formulas para encontrar vector tangente normal y binormal

1. INSTITUTO TECNOLOGICO
SUPERIOR DE LERDO
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CASTRO MURUATO MARIO OMAR
GUERRERO VALDES EDUARDO
GUTIERREZ PORTILLO JOSE MARIA
MONTELONGO CABRALES JAZMIN

2. Definiciones:
Z
N
Sea C una curva en el espacio definida por la
C
función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector
T
en la dirección de la tangente a C. Considerando al
B
escalar t como la longitud de arco s medida a partir
Y
0
de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector
tangente a C y que llamaremos T como se observa X
en la figura de la derecha.
La variación de T respecto de sses una medida de la curvatura de C yyviene dada
La variación de T respecto de es una medida de la curvatura de C viene dada
dT
dT
por: ds .La dirección de ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a
por:
.La dirección de
en un punto cualquiera de C es la correspondiente a
la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal
la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal
se llama normal principal a la curva.
se llama normal principal a la curva.
El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T × N , perpendicular al
plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de
coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida
que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro
móvil.

3. DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO
Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua
y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar
que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.
Cálculo del vector tangente unitario
EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:
r (t ) = ti + t j cuando t = 1
Se calcula la primera derivada de
2
r ′(t )
i + 2tj
T (t ) =
=
r ′(t ) = i + 2tj por tanto el vector tangente unitario es:
r ′(t )
1 + 4t
Cuando t =1, el vector tangente unitario es: T (1) =
Ver figura de la siguiente diapositiva
i+2j
5
2

4. La dirección del vector tangente unitario depende de la
orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada
por:
r (t ) = −(t − 2)i + (t − 2) j
2
T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el
punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.
DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

5. Cálculo del vector normal principal (unitario)
EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: r (t ) = 3ti + 2t j
2
Derivando la función dada vemos que: r ′(t ) = 3i + 4tj
y
r ′(t ) = 9 + 16t
De donde se deduce que el vector tangente unitario es:
r ′(t )
1
T (t ) =
=
(3i + 4tj )
Vector tangente unitario
r ′(t )
9 + 16t
2
Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos:
T ′(t ) =
1
9 + 16t
2
(4 j ) −
16t
(9 + 16t )
9 + 16t
12
T ′(t ) = 12
=
(9 + 16t ) 9 + 16t
2
3
2
(3i + 4tj ) =
12
(9 + 16t )
2
3
2
(−4ti + 3 j )
2
2
3
2
Por lo tanto el vector normal principal es:
N (t ) =
T ′(t )
1
=
(−4ti + 3 j )
′(t )
T
9 + 16t
2
Vector normal principal
2

6. Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación
Cuando t = 1, el vector normal principal es:
1
N (1) = (−4i + 3 j )
5
Tal como se muestra en la figura de la derecha:
DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL
El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T × N ,
plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C.
perpendicular al
Cálculo del vector binormal
Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N

7. Vector tangente normal y
binormal ejercicio.