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Propagación de errores

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Material para investigación de la materia de Métodos Numéricos

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Propagación de errores

  1. 1. ASIGNATURA: Métodos Numéricos TEMA: 1.8. Propagación de errores de redondeo. Errores absolutos y relativos. Fórmulas. Gráficos de proceso. 1.9. Condicionamiento y estabilidad. Definiciones y análisis de problemas bien y mal condicionados y algoritmos estables e inestables. Números de condición. 1.10. Otras formas de análisis de errores. NIVEL:  5to “A” AUTORES:  Figueroa Jefferson  Sandoval Jenny DOCENTE:  Mg. Francisco Espinoza Pacheco FECHA DE ENTREGA:  11/05/2015 SANTO DOMINGO- ECUADOR 2015-01
  2. 2. INTRODUCCIÓN Como no es posible llegar a un valor resultado exacto, con numero fraccionarios se dieron varios tipos de errores para cada caso y varias formas de aproximar o acercarse a un valor más preciso, se puede calcular este error, claro que no exactamente pero sus aproximaciones serán mejores.
  3. 3. ANTECEDENTES Métodos directos Son procedimientos para obtener resultados realizando una secuencia finita de operaciones aritméticas. La cantidad de cálculos aritméticos depende del tamaño del problema. El resultado obtenido será exacto siempre que se puedan conservar en forma exacta los valores calculados en las operaciones aritméticas, caso contrario se introducirán los errores de redondeo Errores de redondeo Los métodos numéricos operan con datos que pueden ser inexactos y con dispositivos para representar a los números reales. El error de redondeo se atribuye a la imposibilidad de almacenar todas las cifras de los números y a la imprecisión de los instrumentos de medición con los cuales se obtienen los datos. OBJETIVOS Objetivo general  Comprender las distintas formas de análisis de errores Objetivos específicos  Establecer definiciones de cada tipo de error  Conocer las influencias de pequeñas cifras en un resultado
  4. 4. 1.8. PROPAGACIÓN DE ERRORES DE REDONDEO. ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS. FÓRMULAS. GRÁFICOS DE PROCESO. Las operaciones con números inciertos permiten obtener resultados inciertos esta circunstancia aconseja controlar estrictamente el error cuando las medidas van a ser utilizadas en la determinación de otras magnitudes a través de procesos de simulación. La influencia de los erros en la incertidumbre de un resultado se denomina propagación del error e ignorarlo puede conducir a dar por validos resultados que no lo son en absoluto. (Felicísimo, 2015) Medidas indirectas: Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las medidas de otras magnitudes. • Conocemos 𝑥 ± 𝛿𝑥 , 𝑦 ± 𝛿𝑦 ,. .. • Calculamos 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, .. .) • ¿Cuál es el error de z? Propagación de errores: Conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y,... • Permiten asignar un error al resultado final. • Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas. • Planificación del experimento. Hipótesis de partida • Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la situación más desfavorable. Conjunto de reglas prácticas. • Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios. Fórmula general de propagación de errores. (Papaqui, 2015)
  5. 5. 1.8.1. Propagación de errores de redondeo (absolutos yrelativos) y fórmulas a) Propagación de error de redondeo en la suma y diferencia Datos iniciales: 𝑥 ± 𝛿𝑥 𝑦 ± 𝛿𝑦 Sea su suma 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 y su diferencia 𝑞 = 𝑥 − 𝑦 ¿Cuál es la incertidumbre, 𝛿 𝑞 ? El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes: 𝐸 𝑥±y = 𝐸 𝑥 + 𝐸 𝑦 |𝐸 𝑥±y| ≤ |𝐸 𝑥| + |𝐸 𝑦| El error relativo de la suma de dos o más magnitudes es la suma de los errores relativos de dichas magnitudes:
  6. 6. b) Propagación de error de redondeo en productos Datos iniciales: 𝑥 ± δx = x (1 ± δx | 𝑥| ) 𝑦 ± δy = y (1 ± δy | 𝑦| ) Sea su producto 𝑞 = 𝑥𝑦 ¿Cuál es la incertidumbre, 𝛿 𝑞 ? El error absoluto del producto es igual a la suma de los errores absolutos: El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:
  7. 7. c) Propagación de error de redondeo en cocientes Datos iniciales: 𝑥 ± δx = x (1 ± δx | 𝑥| ) 𝑦 ± δy = y (1 ± δy | 𝑦| ) Sea su producto 𝑞 = 𝑥 𝑦 ¿Cuál es la incertidumbre, 𝛿 𝑞 ? El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
  8. 8. 1.8.2. Gráficos de proceso (Chapra & Canale, 2011) Una gráfica de un proceso es la representación de un algoritmo, con una convención para identificar las flechas que aparecen en la gráfica, de forma que seafácil determinar el error relativo total (propagación del inherente más propagación del de redondeo) en el resultado final Ejemplo de diagrama para las operaciones elementales
  9. 9. Ejemplo Queremos efectuar la suma de tres números: 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, usando el siguiente algoritmo 𝑁 = 𝑏 + 𝑐 𝑌 = 𝑎 + 𝑛 Llamaremos a los errores relativos inherentes: , ,a b ci i i y a los errores relativos de redondeo en cada suma 1 2y  . Sabemos que 1 2y     La grafica correspondiente es: El error relativo total en n será: 1 b c n i b i c er b c      Y el error relativo final será: 2 1 2 n a a b c y y er n i a ai bi ci b c er er a n a b c a b c                   Si suponemos que r es una cota para los errores relativos inherentes, obtenemos una cota para el error relativo total: 1y a b c b c er r a b c a b c               El término que multiplica a r se lo denomina condición del problema ( pC ) y es el factor de amplificación de los errores relativos inherentes. La condición del problema depende exclusivamente del problema numérico. El término que multiplica a  se denomina termino de estabilidad ( eT ) y depende del problema numérico y del algoritmo.
  10. 10. 1.9. CONDICIONAMIENTO Y ESTABILIDAD. DEFINICIONES Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS BIEN Y MAL CONDICIONADOS Y ALGORITMOS ESTABLES E INESTABLES. NÚMEROS DE CONDICIÓN. 1.9.1. Condicionamiento y estabilidad Condicionamiento: Mide la influencia que tendrían los errores en los datos en el caso en que se puede trabajar con aritmética exacta (→no depende del algoritmo, sino del problema en sí) Estabilidad: Está relacionada con la influencia que tienen en los resultados finales la acumulación de errores que se producen al realizar las diferentes operaciones elementales que constituyen el algoritmo. 1.9.2. Definición y análisis de problemas bien y mal condicionados y algoritmos estables e inestables Un proceso está bien condicionado si pequeñas variaciones en sus datos de entrada provocan pequeñas variaciones en la solución, y mal condicionado si las mismas condiciones provocan grandes variaciones en la solución. Un proceso de cálculo es estable si los errores de representación y redondeo introducidos tanto a la entrada como durante las operaciones intermedias no provocan perturbación importante en los resultados; e inestable en caso contrario. Sólo sise tiene un problema bien condicionado y se resuelve con un proceso estable se puede tener garantía de precisión en el resultado. Por ejemplo, es fácil demostrar por inducción que la sucesión de valores { 1 2 𝑛 } 𝑛 ≥ 0 puede generarse indistintamente a partir de los siguientes algoritmos: Sin embargo, con el segundo (operando con 6 cifras de precisión) el decimosexto término es 𝑠15 = −113, frente al valor 1 215 ≅ 0,00031. Analógicamente la sucesión { 1 3 𝑛 } 𝑛 ≥ 0 puede generarse a partir del siguiente algoritmo: 𝑛 ≥ 2, que también es inestable.
  11. 11. Condicionamiento de un problema Diremos que un problema está malcondicionado cuando pequeños cambios en los datos dan lugar a grandes cambios en las respuestas. Para estudiar el condicionamiento de un problema se introduce el llamado número de condición de dicho problema, específico del problema, que es mejor cuanto más cerca de 1 (el problema está bien condicionado) y peor cuanto más grande sea (peor condicionado). Objetivo: Definir el número de condición de un problema. La gravedad de un problema mal condicionado reside en que su resolución puede producir soluciones muy dispares en cuanto los datos cambien un poco (algo muy frecuente en las aplicaciones). Ejemplo: Tenemos el siguiente sistema lineal Como se ve, pequeños cambios en los datos (del orden de 2 centésimas) en algunos elementos, producen grandes cambios en las soluciones: 136 unidades del sistema 1 al sistema 2. Lo mismo ocurre al perturbar el segundo miembro del sistema: cambios de aproximadamente 1 decima producen cambios en la solución de aproximadamente 13 unidades.
  12. 12. Lo anterior se debe a que el sistema está mal condicionado. La gravedad de un problema mal condicionado reside en que su resolución puede producir soluciones muy dispares en cuanto los datos cambien un poco, cosa muy frecuente en las aplicaciones. Estabilidad Todo algoritmo que resuelve un problema numéricamente produce en cada paso un error numérico. Un algoritmo se dice inestable cuando los errores que se cometen en cada etapa del mismo van aumentado de forma progresiva, de manera que el resultado final pierde gran parte de su exactitud. Un algoritmo es estable cuando no es inestable (controlado). Un algoritmo es numéricamente estable si y solo si: 𝐶𝑝 + 𝑇𝑒 𝐶𝑝 /≫ 1 𝐶 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑇𝑒 = 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
  13. 13. 1.9.3. Números de condición Podría ocurrir que los resultados de un problema tengan poca precisión esto puede deberse a dos cosas: el algoritmo puede no ser el más conveniente en ese caso se dice que el algoritmo está mal condicionado o el algoritmo es numéricamente inestable; o también puede ser consecuenciadel problema numérico mismo,es decir los resultados pueden ser muy sensibles a las perturbaciones de los datos de entrada, independientemente del algoritmo elegido, en ese caso diremos que el algoritmo es numéricamente inestable o que el problema numérico es inestable. Número de condición del problemaSupongamos que tenemos un problema numérico representado por:       1 : 1, , n m n i k k ki p i Y P X P R R Definimos P X x x C i m P X         Y el número de condición del problema:   1 max , 1, , , ti m p p p pC C i m C C      Definimos el vector de errores relativos inherentes:   1 1 1 , , sup , mod cot , , n i k i m t x x x x n i y x k k i y p x t y y y y p x p er er er y ongamos que er r P e X e x dividiendo tomando ulo y a ando resulta er C er Sea er er er resulta er C er C r                 
  14. 14. Por lo tanto podemos decir que pC depende de los datos de entrada y es una cota del cambio relativo que el resultado exacto del problema puede tener si se producen perturbaciones relativas en los datos de entrada acotadas por r. Número de condición del algoritmo. Antes de hablar del número de condición del algoritmo, supongamos que la maquina opera con una unidad aritmético-lógica con 2t dígitos y luego almacena en la memoria el resultado redondeado a t dígitos. De acuerdo a lo visto anteriormente en el apartado “Error relativo máximo de representación” podemos escribir:     1fl x op y x op y      Donde op representa una operación elemental y  es el error relativo de redondeo o representación de la operación  x op y Simbolizamos por  : n m y A X R R  al algoritmo para resolver el problema:  : n m Y P X R R  . Si no existieran errores de redondeo ocurriría:    A X P X . Pero nos interesa cuantificar la influencia de los errores de redondeo, por lo tanto utilizaremos la notación  Y A X para simbolizar el resultado considerando solo los errores de redondeo. Ver grafico
  15. 15. A(x) es el valor exacto calculado con el algoritmo A.  A X Es el valor calculado con una máquina. Sea  i iy A X . Si el cálculo de  iA X implica L operaciones, efectuando un análisis retrospectivo de errores tenemos:  , 1 1 L i i i k k k k y y F X con             Llamamos a los ,i kF factores de amplificación. Definimos  , 1 L i i k k i i a i p E F X E C C     Con estos valores definimos el número de condición del algoritmo como:   1 max , 1, , , ti m a a p pC C i m C C      Ejemplos 1) Sea el problema de resolver: 2 y x utilizando el algoritmo:   .y A x x x      . . 1y fl x x x x    Como la única operación que hay que hacer es el producto resulta que: E=1 Ahora debemos calcular i pC = pC J . . 2 . p x x x x C x x    Luego
  16. 16. 1 2 aC  1.10. OTRAS FORMAS DE ANÁLISIS DE ERRORES. Error numérico total: El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo, en general, la única forma para minimizar los errores de redondeo consiste en incrementar el número de cifras significativas en la computadora. Los errores de truncamiento disminuyen conforme los errores de redondeo se incrementan.  Control de errores numéricos: En la mayoría de los casos prácticos, no se conoce el error exacto asociado con el método numérico. Con excepción, claro está, de cuando obtenemos la solución exacta que vuelve innecesaria la aproximación numérica. Por lo tanto, en la mayoría de las aplicaciones en ingeniería debe tenerse algún estimado del error en los cálculos. Aunque el análisis de error es hasta cierto punto un arte, se sugieren varios lineamientos prácticos de cálculo: lo primero, y principal, implica tratar de evitar la resta de dos números casi iguales. Cuando esto ocurre, casi siempre se pierden cifras significativas.
  17. 17. Equivocaciones, errores de formulación e incertidumbre en los datos: estos tipos de error son más de capa 8.  Errores por equivocación: La mayor parte de las equivocaciones se atribuyen a fallas humanas. Las equivocaciones llegan a ocurrir a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y pueden contribuir con todas las otras componentes del error.  Errores de formulación: O de modelo pueden atribuirse al sesgo que implica un modelo matemático incompleto.  Incertidumbre en los datos: Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre en los datos físicos obtenidos, sobre los que se basa el modelo.
  18. 18. CONCLUSIONES  Establecer definiciones de cada tipo de error  Conocer las influencias de pequeñas cifras en un resultado BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS Bibliografía Chapra,S. C., & Canale,R.P. (2011). Métodosnuméricospara ingenieros. México:McGRAW- HILL. Felicísimo,A.M.(2015). Medida,controly propagación delerror.Obtenidode uniovi.es: http://www6.uniovi.es/~feli/CursoMDT/Tema_3.pdf Papaqui,J.P.(2015). Propagación deErrores.Obtenidode uv.es: http://www.uv.es/zuniga/3.2_Propagacion_de_errores.pdf

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