Calculo de Derivadas

1. El concepto de derivada es
fundamental para comprender
y derivar fórmulas que luego
tienen una aplicación
importante en la industria y en
la ciencia en general, que es la
que definitivamente inspira las
innovaciones industriales.

2. En ingeniería en sistemas, la derivada
tiene infinidad de aplicaciones, ya que
Esta rama de la Ingeniería va de la
mano con todos las demás ramas del
conocimiento. La derivada puede tener
aplicaciones sobre el diseño de
algunos programas que involucren
velocidades.

3. EJERCICIO 1.EJERCICIO 1.
Se le pide a un Ingeniero de
Sistemas crear un programa
que permita calcula dos
números cuya suma sea 100
y de forma que su producto
sea máximo.

4. x= Primer numero
y= Segundo numero
x+ y = 100
Función que hay que maximizar
f(x,y) = xy
Sujeto a x + y = 100
y = 100 – x

5. f(x)= x (100 – x)
f(x)= 100 x - X2
Se calculan los máximos y mínimos
relacionados:
f´(x)= 100- 2x
100 – 2x = 0
X = 50
Si x = 50
Entonces:
y = 50

6. f´(x)= -2 < 0
(-) = Máximo Relatívo
El primer numero es:
x = 50
El segundo numero es:
y = 50

7. Un fabricante vende x artículos por
semana a un precio unitario p que
depende de x, según la expresión:
p(x)=200 - 0.01x p en $
El costo total de produccion de x
articulos es: C(x)= 50x + 20000
$/sem

8. a) Calcula el número de artículos que el
fabricante debe producir para obtener
maxima ganacia y el correspondiente
precio de venta por unidad.
b) Supongamos que el estado fija un
impuesto de $10 por cada unidad
vedendida permaneciendo invariables las
otras condicones.
Que parte del impuesto debe absover el
fabricante y cual debe transmitir al
comprador para obtener maxima ganacia?
Comprar la gancias antes y despues de
establecido el Impuesto

9. SOLUCION.SOLUCION.
a) Precio unitario: p(x)= 200 – 0.01x $
Costo total: C(x)= 50x + 20000 $
La ganacia G del fabricante sera:
G = I – C (Ganacia = Ingreso – Costo)
El ingreso obtenido por la venta de x
articulos por semana se obtiene
multiplicando el precio unitario p por el
numero de articulos vendidos
semanalmente x.
I(x)= p.x = 200x – 0.01x2
$/sem
Finalmente entonces:
G(x)=(200x – 0.01x2
) – 50x+20000
G(x)= – 0.01x2
+ 50x + 20000 $/sem x > 0

10. Como puedes observar la funcion ganacia es una
simple funcion cuadratica con concavidad
negativa. Basta que verifiquemos que el vertice
corresponde al maximo de la funcion en el
intervalo [0, + ∞] para lo cual su abcisa debera
ser: > 0.
Derivando: = -0.02x + 150
Anulando: x = 7500 unidades / sem
En consecuencia para maximizar sus ganacias, el
fabricante deberá vender 7500 unidades / sem.
El precio correspondiente sera:
p(7500) = 200- 0,01.(7500) = 125
p = 125 $ / unidad

11. Al establecerse un impuesto de 10 $/unidad
tendremos una nueva funcion ganancia G1
tal que G1(x)= – 0,01x2
+ 150x - 20000 – 10x
G1(x)=– 0,01x2
+ 140x – 20000
Repitiendo para esta funcion lo hecho en la
parte a) del ejercicio:
= -0.02x + 140
Anulando: x = 7000 unidades / sem
El nuevo precio sera:
P(7000)= 200 – 0,01.(7000)= 130
P= 130 $ / unidades

12. El precio de venta ha aumentado $ 5.00 lo
que te esta indicando que para obtener
maxima ganacia que el fabricante tranmite
al comprador la mitad del impuesto,
absorviendo el, la otra mitad.
Las respectivas ganacias serán:
G(7500)= -0,01 (7500)2
+ 150 (7500) - 20000
= 542500 $/sem
G1(7000)= -0,01 (7000)2
+ 140 (7000) - 20000
= 540000 $/sem

13. EJERCICIO 3.
El ministerio de transporte Con el fin de determinar la
variacion de la velocidad del flujo de vehiculos que
ingresan a Sincelejo los dias domingo entre las 17:00
horas y las 22:00 horas, ha efectuado mediciones que
indican que la velocidad del trafico a la entrada de la
ciudad en ese lapso esta dada aproximadamente por
la expresion:
V(t)= km/h
t=0 a las 17 horas
En que momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas,
el transito es mas rapido y en que momento es mas
lento?

14. SOLUCION.SOLUCION.
t en horas, V en km/h
Estudiaremos la funcion en el intervalo [0,5] de
(17 horas a 22 horas)
km/h km/h
Puntos critico:
Anulando:

15. Raíces: t1 = 1 t2 = 4
De acuerdo con los calculos realizados y
siendo una funcion de tipo polinomico,
podemos afirmar que el maximo
absoluto se produce en t = 1 y el minimo
absoluto en t = 4

16. EJERCICIO 4.
El número total de bacterias (en miles)
presentes en un
cultivo después de t horas viene dado
por:
N(t) = 2t(t – 10)2 + 50
a) Calcula la función derivada.
b) Durante las 10 primeras horas, ¿en qué
instante se
alcanza la población máxima y la
mínima?

17. SOLUCION.SOLUCION.
N’(t)= 2 (3t2
– 40t + 100)
N´(t) = 0
t = 10/3
t = 10
Maximo relativo: A(10/3, 9350/27)
Minimo relativo: B(10, 50)
Se comprueban los extremos del intervalo
[0,10]
F(0)= 50

18. El minimo se alcanza en los
extremos, es decir, en t= 0 y t= 10
con 50000 bacterias.
El maximo se alcanza en t= 10/3 con
9350/27
= 346296 bacterias.