.F., Ш and A.J. Laub, “Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equation”, Proc.
IEEE, 72(1984), pp. 1746-1754

12
•‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬ ‫دﺳﺘﻮرﻫﺎی‬:
dare:‫زﻣﺎن‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬-‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
lyap:‫زﻣﺎن‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬-‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬
2-4-‫دﺳﺘﻮر‬cdf2rdf:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺑﺎ‬ ‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻂ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬‫ﺣﻘﯿﻘﯽ‬ ‫ﺑﻠﻮﮐﻬﺎی‬.
•‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﻧﮕﺎرش‬:[V,D]=cdf2rdf(V,D)
‫ﭼﻨﺎﻧﭽ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻪ‬X‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی‬ ،‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬V‫و‬D‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﺟﺮای‬ ‫از‬ ‫ﮐﻪ‬[V,D]=eig(X)‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬‫آﯾﻨﺪ‬
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫دارای‬.‫دﺳﺘﻮر‬cdf2rdf‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬D‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬–‫ﺑﻠﻮﮐﯽ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯽ‬ ‫ﺑﻠﻮﮐﻬﺎی‬ ‫ﺑﺎ‬.‫وﯾﮋ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫از‬ ‫زوج‬ ‫ﻫﺮ‬‫ﺑﺨﺶ‬ ‫در‬ ‫آﻧﭽﻪ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ه‬2-6-3‫ﺑﻠﻮک‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺷﺪ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬2×2
‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯽ‬‫ﺷﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫در‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ‬V‫دﯾﮕﺮ‬ ‫و‬ ‫ﮐﺮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺗﻐﯿﯿﺮ‬ ‫ﺗﯿﺰ‬V‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫ﺷﺎﻣﻞ‬
‫ﺑﻮد‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ‬‫؛‬‫ﺗﻐﯿﯿﺮات‬ ‫اﻣﺎ‬V‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﮐﻤﺎﮐﺎن‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺤﻮی‬ ‫ﺑﻪ‬X*V=V*D‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬X‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬:










−
=
450
540
321
X
‫دارد‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺟﻔﺖ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﮐﻪ‬:
»[V,D]=eig(X)
V =
1.0000 0.4002-0.0191i 0.4002+0.191i
0 0.6479 0.6479
0 0+0.6479i 0-0.6479i
D =
1 0 0
0 4+5i 0
0 0 4-5i
، ‫ﺣﻘﯿﻘﯽ‬ ‫ﺑﻠﻮﮐﯽ‬ ‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬‫ﮐﺮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬:
»[V,D]=cdf2rdf(V,D)
V =
1 0.4002 -0.0191
0 0.6479 0
0 0 0.6479
D =
1 0 0
0 4 5
0 -5 4
2-5-‫دﺳﺘﻮر‬ctrb:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
Co=ctrb(A,B)
Co=ctrb(SYS)
Co=ctrb(SYS.a,SYS.b)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬BuAxx +=
•
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬Anxn‫و‬Bnxm،‫اﺳﺖ‬‫ﻣﺎ‬‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺗﺮﯾﺲ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬)‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﮐﻪ‬ctrb‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬(‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬:

13
[ ]BABAABBCo n 12 −
= L
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫رﺗﺒﻪ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫زﻣﺎﻧﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫واﺿﺢ‬Co‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی‬A‫و‬B‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬:






−
−
=





−
=
11
11
,
24
11
BA
‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫رﺗﺒﮥ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬‫ﮐﻨﺪ‬:
»A=[1 1;4 –2];
»B=[1 –1;1 –1];
»Co=ctrb(A,B)
Co=
1 -1 2 -2
1 -1 2 -2
»rank(Co)
ans=
1
‫رﺗﺒﻪ‬ ‫ﭼﻮن‬Co‫ﻧﯿﺴﺖ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬،‫ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻟﺬا‬‫ﻧﻤﯽ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫ﮐ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬‫ﻨﺘﺮل‬‫ﻧﺎ‬‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬
‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬‫ﺷﻮد‬:
»unco=length(A)-rank(Co)
ans=
1
‫دارد‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫و‬.
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬Co‫ﭘﺎره‬ ‫در‬‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺧﻄﺎ‬ ‫دﭼﺎر‬ ‫ﻣﻮارد‬ ‫ای‬.‫ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬ ‫ﺳﺎده‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫اﯾﻦ‬:






=





=
δ
δ 1
,
10
1
BA
‫اﮔﺮ‬δ≠0‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫زوج‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬:
[ ] 




 +
==
δδ
δ 2
11
ABBCo
‫اﮔﺮ‬ ‫اﻣﺎ‬eps<2
δ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬eps‫راﯾﺎﻧﻪ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬ ‫ﻧﺴﺒﯽ‬ ‫وﺿﻮح‬2
δ‫و‬ ‫ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫را‬
‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﯽ‬ ‫در‬ ‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬.‫دﺳﺘﻮر‬ ‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫در‬ctrbf
‫ﺷﻮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬.
obsv:‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬
ctrbf:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺟﺪاﺳﺎزی‬
2-6-‫دﺳﺘﻮر‬Ctrbf:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﮐﻨﺘﺮ‬ ‫ﭘﻠﮑﺎﻧﯽ‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺗﻬﯿﻪ‬‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ل‬)‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺟﺪاﺳﺎزی‬(
•‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﻧﮕﺎرش‬:[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C)
[Abar,Bbar,Cbar,r,k]=ctrbf(A,B,C,tol)

14
‫ا‬‫زوج‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫رﺗﺒﻪ‬ ‫ﮔﺮ‬(A,B)‫از‬ ‫ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ‬n)n‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‬A‫اﺳﺖ‬(‫ﺑﺎﺷﺪ‬،‫آﻧﮕﺎ‬‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ه‬T‫وﺟﻮد‬
‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دارد‬‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﺟﺪا‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬.‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬unitary T‫اﺳﺖ‬1
‫و‬‫دارﯾﻢ‬
:
TT
CTCTBBTATA === ,,
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﯾﻦ‬A‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫ﭘﻠﮑﺎﻧﯽ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺑﺨﺶ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﺪ‬‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ی‬(Auc)‫در‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺎﻻی‬ ‫ﭼﭗ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬ ‫ﮔﻮﺷﻪ‬A‫ﮔﯿﺮد‬ ‫ﻗﺮار‬:
[ ]cuc
cc
uc
CCC
B
B
AA
A
A =





=





= ,
0
,
0
21
‫ا‬ ‫در‬‫ﯾﻨﺤﺎﻟﺖ‬‫زوج‬(Ac,Bc)‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺗﻤﺎم‬ ، ‫ﺑﻮده‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬Auc‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬:
BAsICBAsIC cc
11
)()( −−
−=−
‫ﺳ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫در‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﯾﻌﻨﯽ‬‫ﻧﺪارد‬ ‫اﺛﺮی‬ ‫ﯿﺴﺘﻢ‬.
‫دﺳﺘﻮر‬[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C)‫ﺑ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫داده‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬‫ﺎ‬A،B‫و‬C‫ر‬‫ﺑﻪ‬ ‫ا‬
‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﯽ‬CBA ,,‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﻟﺬﮐﺮ‬ ‫ﻓﻮق‬.T‫و‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬K‫ﻃﻮل‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﯾﮏ‬n‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬n‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫اﺑﻌﺎد‬
A‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.‫ﻋﻀﻮ‬ ‫ﻫﺮ‬K‫ﻧﺸﺎن‬‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺗﮑﺮار‬ ‫ﺑﺎر‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺘﺨﺮاج‬.
‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫اﻋﻀﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬K‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬T‫اﺳﺖ‬ ‫ﻻزم‬ ‫ﺗﮑﺮار‬ ‫ﭼﻨﺪ‬.‫ﺑﻌﻼوه‬
2
SUM(K)‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬Ac‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫را‬.
‫ﻋﻨﺼﺮ‬tol‫د‬‫ر‬‫دﺳﺘﻮر‬ctrbf(A,B,C,tol)‫ﻓﻀﺎﻫﺎی‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺠﺎز‬ ‫ﺗﻠﺮاﻧﺲ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬
‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬/‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬‫را‬‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬.‫اﮔﺮ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻧﺸﺪه‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﺗﻠﺮاﻧﺲ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬،‫ﻣﻘﺪار‬10*n*norm(A,1)* eps‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬
‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ﭘﯿﺶ‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬:






=





−
−
=





−
=
10
01
,
11
11
,
24
11
CBA
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫ﺑﺎ‬
[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C)
‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺟﺪﯾﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫و‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺟﺪا‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫از‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬:
Abar=
-3 0
-3 2
Bbar=
0 0
1.4142 -1.4142
Cbar=
-0.7071 0.7071
0.7071 0.7071
‫ﺗﺒ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺪﯾﻞ‬T‫ﺑﺮدار‬ ‫و‬K‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬:
T=
-0.7071 0.7071
0.7071 0.7071
K=
1 0
١‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬Unitay T‫اﮔﺮ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫اﺳﺖ‬:
T.TT
=TT
.T=I
٢‫دﺳﺘﻮر‬SUM(K)‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬K‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬‫ﮐﻨﺪ‬.

15
‫در‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﺟﺪﯾﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬3-‫در‬ ‫آن‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫و‬2+‫اﺳﺖ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬.
•‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬ ‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻠﻬﺎی‬:
ctrb:‫ﻣ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﯽ‬.
minreal:‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻧﯿﻤﺎل‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫و‬ ‫داده‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫و‬ ‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﺣﺬف‬.
2-7-‫دﺳﺘﻮر‬diag:
•‫ﻫﺪف‬:
1.‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻣﻮازی‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎی‬ ‫روی‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫روی‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻗﺮاردادن‬
2.‫ﺑﺮدار‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻮازی‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎی‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫روی‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻗﺮاردادن‬.
•‫دﺳ‬ ‫ﻧﮕﺎرش‬‫ﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ‬:
X=diag(v,k)
X=diag(v)
V=diag(x,k)
V=diag(x)
‫دﺳﺘﻮر‬X=diag(v,k)‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬V‫و‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﯾﮏ‬n‫و‬ ‫ﻋﻀﻮی‬k، ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﯾﮏ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬X‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫را‬
‫آن‬ ‫اﺑﻌﺎد‬ ‫ﮐﻪ‬n+abs(k)‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬V‫روی‬K‫ﻗﺮاردارﻧﺪ‬ ‫آن‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫اﻣﯿﻦ‬.K=0‫ا‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﮕﺮ‬،‫ﺻﻠﯽ‬K>0‫ﻗﻄﺮﻫﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬
‫و‬ ‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺑﺎﻻی‬K<0‫اﺳﺖ‬ ‫آن‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻗﻄﺮﻫﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬.
‫دﺳﺘﻮر‬X=diag(v)‫ازای‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫واﻗﻊ‬ ‫در‬K=0‫اﺳﺖ‬.‫دﺳﺘﻮر‬V=diag(x,k)‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬x‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬
، ‫اﺳﺖ‬‫ﻗﻄﺮ‬k‫ام‬x‫ﺑﺮدار‬ ‫در‬ ‫را‬V‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬.‫ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫وﺿﻌﯿﺖ‬K‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬X=diag(v,k)‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.V=diag(x)‫ﻧﯿﺰ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫روی‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬x‫ﺑﺮدار‬ ‫در‬ ‫را‬k‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺑﺮدار‬V‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬:
» V=[-1 –2 –3];
» X=diag(V)
X=
-1 0 0
0 -2 0
0 0 -3
» X=diag(v,1)
X=
0 -1 0 0
0 0 -2 0
0 0 0 -3
0 0 0 0
» Y=[1 2 3;-3 –2 –1;-5 –6 –8];
» V1=diag(Y)
V1=
1
-2
-8
» V2=diag(Y,1)
V2=
2
-1

16
2-8-‫دﺳﺘﻮر‬eig:
•‫ﻫﺪف‬:‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻦ‬
d=eig(A)
d=eig(A,B)
[V,D]=eig(A)
[V,D]=eig(A,’no balance’)
[V,D]=eig(A,B)
[V,D]=eig(A,B,flag)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﭘﺮدازﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ‬ ‫ﺗﻌﺎرﯾﻒ‬ ‫ای‬ ‫ﭘﺎره‬ ‫ﻣﺮور‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آﻏﺎز‬ ‫در‬.‫اﺳﺖ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫واﻗﻊ‬ ‫در‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬:
XAX λ=
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬A‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬n*n،X‫ﺑﺮدار‬ ‫ﯾﮏ‬n‫ﻋﻀﻮ‬‫و‬ ‫ی‬λ‫اﺳﺖ‬ ‫اﺳﮑﺎﻟﺮ‬ ‫ﯾﮏ‬.
‫از‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮی‬λ، ‫ﮐﻨﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺮآورده‬ ‫را‬ ‫ﻓﻮق‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﮐﻪ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬A‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫اﺑﻌﺎد‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬
A)‫ﯾﻌﻨﯽ‬n(‫اﺳﺖ‬.‫ﺑﺮدار‬X‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫راﺳﺖ‬ ‫ﺳﻤﺖ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﻧﺎم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬A‫ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ‬‫ﺷﻮد‬.‫اﻓﺰار‬ ‫ﻧﺮم‬ ‫در‬Matlab‫دﺳﺘﻮر‬
eig‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬.
، ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﺴﺎﻟﻪ‬ ‫در‬‫از‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮی‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﻫﺪف‬λ‫و‬x‫ﺳﺎزﻧﺪ‬ ‫ﺑﺮآورده‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬:
BXAX λ=
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬A‫و‬B‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی‬ ‫دو‬ ‫ﻫﺮ‬n*n‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫و‬.‫اﮔﺮ‬B‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‬ ‫وﯾﮋه‬‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮان‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫را‬ ‫ﻓﻮق‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬
‫ﮐﺮد‬:
XAXB λ=−1
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫واﻗﻊ‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬B-1
A‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.‫اﮔﺮ‬ ‫اﻣﺎ‬B‫اﻟﮕﻮرﯾﺘﻢ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫وﯾﮋه‬
QZ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺿﺮوری‬.
‫دﺳﺘﻮر‬d=eig(A)‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬A‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬‫ﮔﺮ‬‫داﻧﺪ‬.
‫دﺳﺘﻮر‬d=eig(A,B)‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬A‫و‬B،‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﯽ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫دو‬‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.
[V,D]=eig(A)‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬A‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫روی‬ ‫در‬ ‫را‬D‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬V، ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬
‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬:A*V=V*D‫ﮐﻪ‬V‫ﺑ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬‫راﺳﺖ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺮدارﻫﺎی‬A‫اﺳﺖ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬W‫ﭼﭗ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ،A
‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺎﻣﯿﺪه‬‫اﮔﺮ‬WT
*A=D*WT
.‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬W‫اﺳﺖ‬ ‫ﻻزم‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮرات‬:
» [W,D]=eig(A.’);
» W=conj(W);
‫دﺳﺘﻮر‬[V,D]=eig(a,'no balance')‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬A‫ﺳﺎزی‬ ‫ﻣﺘﻌﺎدل‬ ‫ﻓﺮآﯾﻨﺪ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫را‬1
‫ﻣ‬ ‫اوﻟﯿﻪ‬‫ﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.،‫ﻣﻌﻤﻮل‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬،‫ﺑﺨﺸﯿﺪه‬ ‫ﺑﻬﺒﻮد‬ ‫را‬ ‫ورودی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﺳﺎزی‬ ‫ﻣﺘﻌﺎدل‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺗﺮ‬ ‫ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻨﺠﺮ‬
‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬.‫ﮐﺮدن‬ ‫ﮔﺮد‬ ‫ﺧﻄﺎی‬ ‫ﺑﺮوز‬ ‫اﻣﮑﺎن‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﮐﻮﭼﮏ‬ ‫ﺣﺪی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬ ‫اﻣﺎ‬2
‫داﺗﺸﻪ‬ ‫وﺟﻮد‬
‫آﻧ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻤﮑﻦ‬ ‫ﺳﺎزی‬ ‫ﻣﺘﻌﺎدل‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ،‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﺳﺎﯾﺮ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫دﻫﯽ‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬ ‫ای‬ ‫ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻬﺎ‬
‫آﻣﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺑﻮﺟﻮد‬ ‫ﺧﻄﺎ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫در‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫ﺑﮕﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ای‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﻪ‬.‫از‬ ‫ﻋﻨﺼﺮی‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﻣﻮاردی‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬A‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮐﻮﭼﮏ‬ ‫ﺧﯿﻠﯽ‬
'no balance'‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬‫ﺷﻮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬.
‫دﺳﺘﻮر‬[V,D]=eig(A,B)‫ﻗﻄﺮی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬D‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫و‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﺷﺎﻣﻞ‬V‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫آن‬ ‫ﺳﺘﻮﻧﻬﺎی‬ ‫ﮐﻪ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫را‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫وﯾﮋه‬.‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬:A*V=B*V*D
1
Balancing
2
Roundoff error

17
‫دﺳﺘﻮر‬[V,D]=eig(A,B,flag)‫ﻣ‬ ‫اﻟﮕﻮرﯾﺘﻢ‬‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫را‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫در‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻮرد‬.
flag‫ﮐﻨﺪ‬ ‫اﺧﺘﯿﺎر‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻮارد‬ ‫از‬ ‫ﯾﮑﯽ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬:
‘chol’:‫ﻓﺎﮐﺘﻮرﮔﯿﺮی‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬cholesky‫از‬B‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬.‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬A‫ﻣﺘﻘﺎرن‬
(Hermation)‫و‬B‫ﻣﻌﯿﻦ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎرن‬‫ﺷﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ﭘﯿﺶ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫روش‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬.
‘qz’:‫از‬‫اﻟﮕﻮرﯾﺘﻢ‬QZ‫ﺑﺮای‬ ‫و‬ ‫ﮔﯿﺮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬A‫و‬B‫اﺳﺖ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﻧﺎﻣﺘﻘﺎرن‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:
‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬:












−−
−−
−−
−−
=
11.05.05.0
012/4/
142
*29.023
epseps
eps
eps
B
‫ﻣ‬ ‫ﮔﺮدﮐﺮدن‬ ‫ﺧﻄﺎی‬ ‫دﭼﺎر‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮی‬ ‫دارای‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫اﯾﻦ‬‫ﯽ‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬.‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﺧﻮﺑﯽ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﯾﻦ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬no balance‫اﺳﺖ‬ ‫ﺿﺮوری‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬.‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫اﺟﺮای‬ ‫ﺑﺎ‬:
» [VB,DB]=eig(B);
» B*VB-VB*DB
‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬:
ans =
0 -0.0000 0.0000 0
0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000
0 0.0000 0 1.4420
‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫اﺟﺮای‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﯽ‬ ‫در‬ ‫ﻧﯿﺴﺖ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﮐﻪ‬:
» [VN,DN]=eig(B,‘nobalance’);
» B*VN-VN*DN
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺰدﯾﮑﺘﺮ‬ ‫ﺑﺴﯿﺎر‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫آﯾﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬:
ans =
1.0e-015 *
0.4441 -0.2220 0.1471 -0.4996
0 0.0555 -0.3695 0.0278
-0.0172 -0.0015 0.0066 0
0 -0.2220 -0.1110 0.0555
2-9-‫دﺳﺘﻮر‬estim:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫درﯾﺎﻓﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫دﯾﻨﺎﻣﯿﮑﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬.
est=estim(sys,L)
est=estim(sys,L,sensors,known)
‫دﺳﺘﻮر‬est=estim(sys,L)‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫درﯾﺎﻓﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬sys‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫و‬L‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ،(est)‫را‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬
‫دﻫﺪ‬.‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ورودﯾﻬﺎی‬ ‫ﻫﻤﻪ‬(W)‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬ ‫ﻫﻤﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬Y‫ﮔﯿﺮ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ی‬‫ﺷﻮﻧﺪ‬.‫روﯾﺘﮕﺮ‬est‫ﻓﺮم‬ ‫در‬
‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬.‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫اﮔﺮ‬(sys)‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دارای‬:
X=Ax+Bw
Y=Cx+Dw

18
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫آﻧﮕﺎه‬estim‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫و‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﺗﺨﻤﯿﻨﻬﺎی‬),(
^^
yx‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬:
^
^
^
^^^
)(
x
I
C
x
y
xCyLxAx






=








−+=
•
‫دﺳﺘﻮر‬est=estim(sys,l,sensors,known)‫ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬‫رود‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺮ‬.‫ﻣﯽ‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫اﯾﻨﺠﺎ‬ ‫در‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬sys‫ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫ورودی‬ ‫دارای‬u‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬ ‫ورودﯾﻬﺎی‬ ‫و‬w‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫دو‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ‬
‫اﻧﺪا‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﮔﺮوه‬‫ﮔﯿﺮی‬ ‫زه‬(y)‫ﮔﯿﺮی‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫و‬(z)‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻘﺴﯿﻢ‬.
‫ﺑﻮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬:
u
D
D
w
D
D
x
C
C
y
z
uBwBAxx






+





+





=





++=
•
22
12
21
11
2
1
21
‫اﻧﺪﯾﺲ‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬sensors‫و‬known‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎ‬ ‫از‬ ‫ﮐﺪاﻣﯿﮏ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﻫﺴﺘﺘﻨﺪ‬ ‫ﮔﯿﺮی‬(y)‫و‬
‫ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ورودﯾﻬﺎ‬ ‫از‬ ‫ﮐﺪاﻣﯿﮏ‬‫دارﻧﺪ‬(u).‫روﯾﺘﮕﺮ‬est‫ورودﯾﻬﺎی‬ ‫از‬u‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬ ‫و‬y‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺗﺨﻤﯿﻦ‬ ‫و‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬.
u
D
x
I
C
x
y
uDxCyLuBxAx






+





=








−−++=
•
0
)(
22
^
2
^
^
22
^
22
^^
‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ذﮐﺮ‬ ‫ﺷﺎﯾﺎن‬(L)‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫ﺑﺎ‬place،kalman‫ﯾﺎ‬acker‫اﺳﺖ‬ ‫اﻣﮑﺎﻧﭙﺬﯾﺮ‬.‫دﯾﮕﺮ‬ ‫ﺳﻮی‬ ‫از‬
‫دﯾﻨﺎ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻻزم‬ ‫ﺗﺨﻤﯿﻦ‬ ‫ﺻﺤﺖ‬ ‫ﺗﻀﻤﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﺳﺮﯾﻌﺘﺮ‬ ‫اﺻﻠﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫دﯾﻨﺎﻣﯿﮑﻬﺎی‬ ‫از‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﻣﯿﮑﻬﺎی‬.
•‫دﺳﺘﻮر‬‫ﻫﺎی‬‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬:
‫دﺳﺘﻮر‬reg‫رﮔﻮﻻﺗﻮر‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬‫را‬‫اراﺋﻪ‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫و‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫درﯾﺎﻓﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.
2-10-‫دﺳﺘﻮر‬exam:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬eX
‫ﺣﺎﻟ‬ ‫در‬‫ﺘ‬‫ﯽ‬‫ﮐﻪ‬X‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬.
•‫ﻧﮕﺎرش‬:Y=exam(X)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫در‬eX
‫ﮐﻪ‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﯽ‬X‫دارد‬ ‫وﺟﻮد‬ ‫ﻋﻤﺪه‬ ‫روش‬ ‫دو‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬:
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺗﯿﻠﻮر‬ ‫ﺳﺮی‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫اول‬ ‫روش‬:
LL ++++++=
!!3!2
32
K
XXX
XIe
K
X
‫روی‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫دوم‬ ‫روش‬X‫اﺳﺖ‬ ‫آن‬ ‫ﻗﻄﺮﺳﺎزی‬ ‫و‬.
111 −−−
=→=→= PPeePDPXXPPD DX
‫ﺗﻮان‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬eX
‫ﮐﺮد‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬.
» [V,D]=eig(X);
» exp_x=V*diag(exp(diag(D)))/V;
‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬X‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺳﻮم‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻪ‬ ‫ﺗﮑﺮاری‬ ‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬eX
‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬.‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺳﻮم‬ ‫روش‬eX
‫راه‬ ‫از‬
‫ﺗﻘﺮﯾﺐ‬Pade‫اﺳﺖ‬.

19
expm1:‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬eX
‫ﺗﻘﺮﯾﺐ‬ ‫روش‬ ‫از‬Pade
‫روش‬ ‫از‬‫ﺗﯿﻠ‬ ‫ﺳﺮی‬‫ﻮر‬
‫روش‬ ‫از‬‫وﯾﮋه‬ ‫ﺑﺮدارﻫﺎی‬ ‫و‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬
logm:‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻟﮕﺎرﯾﺘﻢ‬A‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬.
sqrtm:‫دﺳﺘﻮر‬X=sqrtm(A)‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬X‫ﮐﻪ‬ ‫آورد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫را‬X*X=A
funm:‫ﻧﻤﺎﯾﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫را‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﯽ‬ ‫ﻓﺮم‬.
2-11-‫دﺳﺘﻮر‬Gram:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﮔﺮاﻣﯿﺎﻧﻬﺎی‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬.
Wc=gram(sys,’c’)
Wo=gram(sys,’o’)
‫دﺳﺘﻮر‬gram‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎﻧﻬﺎی‬.‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬ ‫در‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎﻧﻬﺎ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫از‬
‫اﺳﺘ‬ ‫ﻣﺪﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ‬ ‫در‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻔﺎده‬.
‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫اﮔﺮ‬:
DuCxy
BuAxx
+=
+=
•
‫ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎﻧﻬﺎی‬:
∫
∫
=
=
∞
τ
τ
ττ
ττ
dCeCeW
deBBeW
ATA
o
ATA
c
T
T
.
.
0
‫داﺷﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫و‬:
∑
∑
=
=
∞
=
kTKT
o
k
KTTk
c
CACAW
ABBAW
)(
)(
0
‫ﻣﻌ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎن‬‫اﮔﺮ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫و‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﯿﻦ‬(A,B)‫ﻣﻌﯿﻦ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎن‬ ،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬
‫اﮔﺮ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬ ‫و‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫اﺳﺖ‬(C,A)‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬.‫دﺳﺘﻮر‬gram‫اﺳﺖ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬.
‫ﮐﺮد‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺗﻮان‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎن‬:
:‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ 0=++ TT
cc BBAWAW
:‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬ 0=+− T
c
T
c BBWAAW
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﺎدق‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫در‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎن‬:
:‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬ 0=++ CCAWWA T
oo
T
:‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬ 0=+− CCWAWA T
oo
T
‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫از‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬lyap‫و‬dlyap‫ﻧ‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﯿﺰ‬‫ﮐﺮد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎﻧﻬﺎ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﮥ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺗﻮان‬.

20
•‫ﻣﺤﺪودﯾﺘﻬﺎ‬:‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬A‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺎﯾﺪار‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬.
ctrb:‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
obsv:‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
balreal:‫ﻫﺎ‬ ‫ﮔﺮاﻣﯿﺎن‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺘﻌﺎدل‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
lyap,dlyap:‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫و‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫در‬.
2-12-‫دﺳﺘﻮر‬initial:
•‫ﻫﺪف‬:‫اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬)‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ورودی‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬(
initial(sys,x0)
initial(sys,x0,t)
initial(sys1,sys2,...,sysN,x0)
initial(sys1,sys2,...,sysN,x0,t)
initial(sys1,’PlotStyle1’,...,sysN,’PlotStyleN’,x0)
[y,x,t]=initial(sys,x0)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫دﺳﺘﻮر‬initial‫اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ازای‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﻧﻤﯽ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺎرﺟﯽ‬ ‫ورودی‬ ‫ﻫﯿﭻ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﯽ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫در‬.‫اﺳﺖ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫و‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﻣﺪﻟﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫اﯾﻦ‬.‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫در‬ ‫ﺟﺰ‬ ‫ﺑﻪ‬
[y,t,x]=initial(sys,xo)‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﺟﺮای‬ ‫ﻣﻮارد‬ ‫ﺳﺎﯾﺮ‬ ‫در‬initial‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﭘﺎﺳﺨﻬﺎی‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﺑﺎ‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻫﻤﺮاه‬.
‫دﺳﺘﻮر‬initial(sys,x0)‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬sys)‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﮐﻪ‬(‫اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬x0
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫رﺳﻢ‬.‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬sys،‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬SISO‫ﯾﺎ‬MIMO،‫ورودی‬ ‫ﺑﺎ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ورودی‬ ‫ﺑﺪون‬ ‫ﯾﺎ‬.‫زﻣﺎﻧﯽ‬ ‫ﺑﺎزه‬
‫ﻋﻤﻠﮑﺮد‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫ﺧﻮدﮐﺎر‬ ‫ﻃﻮر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﺎزی‬ ‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻬﺎی‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬‫ﭘﺎ‬ً‫ﻼ‬‫ﮐﺎﻣ‬ ‫ﮔﺬرا‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺳﺨﻬﺎ‬‫ﻧﺸﺎن‬
‫دﻫﺪ‬.
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬initial(sys,xo,t)‫ﺑﺮای‬ ‫ﻣﻄﻠﻮب‬ ‫زﻣﺎﻧﯽ‬ ‫ﺑﺎزه‬ ‫اﯾﻨﺤﺎﻟﺖ‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﺗﻔﺎوت‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫ﺳﯿﺴ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﺘﻢ‬.‫ﻣﯽ‬‫اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮان‬t=Tfinal‫ﯾﺎ‬ ‫ﮐﺮد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫را‬ ‫ﺳﺎزی‬ ‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫اﻧﺘﻬﺎی‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬t
‫ﻧﻤﻮد‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮدار‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬:
t=0:dt:tfinal
:‫ﻣﺜﺎل‬ t=0:0.1:10;
‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫زﻣﺎﻧﯽ‬ ‫ﺑﺎزه‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬ ‫اﯾﻨﺤﺎﻟﺖ‬ ‫در‬‫ﺳﺎزی‬)‫ﺻﻔﺮ‬‫ﺗﺎ‬Tfinal(‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫ﺳﺎزی‬ ‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫ﮔﺎﻣﻬﺎی‬ ،.‫ﺳﯿﺴ‬ ‫در‬‫ﺘﻤﻬﺎی‬
، ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬dt‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ‬ ‫ﺑﺮداری‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬.‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬dt‫رﻓﺘﺎر‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫اﺧﺘﯿﺎر‬ ‫ﮐﻮﭼﮏ‬ ‫آﻧﻘﺪر‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬
‫ﮔﺮدد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺧﻮﺑﯽ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﮔﺬرا‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬.
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﭘﺎﺳﺨﻬﺎی‬ ‫ﻫﻤﺰﻣﺎن‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﺑﺮای‬LTI‫رود‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮرات‬ ، ‫اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺑﻪ‬:
initial(sys1,sys2,...,sysN,x0)
initial(sys1,sys2,...,sysN,x0,t)
‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫اﺟﺮای‬:
[y,t,x]=initial(sys,x0)
[y,t,x]=initial(sys,x0,t)
‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻨﺠﺮ‬(y)،‫ﺳﺎزی‬ ‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫زﻣﺎﻧﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮدار‬(t)‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫و‬(x)‫ﻣﯽ‬‫ﺷﻮد‬.
‫اﯾﻨﺤﺎﻟﺖ‬ ‫در‬‫ﺷﻮد‬ ‫ﻧﻤﯽ‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯽ‬ ‫ﻫﯿﭻ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺳﻄﺮﻫﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬y‫ﺳﺎزی‬ ‫ﺷﺒﯿﻪ‬ ‫زﻣﺎﻧﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﻪ‬)‫اﺑﻌﺎد‬t(‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫و‬

21
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﺳﺘﻮﻧﻬﺎی‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬x‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬length(t)‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫و‬ ‫ﺳﻄﺮ‬
‫دارد‬ ‫ﺳﺘﻮن‬.
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻧﻈ‬ ‫در‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺮ‬:
[ ] 





=











 −−
=








•
•
2
1
2
1
2
1
4493.69691.1
07814.0
7814.05572.0
x
x
y
x
x
x
x
‫اوﻟﯿﻪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬





=
0
1
0x‫اﺳﺖ‬ ‫ﺣﺼﻮل‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﮥ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬:
A = [-0.5572 -0.7814;0.7814 0];
C = [1.9691 6.4493];
x0 = [1 ; 0.5];
t1=0:0.1:10;
t2=0:1:10;
sys = ss(A,[],C,[]);
subplot(2,2,1);initial(sys,x0);
subplot(2,2,2);initial(sys,x0,t1);
subplot(2,2,3);initial(sys,x0,6.5);
subplot(2,2,4);initial(sys,x0,t2);
impulse:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺿﺮﺑﻪ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫رﺳﻢ‬
lsim:‫دﻟﺨﻮاه‬ ‫ورودی‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫رﺳﻢ‬
step:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﻠﻪ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫رﺳﻢ‬
2-13-‫دﺳﺘﻮر‬kalman:
•‫ﻫﺪف‬:‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬)‫ﻓﯿﻠﺘﺮ‬(‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫و‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﮐﺎﻟﻤﻦ‬
[kest,l,p]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)
[kest,l,p,m,z]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)
[kest,l,p]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn,Sensors,Known)
)‫آﺧﺮ‬ ‫ﻣﻮرد‬‫زﻣﺎن‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻓﻘﻂ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﺎدق‬(.

22
‫دﺳﺘﻮر‬kalman‫را‬ ‫ﮐﺎﻟﻤﻦ‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ،‫ﮔﯿﺮی‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻧﻮﯾﺰ‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﻮﯾﺰ‬ ‫ﮐﻮارﯾﺎﻧﺲ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫درﯾﺎﻓﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬.
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺑﺎ‬:
vHwDuCxy
GwBuAxx
v +++=
++=
•
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ u ‫و‬ ‫ﻣﻌﯿﻦ‬ ‫ورودی‬ w ‫و‬ v ‫ﻧﻮﯾﺰﻫﺎی‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺳ‬‫اﻧﺪازه‬ ‫ﻔﯿﺪ‬‫دارﯾﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻓﺮاﯾﻨﺪ‬ ‫و‬ ‫ﮔﯿﺮی‬:
NwvERvvEQwwE
vEwE
TTT
===
==
)(,)(,)(
0)()(
‫ﺗﺨﻤﯿﻦ‬ ‫ﯾﺎﻓﺘﻦ‬ ‫ﻫﺪف‬
^
x‫ﮔﺮدد‬ ‫ﮐﻤﯿﻨﻪ‬ ‫ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺧﻄﺎی‬ ‫ﮐﻮارﯾﺎﻧﺲ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﮑﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫از‬:
)}}{({lim
^^
T
t
xxxxP −−=
∞→
‫ﺑﻬﯿﻨﻪ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮐﺎﻟﻤﻦ‬ ‫ﻓﯿﻠﺘﺮ‬:
u
D
x
I
C
x
y
DuxCyLBuxAx v






+





=








−−++=
•
0
)(
^
^
^
^^^
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬L‫ﻣﯽ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺟﺒﺮی‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫ﺑﻮده‬ ‫ﻓﯿﻠﺘﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬‫ﺷﻮد‬.
‫دﺳﺘﻮر‬[kest,l,p]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)‫ﻣ‬‫ﮐﺎﻟﻤﻦ‬ ‫ﻓﯿﻠﺘﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺪل‬(kest)‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫را‬.
Qn،Rn‫و‬Nn‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺎﻻ‬ ‫رواﺑﻂ‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻧﻮﯾﺰ‬ ‫ﮐﻮارﯾﺎﻧﺲ‬Q،R‫و‬N‫اﻧﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬.sys‫ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﻧﯿﺰ‬
‫ﺷﻮد‬ ‫وارد‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬:
A,[B G], C, [D H]
‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬(kest)‫ورودی‬ ‫دارای‬‫ﻫ‬‫ﺎی‬[u;yv]‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬ ‫و‬


 ^^
; xy‫ﻣﯽ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬.‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬(kest)
‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ،L‫ﮐﻮارﯾﺎ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫و‬‫ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر‬ ‫ﺧﻄﺎی‬ ‫ﻧﺲ‬P‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫را‬.
•‫ﻫﺎ‬ ‫ﻣﺤﺪودﯾﺖ‬:
‫ﮐﻪ‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬:
)( NQHGN
HQHHNHNRR
GQGQ
T
TTT
T
+=
+++=
=
‫ﮐﻨﻨﺪ‬ ‫ارﺿﺎ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﻧﻮﯾﺰ‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬:
1.(C,A)‫آﺷﮑﺎری‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬(detectable)
2.R>0‫و‬0
1
≥−
− T
NRNQ
3.),(
11 T
NRNQCRNA
−−
−−‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻫﯿﭻ‬‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻪ‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫روی‬ ‫ی‬.

23
care:‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺟﺒﺮی‬ ‫رﯾﮑﺎﺗﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬
estim:‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺗﻬﯿﻪ‬
lqr:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺑﯿﺪﺑﮏ‬ ‫رﮔﻮﻻﺗﻮر‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬LQ
2-14-‫دﺳﺘﻮر‬Lyap:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫ﺣﻞ‬–‫زﻣﺎن‬
X=lyap(A,Q)
X=lyap(A,B,C)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫دﺳﺘﻮر‬X=Lyap(A,Q)‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬:
AX+XAT
+Q=0
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬A‫و‬Q‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﯽ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬X‫اﮔﺮ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎرن‬Q‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎرن‬.
‫دﺳﺘﻮر‬X=lyap(A,B,C)‫ﯾ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫را‬ ‫ﺎﻓﺘﻪ‬.
AX+XB+C=0
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬A‫و‬B‫و‬C‫ﻟﺰوﻣﺎ‬"‫ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻌﯽ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﺎزﮔﺎر‬ ‫آﻧﻬﺎ‬ ‫اﺑﻌﺎد‬ ‫وﻟﯽ‬.
•‫ﻫﺎ‬ ‫ﻣﺤﺪودﯾﺖ‬:
‫اﮔﺮ‬α1،α2،...‫و‬αn‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬A‫و‬β1،β2،...‫و‬βn‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬B‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬ ،‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‬‫ﺑﻔﺮد‬ ‫ﻣﻨﺤﺼﺮ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬
‫دﻟﺨﻮاه‬ ‫زوج‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫دارد‬(i,j)‫ﺑﺎﺷﯿﻢ‬ ‫داﺷﺘﻪ‬:
0≠+ ji βα
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬lyap‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺧﻄﺎ‬ ‫ﭘﯿﻐﺎم‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬:
Solution does not exits or is not uniqe
‫دﺳﺘﻮر‬dlyap‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫را‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫ﻟﯿﺎﭘﺎﻧﻮف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬.
2-15-‫دﺳﺘﻮر‬null:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺗﻬﯽ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬
•‫ﻧﮕﺎرش‬:B=null(A)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫دﺳﺘﻮر‬B=null(A)‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫ﯾﮏ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﻬﯽ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﯾﮑﻪ‬A‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬.
‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫واﺿﺢ‬:IBBT
=‫ﺳﺘﻮﻧﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫و‬B،‫ﺗﻬﯽ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫اﺑﻌﺎد‬1
A‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫را‬.
» A=[1 2 3;1 2 3;1 2 3]
A =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
» null(A)
ans =
1
Nullity

24
-0.1690 -0.9487
0.8452 0
-0.5071 0.3162
» null(A,'r')
ans =
-2 -3
1 0
0 1
2-16-‫دﺳﺘﻮر‬obsv:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
Ob=obsv(A,C)
Ob=obsv(sys)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫دﺳﺘﻮر‬obsv‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬.‫اﮔﺮ‬A‫ﯾﮏ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬n*n‫و‬C‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﯾﮏ‬p*n‫دﺳﺘﻮر‬ ،‫ﺑﺎﺷﺪ‬obsv(A,C)‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬:
[ ]Tn
CACACACOb 12 −
= L
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫واﺿﺢ‬rank[obsv(A,C)]‫روﯾﺖ‬ ‫ﺗﻮان‬ ‫ﻣﯽ‬‫ﮐﺮد‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬.
‫اﮔﺮ‬sys‫دﺳﺘﻮر‬ ، ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬obsv(sys)‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬
‫ﮐﺮد‬.
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدل‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬:
Ob=obsv(sys.a,sys.b)
•‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬:
DuCxy
BuAxx
+=
+=
•
‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬:






=





−
=
10
01
,
24
11
BA
‫اﺳﺖ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﺗﮑﻪ‬.
» A=[1 1;4 -2];
» B=eye(2);
» C=[1 0];
» D=0;
» rank(obsv(A,C))
ans =
2

25
obsvf:‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺟﺪا‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬.
2-17-‫دﺳﺘﻮر‬obsvf:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﮐﺮدن‬ ‫ﺟﺪا‬
[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=obsvf(A,B,C)
[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=obsvf(A,B,C,tol)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬:
DuxCy
BuxAx
np
nn
+=
+=
×
×
•
‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫رﺗﺒﻪ‬ ‫اﮔﺮ‬‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮی‬r‫ﺑﺎﺷﺪ‬)‫و‬r<n(‫ﻧﯿﺴﺖ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫آﻧﮕﺎه‬.‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ،‫اﯾﻨﺤﺎﻟﺖ‬ ‫در‬T
‫ﮐﻪ‬ ‫دارد‬ ‫وﺟﻮد‬unitary‫روﯾﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺟﺪا‬ ‫ﻫﻢ‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬.
TT
CTCTBBTATA === ,,
‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬ ‫ﺑﺎ‬،‫روﯾﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬‫ﺑﺎﻻ‬ ‫ﮔﻮﺷﻪ‬ ‫در‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬-‫ﭼ‬‫ﭗ‬‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬A‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻗﺮار‬:
[ ]o
o
nono
CC
B
B
B
A
AA
A 0,,
0 0
12
=





=





=
‫زوج‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬[Abar,Bbar,Cbar,k]=obsvf(A,B,C)‫ر‬‫وﯾﺖ‬‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﮐﺎﻣﻞ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬Ano‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬.
‫دﺳﺘﻮر‬[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=obsvf(A,B,C)‫ﻫﺎی‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬A‫و‬B‫و‬C‫ﻗﺒﻼ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﻧﺤﻮی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬"‫ﺷﺪ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬.T‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﮐﺮدن‬ ‫ﺟﺪا‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬.k‫ﺑﺮدار‬ ‫ﯾﮏ‬n‫اﺳﺖ‬ ‫ﻋﻀﻮی‬)n
‫اﺑﻌﺎد‬A‫اﺳﺖ‬(‫ﻫ‬ ‫و‬‫ﻧﮕﺎﺷﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺗﮑﺮار‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫آن‬ ‫ﻋﻀﻮ‬ ‫ﺮ‬T‫روﯾﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ،‫ﭘﺬﯾﺮ‬
‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺟﺪا‬.
‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫در‬sum(k)‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬Ao‫را‬‫داد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬.‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬obsvf(A,B,C,tol)‫اﻧﺠﺎم‬ ‫ﺗﻠﺮاﻧﺲ‬ ‫ﺗﻮان‬ ‫ﻣﯽ‬
‫ﻧﯿﺰ‬ ‫را‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫و‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎﻫﺎی‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬‫ﺗﻌﯿﯿ‬‫ﻦ‬‫ﮐﺮد‬.
obsv:‫ﭘﺬﯾﺮی‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
2-18-‫دﺳﺘﻮر‬place:
•‫ﻫﺪف‬:‫ورودی‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﺟﺎﯾﺎب‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬
K=place(A,B,P)
[K,prec,message]=place(A,B,P)
‫ورودی‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬)‫ورودی‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﯾﺎ‬(‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬ ‫زﯾﺮ‬:
BuAxx +=
•

26
‫ﻣﯽ‬ ‫ﻓﺮض‬‫ﺷﻮ‬‫ﺑﺮدار‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫د‬P‫ﺣ‬‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻣﻄﻠﻮب‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬ ‫ﻣﺤﻞ‬ ‫ﺎوی‬1
.‫دﺳﺘﻮر‬K=place(A,B,P)
‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬K‫ﻗﺎﻧﻮن‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫را‬u=-Kx‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬
‫ﺑﺮدار‬ ‫در‬ ‫ﺷﺪه‬P‫دﻫﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬.‫ﻣﺎ‬ ‫ورودی‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫واﺿﺢ‬‫ﺗﺮﯾﺲ‬K‫ﻧﯿﺴﺖ‬ ‫ﺑﻔﺮد‬ ‫ﻣﻨﺤﺼﺮ‬.‫دﺳﺘﻮر‬place‫از‬
‫در‬ ‫اﻏﺘﺸﺎﺷﺎت‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺴﺎﺳﯿﺖ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫اﻟﮕﻮرﯾﺘﻤﻬﺎﯾﯽ‬A‫و‬B‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎﻫﺶ‬2
.
‫دﺳﺘﻮر‬[K,prec,message]=place(A,B,P)‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬K،Prec‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﮔﺮداﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫را‬
‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﻧﺪازه‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ﺗﺎ‬P‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻧﺰدﯾﮏ‬.Precً‫ﺎ‬‫دﻗﯿﻘ‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫را‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎﯾﯽ‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬‫در‬
‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬P‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫اﻧﺪ‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻗﺮار‬.‫از‬ ‫ﺑﯿﺶ‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬ ‫از‬ ‫ﯾﮑﯽ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﺑﻌﻼوه‬10%‫از‬
‫در‬ ‫ﻫﺸﺪار‬ ‫ﭘﯿﻐﺎم‬ ‫ﯾﮏ‬ ،‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫دور‬ ‫ﻣﻄﻠﻮب‬ ‫ﻣﺤﻠﻬﺎی‬message‫ﻣﯿﺸﻮد‬ ‫ﺻﺎدر‬.
‫ﺑﺎ‬‫دﺳﺘﻮر‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬place‫ﮐﺮد‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫روﯾﺘﮕﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺗﻮان‬ ‫ﻣﯽ‬:
L=place(A’,C’,P)’
acker:‫ورودی‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫آﮐﺮﻣﻦ‬ ‫ﻓﺮﻣﻮل‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﺟﺎﯾﺎﺑﯽ‬
2-19-‫دﺳﺘﻮر‬ss:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﻣﺪل‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬LTI‫ﺣﺎﻟ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺖ‬
sys=ss(A,B,C,D);
sys=ss(d);
sys=ss(A,B,C,D,ltisys);
sys=ss(A,B,C,D,’property1’,value1,…,’propertyN’,valueN);
sys_ss=ss(sys)
sys_ss=ss(sys,’minimal’)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫دﺳﺘﻮر‬ss‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﺑﺮای‬-‫ﻗﻄﺐ‬-
‫رود‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬.
‫دﺳﺘﻮر‬SYS=ss(A,B,C,D)‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬:
DuCxy
BuAxx
+=
+=
•
‫اﮔﺮ‬D=0‫ﺻﻔﺮ‬ ‫اﺳﮑﺎﻟﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﮐﺎﻓﯿﺴﺖ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‬)‫آن‬ ‫اﺑﻌﺎد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺪون‬(‫ﺷﻮد‬ ‫وارد‬.
‫دﺳﺘﻮر‬sys=ss(d)‫ﺑ‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬‫ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻬﺮه‬d‫ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدل‬ ‫و‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫را‬:
sys=ss([],[],[],d);
‫دﺳﺘﻮر‬sys=ss(A,B,C,D,ltisys)‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫وﯾﮋﮔﯽ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﯾﮏ‬ltisys‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.‫ﻣﻮ‬ ‫از‬ ‫ﯾﮑﯽ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫وﯾﮋﮔﯽ‬ ‫اﯾﻦ‬.‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺟﺪول‬ ‫در‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ذﮐﺮ‬ ‫ارد‬:
‫وﯾﮋﮔﯽ‬ ‫ﻧﻮع‬‫وﯾﮋﮔﯽ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﯽ‬‫وﯾﮋﮔﯽ‬ ‫ﻧﺎم‬
1
‫ﺳﯿﺴ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬‫وﯾﮋه‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫ﻫﻤﺎن‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺘﻢ‬A-BK‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬.
2
‫اﻧﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫اﻗﺘﺒﺎس‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺮﺟﻊ‬ ‫از‬ ‫اﻟﮕﻮرﯾﺘﻤﻬﺎ‬ ‫اﯾﻦ‬:
Kautsky,J. and N.K.Nichols, "Robust Pole Assignment in Linear State Feedback", Int.J.Control, 41 (1985) , pp.1129-1155

27
‫ﻣﺎ‬‫ﺗﺮﯾﺲ‬‫ورودی‬ ‫ﺗﺄﺧﯿﺮﻫﺎی‬/‫ﺧﺮوﺟﯽ‬IoDelayMatrix
‫ﺑﺮدار‬‫ورودی‬ ‫در‬ ‫ﺗﺄﺧﯿﺮ‬InputDelay
Cell array‫ورودی‬ ‫ﮐﺎﻧﺎﻟﻬﺎی‬ ‫ﮔﺮوه‬InputGroup
Cell vector of string‫ورودی‬ ‫ﮐﺎﻧﺎﻟﻬﺎی‬ ‫اﺳﺎﻣﯽ‬InputName
Text‫ﻣﺪل‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﯽ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﯾﺎدداﺷﺘﻬﺎ‬Notes
‫ﺑﺮدار‬‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﺗﺄﺧﯿﺮﻫﺎی‬OutputDelay
Cell array‫ﮔﺮو‬‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﮐﺎﻧﺎﻟﻬﺎی‬ ‫ه‬OutputGroup
Cell vector of strings‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﮐﺎﻧﺎﻟﻬﺎی‬ ‫اﺳﺎﻣﯽ‬OutputName
‫اﺳﮑﺎﻟﺮ‬‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬‫ﺑﺮداری‬Ts
‫دﻟﺨﻮاه‬‫اﺿﺎﻓﯽ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت‬UserData
‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫داده‬ ‫ﺗﻮﺿﯿﺢ‬ ‫اﺧﺘﺼﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫وﯾﮋﮔﯿﻬﺎ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫از‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫ﻫﺮ‬:
1.‫ﺑﺮداری‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬Ts)‫ﺛﺎﻧﯿﻪ‬ ‫ﺑﺮﺣﺴﺐ‬(‫ﺣﺎﻟ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﺑﺮای‬‫زﻣﺎن‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬ ‫ﺖ‬-‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫رود‬.Ts=0‫زﻣﺎن‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬-‫و‬ ‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬Ts=-1‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ﺑﺮداری‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﻌﺮف‬.
2.‫وﯾﮋﮔﯽ‬InputDelay،OutputDelay‫و‬IoDelayMatrix‫را‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪﻟﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫ﺗﺎﺧﯿﺮ‬ ‫ﮐﺮدن‬ ‫وارد‬ ‫اﻣﮑﺎن‬
‫اﯾﻦ‬ ‫ﻓﺮض‬ ‫ﭘﯿﺶ‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫و‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﯾﺠﺎد‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫وﯾﮋﮔﯿﻬﺎ‬)‫ﺗﺎﺧﯿﺮ‬ ‫ﺑﺪون‬(
3.‫ﻫﺎی‬ ‫وﯾﮋﮔﯽ‬InputName‫و‬OutputName‫ﻧ‬ ‫اﻣﮑﺎن‬‫ﺎ‬‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﺎرﺑﺮ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎ‬ ‫و‬ ‫ورودﯾﻬﺎ‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﻣﮕﺬاری‬.
4.InputGroup‫و‬OutputGroup‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬ ‫و‬ ‫ورودﯾﻬﺎ‬ ‫ﺑﻨﺪی‬ ‫ﮔﺮوه‬ ‫اﻣﮑﺎن‬.‫ﺑﻪ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬5‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ،‫ورودی‬‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻮﯾﺲ‬‫ﺗﻮاﻧﺪ‬3‫ﮔﺮوه‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ورودی‬control‫و‬2‫در‬ ‫را‬ ‫ورودی‬
‫ﮔﺮوه‬noise‫دﻫﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬.
5.‫وﯾﮋﮔﯿﻬﺎی‬Notes‫و‬User data‫اﻧﺪ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ﻧﻮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫اﺿﺎﻓﯽ‬ ‫ﻣﻮارد‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﻧﯿﺰ‬.Notes
‫ﯾﮏ‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ‬textً‫ﻻ‬‫ﻣﻌﻤﻮ‬ ‫و‬ ‫ﺑﻮده‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫درﺑﺎره‬ ‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎﺗﯽ‬ ‫ﺣﺎوی‬.‫وﯾﮋﮔﯽ‬ ‫در‬User data‫ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫را‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫داده‬.
‫ﺷﺪ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫وﯾﮋﮔﯿﻬﺎ‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﻫﯽ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻧﺤﻮه‬ ،‫ﺷﺪه‬ ‫ذﮐﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻠﻬﺎی‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫اﻧﺘﻬﺎی‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯾﯽ‬ ‫در‬.
‫دﺳﺘﻮر‬sys_ss=ss(sys)‫ﻣﺪل‬sys،‫دﺳﺘﻮرات‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻮﻟﯿﺪ‬tf‫و‬zpk‫ﻣﺪل‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬sys_ss‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫در‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬.‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺎت‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬.
‫دﺳﺘﻮر‬sys_ss=ss(sys,’minimal’)‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫از‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﯾﮏ‬sys‫آن‬ ‫در‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اراﺋﻪ‬ ‫ﭼﻨﺎن‬ ‫را‬
‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮی‬ ‫ﮐﻨﺘﺮل‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ‬ ‫روﯾﺖ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻫﯿﭻ‬.
‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻌﺎدل‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬:
sys_ss=mineral(ss(sys))
‫ﻣﺜﺎل‬1:‫ورودی‬ ‫ﺗﮏ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬/‫ﮔﯿﺮﯾﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫ا‬ ‫ر‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دار‬ ‫ﺗﺎﺧﯿﺮ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﺗﮏ‬:
‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮرات‬plant‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﯽ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫در‬ ‫را‬:
» sys=tf(1,[1 1]);
» sys_ss=ss(sys);
‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺎﺧﯿﺮ‬ ‫اﻓﺰودن‬ ‫ﺑﺮای‬plant،‫وﯾﮋﮔﯽ‬Input Delay‫ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫دﻫﯽ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫را‬.‫اﯾﻨﮑﺎر‬‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺎ‬set‫ﺷﻮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬:

28
» set(sys_ss,’InputDelay’,0.3);
‫ﻣ‬ ‫ﮐﺎر‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫آن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﯾﺎدداﺷﺖ‬ ‫ﯾﮏ‬ ‫اﻓﺰودن‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫و‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫و‬ ‫ورودی‬ ‫ﻧﺎﻣﮕﺬاری‬ ‫ﺑﺮای‬‫ﯽ‬‫ﺑﺮﯾﻢ‬:
»set(sys_ss,’InputName’,’energy’,Outputname’,’temprature’,’Notes’,’A
Sample Heater Mode’)
‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ﺗﺮﺗ‬‫ﯿﺐ‬sys_ss‫ﺧﻮﺑﯽ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﭘﻠﻪ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫دار‬ ‫ﺗﺎﺧﯿﺮ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫واﻗﻊ‬ ‫در‬3/0‫ﺛﺎﻧﯿﻪ‬
‫ﮐﺮد‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫اﺑﺘﺪای‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ﻣﺮده‬ ‫زﻣﺎن‬.
‫دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺷﻮد‬ ‫آﮔﺎه‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺗﻨﻈﯿﻢ‬ ‫وﯾﮋﮔﯿﻬﺎی‬ ‫از‬ ‫ﯾﮑﯽ‬ ‫ﻓﻌﻠﯽ‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫از‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻧﻮﯾﺲ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫در‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬get‫ﻣﻮرد‬
‫ﻗﺮا‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬‫ﮔﯿﺮد‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ر‬.‫ﻗﺒﻞ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫در‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺑﻪ‬:
» get(sys_ss,’InputDelay’)
ans=
0.3000
‫اﺳﺖ‬ ‫اﻣﮑﺎﻧﭙﺬﯾﺮ‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺘﺮﺳﯽ‬ ‫اﯾﻦ‬:
» sys_ss.InputDelay
ans=
0.3000
‫ﻣﺜﺎل‬2:
‫ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫در‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﻗﺮاردادن‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼوه‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬system‫و‬ ‫ﺣﺎﻟﺘﻬﺎ‬ ،‫ﻧﺎﻣﮕﺬاری‬ ‫ﻧﯿﺰ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬.
A=[0 1;-1 -2];
B=[1;1];
C=[1 0;0 2];
D=0;
system=ss(A,B,C,D,'statename',{'position' 'velocity'},…
'Outputname',{'out1';'out2'});
2-20-‫دﺳﺘﻮر‬ssdata:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺘﺮﺳﯽ‬A،B،C‫و‬D‫ﻣﺪل‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬
•‫ﻧﮕﺎرش‬:[A,B,C,D]= ssdata (SYS)‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬
[A,B,C,D,Ts]=ssdata(SYS)‫ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫زﻣﺎن‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی‬
‫ﻗﻄﺐ‬ ‫ﯾﺎ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ‬/‫ﺻﻔﺮ‬/‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫دﺳﺘﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬ ، ‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﻬﺮه‬‫ﻣﺮده‬
‫ﺳﭙﺲ‬ ،A‫و‬B‫و‬C‫و‬D‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﺳﺘﺨﺮاج‬ ‫را‬.
ss:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
2-21-‫دﺳﺘﻮر‬ss2ss:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻣﺤﻮرﻫﺎی‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬1
‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫در‬)‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬(
1
State Coordinates

29
•‫ﻧﮕﺎرش‬:SYST=ss2ss(SYS,T)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬SYS‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﺑﺎ‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﻔﺮوض‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬:
DuCxy
BuAxx
+=
+=
•
‫دﺳﺘﻮر‬ss2ss‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬Txx =‫ﺑﺮدار‬ ‫روی‬ ‫را‬x‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫و‬ ‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫اﻋﻤﺎل‬SYST‫را‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺑﺎ‬
‫دﻫﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ‬.
DuxCTy
TBuxTATx
+=
+=
−
−
•
1
1
‫دﺳﺘﻮر‬SYST= ss2ss (SYS,T)‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫درﯾﺎﻓﺖ‬ ‫ﺑﺎ‬SYS‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫و‬‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬T‫ﻣﻌﺎدل‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬SYST‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫را‬
‫ﮐﻨﺪ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬T‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫وارون‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬.
•‫دﺳﺘﻮ‬‫رﻫﺎی‬‫ﻣﺮﺗﺒﻂ‬:
canon:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫در‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬
2-22-‫دﺳﺘﻮر‬ss2tf:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬
•‫ﻧﮕﺎرش‬:[Num,Den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
•‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬:‫ﺗ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺒﺪﯾﻞ‬
DuCxy
BuAxx
+=
+=
•
‫ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫را‬iu‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫ورودی‬ ‫اﻣﯿﻦ‬.‫اﺳﺖ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﻃﺒﻖ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬:
DBAsIC
sDen
sNum
sH +−== −1
)(
)(
)(
)(
‫ﺑﺮدار‬Den‫ﻧﺰوﻟﯽ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻬﺎی‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫ﺑﺮ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻣﺨﺮج‬ ‫ﺿﺮاﯾﺐ‬ ‫ﺣﺎوی‬s‫اﺳﺖ‬.‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ‬ ‫ﺳﻄﺮﻫﺎی‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬Num‫ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎی‬‫اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫ﺧﺮوﺟﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﻄﺮ‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬.
tf2ss:‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬
ss2ss:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫روی‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻬﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬
2-23-‫دﺳﺘﻮر‬tf2ss:
•‫ﻫﺪف‬:‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫آوردن‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ‬
•‫ﻧﮕﺎرش‬:[A,B,C,D]=tf2ss(Num,Den)
‫ﮐﻨﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫را‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬.
DuCxy
BuAxx
+=
+=
•
‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻣﯽ‬ ‫ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ‬ ‫ﮐﺎﻧﻮﻧﯿﮑﺎل‬ ‫ﻓﺮم‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬.

30
ss2tf:‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﻀﺎی‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ‬

31
‫ﺑﺮﻧﺎ‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬‫ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﻫﺎی‬ ‫ﻣﻪ‬
‫ﮐﺘﺎب‬ ‫ﻣﺘﻦ‬
3

32
3-1-‫ﻏﯿﺮﺧﻄﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﭘﺎﺳﺨﻬﺎی‬ ‫رﺳﻢ‬)‫ﻣﺜﺎل‬5-3(
‫ﻣﺜﺎل‬ ‫در‬5-3‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ،‫ﻣﻌﮑﻮس‬ ‫آوﻧﮓ‬ ‫ﺷﺪۀ‬ ‫ﺧﻄﯽ‬ ‫ﻣﺪل‬ ‫ﺑﺮای‬
ke=[-1.91 -4.262 -45.49 -15.64]‫در‬ ‫ﺑﺴﺘﻪ‬ ‫ﺣﻠﻘﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﻗﻄﺒﻬﺎی‬ ‫ﺗﺎ‬ ‫ﮔﺮدﯾﺪ‬ ‫ﻃﺮاﺣﯽ‬
[-1,-2,-2.5,-3]‫ﮔﯿﺮﻧﺪ‬ ‫ﻗﺮار‬.‫ﻋﻤﻠﮑﺮد‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫اﻣﺎ‬‫ﻏﯿﺮﺧﻄﯽ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﺮروی‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﻓﯿﺪﺑﮏ‬ ‫اﯾﻦ‬
‫آزﻣﻮد‬.‫ﻫﺴﺘﯿﻢ‬ ‫ﻏﯿﺮﺧﻄﯽ‬ ‫دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻧﯿﺎزﻣﻨﺪ‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬.‫اﻓﺰار‬ ‫ﻧﺮم‬ ‫در‬ ‫اﯾﻨﮑﺎر‬Matlab‫ﺑﺎ‬ ً‫ﻻ‬‫ﻣﻌﻤﻮ‬
‫دﺳﺘﻮرﻫﺎی‬1
ODE‫ﻣﯽ‬ ‫اﻧﺠﺎم‬‫ﮔﯿﺮد‬.‫اﺳﺖ‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫ﺑﺮرﺳﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺷﯿﻮۀ‬ ،‫ﺗﻔﺼﯿﻞ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫در‬ ‫اﻣﺎ‬.‫ﻓﺎﯾﻞ‬ ‫دو‬
‫ﻧﺎﻣﻬﺎ‬ ‫ﺑﻪ‬‫ی‬EXP5_3‫و‬ode‫ﺷﺪه‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫درﻧﻈﺮ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﯾﻦ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﺑﺮای‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫ﺻﻮرت‬ ‫ﺑﻪ‬‫اﻧﺪ‬.
‫ض‬ ‫ﺷﮑﻞ‬1-1-‫ﻓﺎﯾﻞ‬EXP5_3
1
ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb
%~~ Chapter 5, Example 3
clc
clear all;
%~~~~~ PARAMETERS DEFINITION ~~~~~
m=.1; % Kg - mass of pendulum
M=1; % Kg - mass of cart
I=.06; % Kg.m^2 - moment of inertia
g=9.81; % m/sec^2
L=.35; % meter (length of pendulum is 2*L)
m1_bar=m*L/(m+M);
m2_bar=m*L/(I+m*L^2);
%~~~~~~~ Simulation Time=5 sec
t=0.01:.01:5;
[rt,ct]=size(t);
par=[m,M,I,g,L,m1_bar,m2_bar];
%~~~~~ 1. teta(0)=5 deg ~~~~~~~~~~~~~
teta_0=5*(pi/180); % teta(0) in radian
x(:,1)=[0;0;teta_0;0]; % initial state
teta_5=ode(par,ct,x(:,1)); % calling user-defined
function: ode
plot(t,teta_5,'b-');
%~~~~~ 2. teta(0)=20 deg ~~~~~~~~~~~~~
teta_0=20*(pi/180); % teta(0) in radian
function: ode
hold on;plot(t,teta_5,'b--');

33
‫ض‬ ‫ﺷﮑﻞ‬1-1-)‫اداﻣﻪ‬(‫ﻓﺎﯾﻞ‬EXP5_3.m
‫ض‬ ‫ﺷﮑﻞ‬1-2-‫ﻓﺎﯾﻞ‬ode.m
%~~~~~ 4. teta(0)=33.4 deg ~~~~~~~~~~~~~
teta_0=33.4*(pi/180); % teta(0) in radian
function: ode
hold on;plot(t,teta_5,'b:');
legend('initial angle= 5 deg','initial angle= 20
deg','initial angle= 33.4 deg',3);
function [teta]=ode(par_in,ct,x);
x(:,1)=x; % initial state
%~~~~~ DEFINITION OF PARAMETERS ~~~~~
m=par_in(1);
M=par_in(2);
I=par_in(3);
g=par_in(4);
L=par_in(5);
m1_bar=par_in(6);
m2_bar=par_in(7);
mb=m1_bar*m2_bar; %parameter definition only
for convenience!
for k=2:ct
%~~~~~ STATE FEEDBACK ~~~~~~~~~~~~~~~
ke=[-1.91 -4.262 -45.49 -15.64];
u=-ke*x(:,k-1);
%~~~~~ NONLINEAR DYNAMIC EQUATION ~~~~~
x1_dot=x(2,k-1);
x2_dot1=-mb*g*cos(x(3,k-1))*sin(x(3,k-1))/(1-
mb*cos(x(3,k-1))^2);
x2_dot2=(m1_bar*sin(x(3,k-1))*x(4,k-1)^2)/(1-
mb*cos(x(3,k-1))^2);
x2_dot3=u/((m+M)*(1-mb*cos(x(3,k-1))^2));
x2_dot=x2_dot1+x2_dot2+x2_dot3;
x3_dot=x(4,k-1);
x4_dot1=g*m2_bar*sin(x(3,k-1))/(1-mb*cos(x(3,k-1))^2);
x4_dot2=-(mb*sin(x(3,k-1))*x(4,k-1)^2)/(1-mb*cos(x(3,k-
1))^2);
x4_dot3=-m2_bar*cos(x(3,k-1))*u/((m+M)*(1-mb*cos(x(3,k-
1))^2));

Modern Control Matlab_Dr. Khaki Seddigh

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