Αρχιμήδης 2010 - Λύσεις

1. ( ) 34
106 79
. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
34, Panepistimiou ( leftheriou Venizelou) Street
GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
27
" "
, 27 2010
1
80 3 ,
κ λ
+ { }
, 0,1,2,...
κ λ ∈ =
ʼ .
80 3 ,
κ λ
+ { }
, 0,1,2
κ λ ∈ =
ʼ ,... , -
.
κ
3 0.
0
κ =
1
κ =
( )
80 3 3 26 2 3 2, 26
λ λ ρ ρ
Α = + = + + = + ≥ ,
3 2,
26 3 2, 0,1,2,...25
ρ ρ
+ = .
2
κ =
( )
160 3 3 53 1 3 1, 53
λ λ ρ ρ
Α = + = + + = + ≥ ,
3 2,
53 3 1, 0,1,2,...52
ρ ρ
+ = .
240 -
3
κ ≥
80 3 ,
κ λ
+ ,
κ λ ∈ʼ . -
79 2,5,8, ... ,77 1,4,7,... , 157,
.
2
ΑΒΓΔ α
ΑΒ = β
ΒΓ = .
.
.
, :
ΑΕ = ΑΟ ΒΖ = ΒΟ
ΕΖΓ
(i) 3
β α
= , (ii) ΑΖ , (iii)
= ΕΟ ΕΟ ⊥ ΖΔ .
,
,
,
,
ΑΕ = ΟΓ ΑΓ = ΟΖ ΕΓ = ΖΓ
. .

2. 2
,
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
180 180
ΕΑΓ = ΖΟΓ ⇔ − ΒΑΟ = − ΑΟΒ ⇔ ΒΑΟ = ΑΟΒ
1
ΑΒ = ΒΟ . ΑΟ = ΟΒ ,
. -
α
ΑΒ = .
3
2
α
, -
β
ΒΓ = .
3
3.
2 2
β α
β α
= ⇒ =
(ii) ,
= , = ˆ ˆ
60
ΖΟΑ = = ΕΒΟ
c
.
= .
(iii) ΑΟ = ΑΕ = ΑΒ
. ˆ 90
ΒΟΕ = c
ΕΟ ⊥ ΖΔ .
3
3 -
,
,
a b
x y z 1, :
( )( )( ) 27
ax b ay b az b
+ + + ≥ .
,
x y z ;
( ) ( )
3 2 2 3
27
a xyz a b xy yz zx ab x y z b
+ + + + + + + ≥ . (1)
,
x y z
1
xyz = , –
3
3
x y z xyz 3
+ + ≥ = , (2)

3. 3
( )
2
3
3
3 3
xy yz zx xyyzzx xyz
+ + ≥ = = 3
0
(3)
(2), (3) ,
a b > 1
xyz = ,
( ) ( )
3 2 2 3 3 2 2
3 3
a xyz a b xy yz zx ab x y z b a a b ab b
+ + + + + + + ≥ + + + 3
,
, , , (1), -
( )
3
3 2 2 3
3 3 27 27,
a a b ab b a b
+ + + ≥ + ≥
, .
3
a b
+ =
,
x y z
1
(2) (3) -
, x y z
= = = .
4
1 2 3
,
ε ε ε -
2
ε α 1
ε 3
ε . 5
1 2
, , 3 4
,
Μ Μ Μ Μ Μ5 1 2
, 3
ε ε ε ,
.
1 2
, , 3 4
,
Μ Μ Μ Μ Μ
1 2 3
,
5
ε ε ε , :
( ) 1 2 3 2 4 1 5
, , , 3
ε ε ε
Μ Μ Μ ∈ Μ ∈ Μ ∈ .
( ) 1 2 1 3 4 3 5
, , , 2
ε ε ε
Μ Μ ∈ Μ Μ ∈ Μ ∈ .
5
,
5
10
3
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
.
( ). , 1 2
, , 3
Μ Μ Μ , 2
ε .
2
, -
.

4. 4
-
.
1 2 2 3 1 3
, ,
Μ Μ Μ Μ Μ Μ 2
Μ -
1 3
Μ Μ 4 , 5
Μ Μ
1 2 2
-
1
Μ Μ3 4 α
Μ Μ ≠ Μ Μ
1 3 5
Μ Μ Μ
= ,
.
1 3 4
Μ
Μ Μ
,
1 2 2 4 2 5 α
Μ Μ = Μ Μ = Μ Μ = , , -
, 1 2 4 2 3 4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ
, 4 .
1 2 5
Μ Μ Μ 2 3 5
Μ Μ Μ
2
ε
. -
8
,
.
4 5
Μ Μ
1 4 5
Μ Μ Μ 3
Μ Μ4Μ5
4 1 5
, 3
ε ε
Μ ∈ Μ ∈
1 4
, -
,
4 5
Μ Μ
1 2
Μ Μ 2 5
Μ Μ Μ Μ ( -
, 1 2 2α
Μ Μ ) 4 ,
=
.
1 2 4 1 2 5 1 4 5 2 4 5
, ,
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ 3
Μ
2
ε 2 3 3 4 2 5
Μ Μ = Μ Μ
2 3 4 ,
= Μ Μ
2 3 5
,
, 3 4 5
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
2 3 2
Μ Μ . -
7 . 4 2 5
Μ Μ ≠ Μ Μ = Μ Μ ,
5 .
8.
3
( ). 1, 2
Μ Μ 1
ε
3
3,
Μ Μ4 ε 3
1 2 4
Μ Μ Μ Μ ,
4 , -
,
.

5. 5
4
5
Μ 2
ε , -
1 2 3
, , 4
Μ Μ Μ Μ .
1 2 4 3
Μ Μ Μ Μ 1 2
Μ Μ 3 4
Μ Μ
δ , 5 2
δ ε
Μ = ∩ -
. 4 .
5
, 1 2
, ,
Μ Μ 3 4
, ,
Μ Μ
1 3
ε ε , ,
4 . , 5
Μ 2
ε ,
, 5
Μ
8 .
4 ,
, 1 2 4 3
Μ Μ Μ Μ
, 4 5 ,
5
Μ 2
ε .

6. ǼȁȁǾȃǿȀǾ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀǾ ǼȉǹǿȇǼǿǹ
ȆĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ (ǼȜİȣșİȡȓȠȣ ǺİȞȚȗȑȜȠȣ) 34
106 79 ǹĬǾȃǹ
ȉȘȜ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
34, Panepistimiou (Ǽleftheriou Venizelou) Street
GR. 106 79 - Athens - HELLAS
Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr
ǼȆǿȉȇȅȆǾ ǻǿǹīȍȃǿȈȂȍȃ
27Ș
ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮIJȚțȒ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ
"ȅ ǹȡȤȚȝȒįȘȢ"
ȈǹǺǺǹȉȅ, 27 ĭǼǺȇȅȊǹȇǿȅȊ 2010
Ĭ
Ĭȑ
ȑȝ
ȝĮ
ĮIJ
IJĮ
Į ȝ
ȝİ
İȖ
ȖȐ
ȐȜ
ȜȦ
ȦȞ
Ȟ IJ
IJȐ
Ȑȟ
ȟİ
İȦ
ȦȞ
Ȟ
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 1
ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJȚȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ
4 2
6 1 7 2y
x x
˜ . (1)
ȁȪıȘ (1ȠȢ
IJȡȩʌȠȢ)
ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ ȩIJȚ ȖȚĮ 0 Ș įİįȠȝȑȞȘ İȟȓıȦıȘ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪ-
ıİȚȢ. ȅȝȠȓȦȢ ȖȚĮ 0 Ș (1) įİȞ ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚĮ ȜȪıȘ
y
y
īȚĮ , 1 Ș įİįȠȝȑȞȘ İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ
,
y y
 t
]
4 2
6 1 7 2y
x x 0
˜ (2)
Ș ȠʌȠȓĮ ȖȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ ʌȡȑʌİȚ Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ IJȘȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤȘȢ İʌȚȜȪȠȣ-
ıĮȢ IJȘȢ (2) ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ĮțȑȡĮȚȠȣ, įȘȜĮįȒ ʌȡȑʌİȚ
36 4 1 7 2 32 4 7 2 4 8 7 2
y y y
' ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ĮțȑȡĮȚȠȣ. ǼʌİȚįȒ İȓȞĮȚ 2
4 2 , ȖȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ǻ
IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ĮțȑȡĮȚȠȣ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ
8 7 2 , 1
y
y
$ ˜ t
ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ĮțȑȡĮȚȠȣ. ǵȝȦȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ǹ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ, ȠʌȩIJİ, ĮȞ İȓȞĮȚ
IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ, IJȩIJİ șĮ ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ
2 2
8 7 2 2 4 , , 0
y
N N N N
$ ˜  !
] .
(3)
2 2
2 7 2 , , 0
y
N N N
œ ˜  !
]
Ǿ İȟȓıȦıȘ (3) ȖȚĮ 1
y İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ, İȞȫ ȖȚĮ 2
y įȓȞİȚ 3
N , ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ
țĮȚ . DzIJıȚ Ș İȟȓıȦıȘ (2) ȑȤİȚ IJȚȢ ȜȪıİȚȢ
36
$ 2
12
4 36
' ˜
2 2 2
6 12
9 Ȓ 3 (ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ) 3
2
x x x
r
œ œ x r .
īȚĮ 3, Ș İȟȓıȦıȘ (3) įȓȞİȚ
y 4
N , ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ 64
$ țĮȚ .
DzIJıȚ Ș İȟȓıȦıȘ (2) ȑȤİȚ IJȚȢ ȜȪıİȚȢ
2
4 64 16
' ˜
2 2
6 16
11 Ȓ 5
2
x x x2
r
œ ,
Įʌȩ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ țĮȝȓĮ įİȞ İȓȞĮȚ ĮʌȠįİțIJȒ.

7. 2
īȚĮ , ĮijȠȪ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ
4
y t 2
2 7 2y
% ˜ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ, Ș İȟȓıȦıȘ (3) ȞĮȚ ȚıȠ-
2
ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ.
ĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ ȠȚ:
İȓ
įȪȞĮȝȘ ȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ
2
2
2 7 2 2 , , 0 1 7
y
O O O
˜  ! œ ˜
] ]
3
2 2 , , 0,
y
O O O
 !
Ș
, 3,
x y r .
DZȡĮ ȠȚ Įțȑȡ 2
ȖȚĮ
2ȠȢ
IJȡȩʌȠȢ
ǵʌȦȢ țĮȚ ıIJȠȞ ʌȡȫIJȠ IJȡȩʌȠ ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ ȩIJȚ 0
y d Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ
Ǿ įİįȠȝȑȞȘ İȟȓıȦıȘ ȖȡȐijİIJĮȚ ıIJȘ ȝȠȡijȒ
ıIJȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ.
2 2
2 1 2 1 7 2y
x x x x
˜ , (4)
½
°
¾
°
¿
ȁȪıȘ
ıȘ Ș İȟȓı
2 2
2 2
1 2
2 1 2 , 2 1 2 ,
2 1 7 2 , 2 1 7 2 ,
a
b
x x a x x
x x b x x
a b y y
N
O
N
O
N O
­ ½ ­
 
° ° °
œ ˜  6 ˜  6
® ¾ ®
° ° °
¯ ¿ ¯
] ]
] ]
Ȓ
1
6
īȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚĮ ȜȪ ȦıȘ 2
2 1 2a
x x
ʌȡȑʌİȚ Ș įȚĮțȡȓȞ
a
ȠȣıȐ IJȘȢ
ȠʌȠ -
ȞĮ IJİIJȡȐȖȦȞȠ
īȚĮ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Ȁ įİȞ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ, İȞȫ ȖȚĮ İȓȞĮȚ
Ș
1 2 4
ʌİȚ țĮȚ Įȡț
4 4 2 2a
' ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ĮțȑȡĮȚȠȣ, ȖȚĮ IJȠ ȓȠ ʌȡȑ
İȓ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2
. ĮțȑȡĮȚȠȣ.
a
2a
İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ
0 Ȓ 2
a
2
2 , Ƞʌ
1
a
K 4 ȩIJİ Ș İȟȓıȦı 2
2 3 0
x x
2 1
2 1 2
x x
œ ȑȤİȚ ıİȚȢ 3
x
Ȓ 1
IJȚȢ ȜȪ
x .
Ș
īȚĮ İȟȓıȦıȘ įȓȞİȚ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ
3
x 2
2 1 7 2b
x x
˜ 14 7 2b
˜ Ș ȠʌȠȓĮ ȑȤİȚ
IJȘ ȜȪıȘ , ȠʌȩIJİ ʌȡȠ 2
1
b țȪʌIJİȚ y a b
țĮȚ ȖȚĮ IJȘȞ įİįȠ ȦıȘ Ș ȜȪıȘ
, 3,2
x y
ȝȑȞȘ İȟȓı
Ș İȟȓıȦıȘ 2
2 b
x x
įȓȞİȚ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ 2 7
1 7 2
˜ 2b
1
x
īȚĮ ˜
Ș ȠʌȠȓĮ İȓ-
ȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ.
ȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ, ʌȡȑʌİȚ
2 2a
.
īȚĮ 3
a t , ĮijȠȪ Ƞ Įȡ
2 2 2
2 2 2 , 1 2 2 ,
a a
m m m m
.  œ 
] ] ,
ĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ.
ȁȪıȘ
ıȘ Ș İȟȓı
Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞ
īȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚĮ ȜȪ ȦıȘ 2
2 1 2
x x
2
6
N
ʌȡȑʌİȚ Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıȐ IJȘȢ
ȠʌȠ
1 2 4
N
ʌİȚ țĮȚ Įȡ
4 4 2 2N
' ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ĮțȑȡĮȚȠȣ, ȖȚĮ IJȠ ȓȠ ʌȡȑ-
țİȓ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2 2N
/ ĮțȑȡĮȚȠȣ.
N
ȞĮ IJİIJȡȐȖȦȞȠ
īȚĮ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ȁ įİȞ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ, İȞȫ ȖȚĮ İȓȞĮȚ
ıȘ
İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ
0 Ȓ 2
N
2
2 , Ƞ
1
N
4
/ ʌȩIJİ Ș İȟȓıȦ 1 2
2 3 0
x x
2
2 1 2
x x
œ ȪıİȚȢ 3
x
Ȓ 1
x .
Ș
ȑȤİȚ IJȚȢ
īȚĮ İȟȓıȦıȘ
Ȝ
3
x 2
2 1 7 2
x x O
˜ įȓȞİȚ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ 14 7 2O
˜ Ș ȠʌȠȓĮ ȑȤİȚ
, ȠʌȩIJİ ʌȡȠț 2
ȪʌIJİȚ y N O
IJȘ ȜȪıȘ 1
O țĮȚ ȖȚĮ IJȘȞ įİįȠȝ ıȘ Ș ȜȪıȘ
, 3,2
x y
ȑȞȘ İȟȓıȦ

8. 3
īȚĮ 1 Ș İȟȓıȦıȘ 2
2
x
x 2 1 7
x O
įȓȞİȚ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ 2
˜ 7 2O
˜
Ș ȠʌȠȓĮ
İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ.
ȚșȝȩȢ 2 2O
/
īȚĮ 3
a t , ĮijȠȪ Ƞ Įȡ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ ʌȡȑʌİȚ
2 2 2
2 2 2 , 1 2 2 ,
m m m m
N N
/  œ 
] ] ,
.
ǹ 2
ȚșȝȠȓ
Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ
ȆȇȅǺȁǾȂ
țĮȚ
x y
ǹȞ ȠȚ șİIJȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ Įȡ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 2 ,
D ȩʌȠȣ 0
D ! , ȞĮ
ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:
2
3 3 2 2 10
4
x y x y D
d . (1)
İȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ țĮȚ
x y
īȚĮ ʌȠȚ ĮȜȘșİȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ;
ȁ
ǼʌİȚįȒ ȖȚĮ IJȠȣȢ șİIJȚțȠȪȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ
ȪıȘ
,
x y 2 ,
x y D
įȓȞİIJĮȚ ȩIJȚ
0
D ! , ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ șȑıȠȣȝİ:
, ,
x t y t t
D D D
d d D .
Ȃİ ĮȞIJȚțĮIJȐıIJĮıȘ IJȦȞ ,
x y ıIJȘȞ (1), ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȩIJȚ, Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ IJȘȞ
ĮȞȚıȩIJȘIJĮ
2
3 3 2 2 10
3 2
2 2 2 2 10
2 2
2 2 2 2 2 2 10
2
4
4 4
,
t t t t
t t
t t t
t t
2 2 4 4 10
D D D D
D D D
D D D D
D D D
ª º
d
¬ ¼
œ d
œ d
œ d
D
Ș ȠʌȠȓĮ ĮȜȘșİȪİȚ, ĮijȠȪ ȜȩȖȦ IJȘȢ ȣʌȩșİıȘȢ t
D D
d d ȖȚĮ ȞȑĮ ȝİIJĮȕȜȘIJȒ ȑ-
t ,
IJȘ
ȤȠȣȝİ
2
2 4 4
2 2 8 1
t t 0
D D D D
d ˜ .
D
Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ , įȘȜĮįȒ ȩIJĮȞ
0
t x y D .
ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ
īȚĮ 2
x y D
ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ
2
2
2
x y
xy D
§ ·
d ¨ ¸
© ¹
(1)
6
3 3 6
2
x y
x y D
§ ·
Ÿ d ¨ ¸
© ¹
(2)
ȩʌȠȣ Ș ȚıȩIJȘIJĮ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ x y D .
ǼʌȓıȘȢ, ȖȚĮ 2
x y D
ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ
2
2 2 2
2 4
x y
D D
d d (3)
2
4 1
x y
2
4 2 4
6 (4)
D D
Ÿ d d
ȩʌȠȣ Ș ȚıȩIJȘIJĮ ĮȡȚıIJİȡȐ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ x y D , İȞȫ Ș ȚıȩIJȘIJĮ įİȟȚȐ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ
, 2 ,0 Ȓ 0,2
x y D D .

9. 4
ǵȝȦȢ Įʌȩ IJȚȢ (2) țĮȚ (4) įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȡȠțȪȥİȚ Ș ȗȘIJȠȪȝİȞȘ ĮȞȚıȩIJȘIJĮ. ǼʌȠȝȑ-
ȞȦȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȝİ IJȘ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ
2
3 3 2 2
, ,
2
2 2
f x y x y y xyg x y
º
¼ ,
x y xy xy x
ª
¬
ȣʌȩ IJȘ ıȣȞșȒțȘ 2 .
x y D
ǵȝȦȢ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ
2
2 2 2 2
,
x y x y x y
ȑȤİȚ ȝȑȖȚ-
ıIJȘ IJȚȝȒ, ȩIJĮȞ
g
Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ 2 2
y ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ, įȘȜĮįȒ
,
h x y xy x ȩIJĮȞ Ș
ıȣȞȐȡIJȘıȘ
2 2
2 2 4 4 ,0 2
x x x x x x
,2
h x x
M D D D D D
d d
ȤİȚ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ 4
2
M D D , ȩʌȦȢ İȪțȠȜĮ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȝİ ȤȡȒıȘ ʌĮȡĮȖȫȖȦȞ. ǹʌȩ
İȓ ȞĮ ʌȡȠțȪȥİȚ Ș ȗȘIJȠȪȝİȞȘ ĮȞȚıȩIJȘIJĮ.
ȑ
ĮȣIJȩ țĮȚ IJȘȞ (1) ȝʌȠȡ
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 3
ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ABC İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ ( ,
O R ȑıIJȦ
) țĮȚ I IJȠ ȑțțİȞIJȡȩ
IJȠȣ. ȅȚ ʌȡȠİțIJȐıİȚȢ IJ ,
AI BI țĮȚ CI Ƞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜ
ȦȞ
ȅȚ țȪțȜȠȚ
IJȑȝȞȠȣȞ IJ Ƞ ıIJĮ ıȘ-
ȝ įȚȐȝ
ȝİȓĮ ,
D E țĮȚ F ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. İ İIJȡȠ ,
ID IE țĮȚ IF
ȜİȣȡȑȢ ,
IJȑȝȞȠȣȞ IJȚȢ
BC AC țĮȚ AB ıIJĮ ıȘȝİȓĮ ,
A A
1 2 , 1 2
,
B B țĮȚ ,
1 2
C C ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ.
įİȓȟIJİ ȩIJȚ IJĮ ıȘȝİȓĮ
ʌ
1 2
,
A A , 1 2
,
B B , 1 2
,
C C
ȃĮ ĮʌȠ İȓȞĮȚ ȠȝȠțȣțȜȚțȐ.
ȁȪıȘ
DzıIJȦ )
C
( A Ƞ țȪțȜȠȢ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ 1
K țĮȚ įȚȐȝİIJȡȠ ID ( IJȠ IJȠȣ
1
K ȝȑıȠ ID ),
)
C
( Ƞ țȪțȜȠȢ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ țĮȚ
B 2
K įȚȐȝİIJȡȠ IE ( 2
K IJȠ ȝȑıȠ IJȠȣ IE ) țĮȚ
IJȠ țĮȚ įȚȐȝİIJȡȠ
( )
CC
Ƞ țȪțȜȠȢ ȝİ țȑȞIJȡȠ 3
K IF ( 3 ȝȑıȠ
K IJȠȣ IF ).
ȈȤȒȝĮ 1
IJȚȢ ȖȞ Ȣ ȚıȩIJ
ĬİȦȡȠȪȝİ ȦıIJȑ ȘIJİȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ:
DC
DB
DI , EC
EA
EI țĮȚ FB
FA
FI (1)
ȅȚ țȪțȜȠȚ țĮȚ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJĮ ıȘȝİȓĮ
)
C
( A )
C
( C I țĮȚ .
2
L

10. 5
ȅȚ ȖȦȞȓİȢ I
L̂
D 2 țĮȚ I
L̂
F 2 İȓȞĮȚ ȠȡșȑȢ įȚȩIJȚ ȕĮȓȞȠȣȞ ıIJȚȢ įȚĮȝȑIJȡȠȣȢ DI țĮȚ FI
IJȦȞ țȪțȜȦȞ ( țĮȚ ( ȠʌȩIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ.
)
CA )
CC F
,
L
,
D 2
Ȉİ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȝİ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ (1) țĮIJĮȜȒȖȠȣȝİ ȩIJȚ Ș İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİIJȘ IJȘȢ
DF
IB . Ȃİ ȩȝȠȚȠ IJȡȩʌȠ țĮIJĮȜȒȖȠȣȝİ ȩIJȚ Ș DE İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİIJȘ IJȘȢ țĮȚ Ș
IC EF İȓ-
ȞĮȚ ȝİıȠțȐșİIJȘ IJȘȢ IA.
DZȡĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ I İȓȞĮȚ ȠȡșȩțİȞIJȡȠ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ DEF
ABC
IJȠȣ ȠʌȠȓȠȣ IJȠ ʌİȡȓ-
țİȞIJȡȠ IJĮȣIJȓȗİIJĮȚ ȝİ IJȠ ʌİȡȓțİȞIJȡȠ O IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ .
ȉĮ ıȘȝİȓĮ țĮȚ ĮȞȒțȠȣȞ ıIJȠ țȪțȜȠ IJȠȣ EULER IJȠȣ IJȡȚȖȫ-
ȞȠȣ ʌȠȣ ȑȤİȚ țȑȞIJȡȠ IJȠ ȝȑıȠ
3
2
1 K
,
K
,
K 3
2
1 L
,
L
,
L
DEF K IJȠȣ İȣșȪȖȡĮȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ .
IO
ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ , ȑȤȠȣȝİ: IJȠ ȝȑıȠ IJȠȣ
IOD 1
K ID țĮȚ K IJȠ ȝȑıȠ IJȠȣ .
IO
DZȡĮ țĮȚ İʌİȚįȒ
OD
//
KK1 BC
OD A ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩIJȚ IJȠ K ĮȞȒțİȚ ıIJȘ ȝİ-
ıȠțȐșİIJȘ IJȠȣ . Ȃİ ȩȝȠȚȠ IJȡȩʌȠ ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩIJȚ IJȠ
2
1 A
A K ĮȞȒțİȚ ıIJȘ ȝİıȠțȐ-
șİIJȘ IJȦȞ țĮȚ .
2
1B
B C 2
1C
ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ IJĮ ıȘȝİȓĮ , , ĮȞȒțȠȣȞ ıİ țȪțȜȠ ȝİ țȑ-
ȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ
2
1 A
,
A 2
1 B
,
B 2
1 C
,
C
K .
ĬİȦȡȫȞIJĮȢ IJȘ įȪȞĮȝȘ IJȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ țĮȚ
ȑȤȠȣȝİ:
A )
C
( B )
C
( C
1
2
1
2
1 AL
AI
AB
AB
AC
AC ˜
˜
˜ .
DZȡĮ IJĮ ıȘȝİȓĮ , ĮȞȒțȠȣȞ ıİ țȪțȜȠ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ
2
1 B
,
B 2
1 C
,
C K .
ȆȇȅǺȁǾȂǹ 4
ȈIJȠ İʌȓʌİįȠ șİȦȡȠȪȝİ įȚĮijȠȡİIJȚțȑȢ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ İȣșİȓİȢ, ȩʌȠȣ ĮțȑȡĮȚ-
ȠȢ ȝİ 1
! țĮȚ n șİIJȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ, ȠȚ ȠʌȠȓİȢ ĮȞȐ IJȡİȚȢ įİȞ ʌİȡȞȐȞİ Įʌȩ IJȠ ȓįȚȠ ıȘ-
ȝİȓȠ. ǹʌȩ IJȚȢ İȣșİȓİȢ ĮȣIJȑȢ, k İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ İȞȫ ȠȚ ȣʌȩȜȠȚʌİȢ n IJȑ-
ȝȞȠȞIJĮȚ ĮȞȐ įȪȠ țĮȚ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ țȐʌȠȚĮ Įʌȩ ĮȣIJȑȢ ʌȠȣ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ Ȣ k
ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ. ǵȜİȢ ȠȚ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȣșİȓİȢ IJİȝȞȩȝİȞİȢ įȚĮȝİȡȓȗȠȣȞ IJȠ İʌȓʌİįȠ
ıİ ȤȦȡȓĮ (ʌ. Ȥ IJȡȚȖȦȞȚțȐ, ʌȠȜȣȖȦȞȚțȐ țĮȚ ȝȘ ijȡĮȖȝȑȞĮ). ǻȪȠ ȤȦȡȓĮ șİȦȡȠȪȞIJĮȚ įȚĮ-
ijȠȡİIJȚțȐ, ĮȞ įİȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ Ȓ ĮȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ȝȩȞȠ ıIJȠ ıȪȞȠȡȩ IJȠȣ
n
k k
k
IJȚ
Ȣ.
DzȞĮ ȤȦȡȓȠ șĮ IJȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ “țĮȜȩ” ȩIJĮȞ ȕȡȓıțİIJĮȚ ĮȞȐȝİıĮ ıIJȚȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣ-
șİȓİȢ. ǹȞ ıİ ȑȞĮ ıȤȘȝĮIJȚıȝȩ, IJȠ İȜȐȤȚıIJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” ȤȦȡȓȦȞ İȓȞĮȚ 176 țĮȚ
IJȠ ȝȑȖȚıIJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ 221, ȞĮ ȕȡİșȠȪȞ IJĮ n
k, .
ȁȪıȘ
ȆȡȠijĮȞȫȢ ȠȚ (įȚĮijȠȡİIJȚțȑȢ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ) ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ ȠȡȓȗȠȣȞ
įȚĮįȠȤȚțȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ “ȜȦȡȓįİȢ” ıIJȠ İʌȓʌİįȠ. ǼʌȓıȘȢ ȠȚ įȚĮijȠȡİIJȚțȑȢ, ȝȘ ʌĮȡȐȜ-
ȜȘȜİȢ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ İȣșİȓİȢ, IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ĮȞȐ įȪȠ ıİ
k 1
k
n
2
(
n )
1
2¸
¸
¹
·
©
§ n
n
¨
¨ ıȘȝİȓĮ.
ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ IJȫȡĮ įȪȠ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ.
1Ș
ȆİȡȓʌIJȦıȘ: ȉĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ĮȞȐ įȪȠ),
ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ İțIJȩȢ IJȦȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȦȞ “ȜȦȡȓįȦȞ”.
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
n
n

11. 6
ȈȤȒȝĮ 2
ȈIJȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ĮȣIJȒ țȐșİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ İȣșİȓİȢ ȠȡȓȗİȚ ıİ țȐșİ “ȜȦȡȓįĮ”
“țĮȜȐ” ȤȦȡȓĮ. DZȡĮ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ ıȣȞȠȜȚțȐ
n 1
n
)
1
)(
1
(
n
k ıȣȞȠȜȚțȐ “țĮȜȐ” ȤȦȡȓĮ. ȈIJȠ
ıȤȒȝĮ 2 ȕȜȑʌȠȣȝİ IJĮ “țĮȜȐ” ȤȦȡȓĮ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ Įʌȩ 3
n İȣșİȓİȢ.
ǹȞ IJȫȡĮ ȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ IJȠ șİȦȡȒıȠȣȝİ ȝȑıĮ ıİ
ȝȓĮ ȜȦȡȓįĮ IJȦȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȦȞ İȣșİȚȫȞ, IJȩIJİ ıIJȘ ȜȦȡȓįĮ ĮȣIJȒ șĮ įȘȝȚȠȣȡȖȘșİȓ ȑȞĮ İʌȓ
ʌȜȑȠȞ “țĮȜȩ” ȤȦȡȓȠ (ıȤȒȝĮ 3).
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
n
n
ȈȤȒȝĮ 3
DZȡĮ İȓȞĮȚ Ƞ İȜȐȤȚıIJȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ “țĮȜȫȞ” ȤȦȡȓȦȞ ʌȠȣ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ
įȘȝȚȠȣȡȖȘșȠȪȞ, įȚȩIJȚ ȝİ IJȘȞ İȓıȠįȠ țĮșİȞȩȢ Įʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ ıIJȚȢ ȜȦȡȓįİȢ,
ĮȣȟȐȞİIJĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” ȤȦȡȓȦȞ.
( 1)( 1
k n
)
2
n
§ ·
¨ ¸
© ¹
2Ș
ȆİȡȓʌIJȦıȘ: ȉĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ĮȞȐ įȪȠ),
ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ İȞIJȩȢ IJȦȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȦȞ ȜȦȡȓįȦȞ.
2
n
§ ·
¨ ¸
© ¹
n

12. 7
ȈȣȞİȤȓȗȠȞIJĮȢ IJȘ įȚĮįȚțĮıȓĮ İȚıĮȖȦȖȒȢ IJȦȞ ıȘȝİȓȦȞ IJȠȝȒȢ ȝȑıĮ ıIJȚȢ “ȜȦȡȓįİȢ”,
șĮ ʌȡȠıIJȓșİIJĮȚ țȐșİ ijȠȡȐ țĮȚ ȑȞĮ “țĮȜȩ” ȤȦȡȓȠ. DzIJıȚ ıIJȠ IJȑȜȠȢ șĮ ȑȤȠȣȝİ İʌȓ ʌȜȑȠȞ
“țĮȜȐ” ȤȦȡȓĮ.
2
n
§ ·
¨ ¸
© ¹
ȈȤȒȝĮ 4
ȉİȜȚțȐ Ƞ ȝȑȖȚıIJȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” ȤȦȡȓȦȞ İȓȞĮȚ:
( 1
( 1)( 1)
2
n n
k n
)
.
ǼijȩıȠȞ IJȫȡĮ (ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJĮ įİįȠȝȑȞĮ IJȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJȠȢ), Ƞ İȜȐȤȚıIJȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ
IJȦȞ “țĮȜȫȞ” ȤȦȡȓȦȞ İȓȞĮȚ 176 țĮȚ Ƞ ȝȑȖȚıIJȠȢ 2 , șĮ ȚıȤȪİȚ:
21
( 1)( 1) 176
( 1)
( 1)( 1) 221
2
k n
n n
k n
­
°
œ
®
°̄
( 1)( 1) 176
( 1)
176 221
2
k n
n n
­
°
®
°̄
( 1)( 1) 176
( 1)
176 221
2
k n
n n
­
°
œ ®
°̄
. 17, 10
k n
œ .
ǻİȪIJİȡȠȢ IJȡȩʌȠȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ IJȠȣ ȝȑȖȚıIJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ IJȦȞ țĮȜȫȞ ȤȦȡȓȦȞ.
Ȃİ IJȘ ıȣȜȜȠȖȚıIJȚțȒ ʌȠȣ ĮȞĮʌIJȪȤșȘțİ ıIJȠȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ IJȡȩʌȠ, Ƞ ȝȑȖȚıIJȠȢ Į-
ȡȚșȝȩȢ IJȦȞ țĮȜȫȞ ȤȦȡȓȦȞ İʌȚIJȣȖȤȐȞİIJĮȚ ȩIJĮȞ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȦȞ IJİȝȞȠȝȑȞȦȞ İȣ-
șİȚȫȞ ȕȡİșȠȪȞ ȝȑıĮ ıIJȚȢ ȜȦȡȓįİȢ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ.
ĬĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ȩȜĮ IJĮ ȤȦȡȓĮ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ Įʌȩ IJȚȢ n įȚĮ-
ijȠȡİIJȚțȑȢ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ İȣșİȓİȢ țĮȚ ıIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ĮijĮȚȡȑıȠȣȝİ IJĮ ȤȦȡȓĮ ʌȠȣ ȕȡȓ-
ıțȠȞIJĮȚ İțIJȩȢ IJȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ (ȑȤȠȞIJĮȢ ʌȐȞIJĮ ȣʌǯ ȩȥȚȞ ȩIJȚ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȦȞ IJİ-
ȝȞȠȝȑȞȦȞ İȣșİȚȫȞ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ȝȑıĮ ıIJȚȢ ȜȦȡȓįİȢ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ
İȣșİȓİȢ).
k
DzıIJȦ ) IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ȤȦȡȓȦȞ ıIJĮ ȠʌȠȓĮ ȤȦȡȓȗİIJĮȚ IJȠ İʌȓʌİįȠ Įʌȩ İȣșİȓ-
İȢ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ įİȞ įȚȑȡȤȠȞIJĮȚ ĮȞȐ IJȡİȚȢ Įʌȩ IJȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ.
(m
p m
ȆȡȠijĮȞȫȢ 2 . ĬİȦȡȠȪȝİ IJȫȡĮ ȩIJȚ ) İȓȞĮȚ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ȤȦȡȓȦȞ ıIJĮ
ȠʌȠȓĮ ȤȦȡȓȗİIJĮȚ IJȠ İʌȓʌİįȠ Įʌȩ IJȚȢ İȣșİȓİȢ țĮȚ ijȑȡȠȣȝİ ȝȓĮ İʌȓ ʌȜȑȠȞ İȣșİȓĮ ȝİ
ıțȠʌȩ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ İʌĮȖȦȖȚțȐ IJȠ
)
1
(
p (m
p
)
1
m
(
m
p .
ȆȡȠijĮȞȫȢ , ȩʌȠȣ
r
m
p
m
p
)
(
)
1
( r İȓȞĮȚ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ İʌȓ ʌȜȑȠȞ ȤȦȡȓȦȞ
ʌȠȣ “įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ” ȝİ IJȘ ȤȐȡĮȟȘ IJȘȢ ( 1
m )ȘȢ
İȣșİȓĮȢ.

13. 8
ȈȤȒȝĮ 5
Ȃİ IJȘ ȤȐȡĮȟȘ ȜȠȚʌȩȞ IJȘȢ ( 1
m )ȘȢ
İȣșİȓĮȢ “įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ” IJȩıĮ İʌȓ ʌȜȑȠȞ
ȤȦȡȓĮ, ȩıĮ İȓȞĮȚ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȘȢ ȝİ IJȚȢ ȣʌȩȜȠȚʌİȢ İȣșİȓİȢ ĮȣȟȘȝȑȞĮ țĮIJȐ ȑȞĮ.
ǹȞ įȘȜĮįȒ Ș ( )-İȣșİȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ țȐʌȠȚĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ İȣșİȓ-
İȢ, IJȩIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȘȢ șĮ İȓȞĮȚ
1
m
1
m țĮȚ țĮIJȐ ıȣȞȑʌİȚĮ “įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ”
m
r İʌȓ ʌȜȑȠȞ ȤȦȡȓĮ.
ǹȞ ȩȝȦȢ Ș 1
m İȣșİȓĮ įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ țȐʌȠȚĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ
İȣșİȓİȢ, IJȩIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȘȢ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ țĮIJȐ ıȣȞȑʌİȚĮ “įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ”
İʌȓ ʌȜȑȠȞ ȤȦȡȓĮ.
m
1
m
r
ǹȞ ȜȠȚʌȩȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ įİȞ İȓȞĮȚ ĮȞȐ įȪȠ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ țĮȚ įİȞ įȚȑȡȤȠ-
ȞIJĮȚ ĮȞȐ IJȡİȚȢ Įʌȩ IJȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ įȚĮIJȣʌȫıȠȣȝİ IJȘȞ ĮȞĮįȡȠȝȚțȒ ıȤȑ-
ıȘ:
m
m
p
m
p
)
1
(
)
( țĮȚ 2
)
1
(
p .
ǹʌȩ IJȘ ıȤȑıȘ ĮȣIJȒ ʌȡȠțȪʌIJİȚ:
2
2
)
(
2
m
m
m
p .
ĬİȦȡȫȞIJĮȢ IJȫȡĮ IJĮ įİįȠȝȑȞĮ IJȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJȠȢ, ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩIJȚ IJĮ ȤȦȡȓĮ
ʌȠȣ “įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ”, İȓȞĮȚ: )
1
(
2
2
2
n
k
n
n
. ȉĮ țĮȜȐ ȤȦȡȓĮ ʌȡȠțȪʌIJȠȣȞ ĮȞ
ĮijĮȚȡȑıȠȣȝİ IJĮ ) ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ İțIJȩȢ IJȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ İȣșİȚȫȞ.
1
(
2
n