O documento discute a fração de massa de gás em aglomerados de galáxias a partir de duas abordagens: emissão de raios-X via Bremsstrahlung e efeito Sunyaev-Zel'dovich. A massa de gás é calculada usando o modelo β isotérmico, enquanto a massa total considera o equilíbrio hidrostático. A fração de gás é dada pela razão entre essas massas.

1. Fra¸˜o de G´s
ca
a
Simony Santos
Universidade Federal de Campina Grande
07 de Janeiro de 2014
1 / 27

2. 1
Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Massa total de um aglomerado
2
fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
2 / 27

3. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de
ca
a
Gal´xias
a
Vamos analisar a fra¸˜o de massa de g´s sob duas
ca
a
abordagens que permitem sua detec¸˜o: via Bremsstrahlung
ca
(com emiss˜o em raios-X) e o efeito Sunyaev-Zel’dovich (com
a
emiss˜o em microondas).
a
3 / 27

4. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
A massa dos aglomerados pode ser inferida da seguinte
forma:
Mgal = Ltot
M
L
(1)
4 / 27

5. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
A massa dos aglomerados pode ser inferida da seguinte
forma:
Mgal = Ltot
M
L
(1)
A luminosidade Ltot ´ proporcional ao quadrado da
e
distˆncia de luminosidade e a raz˜o massa-luminosidade ´ proa
a
e
porcional apenas ao parˆmetro de Hubble, logo:
a
2
Mgal α hdL (Z , Ωi , h)
(2)
4 / 27

6. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Contudo, a maior parte da contribui¸˜o da mat´ria
ca
e
bariˆnica em um aglomerado de gal´xia prov´m do g´s do
o
a
e
a
Meio Intra-Aglomerado (MIA).
5 / 27

7. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Por defini¸˜o, a massa de um g´s que ocupa um certo
ca
a
volume V ´ dada pela express˜o:
e
a
Mgal (< V ) =
ρgas dV
(3)
V
6 / 27

8. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Por defini¸˜o, a massa de um g´s que ocupa um certo
ca
a
volume V ´ dada pela express˜o:
e
a
Mgal (< V ) =
ρgas dV
(3)
V
Supondo uma simetria esf´rica,
e
R
ρgas r 2 dr
Mgal (< V ) = 4π
(4)
0
6 / 27

9. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Supondo ainda que a densidade do g´s no aglomerado ´
a
e
distribu´ segundo o modelo-β isot´rmico com simetria esf´rica,
ıda
e
e
a densidade de el´trons ´ dada por:
e
e
ne (r ) = ne0
r2
1+ 2
rc
−3β
2
(5)
7 / 27

10. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Supondo ainda que a densidade do g´s no aglomerado ´
a
e
distribu´ segundo o modelo-β isot´rmico com simetria esf´rica,
ıda
e
e
a densidade de el´trons ´ dada por:
e
e
ne (r ) = ne0
r2
1+ 2
rc
−3β
2
(5)
Considerando que o g´s do MIA seja constitu´
a
ıdo, basicamente, de hidrogˆnio e h´lio, obtemos as densidades do hidrogˆnio
e
e
e
e h´lio como sendo respectivamente:
e
nH (r ) =
2X
1+X
ne (r )
(6)
e
nHe (r ) =
1−X
2(1 + X )
ne (r )
(7)
7 / 27

11. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Da´
ı,
ρgas = ρH + ρHe
ρgas = (nH + 4nHe )mH
2X
4(1 − X )
+
ρgas =
1+X
2(1 + X )
ρgas
2ne0 mH
=
(1 + X )
r2
1+ 2
rc
ne (r )mH
−3β
2
(8)
8 / 27

12. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Substituindo (8) em (4), obtemos:
8πne0 mH
Mgas (< R) =
(1 + X )
R
0
r2
1+ 2
rc
−3β
2
r 2 dr
(9)
9 / 27

13. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Substituindo (8) em (4), obtemos:
8πne0 mH
Mgas (< R) =
(1 + X )
R
0
r2
1+ 2
rc
−3β
2
r 2 dr
(9)
Definindo,
x=
r
rc
9 / 27

14. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Substituindo (8) em (4), obtemos:
8πne0 mH
Mgas (< R) =
(1 + X )
R
0
r2
1+ 2
rc
−3β
2
r 2 dr
(9)
Definindo,
x=
r
rc
A integral na eq. (9), torna-se:
r
IM ( , β) =
rc
r
rc
(1 + x)
−3β
2
x 2 dx
(10)
0
9 / 27

15. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Dessa forma,
Mgas (< R) =
3
r
8πne0 mH rc
IM ( , β)
(1 + X )
rc
(11)
que representa a massa em forma de g´s do aglomerado de
a
gal´xias.
a
10 / 27

16. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa em forma de g´s do MIA
a
Dessa forma,
Mgas (< R) =
3
r
8πne0 mH rc
IM ( , β)
(1 + X )
rc
(11)
que representa a massa em forma de g´s do aglomerado de
a
gal´xias.
a
Vamos deduzir agora a express˜o para a mat´ria total
a
e
contida em um aglomerado com o intuito de obter a express˜o
a
final para a fgas , que ´, literalmente, a raz˜o entre a mat´ria
e
a
e
em forma de g´s e a mat´ria total (incluindo mat´ria escura).
a
e
e
10 / 27

17. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa total de um aglomerado
Massa total de um aglomerado
Para a inferˆncia da massa total em um aglomerado,
e
utilizaremos a suposi¸˜o de que o g´s do MIA e as gal´xias
ca
a
a
est˜o em equil´
a
ıbrio hidrost´tico e isot´rmico.
a
e
11 / 27

18. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa total de um aglomerado
Massa total de um aglomerado
Para a inferˆncia da massa total em um aglomerado,
e
utilizaremos a suposi¸˜o de que o g´s do MIA e as gal´xias
ca
a
a
est˜o em equil´
a
ıbrio hidrost´tico e isot´rmico.
a
e
Da equa¸˜o de Euler para o equil´
ca
ıbrio hidrost´tico com
a
simetria esf´rica,
e
dp
GMH ρ
=− 2
dr
r
(12)
11 / 27

19. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa total de um aglomerado
Massa total de um aglomerado
Para a inferˆncia da massa total em um aglomerado,
e
utilizaremos a suposi¸˜o de que o g´s do MIA e as gal´xias
ca
a
a
est˜o em equil´
a
ıbrio hidrost´tico e isot´rmico.
a
e
Da equa¸˜o de Euler para o equil´
ca
ıbrio hidrost´tico com
a
simetria esf´rica,
e
dp
GMH ρ
=− 2
dr
r
(12)
Al´m disso, utilizando a equa¸˜o para gases perfeitos,
e
ca
tal que,
p=
ρkB TG
µmH
(13)
11 / 27

20. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa total de um aglomerado
Temos que,
Mtot (< R) =
KB RTG
µGMH
d ln ρ d ln T
+
d ln r
d ln r
|r =R
(14)
12 / 27

21. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias
ca
a
a
Massa total de um aglomerado
Temos que,
Mtot (< R) =
KB RTG
µGMH
d ln ρ d ln T
+
d ln r
d ln r
|r =R
(14)
Como consideramos os sistema isot´rmico, dTG = 0,
e
logo:
KB RTG d ln ρ
|r =R
µGMH d ln r
R3
3βKB TG
Mtot (< R) =
2
µGMH
(rc + R 2 )
Mtot (< R) =
(15)
12 / 27

22. fgas de Aglomerados
fgas de Aglomerados
Por defini¸˜o, a fra¸˜o de massa de g´s em um aglomerado
ca
ca
a
´ a raz˜o entre a massa de g´s e a massa total (escura + bariˆnica)
e
a
a
o
no aglomerado. Utilizando as equa¸˜es (11) e (15), temos:
co
13 / 27

23. fgas de Aglomerados
fgas de Aglomerados
Por defini¸˜o, a fra¸˜o de massa de g´s em um aglomerado
ca
ca
a
´ a raz˜o entre a massa de g´s e a massa total (escura + bariˆnica)
e
a
a
o
no aglomerado. Utilizando as equa¸˜es (11) e (15), temos:
co
fgas
fgas
3
2
Mgas
8πne0 mH rc
µGMH
r
rc + R 2
=
IM ( , β)
Mtot
(1 + X )
rc
3βKB TG
R3
2
5
3
8πmH µG
rc + rc R 2
r
IM ( , β)
(16)
= ne0
3
3(1 + X )βKB TG
R
rc
=
onde todos os parˆmetros foram definidos anteriormente.
a
13 / 27

24. fgas de Aglomerados
No entanto, de todos os parˆmetros observacionais ena
volvidos, a densidade de el´trons na regi˜o central, ne0 , ´ o
e
a
e
unico que n˜o pode ser inferido observacionalmente. Para
´
a
obter tal densidade, vamos recorrer a dois efeitos distintos:
radia¸˜o de Bremsstrahlung e via efeito Sunyaev-Zel’dovich.
ca
14 / 27

25. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
fgas via Bremsstrahlung
A emiss˜o em raios-X nos aglomerados de gal´xias prov´m
a
a
e
basicamente do g´s que preenche o MIA.
a
15 / 27

26. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
fgas via Bremsstrahlung
A emiss˜o em raios-X nos aglomerados de gal´xias prov´m
a
a
e
basicamente do g´s que preenche o MIA.
a
Devido o g´s do MIA ser extremamente rarefeito e com tema
peraturas elevadas (da ordem de 108 K ), ele ´ altamente ionizado e
e
opticamente fino. Nestas condi¸˜es, el´trons livres s˜o espalhados
co
e
a
pelos ´
ıons do g´s, acarretando na emiss˜o em raios-X observada.
a
a
15 / 27

27. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
fgas via Bremsstrahlung
A emiss˜o em raios-X nos aglomerados de gal´xias prov´m
a
a
e
basicamente do g´s que preenche o MIA.
a
Devido o g´s do MIA ser extremamente rarefeito e com tema
peraturas elevadas (da ordem de 108 K ), ele ´ altamente ionizado e
e
opticamente fino. Nestas condi¸˜es, el´trons livres s˜o espalhados
co
e
a
pelos ´
ıons do g´s, acarretando na emiss˜o em raios-X observada.
a
a
O processo descrito anteriormente ´ conhecido como Bremse
strahlung, ou emiss˜o livre-livre. A radia¸˜o emitida em Bremssa
ca
trahlung nos fornecer´ a massa atrav´s das medidas de luminosia
e
dade em raios-X do aglomerado.
15 / 27

28. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
A luminosidade total emitida pelo aglomerado ´ dada
e
por,
Lx =
V
dLx
dV
dV
(17)
16 / 27

29. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
A luminosidade total emitida pelo aglomerado ´ dada
e
por,
Lx =
V
dLx
dV
dV
(17)
Como estamos considerando simetria esf´rica,
e
R
Lx = 4π
0
dLx 2
r dr
dV
(18)
16 / 27

30. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
A detec¸˜o do g´s intra-aglomerado ´ devido, principalca
a
e
mente, ao efeito Bremsstrahlung t´rmico.
e
17 / 27

31. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
A detec¸˜o do g´s intra-aglomerado ´ devido, principalca
a
e
mente, ao efeito Bremsstrahlung t´rmico.
e
Portanto, podemos supor que as componentes do g´s do
a
MIA est˜o em equil´
a
ıbrio t´rmico, supor uma distribui¸˜o de veloe
ca
cidades maxwelliana e escrever a seguinte express˜o para a densia
dade de luminosidade bolom´trica,
e
dLx
=
dV
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
ne
3 me c 3
Zi2 ni gBi (Zi , TG )
(19)
i
17 / 27

32. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
A detec¸˜o do g´s intra-aglomerado ´ devido, principalca
a
e
mente, ao efeito Bremsstrahlung t´rmico.
e
Portanto, podemos supor que as componentes do g´s do
a
MIA est˜o em equil´
a
ıbrio t´rmico, supor uma distribui¸˜o de veloe
ca
cidades maxwelliana e escrever a seguinte express˜o para a densia
dade de luminosidade bolom´trica,
e
dLx
=
dV
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
ne
3 me c 3
Zi2 ni gBi (Zi , TG )
(19)
i
OBS.: A demonstra¸˜o da equa¸˜o (19) se encontra no cap´
ca
ca
ıtulo
5 do livro ”Radiative Processes in Astrophysics”.
17 / 27

33. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Substituindo (19) em (18), temos:
R
Lx = 4π
0
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
ne
3 me c 3
Zi2 ni gBi (Zi , TG ) r 2 dr
i
18 / 27

34. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Substituindo (19) em (18), temos:
R
Lx = 4π
0
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
ne
3 me c 3
Zi2 ni gBi (Zi , TG ) r 2 dr
i
Lembrando que o g´s do MIA ´ consitu´ basicamente por
a
e
ıdo
hidrogˆnio e h´lio e usando as equa¸˜oes (5), (6) e (7), obtemos:
e
e
ca
Lx =
x
1+
r2
2
rc
−3β/2
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
4πgB
3 me c 3
2X
4(1 − X )
ne0 +
ne0
1+X
2(1 + X )
1+
r2
2
rc
R
ne0 x
0
−3β/2
r 2 dr
(20)
18 / 27

35. fgas de Aglomerados
Lx =
Lx =
2πkB TG
3me
1/2
2πkB TG
3me
1/2
fgas via Bremsstrahlung
R
24 e 6
4πgB
3 me c 3
2
ne0 1 +
0
r2
2
rc
R
4 6
2 e
2
2
4πne0
gB
3 me c 3 (1 + X )
−3β
1+
0
2
r 2 dr
(1 + X )
r2
2
rc
−3β
r 2 dr (21)
Fazendo a seguinte mudan¸a de vari´vel,
c
a
x=
r
rc
e definindo,
IL (
r
, β) =
rc
r
rc
(1 + x 2 )−3β x 2 dx
(22)
0
19 / 27

36. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Obtemos,
Lx (< R) =
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
r
2
2 3
4πne0 rc IL ( , β) (23)
gB (TG )
3 me c 3
(1 + X )
rc
20 / 27

37. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Obtemos,
Lx (< R) =
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
r
2
2 3
4πne0 rc IL ( , β) (23)
gB (TG )
3 me c 3
(1 + X )
rc
Resolvendo (23) para ne0 , temos:
ne0 =
3me
2πkB TG
1/4
3 me c 3
24 e 6
1/2
1+X
2
1/2
1
3
4πgB (TG )rc
1/2
1/2
Lx
1/2 r
IL ( r , β)
c
20 / 27

38. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Obtemos,
Lx (< R) =
2πkB TG
3me
1/2
24 e 6
r
2
2 3
4πne0 rc IL ( , β) (23)
gB (TG )
3 me c 3
(1 + X )
rc
Resolvendo (23) para ne0 , temos:
ne0 =
3me
2πkB TG
1/4
3 me c 3
24 e 6
1/2
1/2
1+X
2
1
3
4πgB (TG )rc
1/2
1/2
Lx
1/2 r
IL ( r , β)
c
Por fim, substituindo o resultado anterior em (16), temos:
fx =
3
8
πme 2 c 6 mH µ4 G 4
5 T 5 (1 + X )2 e 12 g 2 β 4
24kB G
B
1/4
IM ( rr , β)
c
1/2
IL ( rr
c
, β)
5
3
rc + rc R 2
3
R
1/2
Lx (< R)
(24)
20 / 27

39. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Analisando a express˜o (24), podemos perceber que alguns
a
termos tˆm dependˆncia com os parˆmetros cosmol´gicos, s˜o
e
e
a
o
a
eles:rc , r e Lx .
21 / 27

40. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Analisando a express˜o (24), podemos perceber que alguns
a
termos tˆm dependˆncia com os parˆmetros cosmol´gicos, s˜o
e
e
a
o
a
eles:rc , r e Lx .
Os dois primeiros s˜o simplesmente as dimens˜es f´
a
o ısicas da
regi˜o central e do aglomerado como um todo, respectivamente.
a
Portanto, ambas s˜o proporcionais ` distˆncia de diˆmetro angua
a
a
a
lar:
rc αdA
(25)
r αdA
(26)
21 / 27

41. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Analisando a express˜o (24), podemos perceber que alguns
a
termos tˆm dependˆncia com os parˆmetros cosmol´gicos, s˜o
e
e
a
o
a
eles:rc , r e Lx .
Os dois primeiros s˜o simplesmente as dimens˜es f´
a
o ısicas da
regi˜o central e do aglomerado como um todo, respectivamente.
a
Portanto, ambas s˜o proporcionais ` distˆncia de diˆmetro angua
a
a
a
lar:
rc αdA
(25)
r αdA
(26)
enquanto, a luminosidade Lx ´ proporcional ao quadrado da
e
distˆncia de luminosidade,
a
2
Lx αdL
(27)
21 / 27

42. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Identificando por A todos os valores independentes dos
parˆmetros cosmol´gicos na eq. (24), obtemos que a medida
a
o
da massa do g´s obtida em raios-X (fx ) se relaciona com os
a
parˆmetros cosmol´gicos da seguinte forma:
a
o
1/2
fx = AdA dL
(28)
22 / 27

43. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Identificando por A todos os valores independentes dos
parˆmetros cosmol´gicos na eq. (24), obtemos que a medida
a
o
da massa do g´s obtida em raios-X (fx ) se relaciona com os
a
parˆmetros cosmol´gicos da seguinte forma:
a
o
1/2
fx = AdA dL
(28)
Tomando a rela¸˜o de dualidade de distˆncia c´smica,
ca
a
o
dL
=η⇒
dA (1 + z)2
dL = ηdA (1 + z)2
22 / 27

44. fgas de Aglomerados
fgas via Bremsstrahlung
Temos,
3/2
fx = AηdA
(29)
que ´ a express˜o geral para a fra¸˜o de g´s em raios-X em
e
a
ca
a
fun¸˜o da distˆncia de diˆmetro angular, n˜o sendo feita neca
a
a
a
nhuma suposi¸˜o, a priori, sobre a rela¸˜o de dualidade de
ca
ca
distˆncia c´smica.
a
o
23 / 27

45. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
O efeito Sunyaev-Zel’dovich (ESZ) ocorre quando os pr´prios
o
f´tons da radia¸˜o c´smica de fundo (RCF) s˜o espalhados ao atraveso
ca o
a
sarem o g´s do MIA e, assim, tem seu espectro de temperatura alterado.
a
24 / 27

46. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
O efeito Sunyaev-Zel’dovich (ESZ) ocorre quando os pr´prios
o
f´tons da radia¸˜o c´smica de fundo (RCF) s˜o espalhados ao atraveso
ca o
a
sarem o g´s do MIA e, assim, tem seu espectro de temperatura alterado.
a
Apesar do ESZ poder ser apresentado sob outras condi¸˜es, sua
co
principal detec¸˜o ´ obtida a partir do ESZ t´rmico.
ca e
e
24 / 27

47. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
O efeito Sunyaev-Zel’dovich (ESZ) ocorre quando os pr´prios
o
f´tons da radia¸˜o c´smica de fundo (RCF) s˜o espalhados ao atraveso
ca o
a
sarem o g´s do MIA e, assim, tem seu espectro de temperatura alterado.
a
Apesar do ESZ poder ser apresentado sob outras condi¸˜es, sua
co
principal detec¸˜o ´ obtida a partir do ESZ t´rmico.
ca e
e
A express˜o que relaciona a varia¸˜o de temperatura da RCF, `
a
ca
a
medida que atravessa o MIA, em fun¸˜o da frequˆncia ´ dada por,
ca
e
e
∆TSZ
= f (ν, TG )
TRCF
σT KB
ne TG dl
me c 2
(30)
24 / 27

48. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
Considerando TG uma constante e supondo um modelo-β
isot´rmico para a distribui¸˜o dos el´trons no MIA, temos:
e
ca
e
σT KB TG ne0
∆TSZ
= f (ν, TG )
TRCF
me c 2
1+
r2
2
rc
−3β/2
dr
(31)
25 / 27

49. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
Considerando TG uma constante e supondo um modelo-β
isot´rmico para a distribui¸˜o dos el´trons no MIA, temos:
e
ca
e
σT KB TG ne0
∆TSZ
= f (ν, TG )
TRCF
me c 2
1+
r2
2
rc
−3β/2
dr
(31)
Fazendo novamente uma mudan¸a de vari´veis, temos:
c
a
IT (
r
, β) =
rc
r /rc
1 + x2
−3β/2
dx
(32)
0
25 / 27

50. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
Considerando TG uma constante e supondo um modelo-β
isot´rmico para a distribui¸˜o dos el´trons no MIA, temos:
e
ca
e
σT KB TG ne0
∆TSZ
= f (ν, TG )
TRCF
me c 2
1+
r2
2
rc
−3β/2
dr
(31)
Fazendo novamente uma mudan¸a de vari´veis, temos:
c
a
IT (
r
, β) =
rc
r /rc
1 + x2
−3β/2
dx
(32)
0
E ent˜o,
a
∆TSZ
σT KB TG ne0 rc
r
= f (ν, TG )
IT ( , β)
2
TRCF
me c
rc
(33)
25 / 27

51. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
De maneira an´loga, vamos isolar o termo ne0 em (33)
a
e substitu´ na express˜o para a fra¸˜o de g´s (16). Dessa
ı-lo
a
ca
a
forma, temos:
ne0 =
me c 2 ∆TSZ
1
σT KB TG rc TRCF f (ν, TG )IT ( rrc , β)
26 / 27

52. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
De maneira an´loga, vamos isolar o termo ne0 em (33)
a
e substitu´ na express˜o para a fra¸˜o de g´s (16). Dessa
ı-lo
a
ca
a
forma, temos:
ne0 =
me c 2 ∆TSZ
1
σT KB TG rc TRCF f (ν, TG )IT ( rrc , β)
Logo,
fSZ
r
2
me c 2 ∆TSZ
8πmH µG IM ( rc , β)
=
2 2
σT KB TG rc TRCF 3(1 + X )β IT ( rrc , β)
5
3
rc + rc R 2
(34)
R3
26 / 27

53. fgas de Aglomerados
fgas via efeito Sunyaev-Zel’dovich
Analisando (34), vemos novamente a dependˆncia das
e
quantidades rc e r com a distˆncia de diˆmetro angular. De
a
a
modo que se resumirmos a um termo B os termos que n˜o
a
dependem dos parˆmetros cosmol´gicos, temos:
a
o
fSZ = BdA
(35)
27 / 27