Problemas de geometría analítica y álgebra lineal

PROBLEMAS
1. Obtenga para los puntos A y B dirigidos las distancias AB y BA:
a) A(3, 4) y B(5, 4)
b) A(2, −8) y B(2, 12)
Solución:
a) d(A, B) = + (5 − 3)2 + (4 − 4)2 = +
√
22 + 02 = +
√
4 = +2
d(B, A) = − (5 − 3)2 + (4 − 4)2 = −
√
22 + 02 = −
√
4 = −2
b) d(A, B) = + (2 − 2)2 + (−8 − 12)2 = + 02 + (−20)2 = +
√
400 = +20
d(B, A) = − (2 − 2)2 + (−8 − 12)2 = − 02 + (−20)2 = −
√
400 = −20
2. La abscisa de un punto Q es -2 y su distancia al punto P(−3, 6) es
√
5. Hallar
la ordenada del punto Q.
Solución:
Sea el punto Q(−2, x), entonces:
d(P, Q) = (−2 − (−3))2 + (x − 6)2
√
5 = (−2 + 3)2 + (x − 6)2
(
√
5)2
= ( (1)2 + (x − 6)2)2
5 = 1 + (x − 6)2
5 = 1 + x2
− 12x + 36
x2
− 12x + 32 = 0
(x − 8)(x − 4) = 0
x − 8 = 0 , x − 4 = 0
x = 8 , x = 4
Por tanto, la ordenada es x = 8 ó x = 4.
1

2
3. Uno de los extremos de un segmento rectil´ıneo es P(−4, 2) y el
punto medio del segmento e M(3, −1). Obtenga las coordenadas del otro
extremo del segmento.
Solución:
Seal el otro extremo del segmento Q(x, y), entonces como M es punto medio se tiene:
3 =
−4 + x
2
, −1 =
2 + y
2
6 = −4 + x , −2 = 2 + y
6 + 4 = x , −2 − 2 = y
x = 10 , y = −4
Por tanto, el otro extremo es Q(10, −4).
4. Determine la distancia entre P(−2, 3) y el punto medio del segmento de recta
que une los puntos A(−2, −2) y B(4, 3)
Solución:
Hallando el punto medio de AB:
x =
−2 + 4
2
, y =
−2 + 3
2
x = 1 , y =
1
2
se tiene entonces el punto medio M(1, 1
2). Luego la distancia de P a M es:
d(P, M) = (−2 − 1)2 + (3 −
1
2
)2
= (−3)2 + (
5
2
)2
= 9 +
25
4
=
61
4
=
√
61
2
5. Hallar la ecuación de a recta que pasa por los puntos P y Q:
a) P(1, 1) y Q(4, 6)
b) P(2, 3) y Q(3, −2)
Solución:
a) la pendiente es:
m =
6 − 1
4 − 1
=
5
3

3
y la ecuación es:
L : y − y0 = m(x − x0)
y − 1 =
5
3
(x − 1)
3y − 3 = 5x − 5
−5x + 3y − 3 + 5 = 0
−5x + 3y + 2 = 0
L : 5x − 3y − 2 = 0
b) la pendiente es:
m =
−2 − 3
−3 − 2
=
−5
−5
= 1
y la ecuación es:
L : y − y0 = m(x − x0)
y − 3 = (1)(x − 2)
y − 3 = x − 2
−x + y − 3 + 2 = 0
−x + y − 1 = 0
L : x − y + 1 = 0
6. Hallar la ecuación de a recta que pasa por el punto P , y tiene pendiente m:
a) P(7, −3) y m = 4
b) P(−2, 2) y m = −5
Solución:
a) La ecuación es:
L : y − y0 = m(x − x0)
y − (−3) = 4(x − 7)
y + 3 = 4x − 28
−4x + y − 3 + 21 = 0
−4x + y + 19 = 0
L : 4x − y − 19 = 0

4
b) La ecuación es:
L : y − y0 = m(x − x0)
y − 2 = (−5)(x − (−2))
y − 2 = −5x − 10
5x + y − 2 + 10 = 0
L : 5x + y + 8 = 0
7. Trace la gráfica de las ecuaciones siguientes:
a) 4x + 3y + 4 = 0
b) 5x + 7y + 12 = 0
Solución:
graficando las rectas:
8. Obtener el valor de k para que las rectas:
a) 3x + 6ky − 7 = 0 y 9kx + 8y − 15 = 0 sean paralelas
b) 3kx + 8y − 5 = 0 y 6y − 4ky + 1 = 0 sean perpendiculares
Solución:
a) Dadas las rectas:
L1 : 3x + 6ky − 7 = 0
L1 : 9kx + 8y − 15 = 0

5
donde sus pendientes son: m1 = −3
6k y m2 = −9k
8 . Se sabe que las rectas son
paralelas si:
m1 = m2
−3
6k
=
−9k
8
−3(8) = 6k(−9k)
−24 = −54k2
k2
=
−24
−54
k2
=
4
9
k =
4
9
k = ±
2
3
b) Dadas las rectas:
L1 : 3kx + 8y − 5 = 0
L1 : 6y − 4ky + 1 = 0
donde sus pendientes son: m1 = −3k
8 y m2 = −(−4k)
6 . Se sabe que las rectas son
paralelas si:
m1.m2 = −1
−3k
8
.
−(−4k)
6
= −1
−12k2
48
= −1
k2
4
= 1
k2
= 4
k =
√
4
k = ±2
9. Obtenga las ecuaciones de las tres rectas que contienen a las
medianas del triángulo A(3, −2), B(3, 4) y C(−1, 1).
Solución:
Las medianas son los segmentos que pasan un vértice y el punto medio del lado opuesto,
calculando los puntos medios:
MAB = (
3 + 3
2
,
−2 + 4
2
) = (3, 1)
MAC = (
3 + −1
2
,
−2 + 1
2
) = (1,
1
2
)
MBC = (
3 + −1
2
,
4 + 1
2
) = (1,
5
2
)

6
luego:
i) recta que contiene a la mediana que pasa por A y MBC:
y − (−2) =
−2 − 5
2
3 − 1
(x − 3)
y + 2 =
−9
5
2
(x − 3)
y + 2 =
−9
10
(x − 3)
10y + 20 = −9x + 27
L1 : 9x + 10y − 7 = 0
ii) recta que contiene a la mediana que pasa por B y MAC:
y − 4 =
4 − 1
2
3 − 1
(x − 3)
y − 4 =
7
2
2
(x − 3)
y − 4 =
7
4
(x − 3)
4y − 16 = 7x − 21
L2 : −7x + 4y + 5 = 0
iii) recta que contiene a la mediana que pasa por C y MAB:
y − 1 =
1 − 1
3 − (−1)
(x − (−1))
y − 1 =
0
4
(x + 1)
y − 1 = 0
L3 : y − 1 = 0
10. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 2x − 3y + 6 = 0, que se
encuentra a una distancia de 4 del punto Q(3, 1).
Soluci´on:
Sea la recta paralela: L : 2x − 3y + c = 0, luego por condici´on del problema:
d(L, Q) = 4
|2(3) − 3(1) + c|
√
32 + 12
= 4
|6 − 3 + c|
√
9 + 1
= 4
|3 + c|
√
10
= 4
|3 + c| = 4
√
10
3 + c = 4
√
10 3 + c = −4
√
10
c = 4
√
10 − 3 c = −4
√
10 − 3

8
tan θ3 = |
m2 − m3
1 + m2.m3
|
tan θ3 = |
3
2 − (−7)
1 + 3
2.(−7)
|
tan θ3 = |
17
2
−19
2
|
tan θ3 = |
17
−19
|
tan θ3 =
17
19
θ3 = arctan (
17
19
)
θ3 = 41.82◦
12. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo, si uno de sus vértices es
P(4, −1) y las ecuaciones de dos bisectrices es x − 1 = 0 y x − y − 1 = 0.
Solución:
Las ecuaciones de los lados son:
L1 : 12.5x − 2, 5y + 12.5 = 0
L2 : 11x + 3y − 41 = 0
L3 : −1.5x + 5.5y + 11.5 = 0
13. Una recta pasa por P(2, 3) y la suma de las medidas de los segmentos que
determina sobre los ejes coordeandos es 10. Hallar la ecuación de la recta.
Solución:
Sean los interceptos de la recta con los ejes coordenados: (a, 0) y (0, b), se sabe que
a + b = 10, de donde b = 10 − a. Por otro lado, la ecuación de la recta es:
x
a
+
y
b
= 1
como el punto (2, 3) pertence a la recta entonces:
2
a
+
3
b
= 1
reemplazando b = 10 − a y reduciendo la ecuación se obtiene:
a2
− 9a + 20 = 0
de donde a = 4 y a = 5. Si a = 4 entonces b = 6, y si a = 5 entonces b = 5. Por tanto
las ecuaciones de la recta pedida son:
L :
x
4
+
y
6
= 1
ó
L :
x
5
+
y
5
= 1

9
14. Hallar la ecuación de la recta equidistante de las rectas paralelas: L1 : 2x −
y − 4 = 0 y L2 : 2x − y + 8 = 0.
Solución:
Sea la recta pedida:
L : 2x − y + c = 0
entonces, por dato:
d(L1, L) = d(L2, L)
| − 4 − c|
2
=
|8 − c|
2
| − 4 − c| = |8 − c|
−4 − c = −(8 − c)
de donde se obtiene que c = 2. Por tanto la ecuación de la recta pedida es:
2x − y + 2 = 0
15. Los lados de un triángulo están en las rectas: L1 : 4x−y−7 = 0, L2 : x+3y = 31,
L3 : x + 5y − 7 = 0. Dar el punto de intersección de sus alturas.
Solución:
Hallando primero los vértices del triángulo mediante la intersección de las
rectas dos a dos:
i) Para L1 ∩ L2:
4x − y − 7 = 0
x + 3y − 31 = 0
multiplicando por 3 a la primera ecuación:
12x − 3y − 21 = 0
x + 3y − 31 = 0
sumando ambas ecuaciones:
13x − 52 = 0
x = 4
reemplazando x = 4 en la ecuación: x + 3y − 31 = 0
4 + 3y − 31 = 0
y = 9
as´ı se tiene el primer vértice V1(4, 9).

10
ii) Para L1 ∩ L3:
4x − y − 7 = 0
x + 5y − 7 = 0
multiplicando por 5 a la primera ecuación:
20x − 5y − 35 = 0
x + 5y − 7 = 0
21x − 42 = 0
x = 2
reemplazando x = 2 en la ecuación: x + 5y − 7 = 0
2 + 5y − 7 = 0
y = 1
luego, el segundo vértice es V2(2, 1).
iii) Para L2 ∩ L3:
x + 3y − 31 = 0 = 0
x + 5y − 7 = 0
multiplicando por -1 a la primera ecuación:
−x − 3y + 31 = 0 = 0
x + 5y − 7 = 0
2y + 24 = 0
y = −12
reemplazando y = −12 en la ecuación: x + 5y − 7 = 0
x + 5(−12) − 7 = 0
x = 67
y el último vértice es: V3(67, −12).
Segundo, se hallan las ecuaciones de las alturas correspondientes a los lados:
i) Sea H1 la altura correspondiente al vértice V1. Notar que ésta es ortogonal a L3,
por tanto su pendiente es mH1 = 5. La ecuación de H1 es:
y − 9 = 5(x − 4)
y − 9 = 5x − 20
−5x + y + 11 = 0

11
ii) Sea H2 la altura correspondiente al vértice V2. Por la misma propiedad que la
anterior, H2 ⊥ L2, en consecuencia mH2 = 3. La ecuación de H2 es:
y − 1 = 3(x − 2)
y − 1 = 3x − 6
−3x + y + 5 = 0
iii) Sea H3 la altura correspondiente al vértice V3. Puesto que H3 ⊥ L3, la pendiente
es mH3 = −1
4 . La ecuación de H2 es:
y − (−12) =
−1
4
(x − 67)
4y + 48 = −x + 67
x + 4y − 19 = 0
Formando un sistema lineal con las ecuaciones de las alturas:



−5x + y + 11 = 0
−3x + y + 5 = 0
x + 4y − 19 = 0
multplicando por -5 a la segunda ecuación:



−5x + y + 11 = 0
15x − 5y − 25 = 0
x + 4y − 19 = 0
sumando las tres ecuaciones:
11x − 33 = 0
x = 3
reemplazando x = 3 en la primera ecuación:
−5(3) + y + 11 = 0
y = 4
Por tanto, la intersección de las alturas del triángulo dado es el punto H(3, 4).

12
16. Hallar la ecuación de la recta situada a 8 unidades del origen y pasa por el
punto A(20, 0) y corta la parte positiva del eje Y .
Solución:
Hallando la tangente del ángulo generado por la recta y el primer cuadrante en el punto
(20, 0), se obtiene:
tan α =
8
√
202 − 82
=
8
4
√
21
=
2
√
21
Luego, la tangente del ángulo adyacente es tan θ = −2√
21
. Por tanto, la ecuación de la
recta que pasa por (20, 0) y tiene pendiente m = −2√
21
es:
L : y − 0 = 0
−2
√
21
(x − 20)
reduciendo se obtiene:
L : 2x +
√
21y − 40 = 0
17. Dadas las rectas L1 : 2x + y + 2 = 0, L2 : x − 2y + 1 = 0. Hallar los puntos
situados en L1 cuya distancia a L2 sea
√
5.
Solución:
Sean los puntos P(a, b) ∈ L1, entonces reemplazando:
2a + b + 2 = 0
b = −2a − 2
Por otro lado se sabe:
d(P, L2) =
√
5
|a − 2b + 1|
12 + (−2)2
=
√
5
|a − 2(−2a − 2) + 1|
√
5
=
√
5
|5a + 5| =
√
5.
√
5
|5a + 5| = 5
5a + 5 = 5 , 5a + 5 = −5
a = 0 , a = −2
Si a = 0 entonces b = −2(0) − 2 = −2. Y si a = −2 entonces b = −2(−2) − 2 = 2. Por
tanto los puntos son (0, −2) y (−2, 2).
18. Sean L1 y L2 dos rectas ortogonales tales que L1 pasa por (3, 2) y (2, 5) y L2
pasa por (2, 1). Hallar la intersección de ambas rectas. Solución:
Hallando la recta L1:
y − 2 =
5 − 2
2 − 3
(x − 3)
y − 2 = −3(x − 3)
L1 : 3x + y − 11 = 0

13
además m1 = −3 entonces m2 = 1
3. Luego la ecuación de L2 es:
y − 1 = m2(x − 2)
y − 1 =
1
3
(x − 2)
3y − 3 = x − 2
L2 : x − 3y + 1 = 0
La intersección de L1 y L2 se obtiene resolviendo:
3x + y − 11 = 0
x − 3y + 1 = 0
cuya solución es x = 16
5 , y = 7
5. Por tanto, el punto de intersección es: (16
5 , 7
5).
19. Sean las rectas L1 : 3x − 4y + 6 = 0, L2 : P = (4, 1) + t(−2, 4), t ∈ R. Hallar:
a) La distancia del punto A(4, 1) a la recta L1.
b) La tangente del ángulo formado por las rectas.
Solución:
a) calculando:
d(A, L1) =
|3(4) − 4(1) + 6|
32 + (−4)2
=
|14|
√
25
=
14
5
b) Hallando la ecuación vectorial de la recta L2:
y − 1 = =
4
−2
(x − 1)
y − 1 = −2(x − 1)
2x + y − 3 = 0
Luego las pendientes son: m1 = 3
4, m2 = −2. Sea θ el ángulo generado por las
rectas, entonces:
tan θ = |
3
4 − (−2)
1 + 3
4.(−2)
|
=
11
2

14
20. Hallar el valor de k tal que el punto P(k, 4) sea equidistante de las
rectas: L1 : 13x − 9y − 10 = 0, L2 : x + 3y − 6 = 0.
Solución:
Por la fórmula de las distancias:
d(P, L1) = d(P, L2)
|13k − 9(4) − 10|
132 + (−9)2
=
|k + 3(4) − 6|
√
12 + 32
|13k − 46|
√
250
=
|k + 6|
√
10
|13k − 46|
5
√
10
=
|k + 6|
√
10
|13k − 46|
5
= |k + 6|
|13k − 46| = 5|k + 6|
13k − 46 = 5(k + 6) , 13k − 46 = −5(k + 6)
k =
19
2
,
8
9
21. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas
L1 : 3x − 4y + 8 = 0, L2 : 6x − 8y + 9 = 0.
Solución:
dividiendo la recta L2 entre 2:
L2 : 3x − 4y +
9
2
= 0
Luego la distancia es:
d(L1, L2) =
|8 − 9
2|
2
)
=
7
4
22. Hallar la ecuación de la recta paralela a la recta L1 : 5x + 12y − 12 y que diste
4 unidades de ella.
Solución:
Sea la recta paralela a L1:
L2 : 5x + 12y + c = 0
Luego:
d(L1, L2) = 4
| − 12 − c|
2
= 4
| − 12 − c| = 8
−12 − c = 8 , −12 − c = −8
c = −20 , c = −4

15
Luego, la recta L2 tiene dos ecuaciones: 5x + 12y − 20 = 0 ó 5x + 12y − 4 = 0.
23. La distancia de la recta L : 4x − 3y + 1 = 0 al punto P es 4. Si la ordenada de
P es 3. Hállese su abscisa.
Solución:
Sea el punto P(a, 3). Luego:
d(P, L) = 4
|4a − 3(3) + 1|
42 + (−3)2
= 4
|4a − 8|
√
25
= 4
|4a − 8|
5
= 4
|4a − 8| = 20
4a − 8 = 20 , 4a − 8 = −20
a = 7 , a = −3
24. Hallar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas
paralelas L1 : 12x − 5y + 3 = 0, L2 : 12x − 5y − 6 = 0.
Solución:
El conjunto de puntos que equidistan de las rectas paralelas dadas es otra recta paralela
a ellas. Sea la recta paralela: L3 : 12x − 5y + c = 0. Luego:
d(L1, L3) = d(L2, L3)
|3 − c|
2
=
| − 6 − c|
2
|3 − c| = | − 6 − c|
3 − c = −6 − c , 3 − c = −(−6 − c)
3 = −6 (absurdo) , c =
−3
2
Por tanto, la recta es L3 : 12x − 5y − 3
2 = 0.
25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 1) y tal que la
distancia de esta recta al punto A(−1, 1) sea igual a 2
√
2.
Solución:
Sea la recta pedida L : y − 1 = m(x − 3), reduciendo se obtiene:
mx − y − 3m + 1 = 0

16
Además se sabe:
d(L, P) = 2
√
2
|m(−1) − 1 − 3m + 1|
m2 + (−1)1
= 2
√
2
| − 4m|
√
m2 + 1
= 2
√
2
| − 4m| = 2
√
2 m2 + 1
elevando al cuadrado y resolviendo la ecuación se obtiene:
16m2
= 8m2
+ 8
m = ±1
Por tanto la ecuación de L es: x − y − 2 = 0 ó −x − y + 4 = 0.
26. La distancia de una recta al origen es 3. La recta pasa por el punto A(3
√
5, −3).
Hallar su ecuación.
Solución:
La ecuación de la recta es:
3x + 11
√
5y −
79
2
√
5
= 0
27. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo
A(5, −4), B(−1, 3), C(−3, −2) y son paralelas a los lados
opuestos.
Solución:
Hallando las ecuaciones de los lados del triángulo:
L1 : 7x + 6y − 11 = 0
L2 : −x − 4y − 11 = 0
L3 : 5x − 2y + 11 = 0
La ecuación que pasa por A(5, −4) y es paralela a L3 es 5x − 2y − 33 = 0.
La ecuación que pasa por B(−1, 3) y es paralela a L2 es −x − 4y + 11 = 0.
La ecuación que pasa por C(−3, −2) y es paralela a L1 es 7x + 6y + 33 = 0.
28. Hállese la tangente del ángulo que forma la recta que pasa por (−5, 6) y (1, 2)
con la que pasa por (−4, 7) y (8, 7).
Solución:
Sean:
m1 =
6 − 2
−5 − 1
=
2
−3
m2 =
7 − 7
8 − (−4)
= 0

17
Luego, sea θ el ángulo generado:
tan θ = |
2
−3 − 0
1 + 2
−3.0
|
=
2
3
29. Hallar los valores de A y C para que las rectas: Ax − 2y − 1 = 0,
6x − 4y + C = 0
a) tengan un sólo punto en común
b) sean paralelas
c) sean perpendiculares
d) sean iguales o coincidentes
Solución:
a) para que tengan un sólo punto en común:
−4A − 6(−2) = 0,
de donde A = 3 y C ∈ R.
b) son paralelas si:
A
6
=
−2
−4
,
de donde A = 3 y C ∈ R.
c) son perpendiculares si:
A
2
.
6
4
= −1,
de donde A = −4
3 y C ∈ R.
d) son coincidentes si:
A
6
=
−2
−4
=
−1
C
,
de donde A = 3 y C = −2.
30. Encontrar la recta que pasa por la intersección de las rectas: 7x − 2y = 0,
4x − y − 1 = 0 y es perpendicular a la recta 3x + 8y = 19.
Solución:
la intersección de las rectas:
7x − 2y = 0
4x − y − 1 = 0

18
es x = 2 e y = 7. y aemás la pendiente de la recta pedida es m = 8
3(perpendicular a a
recta 3x + 8y = 19). Por tanto la recta que pasa por (2, 7) y tiene pediente m = 8
3 es:
L : 8x − 3y + 5 = 0
.
31. Calcular la pendiente de los segmentos determinados por los siguientes pares
de puntos:
a) (3, 2) y (5, 4)
b) (4, 1) y (6, 3)
c) (−2, −5) y (−7, 5)
d) (5, −1) y (−5, 6)
Solución:
hallando las pendientes:
a) m = 4−2
5−3 = 1
b) m = 3−1
6−4 = 1
c) m = 5−(−5)
−7−(−2) = −2
d) m = 6−(−1)
−5−5 = 1
−2
32. Calcular la distancia entre los siguientes puntos:
a) (6, 5) y (2, −3)
b) (4, 5) y (−1, 1)
c) (7, 3) y (−1, −2)
d) (0, 9) y (0, −3)
Solución:
hallando las distancias:
a) d = (−3 − 5)2 + (2 − 6)2 =
√
80 = 4
√
5
b) d = (5 − 1)2 + (4 − (−1))2 =
√
41
c) d = (−2 − 3)2 + (−1 − 7)2 =
√
89
d) d = (−3 − 9)2 + (0 − 0)2 = 12

19
33. Hallar el punto medio del segmento de recta que une los siguientes puntos:
a) (−2, 4) y (4, 1)
b) (−8, 5) y (−1, 0)
c) (5, 2) y (−10, 0)
d) (0, 7) y (0, 11)
Solución:
hallando los puntos medios:
a) M = (−2+4
2 , 4+1
2 ) = (2, 5
2)
b) M = (−8+−1
2 , 5+0
2 ) = (−9
2 , 5
2)
c) M = (5+−10
2 , 2+0
2 ) = (−5
2 , 1)
d) M = (0+0
2 , 7+11
2 ) = (0, 9)
34. Calcular la distancia de los puntos y las rectas dadas:
a) (5, 3) y 3x − 2y + 1 = 0
b) (1, 4) y 5x − 2y + 8 = 0
c) (−5, −3) y 2x − 6y + 9 = 0
Solución:
hallando las distancias
a) d =
|3(5) − 2(3) + 1|
32 + (−2)2
=
10
√
13
b) d =
|5(1) − 2(4) + 8|
52 + (−2)2
=
5
√
29
c) d =
|2(−5) − 6(−3) + 9|
22 + (−6)2
=
17
√
40
35. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:
a) (−2, 5) y (3, −4)
b) (3, 5) y (−1, 2)
c) (5, 7) y (3, 9)
Solución:
hallando las ecuaciones de las rectas:
a) L : 9x + 5y − 7 = 0
b) L : −3x + 4y − 11 = 0
c) L : x + y − 12 = 0

20
36. Obtener la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos:
a) (0, 0) y (1, 6)
b) (1, 2) y (0, 5)
c) (−3, 1) y (−2, 3)
Solución:
hallando las ecuaciones principales de las rectas:
a) L : y − 6 = 6x
b) L : y − 5 = −3(x − 1)
c) L : y − 3 = 2(x + 2)
37. Obtener en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto
(−1, 2) y cuya pendiente es −3.
Solución:
La ecuación viene dada por:
y − 2 = −3(x − (−1))
y − 2 = −3x − 3
L : 3x + y + 1 = 0
38. Una empresa de turismo ha observado que cuando el precio de un viaje es $
15000 se vender cuarenta asientos, pero si el precio sube a
$ 180000 las ventas bajan a 30 asientos.
a) Encuentre la ecuación de la recta que representa la situación y dibuje
su gráfico.
b) Determine el precio del pasaje si la venta sube a 56 asientos.
Solución:
a) la recta pasa por los puntos (15000, 40) y (18000, 30), y cuya ecuación es:
L : y − 30 =
40 − 30
15000 − 18000
(x − 18000)
reduciendo:
L : x + 300y − 27000 = 0,
donde x es el precio e y son los asientos.
b) Si y = 56, entonces:
x = −300y + 27000 = −300(56) + 27000 = $10200

21
39. Señale si las sigientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares:
6x − 2y − 1 = 0, 3x − y + 2 = 0
Solución:
hallando las pendientes: m1 = −6
−2 = 3 y m2 = −3
−1 = 3. Como m1 = m2 entonces las
rectas son paralelas.
40. Señale si las sigientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares:
3x − 2y + 10 = 0, 2x + 3y + 3 = 0
Solución:
hallando las pendientes: m1 = −3
−2 = 3
2 y m2 = −2
3 . Como m1.m2 = −1 entonces las
rectas son perpendiculares.
41. Dada la recta kx − y = k + 3, determinar el valor de k para que el punto (3, 7)
pertenezca a dicha recta.
Solución:
Reemplazando x = 3 e y = 7 en la ecuación:
k(3) − 7 = k + 3
3k − 7 = k + 3
2k = 10
k = 5
42. Dada la recta 5kx + y = 9, determinar el valor de k para que el punto (8, 4)
Solución:
5k(8) + 4 = 9
40k + 4 = 9
40k = 5
k =
1
8
43. Dada la recta x + y = 2k, determinar el valor de k para que el punto (5, 9)
Solución:
5 + 9 = 2k
14 = 2k
k = 7

22
44. Dada la recta 2x−6y = k, determinar el valor de k para que el punto (−5, −9)
Solución:
Reemplazando x = −5 e y = −9 en la ecuación:
2(−5) − 6(−9) = k
−10 + 54 = k
k = 34
45. Obtener en forma general la ecuación de la recta que satisfaga la
condición dada:
a) Pasa por el punto (2, 1) y tiene pendiente 12.
b) Pasa por el punto (3, 5) y es paralela a la recta x + 3y + 1 = 0.
c) Pasa por el punto (−5, −2) y es perpendicular a la recta 5x − 3y = 4
Solución:
a) La ecuacón es:
y − 1 = 12(x − 2)
reduciendo: L : 12x − y − 23 = 0
b) Por ser paralela, la pendiente es −1
3 , luego la ecuación es:
y − 5 =
−1
3
(x − 3)
reduciendo:
L : x + 3y − 18 = 0
c) Por ser perpendicular la pendiente es −3
5 entonces la ecuación es:
y − (−2) =
−3
5
(x − (−5))
reduciendo:
3x + 5y + 25 = 0
46. Uno de los vértices de un paralelogramo ABCD es el punto A(1, 2) y dos de
los lados están sobre las rectas L1 : 3x−5y −2 = 0, L2 : 6x−7y −1 = 0. Calcular
los demás vértices.

23
47. Dado el triángulo de vértices A(1, 2), B(9, −4) y C(4, 6):
a) Prueba que es un triángulo rectángulo
b) Calcula la ecuación de la mediatriz de la hipotenusa
c) Halla el punto de corte de la mediatr´ız con el cateto mayor
Solución:
a) En efecto: mAB = 2−(−4)
1−9 = 3
−4 y mAC = 6−2
4−1 = 4
3, Luego se tiene que
mAB.mAC = −1, con esto se demuestra que AB ⊥ AC, es decir, el triángulo
es rectángulo.
b) la mediatr´ız de la hipotenusa tiene por ecuación:
L : x − 2y + 3 = 0
c) el punto de corte es (5, 4).
48. Escribe la ecuación de la recta L que pasa por A(2, 3) y B(5, 6) y halla la
ecuación de una recta paralela a L, cuya distancia a L sea igual a la distancia
entre A y B.
Solución:
La ecuación que pasa por A y B es:
L : x − y + 1 = 0
además d(A, B) = (2 − 5)2 + (3 − 6)2 =
√
18 = 3
√
2 Sea la recta L1 paralela a L,
entonces:
L1 : x − y + c = 0,
pero se sabe que d(L, L1) = 3
√
2, resolviendo se halla que: c = 1 − 6
√
2 ó
c = 1 + 6
√
2. Por tanto:
L1 : x − y + 1 − 6
√
2 = 0
ó
L1 : x − y + 1 + 6
√
2 = 0
49. Calcula las rectas que pasan por el punto A(1, 1) y distan 2 unidades del
punto B(4, 3)
Solución:
Sea la recta L : y = mx + b, como A(1, 1) ∈ L, entonces:
1 = m + b
es decir:
b = 1 − m

24
Pero pot otro lado:
d(B, L) = 2
|m(4) + 3 + b|
√
m2 + 1
= 2
|4m + 3 + 1 − m|
√
m2 + 1
= 2
|3m + 4| = 2 m2 + 1
elevando al cuadrado y reduciendo se obtiene:
5m2
+ 24m + 12 = 0
solucionando la ecuación se tiene: m = −0.567 ó m = −4.233.
Si m = −0.567, entonces c = 1.567 y si m = −4.233 entonces c = 5.233. Por tanto:
L : y = −0.567x + 1.567
ó
L : y = −4.233 + 5.233
50. Halla el valor del parámetro k para que los puntos A(2, 1), B(−3, 5) y C(4, k)
formen un triángulo de área 6.
Solución:
Por la fórmula del área de un triángulo:
Área =
1
2
|(2(5) + −3k + 4(1)) − (−3(1) + 4(5) + 2(k))|
6 =
1
2
|14 − 3k − (17 + 2k)|
12 = | − 5k − 31|
de donde se obtienen: k = 43
−5 ó k = 19
−5.
51. Los puntos B(−1, 3), C(3, −3) forman el lado desigual de un triángulo isósceles
ABC. Calcula el vértice A sabiendo que etá situado en la recta
L : x + 2y − 15 = 0.
Solución:
Sea el punto A(x, y), luego se sabe por ser triángulo isósceles que
d(A, C) = d(B, C), es decir:
d(A, C) = d(A, B)
(x − (−1))2 + (y − 3)2 = (x − 3)2 + (y − (−3))2
(x + 1)2
+ (y − 3)2
= (x − 3)2
+ (y + 3)2
elevando los cuadrado y reduciendo se obtiene:
8x − 12y − 8 = 0

25
y además se tiene la tcondición que A ∈ L, esto es, x + 2y − 15 = 0.
Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene que x = 7 e y = 4.
52. La recta L : 2x + y + 1 = 0 es la bisectr´ız del ángulo recto cuyo vértice es el
punto A(−1, 1). Hallar las ecuaciones de los lados del ángulo recto. Solución:
Las ecuaciones del ángulo recto son:
L1 : −2x +
2
3
y −
8
3
y
L2 : −x − 3y + 2 = 0
53. Dada la recta L : 2x + 3y = 0. Halla una recta paralela a L que forme con los
ejes de coordenadas un triángulo de área 3.
Solución:
Sea la recta L : 2x + 3y + c = 0. Los interceptos son (0, −c
3 ) y (−c
2 , 0). Calculando el
área del triángulo:
Área =
1
2
.(
−c
3
)(
−c
2
)
3 =
c2
12
c2
= 36
c = ±6
Por tanto, la recta pedida tiene por ecuación:
L : 2x + 3y + 6 = 0
ó
L : 2x + 3y − 6 = 0
54. Por el punto A(2, 4) trazamos las rectas L1 y L2 perpendiculares a la bisectr´ız
del primer y segundo cuadrante, respectivamente. Calcula:
a) Ecuaciones de L1 y L2.
b) Vértices del triángulo formado por la recta L: x − 5y − 6 y as rectas L1
y L2.
c) Área del triángulo anterior.
Solución:
a) Las bisectrices de los cuadrantes tienen por pendientes m1 = 1 y m2 = −1. Luego
las ecuaciones de las rectas L1 y L2 por la fórmula punto - pendiente son:
L1 : x + y − 6 = 0
y
L2 : x − y + 2 = 0

26
b) Resolviendo los sistemas dos a dos se obtienen los vérties: (2, 4), (6, 0) y (−4, −2).
c) El área del triángulo anterior es: 24u2.
55. Dada la recta L : x + 2y + 1 = 0 y el punto A(1, −1) situado en dicha recta,
calcula:
a) La recta L1 paralela a L y que pasa por el punto B(0, 3).
b) El punto C de la recta L1 que forma con A y B un triángulo rectángulo
en A
Solución:
a) La recta L1||L tiene por ecuación:
L1 : x + 2y + c = 0
como B ∈ L1, entonces al hacer x = 0 e y = 3 se obtiene c = −6. Por tanto:
L1 : x + 2y − 6 = 0
b) El punto C es (11
2 , 1
4).
56. Si las funciones f(x) = (4 − k)x + 3 y g(x) = (2k + 1)x + 5 representan rectas
paralelas, entonces encuentre el valor de k.
Solución:
Si f y g representan rectas paralelas entonces sus pendientes son iguales, esto es:
4 − k = 2k + 1
−k − 2k = 1 − 4
−3k = −3
k = 1
57. Si la función f(x) = (k − 2
3)x + 2 es paralela con la función
g(x) = (1
3 + 2k)x − 1. Encontrar el valor de k.
Solución:
Siguiendo el mismo criterio que el problema anterior:
k −
2
3
=
1
3
+ 2k
k − 2k =
1
3
+
2
3
−k = 1
k = −1

27
58. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1, 2) y es perpendicular
a la recta que pasa por (−3, −1) y (2, −3).
Solución:
La ecuación tiene por pendiente a m = −1
m1
, donde:
m1 =
−3 − (−1)
2 − (−3)
=
−2
5
por tanto, m = 5
2. Lueog la ecuación punto pendiente es:
y − 2 =
5
2
(x − (−1))
reduciendo se tiene:
L : 5x − 2y + 9 = 0
59. Las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son L1 : y = kx + x − 1, L2 : y = 3x − 5. Si
L1 ⊥ L2. Hallar el valor de k.
Solución:
Como las rectas son perpendiculares, sus pendientes deben multiplicar -1, es decir:
(k + 1).(3) = −1
3k + 3 = −1
3k = −4
k =
−4
3
60. Determine la ecuación de la recta que pasa por (−3, 2) y (4, 0) y es perpen-
dicular en el segundo punto.
Solución:
La ecuación de la recta es:
y − 0 =
0 − 2
4 − (−3)
(x − 4)
y =
−2
7
(x − 4)
7y = −2x + 8
L : 2x + 7y − 8 = 0

28
61. Suponga que el valor de compra de una máquina que se deprecia linealmente
fue de 5000. Al cabo de 10 años el valor de la máquina fue de 850 UM.
a) Encuentre una ecuación que exprese el valor v de la máquina
después de t años de la compra.
b) Calcule el valor de la máquina 5 años despué de la compra.
c) Cuándo se depreciará por completo la máquina?
d) Bosqueje la ecuación, seleccione t como el eje horizontal. Cuál es la
pendiente de la recta resultante?
Solución:
a) La recta pasa por por los puntos (0, 5000) y (10, 850) y tiene por ecuación:
v − 850 =
5000 − 850
0 − 10
(t − 10)
reduciendo:
v = −415t + 5000
b) cuando t = 5, reemplazando:
v = −415(5) + 5000 = 2925
c) La máquina se depreciará cuando v = 0, reemplazando:
0 = −415t + 5000
resolviendo se obtiene t = 12.048, es decir, la máquina se depreciará dentro de
aproximadamente 12 años.
d) Graficando:

29
62. En análisis de producción, una l´ınea de isocosto es una l´ınea cuyos
puntos representan todas las combinaciones de dos factores de
producción que ser comprados por la misma cantidad. Suponga que un
granjero tiene asignados 20000 UM para la compra de x toneladas de fertil-
izantes (con un costo de 200 UM por kg) e y de
insecticida (con un costo de 2000 UM por galón). Determine una ecuación de
isocosto que describa las distintas combinaciones que pueden ser compradas
con 20000 UM. Observe que ni x ni y pueden ser
negativas.
Solución:
La ecuación de isocosto es:
200x + 2000y = 20000,
donde x ≥ 0, y ≥ 0.
63. Para efectos tributarios, las computadoras personales se deprecian lineal-
mente hasta llegar a cero en un per´ıodo de 10 años; es decir el valor de
las computadoras decrece a una razón constante, de manera que es igual a
cero al cabo de 10 años. Si el valor de compra de una computadora fue de
1200 UM, exprese el valor de la computadora como una función de tiempo
y dibuje su gráfica.
Solución:
La recta pasa por los puntos (10, 0) y (0, 1200) y tiene por ecuación:
v − 0 =
1200 − 0
0 − 10
(t − 10)
reduciendo
L : v = −120t + 1200,
donde t es el tiempo y v es el valor de la computadora.
64. Desde el comienzo del año el precio de la gasolina corriente ha
aumentado a una tasa constante de 0.02 UM por litro al mes. Si el primero
de junio el precio hab´ıa llegado a 1.2 UM por litro. Exprese el precio de la
gasolina corriente como una función del tiempo y dibuje su gráfica.
Solución:
La recta pasa por los puntos (0, 0.02) y (31, 1.2) y tiene por ecuación:
v − 1.2 =
1.2 − 0.02
31 − 0
(t − 31)
reduciendo:
L : 1.189x − 31y + 0.62 = 0

30
65. En una compañia un empleado recién contratado cobra 150 UM y el em-
pleado con cinco años de antiguedad recibe un sueldo de 250 UM.
a) Hallar la ecuación del sueldo en función de tiempo que lleva en la
compañ´ıa, suponiendo que hay una relación lineal entre el sueldo y
el número de años que lleva trabajando en la compañ´ıa.
b) Cuánto cobrará un empleado que lleva en la empresa 10 años de servi-
cio?
Solución:
a) La recta pasa por los puntos (0, 150) y (5, 250), luego la ecuación es:
L : c − 150 =
250 − 150
5 − 0
(t − 0)
reduciendo se tiene la relación lineal:
L : 20t − c + 150 = 0
b) haciendo t = 10 se tiene:
c = 20t + 150 = 20(10) + 150 = 350
Por tanto, cobrará 350 UM.
66. Una fábrica de zapatos elabora dos tipos de calzado x e y. Las horas de
trabajo por cada modelo estándadas en la tabla anexa:
Horas
calzado x 1.25
calzado y 1.5
Si la fábrica dispone de máximo de 300 horas de trabajo. Encuentre la
relación entre el número de pares de zapatos de cada tipo que pueden
fabricarse si se utilizan por completo las horas de trabajo disponible.
Solución:
La relación viene dada por la ecuación:
1.25x + 1.5y = 300

31
67. Se colocan 400 UM al 8 % de interé simple
a) Cuál es el valor de la inversión al cabo de t años?
b) Cuál es el valor de la inversión a los 5 años.
Solución:
a) viene dada por la fórmula:
monto = capital(1 + tasa × tiempo)
b) calculando
monto = 400(1 + 5(0.08)) = 560
69. PieGrande, una compañ´ıa que fabrica pays de manzana, fija el
precio de cada pay en $60. Los costos fijos mensuales de la empresa son
iguales a $ 40000. El costo variable unitario es de $20. Determine la cantidad
de pays que se deben producir y vender para no tener
ganancias o pérdidas. Cuáles son los costos totales de producir esa canti-
dad de pays?.
Solución:
Sea la cantidad de pays a vender: x. Luego el problema se formula como costos totales:
CT = 20x + 40000
y el precio de venta
PT = 60x
si no se pierde ni se gana entonces:
CT = PT
20x + 40000 = 60x
40x = 40000
x = 1000
Por tanto, se deben vender 1000 pays y los costos totales serán de
CT = 20(1000) + 40000 = $60000.
70. Una empresa que fabrica lápices labiales para una prestigiosa marca de
cosméticos en Europa tiene costos fijos mensuales $ 200000. El costo variable
unitario es de $75 y el precio de cada lápiz labial es de $150. Encuentre el
punto de equilibrio en unidades y también en $ para esta situación. Evalúe el
cambio que tendr´ıan en el punto de equilibrio un aumento y una disminución
de 20 % en el precio.
Solución:
Sea x la cantidad de lápices labiales. Luego:
CT = 75x + 200000

32
y el precio de venta
PT = 150x
el punto de equilibrio se da cuando:
CT = PT
75x + 200000 = 150x
75x = 200000
x = 2666.67
Por tanto, el punto de equilibrio es (26667.67, 400000).
71. Encuentre los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones dadas:
a) 2x − y = 7, y = 8 − 3x
b) 6x − y = 2, y = 4x + 7
c) y = 3x − 7, y = 7x + 4
Solución:
los puntos de intersección son:
a) (3, −1)
b) (9
2, 25)
c) (−11
4 , −61
4 )
72. Un fabricante vende un producto a $8.35 por unidad, vendiendo todo lo
producido. El costo fijo es de $2116 y el costo variable es de $7.20 por
unidad.
a) A qué nivel de producción existirán utilidades de $4600?
b) A qué nivel de producción ocurre el punto de equilibrio?
Solución:
a) sea x la cantidad de productos, entonces se tiene:
CT = 7.20x + 2116
y
PT = 8.35x
Luego:
U = PT − CT
4600 = 8.35x − (7.20x + 2116)
4600 = 1.15x − 2116
x = 5840

33
b) el punto de equilibrio ocurre cuando:
CT = PT
7.20x + 2116 = 8.35x
x = 1840
73. La empresa Dulces deliciosos tiene costos fijos semales de $306. Cada libra de
dulces producidos cuesta $1.20 y se vende a $2.10.
a) Especificar las funciones de ingresos y costos semanales.
b) Determinar el punto de equilibrio.
Solución:
a) Sea x la cantidad de dulces por libra, entonces al función de ingresos es:
I(x) = 2.10x
y la función de costos es
C(x) = 1.20x + 306
b) el punto de equilibrio ocurre cuando:
C(x) = I(x)
2.10x = 1.20x + 306
x = 340
entonces si x = 340 se tiene que: I = 2.10(340) = 714, es decir, el punto de equi-
librio es (340, 714).
74. Una fábrica que produce ropa deportiva para damas vende al detallista a
36 dólares el conjunto. El detallista coloca un precio p a cada conjunto para
venta al público. No obstante, durante una liquidación, reduce el precio de
venta al público en 20 %, más sin embargo obtiene una ganancia del 15 %
sobre el precio de compra al fabricante. Qué precio p colocó a cada conjunto?
Solución:
Sea x la cantidad comprada, la ecuación que plantea el problema entonces es:
80 %px − 36x = 15 %(36x)
0.8p − 36 = 0.15(36)
0.8p − 36 = 5.4
p = 51.75

34
75. Para la instalación de una empresa se ha hecho una inversión de $28000.
Se sabe que para producir 1000 art´ıculos se gastan $6000 en materia prima
y, además, que por cada unidad producida se pagan $8 de mano de obra
directa y $2 en otros gastos indirectos de la producción. Si cada unidad se
vende a razón de $30.
a) Determine la función lineal de ingresos totales
b) Determine la función lineal de costos totales
c) Cuántas unidades se deben producir y vender para recuperar la
inversión?
d) Cuántas unidades se deben producir y vender para ganar $21000.
Solución:
a) Sea el número de unidades a producir: x. Luego la función de ingresos es:
I(x) = 30x
b) La función de costos totales es:
C(x) = 6000 + 8x + 2x
c) Para recuperar la inversión:
I(x) − C(x) = 28000
30x − (6000 + 8x + 2x) = 28000
x = 17000
Por tanto, debe producir 1700 unidades.
d) Para ganar 21000
I(x) − C(x) = 21000
30x − (6000 + 8x + 2x) = 21000
x = 1350
Por tanto, debe producir 1350 unidades.

35
76. Los propietarios de un estacionamiento han determinado que su ingreso
semanal y costo en dólares están dados por I(x) = 80x y C(x) = 50x + 2400,
donde x es el número de autos estacionados durante per´ıodos largos.
a) Encuentre el punto de equilibrio.
b) Trace las gráficas en un mismo par de ejes.
c) Utilice el gráfico para estimar el ingreso y el costo se tienen 60 autos
estacionados.
Solución:
a) el punto de equilibrio es:
I(x) = C(x)
80x = 50x + 2400
x = 80
b) Las gráficas son:
c) Para x = 60 se tiene que I(60) = 4800 y C(60) = 5400.

36
77. El costo variable de producir un art´ıculo es de $2.20 por unidad y los costos
fijos son de $240 al d´ıa. El art´ıculo se vende a $3.40. Cuántos art´ıculos se
deben producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas?
Solución:
El problema se plantea como:
3.40x = 2.20x + 240
3.40x − 2.20x = 240
1.20x = 240
x = 200
Por tanto, se deben producir 200 art´ıculos.
78. El costo total diario (en dólares) de producir x sandalias está dado por
y = 2.5x+300. Si cada sandalia se vende a $4, cuál es el punto de equilibrio?. Si
el precio de venta se incrementa en $5, cuál es el nuevo punto de equilibrio?
Si se sabe que se pueden vender al menos 150 sandalias al d´ıa, qué precio
deberá fijarse de manera que se garantice que no habrá pérdidas?
Solución:
El punto de equilibrio se encuentra haciendo:
4x = 2.5x + 300
4x − 2.5x = 300
1.5x = 300
x = 200
Si el precio incrementa en $5, el nuevo precio es $9. El nuevo punto de equilibrio será:
9x = 2.5x + 300
9x − 2.5x = 300
6.5 = 300
x = 46.15

37
79. El costo fijo de producción de un art´ıculo es de $4500. El costo variabe es
60 % del precio de venta que es de $15 la unidad. Cuál es la cantidad que
corresponde al punto muerto?
Solución:
Sea x la cantidad de art´ıculos. Planteando el problema:
15x = 4500 + 60 %(15x)
15x = 4500 + 0.60(15x)
15x = 4500 + 9x
15x − 9x = 4500
6x = 4500
x = 750
Por tanto, la cantidad del punto muerto es 750.
80. Un centro de comunicaciones tiene actualmente una tarifa de 3.5 UM el
minuto celulares. A ese precio tiene una demanda semanal de 2200
minutos. Estima que se aumenta el precio en 2 UM el minuto
entonces la demanda bajará 1600 minutos. Si el precio está relacionado
linealmente con la demanda. Consiga una relación lineal entre el precio y
los minutos consumidos semanalmente. Solución:
La relación es una recta que pasa por los puntos (3.5, 2200) y (5.5, 1600) y tiene por
ecuación:
y − 2200 =
1600 − 2200
5.5 − 3.5
(x − 3.5)
y = −300x + 1250
81. Los extremos de un segmento son los puntos P1(7, 4), P2(−1, −4). Hallar la
razón P1P : PP2 en que el punto P(1, −2) divide al segmento.
Solución:
Sea r la razón, luego se tiene:
1 =
7 + r(−1)
1 + r
, −2 =
4 + r(−4)
1 + r
1 =
7 − r
1 + r
, −2 =
4 − 4r
1 + r
1 + r = 7 − r , −2 − 2r = 4 − 4r
r = 3 , r = 3
Por tanto, la razón es r = 3.

38
82. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es
(4, 3). Hallar el otro extremo.
Solución:
Sea el otro extremo (x, y). Luego:
4 =
7 + x
2
, 3 =
8 + y
2
8 = 7 + x , 6 = 8 + y
x = 1 , y = −2
Por tanto, el otro extremo es (1, −2).
83. Uno de los extremos de un segmento rectil´ıneo de longitud 5 es el punto
(3, −2). Si la abscisa del otro extremo es 6. Hallar su ordenada.
Solución:
Sea el otro extremo: (6, b). Como la longitud del segmento es 5, entonces:
(3 − 6)2 + (−2 − b)2 = 5
(−3)2
+ (−2 − b)2
= 25
9 + (−2 − b)2
= 25
(−2 − b)2
= 16
−2 − b =
√
16
−2 − b = ±4
−2 − b = 4 , −2 − b = −4
b = −6 , b = 2
Por tanto, la ordenada es −6 ó 2.
84. Pruebe que las rectas L1 : 5x−y −6 = 0, L2 : x+5y −22 = 0, L3 : 5x−y −32 = 0,
L4 : x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.
Solución:
Hallando las respectivas pendientes: m1 = 5, m2 = −1
5 , m3 = 5, m4 = −1
5 . Como
m1 = m3 y m2 = m4 entonces L1||L3 y L2||L4. Esto demuestra que se trata de un
paralelogramo. Por otro lado, se observa que m1.m2 = −1 y m3.m4 = −1, es decir,
L1 ⊥ L2 y L3 ⊥ L4, entonces con esto se tiene que las rectas forman un rectángulo.
Calculando ahora la distancia entre ellas:
d(L1, L3) =
| − 6 − (−32)|
2
= 13
d(L2, L4) =
| − 22 − 4
2
= 13
como las distancia son iguales, entonces las medidas de los lados son iguales. Por tanto,
las rectas forman un cuadrado.

39
85. En las ecuaciones ax + (2 − b)y − 23 = 0, (a − 1)x + by + 15 = 0. Hallar los valores
de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (2, −3).
Solución:
reemplazando x = 2, y = −3 en las rectas:
a(2) + (2 − b)(−3) − 23 = 0
(a − 1)(2) + b(−3) + 15 = 0 = 0
simplificando se tiene el sistema:
2a + 3b − 29 = 0
2a − 3b + 13 = 0
resolviendo se obtienen: a = 4 y b = 7.
86. Hallar la ecuación de la recta situada a 8 unidades del origen y pasa por el
punto A(20, 0) y corta la parte positiva del eje Y .
Solución:
Hallando la tangente del ángulo generado por la recta y el primer cuadrante en el punto
(20, 0), se obtiene:
tan α =
8
√
202 − 82
=
8
4
√
21
=
2
√
21
Luego, la tangente del ángulo adyacente es tan θ = −2√
21
. Por tanto, la ecuación de la
recta que pasa por (20, 0) y tiene pendiente m = −2√
21
es:
L : y − 0 = 0
−2
√
21
(x − 20)
L : 2x +
√
21y − 40 = 0
87. Dadas las rectas L1 : 2x + y + 2 = 0, L2 : x − 2y + 1 = 0. Hallar los puntos
situados en L1 cuya distancia a L2 sea
√
5.
Solución:
Sean los puntos P(a, b) ∈ L1, entonces reemplazando:
2a + b + 2 = 0
b = −2a − 2

40
Por otro lado se sabe:
d(P, L2) =
√
5
|a − 2b + 1|
12 + (−2)2
=
√
5
|a − 2(−2a − 2) + 1|
√
5
=
√
5
|5a + 5| =
√
5.
√
5
|5a + 5| = 5
5a + 5 = 5 , 5a + 5 = −5
a = 0 , a = −2
Si a = 0 entonces b = −2(0) − 2 = −2. Y si a = −2 entonces b = −2(−2) − 2 = 2. Por
tanto los puntos son (0, −2) y (−2, 2).
88. Sean L1 y L2 dos rectas ortogonales tales que L1 pasa por (3, 2) y (2, 5) y L2
pasa por (2, 1). Hallar la intersección de ambas rectas. Solución:
Hallando la recta L1:
y − 2 =
5 − 2
2 − 3
(x − 3)
y − 2 = −3(x − 3)
L1 : 3x + y − 11 = 0
además m1 = −3 entonces m2 = 1
3. Luego la ecuación de L2 es:
y − 1 = m2(x − 2)
y − 1 =
1
3
(x − 2)
3y − 3 = x − 2
L2 : x − 3y + 1 = 0
La intersección de L1 y L2 se obtiene resolviendo:
3x + y − 11 = 0
x − 3y + 1 = 0
cuya solución es x = 16
5 , y = 7
5. Por tanto, el punto de intersección es: (16
5 , 7
5).

41
89. Sean las rectas L1 : 3x − 4y + 6 = 0, L2 : P = (4, 1) + t(−2, 4), t ∈ R. Hallar:
a) La distancia del punto A(4, 1) a la recta L1.
b) La tangente del ángulo formado por las rectas.
Solución:
a) calculando:
d(A, L1) =
|3(4) − 4(1) + 6|
32 + (−4)2
=
|14|
√
25
=
14
5
b) Hallando la ecuación vectorial de la recta L2:
y − 1 = =
4
−2
(x − 1)
y − 1 = −2(x − 1)
2x + y − 3 = 0
Luego las pendientes son: m1 = 3
4, m2 = −2. Sea θ el ángulo generado por las
rectas, entonces:
tan θ = |
3
4 − (−2)
1 + 3
4.(−2)
|
=
11
2
90. Hallar el valor de k tal que el punto P(k, 4) sea equidistante de las
rectas: L1 : 13x − 9y − 10 = 0, L2 : x + 3y − 6 = 0.
Solución:
Por la fórmula de las distancias:
d(P, L1) = d(P, L2)
|13k − 9(4) − 10|
132 + (−9)2
=
|k + 3(4) − 6|
√
12 + 32
|13k − 46|
√
250
=
|k + 6|
√
10
|13k − 46|
5
√
10
=
|k + 6|
√
10
|13k − 46|
5
= |k + 6|
|13k − 46| = 5|k + 6|
13k − 46 = 5(k + 6) , 13k − 46 = −5(k + 6)
k =
19
2
,
8
9

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