8. Los siguientes gráficos muestran como
se integra usando el trapezoide uniendo
el punto A de coordenadas (a,f(a)) con
el punto B de coordenadas (b,f(b)) con
h=(b-a)
9. Deducción de la técnica Gaussiana
Consideremos la figura a seguir donde se desea
encontrar la integral de la función mostrada entre
los limites -1 y 1 si los limites fueran diferentes se
hace un cambio de variable con la finalidad de
pasar a -1 y +1 , los puntos C y D se seleccionan
sobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H .
10. “Polinomios de Legendre”
Es un conjunto {P0(x), P1(x),...,Pn (x),... }
que tienen las siguientes propiedades:
11. Debemos decir que todos estos
polinomios tienen raíces distintas y se
encuentran en el intervalo [-1,1] y se
ubican simétricamente con respecto al
origen y lo mas importante son los nodos
que se utilizan para resolver nuestro
problema.
12. Debemos tener en cuenta los nodos
que son necesarios para generar una
formula de integración numérica que
sea exacta en los polinomios de grado
menor o igual a 2n-1 son las raíces del
polinomio de Legendre de grado n. En
donde los coeficientes apropiados para
evaluar las funciones en cada nodo son
dado de la siguiente manera:
13. Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de los
polinomios de Legendre como los coeficientes se encuentran
tabulados.
19. Para mejorar la precisión de esta fórmula se la
puede aplicar mas de una vez dividiendo el
intervalo de integración en sub-intervalos.
Ejemplo: use la función cgauss
para calcular
>> syms x
>> f=x*exp (x)
>> s=cgauss
(inline(f),1,2)
s = 7.3832
20. Ejemplo: aplique dos veces la
cuadratura de Gauss en el
ejemplo anterior.
En cada sub-intervalo se le aplica la
fórmula de la Cuadratura de Gauss:
>> syms x
>> f= x*exp (x);
>> s= cgauss(inline(f),1,1.5)+
cgauss(inline(f),1,1.5,2)
s = 7.3886
Se puede dividir el intervalo en más
sub-intervalos para obtener mayor
precisión.
22. function t=cgaussm(f, a, b, m)
h=(b-a)/m;
t=0;
x=a;
for i=1:m
a=x+(i-1)*h;
b=x+i*h;
s=cgauss(f,a,b);
t=t+s;
end
m es la cantidad de sub-intervalos
23. Ejemplo: aplicar sucesivamente la
Cuadratura de Gauss incrementando el
número de sub-intervalos, hasta que la
respuesta tenga 4 decimales exactos.
>> syms x
>> f=x*exp (x);
>> s=cgaussm
(inline(f), 1,2,1)
s=
7.3833
>>
s=cgaussm(inline(f),
1,2,2)
s=
7.3887
>> s=cgaussm(inline(f),
1,2,3)
s=
7.3890
>> s=cgaussm(inline(f),
1,2,4)
s=
7.3890En el último calculo se han usado 4
sub-intervalos. El valor obtenido
tiene 4 decimales fijos. Para
obtener fórmulas de cuadratura de
Gauss con más puntos no es
practico usar el método de
