2. POSTECH Computer Algorithm Team
- 그래프 G(v,e,w) 가 주어질 때, 최소의 가중치 합을 지니는 트리를 말함
- 위 그래프에서는 A-C, B-C, C-D, D-E, D-F 5개의 간선을 선택, 13의 가중치로 트리 구현
최소 신장 트리란? Graph
3. POSTECH Computer Algorithm Team
- 가중치 포함 그래프 G(V,E,W)가 주어질 때, 가중치의 합이 최소가 되는 tree를 반환
- 최소 신장 트리 MST(minimum spanning tree)
- 크루스칼은 edge기반, 프림은 node기반으로 작동
최소 신장 트리(MST) 알고리즘 MST
4. POSTECH Computer Algorithm Team
- N개의 원소를 몇 개의 영역으로 나눌 때 절대적인 기준이 없는 경우 사용
- 2개의 원소를 합치는 union, 한 원소와 같은 그룹의 원소를 반환하는 find을 지원
- 처음 n개의 원소가 n개의 그룹으로 나누어져 있음 각각의 그룹은 tree로 구성
- Union(a,b) : a.tree.root.parent = b.tree.root
- Find(a) : return a.tree
- 최악의 상황?
- N개의 원소가 일렬로 연결될 경우 O(N^2)의 시간이 소요
상호 배타적 집합(union-find) 데이터 구조4
5. POSTECH Computer Algorithm Team
- Find(a,b) : a와 b의 depth를 비교하여 같거나 낮은 tree.root의 parent를 다른 tree.root로 한다
- Depth는 처음에 1, 같은 depth가 합쳐진 경우 +1한다
- 최대 depth = log(N)
- 최대 시간 = O(Nlog(N))
상호 배타적 집합(union-find) 데이터 구조5
6. POSTECH Computer Algorithm Team
- N개의 node를 가지는 tree는 반드시 N-1개의 edge를 가짐
- 초기에는 N개의 node가 N개의 tree로 나누어져 있다.
- 모든 edge E를 가중치 순서대로 정렬
- 가중치가 작은 edge부터 살펴보며 2개의 다른 tree를 연결하면 포함, 아니면 포함하지 않는다.(union-find 사용)
- 1개의 edge가 추가될 때마다 tree의 개수가 1개씩 줄어든다 -> N-1번 포함하면 MST 완성
- 정렬에 Elog(E), 탐색에 E, union-find에 Nlog(N)으로 총 O(Elog(E)) = O(Elog(N))
크루스칼 알고리즘 Kruskal algorithm
8. POSTECH Computer Algorithm Team
- Node를 1개씩 추가하는 방식
- 1개의 시작점을 정하고, N개의 node까지의 가중치를 edge과 같이 저장, edge가 없는 경우 무한대
- N개의 node를 돌아보며 tree에 포함되지 않은 node중 가중치가 최소인 node를 추가
- 추가한 node의 edge를 돌아보며 아직 포함되지 않은 node중 가중치가 더 적어지는 edge가 있으면 갱신
- N개의 node를 추가할 때까지 반복
- N개의 node를 N번에 걸쳐서 추가, E개의 edge를 확인 총 O(N^2)
프림 알고리즘 Prim algorithm
10. POSTECH Computer Algorithm Team
https://www.acmicpc.net/problem/1197 - 최소 스패닝 트리
https://algospot.com/judge/problem/read/LAN# - 근거리 네트워크
https://algospot.com/judge/problem/read/TPATH - 여행 결로 정하기
예시 문제 problem
