Presentacion sobre los metodos para conseguir la raiz aproximada de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA TECNOLOGÍA
PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
U.C: MATEMÁTICA V
LICDA. MARÍA PÉREZ
Puerto Cumarebo; Mayo de 2015.

2. MÉTODOS NUMÉRICOS
Según Mijares, L (2013) son metodologías que
utilizan técnicas algebraicas y aritméticas que se aplican a partir de
un problema planteado para resolver de forma
aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejas, que
analíticamente resultan muy difíciles de resolver. Esto se lleva a
cabo gracias a lo avanzado de la programación (calculadoras), las
cuales ayudan a resolver problemas de iteración y matemáticos.

3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
DE UN NÚMERO
Son aquellas que tienen significado real o aportan
alguna información, vienen determinadas por su error y son
aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o
posición del error.
ERRORES NUMÉRICOS
Son aquellos errores que se generan con el uso de
aproximaciones para representar las operaciones y
cantidades matemáticas.

4. ERROR DE REDONDEO
Es aquel que ocurren cuando se limitan o cortan los
dígitos de un número o cifra especifica.
 Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin
más.
 Si la cifra a eliminar es mayor que 5, se aumenta en una
unidad la última cifra retenida.
 Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el
número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es
par se deja, y si es impar se aumenta en la unidad la cifra
que queda.
REGLAS PARA EL REDONDEO DE NÚMEROS

5. EJEMPLOS: DADAS LAS SIGUIENTES CIFRAS, APLIQUE EL
ERROR DE REDONDEO.
 9,2536 (a dos decimales) = 9,25|3 (3 como es menor <5) = 5,25.
 7,217983 (a tres decimales) = 7,217|9 (9 como es mayor >5) = 9,218
 1,217453 (a cuatro decimales) = 1,2174|53 (como es = 5, y el que
queda es par) = 9,2174.
 10,36358 (a tres decimales) = 10,363|58 (como es = 5, y el que queda
es impar) = 10,364.

6. RAICES DE ECUACIONES
El cálculo de las raíces de una ecuación permite dar solución a la
misma, por tanto es importante determinar los valores de x para los que se
cumple: F(x)= 0.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN
Métodos
cerrados
Métodos
cerrados
Métodos
abiertos
Métodos
abiertos
 Bisección
 Regla Falsa
 Newton- Raphson
 La Secante

7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Sea F una función continua en [a,b] y k es un número
comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe por lo menos un c є
(a,b) tal que f(c)= k.
Dados los números a y b, se dice que f(x) tiene una raíz en [a,b] si:
1.F es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b).
2.F(a)* F(b) < 0.
3.F’(x) ≠0, para toda x que pertenezca [a,b].

8. MÉTODO DE BISECCIÓN
Es un método iterativo que se utiliza para encontrar la
raíz aproximada de un ecuación en un intervalo dado [a,b], donde
se sabe que existe; por tanto va dividiendo el intervalo en 2
subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en
donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero,
y repetir el proceso varias veces hasta conseguir la raíz.
MÉTODOS CERRADOSMÉTODOS CERRADOS

9. ALGORITMO DEL MÉTODO DE BISECCIÓN
Verificar que F sea continua en [a,b]
F(a)* F(b)< 0
Evaluar si (b-c) <є, acepte a c como la
raíz aproximada.
Si f(b)*f(c)<0, entonces a=c
f(b)*f(c)>0, entonces b=c

10. TOLERANCIA
Es el régimen de error que se puede tener y se expresa
en % o normal. Se representa con є (épsilon).

11. n a b c b - c f(b) f(c) f(b)*f(c)
1 2 3 2,5 0,5 3 0,25 +
2 2 2,5 2,25 0,25 0,25 -0,9375 -
3 2,2500 2,5 2,375 0,125 0,25 -0,3594 -
4 2,3750 2,5 2,4375 0,0625 0,25 -0,0586 -
5 2,4375 2,5 2,4688 0,0312 0,25 0,0947 +
6 2,4375 2,4688 2,4531 0,0156 0,0947 0,0177 +
7 2,4375 2,4531 2,4453 0,0078 0,0177 -0,0205 -
< 0,01

12. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MÉTODOS CERRADOSMÉTODOS CERRADOS
Es un método iterativo que se basa en el análisis de la
magnitud existente de las imágenes f(a) y f(b), ya que f(a) esta más
cerca de cero que f(b), eso indica que a esta más cerca de la raíz que
b. La función del método es unir f(a) y f(b) con una línea recta cuya
intersección con el eje x, representa una aproximación con la raíz.
Falsa proviene de reemplazar la curva por una línea recta.

13. ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Verificar que f(a) y f(b) tengan signos opuestos
F(a)* F(b)< 0
Evaluar si |f(c)|< є, acepte a c como la
raíz aproximada.
Si f(b)*f(c)<0, entonces a=c
f(b)*f(c)>0, entonces b=c

14. n a b f(a) f(b) c f(c) f(b)*f(c)
1 1 2 0,3679 -0,5578 1,3974 -0,0874 +
2 1 1,3974 0,3679 -0,0874 1,3211 -0,0116 +
3 1 1,3211 0,3679 -0,0116 1,3113 -0,0015 +
4 1 1,3113 0,3679 -0,0015 1,3100 -0,0002 +
5 1 1,3100 0,3679 -0,0002 1,3098 -0,0000004 +
< 0,001

15. MÉTODOS ABIERTOSMÉTODOS ABIERTOS
MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON
Es uno de los métodos para aproximar el cero de una función.
Suponga que c es un cero de f , es decir, f(c)=0 y que x0 es una
aproximación de c.
Desde un punto de vista geométrico, lo que hace el método es
construir la recta tangente a la gráfica de f en un punto
cercano x0 a c y encontrar el cero de la recta tangente, x1 . La
aproximación x2 es el cero de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto x1 y así sucesivamente.

16. ALGORITMO DEL MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON

18. MÉTODO DE LA SECANTE
MÉTODOS ABIERTOSMÉTODOS ABIERTOS
Es un método iterativo que se usa para aproximar el cero de
una función. La interpretación geométrica del mismo, es que la recta
tangente a la curva se reemplaza por una recta secante. El cero de f
se aproxima por el cero de la recta secante a f. Si x0 y x1 son las
aproximaciones iniciales, la aproximación x2 es la intersección de la
recta que une los puntos (x0, f(x0)) y (x1,f(x1)) y así sucesivamente.

19. ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA SECANTE

21. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Es un conjunto de ecuaciones lineales, que pueden tener m-
ecuaciones y n- incógnitas y existen diversos métodos para encontrar su
solución. La forma general de un sistema de ecuaciones lineales A*X = b
es el siguientes:
Donde:
•Los números reales aij se denominan coeficientes.
•Los xi se denominan incógnitas.
•b se denominan términos independientes.

22. TEOREMA

23. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
Métodos
directos
Métodos
directos
Métodos
iterativos
Métodos
iterativos
Llevan a una solución
exacta
Comienzan con una
aproximación inicial y
un algoritmo.
Número finitos
de operaciones
elementales.
Levando de forma
sucesiva mejores
aproximaciones.
 Eliminación de
Gauss.
 Factorización
LU
 Gauss-Seidel.
 Sor o relajación.

24. ELIMINACIÓN DE GAUSS
Dado un sistema de ecuaciones lineales general de orden 3 los
pasos a seguir para resolverlo por dicho método son los siguientes:
1. Se determina la matriz de coeficiente, para identificar los valores
que se deben hacer cero, es decir:
Se deben convertir en cero
MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS

27. EJEMPLO:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, aplique eliminación de
Gauss.
1. Matriz de coeficientes

31. COMPROBANDOCOMPROBANDO

32. FACTORIZACIÓN O DESCOMOSICIÓN LU
Es un método que se encarga de la transformación de una
matriz A , obtenida de un sistema de ecuaciones lineales, en el
producto de dos matrices llamadas L y U.
A= L* UA= L* U
Donde:
L= es la matriz triangular unitaria inferior.
U= es la matriz triangular superior.
MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS

33. PASOS A SEGUIR EN FACTORIZACIÓN O
DESCOMOSICIÓN LU
Dado un sistema de ecuaciones lineales de orden tres, este se
transforma de siguiente manera:
1. Se descompone el sistema en las matrices A= L*U
= x
A UL

34. 2. Se determinan los elementos de la matriz L y U, Multiplicando las
filas de L con las columnas de U, igualando a los elementos de la matriz
A.
5. Se sustituye los valores encontrados en el sistema y se verifican las
igualdades.

35. EJEMPLO:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, aplique Factorización
LU.
1. Se descompone el sistema en las matrices A= L*U
= x
A UL
2. Se determinan los valores de L y U

36. UL

37. 3. Producto de L*Z=b,
*
ZL
=
b
1
9
-1
1
7
12
Z=

38. 4. Producto de U*X=Z,
*
XU
=
Z
1
7
12
1
1
-1
X=

39. 5. Se sustituye los valores encontrados en el sistema y se verifican las
igualdades.

40. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
Consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector inicial,
para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez que se
desee encontrar un nuevo valor de una xi, además de usar los
valores anteriores de las x, también utiliza valores actuales de
las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1).

41. CRITERIO DE PARE

42. EJEMPLO:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuelva usando
Gauss- Seidel, =0,01Ɛ

43. COMPROBANDOCOMPROBANDO

44. MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE SOR O RELAJACIÓN

45. CRITERIO DE CONVERGENCIA
1. Si W= 1, la fórmula es la del método de Gauss- Seidel.
2. Si 0 < W< 1, la fórmula representa la sub-relajación y se emplea
para que un sistema no convergente sea convergente.
3. Si 1< W< 2, La fórmula representa la sobre-relajación y se usa
para acelerar la convergencia.
Nota: se utiliza el mismo criterio de pare que del método de Gauss-
Seidel.

46. EJEMPLO:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuelva usando el
método de Sor o relajación con W=0,8 y =0,01.Ɛ

48. COMPROBANDOCOMPROBANDO

49. Mijares, l (2013). Métodos numéricos. Disponible en:
http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-numeric
, consultado el 15/05/2015.
http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-numeric
, consultado el 19/05/2015.
http://noosfera.indivia.net/metodos/posicionFalsa.html
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf,
consultado el 19/05/2015.
BIBLIOGRAFÍA