基礎からのベイズ統計学 課題7章4

1. 基礎からのベイズ統計学
7章課題4
201640111
葛木美紀
Miki Katsuragi

2. 問題
1. Mさんが UFO キャッチャーに挑戦しており、過去16回の結果
は×○××○○×××××○×××○、あと4回挑戦できます。結果がベル
ヌイ試行に、失敗回数が負の二項分布に従っているとして、残
り4回中3回以上成功する確率はどれくらいでしょうか。
2. 2つのぬいぐるみを取るために多く見積もって何回挑戦する必
要がある？

3. 各問題に適用するモデル
1. 結果がベルヌーイ試行に従うと仮定しθをサンプリングする。
その上で下記生成量 p (4回成功する確率 + 3回成功する確
率)を定義する
p(t)
= g(θ(t)
) = 4+0-1
C4-1
θ4
(1 - θ)0
+ 3+1-1
C3-1
θ3
(1 - θ)1
2. 負の二項分布に従う予測分布の予測値
x*(t)
〜 f(2, θ(t)
)
を生成し、成功回数である 2 を足した x*(t)
+ 2 によって2回
成功するまでの試行回数の予測分布を近似的に得る

4. stanファイル
data {
int<lower=0> N;
int<lower=0> x[N];
}
parameters {
real<lower=0, upper=1> theta;
}
model {
x ~ bernoulli(theta);
}
generated quantities{
real p; #4回中3回以上成功する確率
real beta;
int pred; #2回成功するまでの総試行数
p = 1*pow(theta, 4)*pow((1-theta),0)+4*pow(theta, 3)*pow((1-theta),1);
beta = theta/(1-theta);
pred = neg_binomial_rng(2, beta)+2;
}

5. Rスクリプト
scr <- "model774.stan"
N <- 16
x <- c(0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)
data <- list(N=N,x=x)
par <- c("p", "pred")
fit <- stan(file=scr, model_name=scr, data=data, pars=par, verbose=F,
seed=123, chains=1, warmup=5000, iter=100000)
library(ggmcmc) #チャート出力用ライブラリ
ggmcmc(ggs(fit), file='fit-ggmcmc.pdf')

6. 結果
> fit
Inference for Stan model: model774.stan.
4 chains, each with iter=1e+05; warmup=10000; thin=1;
post-warmup draws per chain=90000, total post-warmup draws=360000.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat
p 0.13 0.00 0.11 0.01 0.05 0.11 0.19 0.41 236584 1
pred 6.80 0.01 5.33 2.00 3.00 5.00 8.00 21.00 317352 1
lp__ -11.97 0.00 0.73 -14.03 -12.14 -11.69 -11.51 -11.46 164598 1
Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Jan 27 19:50:09 2017.
For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
convergence, Rhat=1).

7. 結果
mean se_m
ean
sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5
%
n_eff Rhat
p 0.134 0 0.106 0.01 0.054 0.106 0.186 0.409 51289 1
pred 6.799 0.019 5.327 2 3 5 8 21 77584 1
● pのEAP推定値より、残り 4 回中 3 回以上成功する確率は平均 13.4%
● pred (x* + 2) の平均値は 6.799, 予測分布の区間は [2.000, 21.000] のため、平
均的に7回挑戦すれば新たに2つのぬいぐるみを取れ、余裕を持って 21 回挑戦す
れば目的を果たせる可能性が高い

8. プロットの出力
サンプルのヒストグラム
事後平均の推移
p pred