Prezentacija mr Maja Petrovic

ЈАЈАСТЕ КРИВЕ И ГЕНЕРАЛИЗАЦИЈА
ХУГЕЛШЕФЕРОВЕ КОНСТРУКЦИЈЕЦ
Магистарска теза
Маја М. ПетровићМаја М. Петровић
септембар 2o1o Београд

Јајасте равне криве –Увод
ВЕ
Јајасте равне криве, њихова геометријска структура, генеза као и примена у инжењерству
јесу предмет овог рада. Ове затворене, конвексне и континуалне криве се могу појединачно
класификовати по геометријским својствима, по реду и разреду. Оне могу имати
ј ј ј
ЛШЕФЕРО
једнозначан математички запис, а могу настати спајањем кружних лукова, пројицирањем
просторних кривих на раван или неку геометријску површ, могу бити равни пресеци неких
обртних површи или светлосних цилиндара и конуса јер су сенке неких површи.
Криве јајастог облика су биле предмет и Њутновог изучавања У његовој класификацији
ЈАХУГЕЛ
Криве јајастог облика су биле предмет и Њутновог изучавања. У његовој класификацији
кривих трећег реда налази се и кубна крива са јајастим делом коју је касније,
планиметријском конструкцијом помоћу два неконцентрична круга описао немачки
математичар Фриц Хугелшефер (Fritz Hügelschäffer, 1948.). Ова крива има јасно дефинисану
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
конструкцију, математичку формулу и примену у авиоинжењерству. У раду се разматра и
проширење Хугелшеферове конструкције, како би се сагледале још неке врсте и типови
сродних јајастих кривих.
Р ј б ј ј ј ј б
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Равна крива чији облик наликује контури јајета је била предмет изучавања многих
математичара, физичара, астронома и уметника:
КРИВЕИ
Албрехта Дирера (Albreht Dürer, 1471 - 1528)
Галилеа Галилеја (Galileo Galilei, 1564 - 1642)
Ђовани Касини (Giovanni Domenico Cassini, 1625-1712)
Сер Исака Њутна (Sir Isaac Newton, 1643-1727)
Истраживање кривих јајастог облика је и данас веома актуелно због ергономичности
овоидне, бионичке форме што се види у радовима:
ЈАЈАСТЕ
( )
Рене Декарта (René Descartes, 1596 - 1650)
( )
Џемса Максвела (James Clerk Maxwell, 1831 –1879)
ф р у р
Ј
немца Јирген Колера (Jürgen Köller), 2000. год.
мађарског геометричара Ђорђи Нађа - Фирера (György Nagy-Führer), 2002. год.
јапанског математичара Нобуо Јамамотоа (Nobuo Yamamoto), 2007. год.
америчког математичара Стивена Вилсона (Steven Wilson), 2008. год.
Архитектонски факултет Београд, 2о1о.
америчког математичара Стивена Вилсона (Steven Wilson), 2008. год.
холандског математичара Јана Васенара (Jan Wassenaar), 2009. год.

Врсте и типови јајастих кривих
ВЕ
Пројекције просторних кривих на раван или неку геометријску површ:
ЛШЕФЕРО
Настанак јајастих кривих
Раванска крива 4. реда (квартика) настала пројицирањем пресечне просторне криве две квадрике на
раван управну на заједничку раван симетрије, најопштији је случај добијања јајасте криве.
Примери пресека неких квадрика су дати на следећим сликама:
ЈАХУГЕЛАЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Пресечна крива конуса и сфере
може се пројицирати на раван
кружног пресека конуса тако да
се добије јајаста крива Ове
ИГЕНЕРА
КОНСТ
се добије јајаста крива. Ове
површи, потребно је поставити у
положај тако да постоје
тангенцијалне равни једне и
друге које су у блиском положају
КРИВЕИ
друге које су у блиском положају
(једна површ „продире“ другу)
како би се добила дводелна
крива. Ако просторну криву
пројицирамо на раван нормалну
ЈАЈАСТЕ
ројицира о а ра а ор а у
на правац осе конуса добијамо
Декартов овал (Слика 1).
Ј
Слика 1: Пресек конуса и сфере

ВЕ
Пројекције просторних кривих на раван или неку геометријску површ:
ЛШЕФЕРО
• Пресеком два обртна конуса којима су осе паралелне
добија се просторна крива која се ортогоналним
ј
• Пресек елипсоида и хиперболичког цилиндра је
једноделна или дводелна просторна крива. Ако
ј ј
ЈАХУГЕЛ
пројицирањем на раван кружног пресека конуса види
као јајаста крива, (Слика 2).
ову криву посматрамо у правцу који је управан
на изводнице хиперболичког цилиндра онда се
она види као јајаста равна крива (са једним или
2 овала, у зависности од међусобног положаја
ових двеју површи) (Слика 3)
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
ових двеју површи), (Слика 3).
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИЈАЈАСТЕЈ
Слика 2: Пресек два обртна конуса Слика 3: Пресек елипсоида и хиперболичког цилиндра

ВЕ
Равни пресеци обртних површи:
ЛШЕФЕРО
РУКЦИЈЕ
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИ
Kрива јајастог облика je пресек псеудосфере и косе
Слика 5: Касинијеви овали (равни пресек торуса)
ЈАЈАСТЕ
Kрива јајастог облика je пресек псеудосфере и косе
равни. Ако је раван управна на осу ротације, пресек
је круг. Псеудосфера је површ константне,
негативне кривине која настаје ротацијом трактрисе
око z- осе, (Слика 4).
Ј
око z осе, (Слика 4).
Пресек торуса и равни су Касинијеви овали.
Дводелну криву је могуће добити у случају када је
раван паралелна осовини торуса и постављена у
положај близак тангенцијалној равни са унутрашње
Слика 4: Пресек псеудосфере
(Белтрамијеве површи) и равни
положај близак тангенцијалној равни са унутрашње
стране торуса, (Слика 5).
(Белтрамијеве површи) и равни

ВЕ
Сенке неких површи:
Сенка круга на сферу при паралелном
ЛШЕФЕРО
Дисторзија елипсе:
Сенка круга на сферу при паралелном
осветљењу или из тачкастог извора је
крива јајастог облика, (Слика 6)
РУКЦИЈЕ
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИ
Конструкција јајасте криве коју је извео немачки математичар Фриц
Слика 7: Конструкција елипсе и њена дисторзија (јајаста крива)
ЈАЈАСТЕ
Конструкција јајасте криве коју је извео немачки математичар Фриц
Хугелшефер помоћу два неконцентрична круга је у ствари,
транспонована позната конструкција елипсе методом концентричних
кругова. За два концентрична круга чији су пречници једнаки
пречницима велике и мале осе елипсе, постави се произвољна
Ј
радијална права која сече оба круга; из добијене тачке пресека на
мањем кругу (тачка А) паралела са великом осом, а из пресечне тачке
на већем кругу (тачка В) паралела са мањом осом се секу и дају тачку
(С) елипсе. Хугелшефер помера мањи круг из концентричног положаја
за параметар d, тако да сада пресеци одговарајућих паралела из
Слика 6: Сенка круга на сферу
за параметар d, тако да сада пресеци одговарајућих паралела из
централно придружених тачака формирају јајасту криву, (Слика 7)

ВЕ
Комбинација кружних лукова:
Јајасти равни лик добијен тангенцијалним настављањем кружних лукова један
ЛШЕФЕРО
Јајасти равни лик добијен тангенцијалним настављањем кружних лукова један
на други има следећу конструкцију:
на први полукруг полупречника r са центром C1 се надовезују симетрично са обе
стране две осмине круга двоструко већег полупречника (2r) са центрима C2 и C3 (они
се налазе на крајевима претходног полукруга) а затим се на њих надовезује још један
ЈАХУГЕЛ
се налазе на крајевима претходног полукруга), а затим се на њих надовезује још један
лук који је четвртина круга са центром C4 и полупречником a=2r-r√2. Центар C4 се
налази у пресеку полупречника претходних лукова, под углом од 45º у односу на осу
криве, (Слика 8). Ова конструкција има практичну примену у дизајну, јер не захтева
компликоване геометријске везе, нити егзактну математичку формулу.
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Слика 8: Конструкција
јајасте криве (метод 45º)
КРИВЕИ
Математичар Роберт Диксон у књизи
Матографикс - Како нацртати право
кокошије јаје приказује седам
конструкција јајасте криве методом
ЈАЈАСТЕ
конструкција јајасте криве методом
настављања кружних лукова један на
други и назива је Еуклидско јаје. Дате
конструкције представљају јајасте
равне криве добијене спајањем
Ј
равне криве добијене спајањем
кружних лукова у сврху апроксимације
контуре кокошијег јајета, (Слика 9)
Слика 9: Јајасте криве - конструкција Роберта Диксона

ВЕ
Комбинација кружних лукова:
За конкретне вредности полупречника r кружних лукова може се
ЛШЕФЕРО
За конкретне вредности полупречника r кружних лукова може се
добити златно јаје, (Слика 10)
Златно јаје је крива чији је однос између њеног обима и збира
велике и мале осе Φ = 1.61803… тј. стоје у пропорцији златног
пресека
ЈАХУГЕЛ
пресека
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Слика 10: Златно јаје (метод 45º)
ИГЕНЕРА
КОНСТ
За тупоугли троугао Пенроусовог поплочавања –
троугао са угловима 36º - 36º - 108º
добиће се златно јаје, (Слика 12)
КРИВЕИ
Златно јаје и низ петоугла
ЈАЈАСТЕЈ
Слика 11: Златно јаје и петоугао
Слика 12: Златно јаје и троугао

ВЕ
Крива јајоликог облика такође може настати и комбинацијом још неких кривих другог реда: две половине
различитих елипси којима је заједнички параметар b (мала оса), док су им велике полуосе различите a ≠ c
(С 13) б б б
ЛШЕФЕРО
(Слика 13); део елипсе и парабола; део елипсе и хипербола; кружни лук и парабола или кружни лук и
хипербола, водећи рачуна да се тангенте у крајњим тачкама датих делова коника поклапају
РУКЦИЈЕ
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Слика 14: Пример
(котирана пројекција)
Слика 13: Конструкција јајасте фигуре у равни помоћу
Слика 13: Конструкција јајасте фигуре у равни помоћу
две полуелипсе идентичних малих оса

ВЕ
Примери јајастих кривих као делова кривих са математичким записима
ЛШЕФЕРО
РУКЦИЈЕ
Б) Кеплерова јајаста крива
ИГЕНЕРА
КОНСТ
А) Њутнова кубна функција
В) Декартов овал
КРИВЕИ
Г) Мингова јајаста крива
ЈАЈАСТЕЈ
Слика 15 (А Е): Низ примера јајастих кривих које се на датим графицима функција виде
Д) Касинијеви овали
Е) Ланац кривих јајастог
обликађ) Двоструко асиметрично јаје
Слика 15 (А - Е): Низ примера јајастих кривих које се на датим графицима функција виде
као затворени делови задатих аналитичких кривих

ВЕ
ЛШЕФЕРО
ЈАХУГЕЛ
к = 0;
к = 0 1;
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
к = 0.1;
к = 0.2;
к = 0.3;
к = 1/3
ИГЕНЕРА
КОНСТ
А) трансформација круга Б) трансформација елипсе В) трансформација елипсе преко
јајасте криве до троугла
Трансформација Торстен Силкеа:
КРИВЕИЈАЈАСТЕ
Д) Бернулијева лемниската
ђ) јајаста форма
Ј
Г) Сего крива Е) низ јајастих кривих
Слика 16 (А - Е): Јајасте криве које су настале неком трансформацијом
) ј ј р

Хугелшеферова конструкција јајасте криве
ВЕ
Хиперболизам Њутнова трансформација
Њутнова трансформација равне криве
помоћу дате праве и тачке :
ЛШЕФЕРО
Хиперболизам – Њутнова трансформација
Уопштена Њутнова трансформација
равне криве помоћу дате криве иу д р
Њутн полази од равне криве Гo и помоћу задате
тачке S (xs ;ys ) и праве m (x = xm ) у истој равни
Оxy добија нову криву Г. За сваку тачку P(xp;yp )
криве Г једнозначно је придружена тачка
ЈАХУГЕЛ
р р у д р
тачке:
криве Гo једнозначно је придружена тачка
Q(xQ;yQ) криве Г на следећи начин:
o права SP сече праву m у тачки М (xm ; yм );
o на паралели праве m из тачке P, ортогоналним
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
пројицирањем на праву m из тачке М налази се
тачка Q новодобијене криве Г
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИ
Слика 18: Уопштени хиперболизам
Уопштена Њутнова трансформација настаје
ЈАЈАСТЕ
р ф р ј ј
када се права m (x = xm ) замени новом кривом
у равни Оxy. За дату тачку S (xs ; ys ) и две
криве Г1 и Г2 у равни Оxy хиперболизмом
настаје нова крива Г. Свака права постављена
Ј
Слика 17: Хиперболизам
кроз S сече криву Г1 у тачки P1 (x1 ; y1 ) , а
криву Г2 у тачки P2 (x2 ; y2 ). Тачка Q (xQ ; yQ )
новодобијене криве Г се налази у пресеку
паралеле Оx из P1 и паралеле Оy из P2 .
р

Уопштени Хиперболизам
ВЕ
Прва крива Г1 је круг k1 (1) са полупречником a и центром C1 у координатном почетку O, нека је друга
крива Г2 круг k2 (2) полупречника b са центром C2 такође у O. Тачка C2 је дата тачка S Њутнове
трансформације хиперболизмом новодобијена крива је елипса са центром у координатном почетку O
Уопштени Хиперболизам
ЛШЕФЕРО
трансформације, хиперболизмом новодобијена крива је елипса са центром у координатном почетку O,
великом осом a и малом осом b.
k1 : P1 (x1, y1) , C1 (0, 0), r1= a, x1
2+ y1
2 = a2 (1)
k2 : P2 (x2, y2) , C2 (0, 0), r2= b, x2
2+ y2
2 = b2 (2)
ЈАХУГЕЛ
2 2 ( 2 2) 2 ( ) 2 2 2 ( )
Свака тачка E (x1, y2) новодобијене криве - елипсе (e) –
испуњава услов: y1 : y2 = x1 : x2 (3)
Квадрирањем услова (3) и заменом једначина (1) и (2),
ј ( )
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
следи једначина елипсе (e):
Нека је сада прва крива Г1 круг k1 (4) са полупречником a и центром C1 у координатном почетку O, нека
је друга крива Г2 круг k2 (5) полупречника b са центром C2 и нека је она дата тачка S Њутнове
ИГЕНЕРА
КОНСТ
трансформације. Центар другог круга C2 је померен за параметар w > 0 по x-оси, тада хиперболизмом
настајејајаста кубна крива.
k1 : P1 (x1, y1) , C1 (0, 0), r1= a, x1
2+ y1
2 = a2 (4)
k : P (x y ) C ( w 0) r b (x +w)2+ y 2 b2 (5)
КРИВЕИ
k2 : P2 (x2, y2) , C2 (-w, 0), r2= b, (x2 +w)2+ y2
2 = b2 (5)
Свака тачка Q (x1, y2) новодобијене јајасте криве – (јаје) –
испуњава услов: y1 : y2 = (x1 +w) : (x2 +w) (6)
Квадрирањем услова (6) и заменом једначина (4) и (5) ,
ЈАЈАСТЕ
Квадрирањем услова (6) и заменом једначина (4) и (5) ,
следи једначина јајасте криве (јајe):
Ј
За w=0 следи g(x)=1 тј. новодобијена крива је елипса (e)

ВЕ
Анализа и својства овако добијене
кубне криве:
o Кубна крива са једначином
ЛШЕФЕРО
Кубна хиперболичка парабола типа А
настала пројицирањем пресечне
криве параболичког и хиперболичког
записана у експлицитном облику
је симетрична у односу на x-осу
ЈАХУГЕЛ
цилиндра
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Слика 20: Пресек
хиперболичког и
параболичког цилиндра
Слика 19: График функције кубне криве

Допуна Хугелшеферовe конструкције
Целокупна крива кубна хиперболичка парабола
ВЕ
Математичком анализом кубне криве дате
једначином:
са параметрима a b>0 w≠0 установљава се
Целокупна крива – кубна хиперболичка парабола
ЛШЕФЕРО
Хипербола као дуална крива темељног круга
са параметрима a,b>0, w≠0 установљава се
да је област дефинисаности криве:
ЈАХУГЕЛ
из чега произилази да постоји још један
део криве који се не добија конструкцијом
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Хугелшефера.
За овај део криве потребно је одредити
конструктивно решење тј. које почетне
темељне криве хиперболизмом дају
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Слика 22: Правоугла хипербола као пројективнитемељне криве хиперболизмом дају
недостајући део кубне хиперболичке
параболе типа А, дефинисан у интервалу:
КРИВЕИ
Правоугла хипербола је пројективни
комплемент круга
комплемент круга у односу на прамен паралела y-правца
ЈАЈАСТЕ
b2
x2
+(a2
+w2
)y2
+2wxy2
=a2
b2
4w2
y2
=b2
(a2
+w2
-2wx)
о е е ру а
k: x2+ y2 = a2
у односу на прамен паралела y-правца и
има једначину
h: x2 - y2 = a2
Ј
2wx+a2
+w2
=0
a=5, b=3, w=2
y
док за добијање једначине хиперболе за
прамен паралела x-правца довољно је у
једначини круга променити предзнак
члана x2 .
Слика 21: Комплетна кубна крива са асимптотама

Допуна Хугелшеферове конструкције
Конструкција укупне кубне криве методом Фриц Хугелшефера
ВЕ
Прва крива Г1 је сада правоугла хипербола h1 (10) са полупречником a и центром C1 у координатном
почетку O, нека је друга крива Г2 правоугла хипербола h2 (11) полупречника b са центром C2. Центар
друге хиперболе C2 је померен за параметар w > 0 по x-оси и он је дата тачка S Њутнове трансформације.
Конструкција укупне кубне криве методом Фриц Хугелшефера
ЛШЕФЕРО
h1 : P1 (x1, y1) , C1 (0, 0), r1= a, x1
2- y1
2 = a2 (10)
h2 : P2 (x2, y2) , C2 (-w, 0), r2= b, -(x2 +w)2+ y2
2 = b2 (11)
Новодобијена крива која настаје хиперболизмом две правоугле хиперболе (Слика 23) је недостајући део
ЈАХУГЕЛ
Новодобијена крива која настаје хиперболизмом две правоугле хиперболе (Слика 23) је недостајући део
кубне хиперболичке параболе типа А са једначином:
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
и може се записати и у облику:
тј. као линеарна дисторзија
хиперболе
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Слика 23: Хиперболизам две правоугле хиперболе Слика 24: Конструкција укупне кубне криве

Варијација кривих у зависности од полазних параметара
ВЕ
Варијација форме јајасте криве у
зависности од положаја центра
темељних кругова (w):
ЛШЕФЕРО
Варијација форме јајасте криве у
зависности од полупречника темељних
кругова (a и b):
ЈАХУГЕЛ
a=4, b=2, w=1
a=4, b=4, w=3a=8, b=4, w=12
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
, ,
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИ
a=3, b=5, w=6
ЈАЈАСТЕ
a=5, b=7, w=3
На графицима су поред тражене кубне
криве дате једначином:
приказани и темељни кругови и њихови
Ј
приказани и темељни кругови и њихови
комплементи (правоугле хиперболе),
односно асимптоте.
Слика 25: Галерија кубних кривих

ВЕ
Кубна крива облика:
распада се на асимптотску праву и асимптотску
параболу (Слика 26) у случају када параметри a, b и
w испуњавају услов: a = w .
ЛШЕФЕРО
у ју у
ЈАХУГЕЛ
a=0, b=2, w=1.5
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Слика 27: Комбинована
кубна крива
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Ако су задати параметари a=0, b>0, w≠0 тада се
добија двограна крива са сингуларном тачком у
координатном почетку. Ова крива је комбинована
кубна крива - Лоншанова крива (Слика 27). Она
настаје и као прва пројекција пресека
КРИВЕИ
настаје и као прва пројекција пресека
параболичког и хиперболичког цилиндра ако су
квадрике постављене у тангенцијалан положај
(Слика 28):
ЈАЈАСТЕЈ
Слика 26: Распаднута кубна крива:
Слика 26: Распаднута кубна крива:

ВЕ
Комбинација претходна два примера и могућност добијања кривих виших редова
ЛШЕФЕРОЈАХУГЕЛ
Променом положаја центра (тачка S Њутновог хиперболизма)
прамена правих које се радијално простиру и секу темељне кругове
(концентричне или неконцентричне) настају нове криве. На овај
начин се генерализује конструкција Хугелшефера, а добијене криве
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
р уј ру ц ј у ф р , д ј р
су другог или вишег реда:
За два концентрична круга (w = 0 тј
ИГЕНЕРА
КОНСТ
За два концентрична круга (w = 0, тј.
С1=С2) и за параметар p = b тј. померај
центра прамена правих хиперболизмом
настаје крива са самопресечном тачком
и двострука права (x-оса):
Генерализација
Хугелшеферове
конструкције
КРИВЕИ
и двострука права (x оса): конструкције
ЈАЈАСТЕЈ
Крива која настаје хиперболизмом два неконцентрична
круга (центри темељних кругова С1 и С2 померени по
x-оси за параметар w≠0) и за параметар p = 0 (S = С1)
је симетрична у односу на y-осу и има јајасти облик.

ПРОСТОРНО САГЛЕДАВАЊЕ ЈАЈАСТИХ КРИВИХ И ФОРМЕ
ДОБИЈЕНЕ ЊИХОВОМ МОДИФИКАЦИЈОМ
ВЕ
Д Д Ц
ЛШЕФЕРО
Ротација планарне јајасте криве D око осе s:Транслација планарне јајасте криве D дуж
праве р:
ЈАХУГЕЛ
ОВОИД
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Транслација јајасте криве D дуж отворене криве
линије d:
КОСИ ОВОИДНИ ЦИЛИНДАР
ОВОИД
Ротација јајасте криве D око у-осе:
ИГЕНЕРА
КОНСТ
и иј
КРИВЕИ
ОВОИДНА ФОРМА
ТОРОИД
ЈАЈАСТЕ
Планарна јајаста крива D као директриса правоизводне површи:
Ј
КОНОИД КОНУС

ПРИМЕНА ЈАЈАСТИХ КРИВИХ У ИНЖЕЊЕРСТВУ И ДИЗАЈНУ
ВЕ
Примери примене овоидних форми у архитектури, саобраћају, дизајну,
уметности, а и свакодневном животу с обзиром на њену ергономичност:
ЛШЕФЕРО
Поред изгледа датих објеката дате су
ЈАХУГЕЛ
апроксимације њихових контура Хугелшеферовом
јајастом кривом (целом кривом или деловима ове
криве):
Свака крива је задата параметрима a, b и w
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Свака крива је задата параметрима a, b и w
(односно, задат је њен облик на основу односа
параметара), ротирана је и скалирана тако да
постаје контура објекта.
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИ
Национални центар за извођачке уметности
ЈАЈАСТЕ
Национални центар за извођачке уметности
(The National Centre for the Performing Arts),
2007, Пекинг,
арх. Пол Андреа (Paul Andreu, 1938 - ) Градска већница (London City Hall), 2002,
Лондон арх Норман Фостер (Norman Foster 1935 )
Зграда Геркин
(The Gherkin),
2004,
Ј
Лондон, арх. Норман Фостер (Norman Foster, 1935 - )
Јајаста форма објекта није изабрана
само због визуелног ефекта већ због
енергетске ефикасности
(
Аеродинамичко моделовање
је показало да се максимална
природна вентилација добија
ј
Објекат са три дворане (опера, хала
и позориште) има познатији назив
„Јаје“ (The Egg). Вештачко језеро
окружује грађевину тако да изгледа
као да јаје плута на води.
Архитектонски факултет 2о1о.
(минимизирањем површине зграде
спречава се нежељени губитак или
добит топлоте).
када се основа једног спрата
заротира за неколико степени
у односу на спратове испод.
као да јаје плута на води.

ВЕЛШЕФЕРО
Напредна компјутерска техника је омогућила
да се испита и изврши симулација
аеродинамичких особина објекта и да се на
основу ове турбуленције дође до ергономичне
ф бј
ЈАХУГЕЛ
форме објекта.
АЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
Модел струјања ваздуха око
зграде Геркин (Краставчић)
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Кула чисте технологије (Clean Technology Tower)
је објекат будућности који је елегантна комбинација
биомимикрије, дизајна ваздушних струјања и соларне енергије.
Адријан Смит (Adrian Smith) и Гордон Гил (Gordon Gill) су
КРИВЕИ
дизајнери ове јајасте форме
ЈАЈАСТЕ
Кибертектонско јаје (The Cybertecture Egg)
је објекат Џемса Лоа (James Law), чија
изградња треба да се заврши ове године у
М б ј И ј
Ј
Мумбаију, Индија.
Користећи јајасти облик зграде, око 15%
грађевинског материјала је смањено у
ђ
Чудесно јаје (Wonder egg),
поређењу са конвенционалним
ортогоналним зградама
Јапан

ВЕ
Модел Р4/5 аутомобила марке Ферари
ЛШЕФЕРО
Модел Р4/5 аутомобила марке Ферари,
италијанског инжењера и дизајнера Андрее
Пинифарине (Andrea Pininfarina, 1957 - 2008) има
фарове јајастог облика, као и јајасти профил.
РУКЦИЈЕ
„Индустријска Фабержеова јаја“ – резервоари у Немачкој, као
и постројења четири резервоара у Енглеској (Egg-shaped digesters)
су армирано бетонске конструкције са спољним облогама и
јајастог облика
ИГЕНЕРА
КОНСТ
КРИВЕИ
Ергономичну јајасту форму имају и предмети
који нас окружују у свакодневном животу.
Такође и због своје сведене естетике и
ЈАЈАСТЕ
Такође и због своје сведене естетике и
елеганције, ове форме привлаче нашу
пажњу.
Профил кокпита једрилице који за
контуру има Хугелшеферову јајасту криву
Ј
контуру има Хугелшеферову јајасту криву
Аеродинамичка испитивања овог модела на
пројекту ТУ Делф (Холандија) су показала
да Хугелшеферова јајаста крива има
предност над кружним, елиптичким и
другим овалним формама.

ЈАЈАСТЕ КРИВЕ И ГЕНЕРАЛИЗАЦИЈА ХУГЕЛШЕФЕРОВЕ КОНСТРУКЦИЈЕ
Закључак
У овом раду анализиране су јајасте криве полазећи од познате Хугелшеферове конструкције.
Показано је да постоје различити типови равних кривих које имају овоидан облик и које се могу појединачно
класификовати по геометријским својствима, генези, типу и реду. Такође, показано је да постоје и оне
криве са прецизно дефинисаном конструкцијом и математичком формулом, а једна таква крива 3. реда је
Хугелшеферова јајаста крива.Хугелшеферова јајаста крива.
Доказано је да постоји могућност допуне конструкције кубне криве која као део има јајасту криву насталу
конструкцијом Фриц Хугелшефера помоћу два неконцентрична круга. Допуна Хугелшеферове конструкције се
заснива на комплементности круга и правоугле хиперболе. Коришћењем метода конструктивне, аналитичке,
диференцијалне и алгебарске геометрије извршена је допуна овог дела кубне хиперболичке параболе типа Адиференцијалне и алгебарске геометрије извршена је допуна овог дела кубне хиперболичке параболе типа А
и приказани су резултати применом графичких софтвера и аплета. Графички су приказане поједине
варијације ове криве у зависности од полазних параметара. Извршена је и генерализација Хугелшеферове
конструкције и на тај начин су сагледане могућности добијања кривих другог или вишег реда.
О ћ ј ф ј ј ј јОмогућено је визуелно сагледавање нових просторних форми које као водиљу имају јајасту равну криву.
Цилиндар, конус, тороид и коноид су само неке од форми које су изучаване са аспекта геометрије и
математике и сваки карактеристични представник из посматране групе је графички приказан.
Због ергономије и аеродинамике јајасте криве, њена примена у дизајну у инжењерству је велика. Истражена
је и показана естетска оправданост примене јајасте криве у архитектури. У последњем поглављу овог рада је
извршена апроксимација контуре архитектонских објеката Хугелшеферовом јајастом кривом.
Овакав начин приступа проблематици кривих које имају овоидни облик отвара могућности даљих
истраживања: кривих трећег, четвртог или вишег реда и компаративна анализа облика ових кривих,истраживања: кривих трећег, четвртог или вишег реда и компаративна анализа облика ових кривих,
испитивање струјница око кубне хиперболичке параболе у зависности од облика криве (тј. у функцији
параметара кривих), анализирање аеродинамике просторних форми које као водиљу имају јајасту криву као
и повезивање са још неким областима науке или праксе.

ВЕЛШЕФЕРОЈАХУГЕЛАЛИЗАЦИЈ
РУКЦИЈЕ
ИГЕНЕРА
КОНСТ
Архитектонски факултет Београд, 27. септембар 2о1о.

Prezentacija mr Maja Petrovic

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Prezentacija mr Maja Petrovic