Identificazione, stima e verifica di un modello ARMA attraverso la procedura Box-Jenkins.

1. Analisi delle Serie Storiche
Domanda di benzina in Ontario dal 1960 al 1975
Barbara Amendola
Marco D’Alessandro
Ida Riccio
Università degli Studi di Napoli Federico II
21 novembre 2017

2. *

3. La serie storica che abbiamo analizzato nel nostro studio è una serie storica mensile, estratta
dalla Time Series Data Library (collezione di circa 800 serie storiche creata nel 1992 da
Rob Hyndman), riguardante la domanda di benzina in Ontario dal gennaio del 1960 al
dicembre del 1975.
In microeconomia per domanda s'intende la quantità di consumo richiesta dal mercato e dai
consumatori di un certo bene o servizio.
Volendo introdurre intuitivamente il concetto di serie storica, basta riferirsi ad un qualsiasi
fenomeno che varia nel tempo e la cui registrazione costituisce la serie storica stessa.
Dal punto di vista teorico, una serie temporale è definita come una parte finita della
realizzazione di un processo stocastico, dove per processo stocastico si intende una famiglia
di variabili aleatorie indicizzate da un parametro “t”, che nell’ambito dell’analisi delle
serie storiche rappresenta, appunto, il tempo, appartenente ad un insieme parametrico “T”
continuo o discreto. Inoltre, “T” ha la proprietà di essere un insieme ordinato di numeri
reali. In tale circostanza, la serie storica è indicata come:
𝑥 𝑡, 𝑡 = 1: 𝑛
dove il pedice t indica il tempo a cui il dato ( l’osservazione ) 𝑥 𝑡 si riferisce.
*

4. *
Analisi preliminari
⇒
Identificazione del modello
ARIMA
⇒
Stima dei parametri
⇒
Controllo diagnostico
Il modello stimato è adeguato?
⇒
⇒
NO SI
⇒
Uso statistico del modello

5. *
Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1960 87695 86890 96442 98133 113615 123924 128924 134775 117357 114626 107677 108087
1961 92188 88591 98683 99207 125485 124677 132543 140735 124008 121194 111634 111565
1962 101007 94228 104255 106922 130621 125251 140318 146174 122318 128770 117518 115492
1963 108497 100482 106140 118581 132371 132042 151938 150997 130931 137018 121271 123548
1964 109894 106061 112539 125745 136251 140892 158390 148314 144148 140138 124075 136485
1965 109895 109044 122499 124264 142296 150693 163331 165837 151731 142491 140229 140463
1966 116963 118049 137869 127392 154166 160227 165869 173522 155828 153771 143963 143898
1967 124046 121260 138870 129782 162312 167211 172897 189689 166496 160754 155582 145936
1968 139625 137361 138963 155301 172026 165004 185861 190270 163903 174270 160272 165614
1969 146182 137728 148932 156751 177998 174559 198079 189073 175702 180097 155202 174508
1970 154277 144998 159644 168646 166273 190176 205541 193657 182617 189614 174176 184416
1971 158167 156261 176353 175720 193939 201269 218960 209861 198688 190474 194502 190755
1972 166286 170699 181468 174241 210802 212262 218099 229001 203200 212557 197095 193693
1973 188992 175347 196265 203526 227443 233038 234119 255133 216478 232868 221616 209893
1974 194784 189756 193522 212870 248565 221532 252642 255007 206826 233231 212678 217173
1975 199024 191813 195997 208684 244113 243108 255918 244642 237579 237579 217775 227621

6. *

7. *
Osservando il grafico della funzione densità della variabile “Domanda di benzina
in Ontario” osserviamo che essa è unimodale e leggermente asimmetrica, aspetto
che si riscontra anche nei valori dei seguenti indici di posizione riportati dal
summary:
Domanda di Benzina in Ontario
Min. : 86890
1st Qu.:128426
Median :157459
Mean :162064
3rd Qu.:193556
Max. :255918
Per quanto concerne lo scarto quadratico medio della serie, invece, esso vale:
41661.87

8. *

9. *

10. *
*La prima cosa importante da fare quando ci accingiamo ad analizzare
una serie storica è quello di visualizzare i dati in nostro possesso
mediante una rappresentazione grafica, ovvero attraverso il “time
plot”, in cui vengono riportati i valori del fenomeno osservato Y (in
ordinata) in corrispondenza di ciascun tempo “t” ( in ascissa ). A tal
punto, ci chiediamo se la serie temporale è:
Stazionaria in Media
 presenza/assenza di un trend lineare o quadratico
 presenza/assenza di stagionalità
Stazionaria in Varianza ( Omoschedasticità )

11. *
Il “trend” (o componente tendenziale) è la tendenza di fondo che caratterizza
l’evoluzione di un fenomeno nel lungo periodo ( è dovuto a fattori quali ad
esempio la crescita demografica ) ed è rappresentabile tramite una qualche
funzione del tempo, che deve essere stimata. In poche parole descrive
l’andamento medio della serie storica riferita ad un’opportuna scala
temporale.
Spesso le serie storiche mostrano un andamento periodico, ovvero un
andamento che si ripete in intervalli temporali successivi di ampiezza “s” (
s>1). Ciò significa che le osservazioni registrate ad istanti di tempo
distanziati da “s” unità temporali sono tra loro simili; “s” rappresenta quindi
la periodicità. Ebbene, una serie si definisce “stagionale” quando mostra un
andamento simile in ogni anno, quindi “s” = 12 se le osservazioni sono
registrate mensilmente, mentre “s” = 4 se la rilevazione è trimestrale.

12. *

13. *
Osservando il grafico è evidente che la serie storica presa in esame non
è stazionaria. Infatti:
1) Il “time plot” mostra un andamento crescente, evidenziando quindi
la presenza di un trend lineare. Ne segue dunque che la spezzata
del “time plot” non oscilla attorno ad un valore costante che denota
la media della serie.
2) E’ evidente una componente stagionale. Infatti, in tutti gli anni
presi in esame, si registra un picco di massimo nei mesi più caldi
ed un picco di minimo nei mesi più freddi.
3) Infine, notiamo anche la non stazionarietà in varianza a livello
poiché le oscillazioni presentano una variazione di livello lungo
l’asse temporale.

14. *

15. *

16. *

17. *Al fine di rendere la serie stazionaria, effettuiamo
dapprima la detrendizzazione mediante l’operatore
Differenza prima, con d=1, essendo il nostro trend
lineare.
*Il valore ottenuto dello scarto quadratico medio
ottenuto da tale operazione risulta essere
σ = 0.08928899
*

18. *
*Al fine di rendere stazionaria la nostra serie
effettuiamo la destagionalizzazione mediante
l’operatore Differenza stagionale (1-B12), con D=1,
poiché la cadenza è annuale.
*Il valore ottenuto dello scarto quadratico medio
ottenuto da tale operazione risulta essere
σ = 0.04150359

19. *
*Al fine di rendere stazionaria la nostra serie
applichiamo congiuntamente l’operatore Differenza
prima (1-B) e l’operatore Differenza stagionale (1-B12),
per rimuovere una non stazionarietà dovuta
simultaneamente alla presenza di una componente
trend lineare e di una componente stagionale
*Il valore ottenuto dello scarto quadratico medio
ottenuto da tale operazione risulta essere
σ = 0.06236885

20. *

21. *

22. *

23. *

24. *
* Attraverso una procedura automatica di selezione del modello,
risulta che il miglior modello identificato è il seguente:
Now re-fitting the best model(s) without approximations...
ARIMA(3,0,0)(0,0,1)[12] with non-zero mean : -693.7733
Best model: ARIMA(3,0,0)(0,0,1)[12] with non-zero mean
Il BIC del modello è pari a -693.7733.

25. *
* Il polinomio caratteristico del modello identificato è:
1 − 𝜙1 𝐵 − 𝜙2 𝐵2
− 𝜙3 𝐵3
𝑋𝑡 = 1 − 𝛩𝐵12
𝑎 𝑡
* Sviluppando i prodotti si ha:
𝑋𝑡 − 𝜙1 𝑋𝑡−1 − 𝜙2 𝑋𝑡−2 − 𝜙3 𝑋𝑡−3 = 𝑎 𝑡 − 𝛩𝑎 𝑡−12
* A sinistra c’è la componente AR.
* A destra c’è la componente MA.

26. *
Modello 1: ARMA, usando le osservazioni 1961:01-1975:12 (T = 180)
Stimato usando il filtro di Kalman (Massima Verosimiglianza esatta)
Variabile dipendente: series2
Errori standard basati sull'Hessiana
coefficiente errore std. z p-value
const 0,0494840 0,00214332 23,09 6,17e-118 ***
phi_1 -0,136651 0,0634866 -2,152 0,0314 **
phi_2 0,112373 0,0638562 1,760 0,0784 *
phi_3 0,535495 0,0635720 8,423 3,66e-017 ***
Theta_1 -0,597364 0,0702488 -8,504 1,84e-017 ***
Media variabile dipendente 0,048215 SQM variabile dipendente 0,041504
Media innovazioni -0,000475 SQM innovazioni 0,031753
Log-verosimiglianza 362,4655 Criterio di Akaike -712,9310
Criterio di Schwarz -693,7733 Hannan-Quinn -705,1634

27. *
* Le radici, in modulo, risultano maggiori di 1, come mostrato di
seguito:
Reale Immaginario Modulo Frequenza
AR
Radice 1 -0,7202 -0,9994 1,2319 -0,3494
Radice 2 -0,7202 0,9994 1,2319 0,3494
Radice 3 1,2306 0,0000 1,2306 0,0000
MA (stagionale)
Radice 1 1,6740 0,0000 1,6740 0,0000
Il processo è dunque stazionario ed invertibile.

28. *
La media dei residui è non significativamente diversa da 0,
come dimostra il seguente test t:
One Sample t-test
data: fitloginiziale$residuals
t = 0.87244, df = 179, p-value = 0.3841
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval: -0.002730914 0.007059398
sample estimates: mean of x: 0.002164242

29. *

30. *
Series: fitloginiziale$residuals
Regression with ARIMA(0,0,0) errors
Coefficients:
AO113
-0.1235
s.e. 0.0320
sigma^2 estimated as 0.001027: log likelihood=364.38
AIC=-724.76 AICc=-724.7 BIC=-718.38
Outliers:
type ind time coefhat tstat
1 AO 113 1970:05 -0.1235 -3.866

31. *

32. *

33. *
Box-Ljung test
data: out$fit$residuals
X-squared = 0.28372, df = 1, p-value = 0.5943

34. *
Jarque Bera Test
data: out$fit$residuals
X-squared = 0.22999, df = 2, p-value = 0.8914
Skewness
data: out$fit$residuals
statistic = 0.065996, p-value = 0.7177
Kurtosis
data: out$fit$residuals
statistic = 2.8849, p-value = 0.7526

35. *

36. *

37. *
Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95
Jan 1976 209498.7 200385.0 218612.3 195560.5 223436.8
Feb 1976 205582.0 196553.6 214610.4 191774.2 219389.8
Mar 1976 216637.5 207052.2 226222.8 201978.0 231296.9
Apr 1976 221799.3 211904.3 231694.3 206666.2 236932.5
May 1976 244328.6 233388.9 255268.4 227597.7 261059.5
Jun 1976 245544.7 234448.1 256641.2 228574.0 262515.4
Jul 1976 259021.8 247256.0 270787.5 241027.6 277015.9
Aug 1976 262152.9 250141.5 274164.3 243783.0 280522.8
Sep 1976 241460.1 230170.4 252749.9 224194.0 258726.3
Oct 1976 245069.2 233518.4 256620.1 227403.7 262734.7
Nov 1976 233483.8 222271.3 244696.2 216335.8 250631.8
Dec 1976 235138.2 223742.0 246534.4 217709.2 252567.2

38. *

39. *
*Domenico Piccolo, Cosimo Vitale. Metodi statistici
per l'analisi economica. Napoli, Il Mulino, 1981
*Vito Ricci. Analisi delle serie storiche con R. Bari,
Free Software Foundation, 2005
*Robert Yaffee, Monnie McGee. Introduction time
series analysis and forecasting: with applications of
SAS and SPSS. New York, Academic Press, 2000
*Paul S.P. Cowpertwait, Andrew V. Metcalfe.
Introductory time series with R. New York, Springer,
2009
*Gianluca Vasile. Processi stazionari e analisi delle
serie storiche. Tesi di laurea.
*Appunti dalle lezioni del corso.