Αρχιμήδης 2020 - Θέματα

1. 37η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ
«Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ»
ΣΑΒΒΑΤΟ 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2020
Θέματα μικρών τάξεων
Πρόβλημα 1
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την ανίσωση:
   
4 2
3
2 2
2 16
x x x
x x
 
  
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με   . Έστω Δ το μέσον της πλευράς ΒΓ και ΒΕ, ΓΖ
ύψη του τριγώνου ΑΒΓ. Η ευθεία ΖΕ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Θ.
α Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου  συναρτήσει της γωνίας ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.
β Να βρείτε τη γωνία ˆ
 συναρτήσει των γωνιών ˆ ˆ
και
  του τριγώνου ΑΒΓ.
Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλες τις τιμές του θετικού ακέραιου  για τις οποίες υπάρχουν τριάδες θετικών
ακέραιων  
, ,
   που είναι λύσεις της εξίσωσης:
   
   . Ε
Για τις τιμές του  που θα βρείτε, να προσδιορίσετε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Ε .
Πρόβλημα 4
Γράφουμε 99 κύκλους σε μία σειρά και στο εσωτερικό τους γράφουμε τους αριθμούς από
το 1 μέχρι το 99:
Χρωματίζουμε καθέναν από τους κύκλους με ένα από τα δύο χρώματα που διαθέτουμε: το
κόκκινο και το πράσινο. Λέμε ότι ένας χρωματισμός είναι «καλός», αν έχει την ιδιότητα:
Οι κόκκινοι κύκλοι στο τμήμα των αριθμών από το 1 μέχρι και το 50 είναι περισσότεροι
από τους κόκκινους κύκλους στο τμήμα των αριθμών από το 51 μέχρι και το 99.
α Να βρείτε πόσοι διαφορετικοί χρωματισμοί μπορούν να κατασκευαστούν.
β Να βρείτε πόσοι διαφορετικοί «καλοί» χρωματισμοί μπορούν να κατασκευαστούν.
Σημείωση: Δύο χρωματισμοί είναι διαφορετικοί, αν έχουν διαφορετικό χρώμα σε έναν
τουλάχιστον κύκλο τους .
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες
Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 5 μονάδες Καλή επιτυχία
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34
106 79 ΑΘΗΝΑ
Τηλ. 2103616532 - 3617784 - Fax: 2103641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Tel. 2103616532 - 3617784 - Fax: 2103641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr

2. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34
106 79 ΑΘΗΝΑ
Τηλ. 2103616532 - 3617784 - Fax: 2103641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Tel. 2103616532 - 3617784 - Fax: 2103641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
37η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ
«Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ»
ΣΑΒΒΑΤΟ 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2020
Θέματα μεγάλων τάξεων
Πρόβλημα 1
Να προσδιορίσετε όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα  
P x και  
Q x με πραγματικούς
συντελεστές που ικανοποιούν την ισότητα:
 
    
3 3
( ) ( )
P Q x xP x Q x
 .
Πρόβλημα 2
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και πάνω σε αυτό σημείο Γ τέτοιο ώστε 3
   .
Κατασκευάζουμε παραλληλόγραμμο ΑΓΔΕ τέτοιο ώστε .
       Θεωρούμε
σημείο Ζ πάνω στην πλευρά ΑΓ έτσι ώστε ˆ ˆ .

    Να αποδείξετε ότι η κάθετη
από το σημείο Β προς την ευθεία ΕΓ και η κάθετη από το σημείο Δ προς την ευθεία ΑΒ
τέμνονται σε σημείο, έστω Κ, πάνω στην ευθεία ΕΖ.
Πρόβλημα 3
Στον πίνακα είναι γραμμένοι σε μία ευθεία οι ακέραιοι από το 1 μέχρι και το 2030 σε
αύξουσα σειρά. Έχουμε το δικαίωμα της «κίνησης» Κ:
Επιλέγουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς ,
  που είναι γραμμένοι σε διαδοχικές θέσεις
και αντικαθιστούμε το ζευγάρι  
,
  με τον αριθμό 2020
( ) .
 

Εκτελούμε την κίνηση Κ αρκετές φορές μέχρι που να μείνει στον πίνακα μόνο ένας
αριθμός. Να εξετάσετε, αν είναι δυνατόν να είναι ο αριθμός αυτός:
α ο 2020
2020 , β ο 2020
2021 .
Πρόβλημα 4
Να βρεθούν όλες τις τιμές του θετικού ακεραίου  που ικανοποιούν την ιδιότητα:
Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι ,
  ώστε η παράσταση
2 2 2 2
( , , )
 
  
    

 
 
να είναι ένας σύνθετος θετικός ακέραιος.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες και 30 λεπτά
Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 5 μονάδες Καλή επιτυχία