Este documento presenta la teoría de índices de planos y direcciones en cristalografía. Explica la ley de zonas de Weiss y cómo se pueden usar para determinar los índices de zonas y planos. También describe procedimientos para usar el programa Carine Crystallography 3.0 para calcular índices. El documento concluye que los cálculos analíticos y de software coinciden y que el software facilita la obtención rápida de índices.

1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA
“LABORATORIO 5.”
ALUMNOS:
JOSE LUIS LEON 100214C
JOSE MIGUEL HUEZA GONZALES 062124F
RICARDO GARCIA ARANA
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
PROFESOR: Lic. QUIÑONES MONTEVERDE, CARLOS
Ciudad universitaria, 10 de Junio del 2014

2. ÍNDICES DE LOS PLANOS Y LAS DIRECCIONES
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE.
1. Conocer y aprender cómo Realizar cálculos en una celda cristalográfica unidad
mediante el programa carine crystalography 3.0. de índices de planos y direcciones.
2. Haciendo uso del programa carine crystalography 3.0 determinaremos los índices de
los ejes de zona de planos del ClNa.
3. Haciendo uso del procedimiento esquematizado de la ecuación 4. Determinaremos
los índices de zonas y compararemos dichos resultados con los obtenidos con el
programa carine crystalography 3.0.
TEORÍA.
LA LEY DE ZONAS DE WEISS.
Esta ley expresa la condición matemática para que un vector [uvw] se encuentre en un
plano (hkl). Esta condición se puede determinar a través de consideraciones vectoriales
elementales. Considere el plano (hkl) en la figura 1, con la normal al plano.
Figura 1
Un vector en general, r, situado en (hkl) se puede expresar como una combinación
lineal de dos vectores cualesquiera que están en el plano, tales como y . Esto
es:
(1), para un λ y μ conveniente. De aquí, expresando y
en términos de a, b y c, se sigue que:
(2).

3. Si reexpresamos esto como -un vector general [uvw] que está en (hkl) -
se sigue que:
(3), y así:
(4), que es la condición para que un vector [uvw] se encuentre en el
plano (hkl): la ley de zonas de Weiss. Es evidente a partir de esta deducción que es
válida para orientaciones arbitrarias de los ejes x, y, z con uno respecto al otro.
Con frecuencia, un número importante de planos de la red cristalina se encuentran
todos en la misma zona; es decir, que se cortan entre sí en líneas paralelas. Por
ejemplo, en la Figura 2 los planos (100), y (110) son todos paralelos a la
dirección [001]. Se diría que ellos se encuentran en la zona [001], ya que [001] es una
dirección común que está en todos ellos. Las normales de todos estos planos son
perpendiculares a [001]. Esto no es un accidente - las normales se ven obligados a ser
perpendicular a [001] por la ley de zonas de Weiss.
Figura 2
Consideremos el plano (hkl) mostrado en la Figura 1.
El vector normal a este plano, n, debe ser paralelo al producto vectorial . De
aquí:
(5), y así después de alguna
manipulación matemática sencilla, y haciendo uso de las identidades
y , es evidente que n es paralelo al vector
.

4. Esto es:
(6), con una constante de proporcionalidad, Ԑ. Los vectores
y en la ecuación 6 se denominan vectores recíprocos de la red, definidos a
través de las ecuaciones:
(7).
Si la normal al conjunto de planos (hkl) es tomada simplemente como el vector
(8), la magnitud de n es inversamente proporcional a la
separación de los planos hkl; es decir, que es inversamente proporcional a la distancia
de la figura 1, independientemente de las orientaciones de los ejes x, y ,z con uno
respecto al otro.
Además, es evidente que el producto escalar de una normal n a un conjunto de planos,
con un vector r = [uvw] que se encuentra en uno de estos planos debe ser cero. Es
decir, r.n=0. Escribiendo este producto escalar de forma explícita, se obtiene el
resultado:
, que es la ley de zonas de Weiss.
Esto demuestra que la ley de zonas de Weiss es un producto escalar entre dos
vectores, uno de los cuales se encuentra en un conjunto de planos y el otro del cual es
la normal del conjunto de planos.
Dado los índices de dos planos cualesquiera, es decir (h1k1l1) y (h2k2l2), el índice de
la zona [uvw] en la cual están, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas:
(9).
(10).
Debido a que es sólo el cocientes u: v: w lo que son de interés, estas ecuaciones
pueden resolverse para dar:
(11).
Hay otros métodos que producen el mismo resultado. Por ejemplo, podríamos escribir
las direcciones en la forma:
.
Eliminamos la primera y la última columna y evaluamos los determinantes 2 x 2 a partir
de (i) la segunda y tercera columnas, (ii) la tercera y cuarta columnas y (iii) la cuarta y
quinta columnas:
(12).

5. Por lo tanto, nos encontramos con
.
Un tercer método es al evaluar el determinante
(13), para determinar [uvw]. El resultado es
.
Así, por ejemplo, suponiendo
, tendríamos:
, y así . Asimismo, dado dos
direcciones [u1v1w1] y [u2v2w2], podemos obtener el plano (hkl) que contiene a estas
dos direcciones al resolver las ecuaciones simultáneas:
(14),
(15).
Usando un método similar al utilizado para producir la Ecuación 12, nos acercamos
hasta los tres determinantes de 2 X 2 como sigue:
(16), para encontrar que
. El método equivalente a la ecuación 1.15 es
evaluar el determinante:
(17).
También es evidente que a partir de las ecuaciones 9 y 10, las condiciones para que
dos planos (h1k1l1) y (h2k2l2) se encuentran en la misma zona [uvw], es que al
multiplicar la ecuación 9 por un número m y la ecuación 10 por un número n y los
sumamos, obtenemos:
(18).
Por lo tanto, el plano
también se encuentra en [uvw]. En otras palabras, los
índices formados al tomar combinaciones lineales de los índices de dos planos en una
zona determinada proporcionan los índices de un plano adicional en esa misma zona.
En general m y n pueden ser positivos o negativos. Sin embargo, si m y n son ambos
positivos, entonces la normal al plano en cuestión debe estar entre las normales de
(h1k1l1) y (h2k2l2).

6. PROCEDIMIENTO.-
1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando el comando Open
cell del menú File, abrir el archivo de la celda del ClNa.

7. 2. Ubicando el puntero en el menú Calcul. y haciendo click con el botón izquierdo
del mouse, desplegar los comandos que ofrece el software, como se observa en
la ventana de la Figura y elegir la acción que desea realizar a continuación.

8. 3. Para determinar los índices del eje de zona de dos planos, hacer click
izquierdo en Zone axis of 2 planes para hacer aparecer el cuadro de diálogo Zone
Axis of 2 Planes que se muestra en la Figura.

9. 4. Escribir, en los espacios designados como Plane, los índices de dos planos y
hacer click en el comando Compute para que el programa muestre, en el espacio
designado como Zone axis, los índices del eje de zona de los planos.
Hacer click en OK para salir.
5. Para determinar los índices del plano que contiene a dos rectas, hacer click
izquierdo en Plane // to 2 directions para hacer aparecer el cuadro de diálogo
Plane // 2 directions que se muestra en la Figura

10. 6. Escribir, en los espacios designados como Direction, los índices de las dos
direcciones y hacer click en el comando Compute para que el programa muestre,
en el espacio designado como Plane (hkl), los índices del plano que contiene a las
dos direcciones. Hacer click en OK para salir.
CUESTIONARIO:
1. Haciendo uso del Programa informático CaRIne Crystallography 3.0,
determinar los índices [uvw] de los ejes de zona que le corresponden a los
planos: (a) (100) y (110), (b) (320) y (110) (c) y del ClNa.
Parte a.

11. Parte b.
Parte c.

12. 2. Haciendo uso del procedimiento esquematizado en la ecuación 5.2, determinar
los índices [uvw] del eje de la zona a la que pertenecen los planos (100) y
(110). Comparar su resultado con el obtenido en la pregunta 1.
1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0
u 0
v 0
w 1
Podemos observar que el resultado es el mismo obtenido con el programa CaRIne
Crystallography 3.0
3. Determinar el rasgo característico de los índices de los planos de las zonas
[111] y [001].
Un plano de índices (hkl) que pertenece a una zona de indices [uvw] satisface la
ecuación: hu kv lw =0.
Zona [111]
Sustituyendo valores de u, v y w:
h (1)+ k (1)+ l (1) 0
Obtenemos: h+ k+ l = 0
Luego, todos los planos cuya suma de índices es igual a cero, pertenecen a la zona
[111].
Zona [001]
Sustituyendo valores de u, v y w:
h (0)+ k (0)+l (1) 0. Obtenemos: l=0
Luego, todos los planos con el tercer índice igual a cero, pertenecen a la zona [001]

13. 4. Demostrar que los planos (110), (121) y (312) pertenecen a la zona [111].
 De estos resultados podemos observar que se cumple que los planos pertenecen a la
misma dirección, ya que son planos paralelos lo cual permiten que compartan la misma
dirección.
1 -1 0 1 -1 0
0 -2 1 0 -2 1
[-1 -1 -1]
1 -2 1 1 -2 1
-3 1 2 -3 1 2
[-5 -5 -5]
1 -1 0 1 -1 0
-3 1 2 -3 1 2
[-2 -2 -2]

14. 5. ¿todos los siguientes planos pertenecen a la misma zona: (-110), (-311),
(-1,-3,2)? si es así, ¿Cuál es el eje de zona? Dar los índices de cualquier otro
plano que pertenezca a esta zona.
 de lo anterior podemos comprobar que pertenecen a la misma zona
pertenecen a la misma zona.
6. Haciendo uso del programa informático Carine Crystallography 3.0,
determinar los índices (khl) del plano que contiene a las líneas de direcciones
[100] y [110] del ClNa.
El índice de los planos para las direcciones [100] y [110] del ClNa es : (001)
-1 1 0 -1 1 0
-3 1 1 -3 1 1
[1 1 2]
-1 1 0 -1 1 0
-1 1 2 -3 1 2
2 x [1 1 2]
-3 1 1 -3 1 1
-1 1 2 -3 1 2
5 x [1 1 2]

15. 7. Haciendo uso del procedimiento esquematizado en la ecuación (3) determinar
los índices del plano al que pertenecen las direcciones [100] y [110].
Comparar su resultado con el obtenido en la pregunta 3.
 De la ecuación (3) tenemos:
 Reemplazando los datos en la ecuación anterior tenemos lo siguiente:
 operando resulta:
(0x0 - 0x1 0x1 – 1x0 1x1 – 0x1)
 ( 0 0 1 )
8. En los sistemas cúbicos la dirección [h k l] es siempre perpendicular al plano
(hkl) que tiene los mismos índices; esto es, por ejemplo la dirección [100] es
perpendicular al plano (100). ¿Esta regla es, en general, cierta en otros
sistemas cristalino? justificar su respuesta.
Una importante relación sólo para los cristales cúbicos es que los índices de una
dirección [h k l] es siempre perpendicular a un plano (h k l) que tiene los
mismos índices. Es decir, la dirección de los planos corresponde al vector normal a
la superficie del plano.
• Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al plano cristalino (100).
Sistema cubico
u v w u v w
u v w u v w
[h k l]
1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0
[0 0 1]

16. • tenemos otro ejemplo para un sistema cubico caso la dirección [001] es
perpendicular al plano cristalino (001).
 Pero en general en sistemas cristalinos no ortogonales esto no sucede.

17. CONCLUSIONES:
• Se pudo corroborar los datos obtenidos por el programa CaRIne
Crystalloghraphy 3.0,y los cálculos obtenidos mediante la parte teórica.
• Podemos concluir que la suma de los índices de dos planos de una zona
generan los índices de un nuevo plano de la zona, cuyo eje es la dirección de la
recta a la cual los dos planos se cortan. En la cual se verifica teóricamente y
mediante el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0.
• Pudimos comprobar que la suma de los índices del plano pertenecen a una
misma zona.
• Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal,
porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del
plano o dirección que se considere. Por ello, resulta especialmente importante
encontrar una forma cómoda y rápida de identificar las direcciones y planos
cristalográficos.
• También obtuvimos las direcciones y los índices del plano de forma analítica
usando la ecuación (2) y (3),lo cual usando el programa Carine
Crystallography 3.0 y haciéndolo de forma analítica nos da el mismo
resultado.
• Finalmente podemos decir; que el programa Carine Crystallography 3.0 nos
facilita la obtención de la dirección y los índices del plano cristalino de manera
más rápida.

18. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
- AUTOR: Lic. CARLOS A. QUIÑONES MONTEVERDE.
* Vectores y matrices.
- AUTOR: Dr. ESPINOZA RAMOS.
* Principios de cristalografía.
- AUTOR: FLINT.
- http://www.uh.edu/~chembi/Miller%20Zones_notes.pdf