Identificazione della non linearità attraverso criteri di informazione automatica

Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Scienze Statistiche
Corso di Laurea Triennale in
Statistica e Gestione delle Imprese
RELAZIONE FINALE
IDENTIFICAZIONE DELLA NON LINEARITA' ATTRAVERSO CRITERI DI
INFORMAZIONE AUTOMATICA
Relatore Prof. Luisa Bisaglia
Dipartimento di Scienze Statistiche
Laureando: Cantarello Filippo
Matricola N 1077029
Anno Accademico 2016/2017

Indice
Introduzione...................................................................................................................... 1
1. I modelli TAR.........................................................................................................3
2. I Criteri di Informazione........................................................................................7
2.1. AIC, BIC, AICc e WIC..............................................................................8
2.2. 3 versioni dei criteri di informazione........................................................10
3. Studio di simulazione............................................................................................11
3.1. Selezione del numero di parametri...........................................................12
3.2. Discriminazione tra modelli lineari e non lineari.....................................15
3.3. Determinazione della funzione di transizione nella scelta
fra ESTAR e LSTAR...............................................................................28
3.4. Selezione del numero di regimi................................................................31
4. Applicazione su una serie reale - Il ciclo della lince............................................35
5. Conclusioni...........................................................................................................41
Appendice...................................................................................................................43
Bibliografia e altri riferimenti...................................................................................123

1
Introduzione
In questo elaborato il mio interesse si sofferma su come sia possibile scegliere il miglior
modello da adattare ad una serie storica. In letteratura ci sono principalmente due
approcci per fare ciò: utilizzare test di verifica di ipotesi oppure usare i criteri di
informazione. In particolare quest'ultimo approccio è molto diffuso per scegliere il
numero di ritardi nel contesto delle serie storiche lineari mentre per discriminare tra
linearità e non linearità è più comune usare test per la verifica d'ipotesi. Il lato negativo
di questo modo di procedere è costituito dal fatto che il rifiuto dell'ipotesi nulla di
linearità non ci informa su quale sia il modello non lineare più appropriato per
descrivere la serie. L'utilizzo dei criteri di informazione invece, potrebbe aiutare a
scegliere fra modelli non lineari. In ogni caso, ci sono principalmente due complicanze
alla base della preferenza dei test di non linearità. La prima è data dalla poca chiarezza
su come debbano essere calcolati i criteri di informazione per modelli non lineari. In
particolare consideriamo modelli non lineari multi-regime. Per questo tipo di modelli è
infatti relativamente semplice calcolare i criteri di informazione automatica
singolarmente per ciascun regime, ma non è noto come debbano poi essere aggregati i
risultati, al fine di ottenere un criterio confrontabile con quelli stimati dai modelli
lineari. Il secondo aspetto negativo è dato dalla mancanza di regole certe riguardanti
l'incorporazione o meno dei parametri propri dei modelli non lineari nei termini di
penalizzazione dei criteri di informazione. Per ovviare a questi problemi, nel seguito
verranno introdotte tre differenti versioni dei criteri di informazione al fine di fare,
empiricamente, chiarezza su queste due questioni, ricordando che il fine considerato
riguarda la discriminazione tra linearità e non linearità. L'elaborato è composto di una
panoramica in cui vengono presentati i modelli non lineari e da un'ulteriore parte
descrittiva riguardante i criteri di informazione che ho considerato. In seguito si
potranno trovare gli studi di simulazione eseguiti, dai quali, tramite l'osservazione dei
risultati, ho cercato di trarre delle conclusioni sull'appropriatezza o meno di alcuni
criteri nella scelta del modello corretto. Questa parte si divide in alcune sezioni in cui
sono riportati i risultati riguardanti specifiche tematiche, a cominciare dalla
discriminazione fra modelli autoregressivi e modelli a soglia, sino alla scelta del

2
corretto numero di regimi all'interno di un modello . Infine, prima di fare il
punto riassuntivo su quanto si è potuto osservare negli esperimenti Monte Carlo, è stata
proposta un'applicazione ad una serie storica reale.

3
1. I modelli TAR
L'idea dei modelli autoregressivi a soglia (Threshold Autoregressive models, )
viene introdotta da Howell Tong alla Royal Statistical Society a Londra nel 1978,
nonché sviluppata e divulgata in seguito in altri lavori dello stesso Tong (2011, 2015).
L'idea di fondo di questi modelli consiste nel rappresentare un modello non lineare
attraverso l'uso di un insieme finito di modelli , lineari.
In altre parole, un modello sarà lineare localmente, ma non globalmente.
Si consideri funzione non lineare dei suoi valori passati,
.
Un modello può essere espresso attraverso la formulazione generale:
dove gli , è una variabile esogena, detta di soglia, è la funzione
indicatrice e è un definito sottoinsieme di con per ogni .
Il modello può essere ulteriormente ampliato inserendovi componenti a media mobile
ed introducendo quindi i modelli .
Una delle più importanti sottoclassi della famiglia dei modelli è rappresentata dai
Self-Exciting Threshold Autoregressive models, .
Si definisce modello SETAR una approssimazione lineare a tratti della generica forma
autoregressiva non lineare:
dove, rispetto ai più generici la variabile soglia viene sostituita dalla stessa
variabile dipendente ritardata di periodi, con detto parametro di ritardo della
variabile di soglia.
L'uso dei modelli a soglia può essere utile per riuscire a studiare degli andamenti ciclici
nelle serie storiche (vedi nel seguito l'applicazione sul ciclo della lince) che i modelli
lineari non sono in grado di cogliere.

4
Un semplice modello a due regimi, con parametro di soglia può essere
scritto nel seguente modo:
in cui non si è fatto altro che esplicitare la formula generale riportata in precedenza.
Quello appena descritto è un a 2 regimi con rispettivamente e ritardi. E'
immediato vedere come all'interno di ciascun regime il modello sia lineare mentre non
lo sia nella sua globalità, a causa del salto nel punto in cui avviene il cambiamento di
regime.
In opposizione ai , nei quali la presenza della funzione indicatrice implica un
salto discreto fra i regimi, raramente osservabile in serie storiche reali, nel 1986 Chan e
Tong introdussero i modelli , il cui fine era quello di addolcirne il passaggio (si
veda a questo proposito la descrizione fornita da Terasvirta, 1994). L'acronimo
sta per Smooth Transition Autoregressive models ed indica, per l'appunto, la
caratteristica fondamentale di questi modelli: la sostituzione della funzione indicatrice
con una funzione che assume valori in , detta funzione di transizione ed indicata
con . Per questo motivo ogni osservazione non cadrà precisamente in uno dei 2
regimi ma sarà un mix di ciascun regime, con pesi ed .
Una formulazione generale per un modello STAR potrà essere esplicitata dunque come
generalizzazione di un a due regimi:
Le principali funzioni di transizione (nonché quelle che verranno trattate nel seguito)
sono quella esponenziale e quella logistica e danno luogo rispettivamente ai modelli
e .

5
Il parametro regola la velocità del passaggio tra i regimi. Se entrambi i modelli
coincidono con un modello lineare mentre, per , diventa assimilabile
ad un a 2 regimi ed diventa lineare.
La famiglia dei modelli non lineari è decisamente più vasta di quanto detto finora e non
è assolutamente riducibile ai soli modelli e . In essa si possono
annoverare, per esempio, anche i modelli già nominati in precedenza,
comprensivi di componente a media mobile, i , altresì chiamati (Open-
loop models), i autoregressive models, dove il cambio di
regime è governato da una variabile di stato non osservabile o gli , caratterizzati
da eteroschedasticità condizionata.
Tuttavia in questo elaborato mi soffermerò su e principalmente perchè
condividono un meccanismo di transizione tra i regimi piuttosto similare.

7
2. I criteri di informazione automatica
I criteri di informazione automatica sono dei criteri numerici sulla base dei quali ci si
pone l'obiettivo di determinare quale sia il miglior modello da adattare ai dati. Essi si
basano sull'idea di minimizzare la funzione di perdita nella quale
è una misura di bontà di adattamento del modello considerato ai dati, dipendente
dalla stima campionaria della varianza residua, mentre è detto termine di
penalizzazione e dipende dalla grandezza campionaria e dal numero di parametri del
modello. Minore è la varianza residua migliore è il modello. Il termine di
penalizzazione, invece, misura la complessità del modello e rappresenta una penalità per
la sovraparametrizzazione, ovvero per la scelta di un numero troppo elevato di
parametri, in accordo col principio di parsimonia secondo il quale, a parità della bontà
di adattamento di due modelli è preferibile quello col minor numero di parametri.
Nel corso di questo elaborato considererò quattro criteri di informazione: , ,
e , le differenze tra i quali risiedono nei differenti termini di penalizzazione.
In ogni caso, tutti questi criteri di informazione dipendono, come detto, dalla stima della
varianza residua. Generalmente viene usata la sua stima di massima verosimiglianza
dove rappresenta il vettore dei residui ed la numerosità campionaria ma, essendo
distorta, nello studio di simulazione verrà usata anche una sua stima corretta,
Secondo l'esperimento Monte Carlo condotto nel 1997 da McQuarrie, Shumway, e Tsai
nel quale questi osservavano le frequenze di selezione dei criteri , , e
(la versione con varianza corretta dell' ) si notò che quest' ultimo criterio
tendeva a prediligere modelli con un numero ridotto di parametri, evitando dunque la
sovraparametrizzazione (vedi McQuarrie et al. ,1997).
.

8
2.1. AIC, BIC, AICc e WIC
Per semplicità in questo paragrafo indicherò le formule dei criteri di informazione
usando la stima di massima verosimiglianza della varianza residua.
Il criterio venne presentato alla comunità matematica da Hirotugu Akaike nel 1974
e può essere riassunto nella seguente formula:
o più semplicemente come
in quanto della prima formulazione risulta ininfluente ai fini del confronto tra
criteri poiché dipende esclusivamente dalla numerosità campionaria.
Nel 1978 Schwarz introdusse il Bayesian Information Criterion, (indicato anche
con ).
Esso prevede l'utilizzo di un termine di penalizzazione forte per correggere la tendenza
dell' a scegliere modelli sovraparametrizzati in campioni finiti, ma tende a scegliere
modelli con un numero troppo ristretto di parametri in presenza di basse numerosità
campionarie.
Nel 1991 Hurvich e Tsai introdussero una versione corretta dell' , comprendente un
termine di penalizzazione più forte rispetto a quest'ultimo in caso di campioni piccoli.
Questo criterio, denominato , è definito come:
Asintoticamente AIC ed AICc risultano essere equivalenti.
L'ultimo criterio che prenderò in considerazione è il , Weighted Average
Information Criterion, introdotto nel 1998 da Tiee-Jian Wu e Alfred Sepulveda per
abbattere i limiti, legati alla grandezza campionaria, degli altri criteri di informazione.
Esso non è altro che una versione pesata di e .

9
Più precisamente, posti i termini di penalizzazione di AICc e BIC uguali rispettivamente
ad A e B, il WIC sarà definito come media pesata di questi criteri con pesi dati proprio
dal rapporto di A e B sulla somma degli stessi:
da cui, sostituendo le rispettive formule avremo
Svolgendo i conti e separando la parte dipendente dalla varianza residua dal termine di
penalizzazione arriveremo dunque a definire il come:
Data la sua natura, dunque, il assume un comportamento assimilabile a quello
dell' in presenza di campioni esigui e simile invece a quello del per campioni
di grandi dimensioni.

10
2.2. 3 versioni dei criteri di informazione
Nel caso di modelli lineari l'applicazione dei criteri di informazione risulta di immediata
comprensione. Lo stesso non si può dire invece quando si vogliono applicare a modelli
a soglia, quali o . Un primo approccio consiste nel considerare come
stima della varianza degli errori la somma dei quadrati dei residui dell'intero modello e
come numero di parametri la somma dei parametri dei diversi regimi. I risultanti criteri
di informazione sono detti Overall Model Criteria, cioè applicati sul modello preso
nella sua interezza. Un approccio totalmente simmetrico prevede invece di considerare
separatamente i regimi del modello in questione e porta alla definizione degli Equally
Weighted Criteria e dei Regime Weighted Criteria. Nel primo caso si calcolano i criteri
di informazione per ogni singolo regime e i valori risultanti vengono combinati secondo
una media aritmetica, nel secondo caso, invece, i risultati vengono combinati secondo
una media pesata, con pesi determinati dal grado di dominanza dei regimi. Nello
specifico, per i modelli i pesi sono determinati dal numero di osservazioni che
cadono nei vari regimi diviso per il totale delle osservazioni mentre, per i modelli
viene usato il valore della funzione di transizione, in quanto non esiste una netta
distinzione tra i regimi.
Riassumendo avremo
per gli Equally Weighted Criteria mentre
per i Regime Weighted Criteria, con

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3. Studio di simulazione
Nello studio di simulazione verranno generate realizzazioni da diversi processi
generatori dei dati, sia lineari sia non lineari, facendo variare principalmente la
numerosità campionaria, il numero di regimi ed il valore dei parametri. Per ogni
campione simuleremo 200 osservazioni in più che verranno eliminate in modo da
evitare dipendenza dai valori iniziali. I risultati che si troveranno nelle tabelle nelle
pagine seguenti sono basati su 1000 replicazioni indipendenti. Una volta generati i dati,
l'esperimento procede con l'adattamento ad essi di differenti modelli, lineari e non, in
base ai quali verranno calcolati i criteri di informazione introdotti nel paragrafo
precedente, divisi per la loro versione (Overall, Equally o Regime Weighted) e per il
termine di varianza residua considerato. In questo modo, per ogni replicazione di ogni
modello verranno generati 24 criteri di informazione. Comparando i risultati delle 1000
replicazioni siamo interessati a vedere quante volte ogni criterio seleziona ognuno degli
modelli adattatici, cioè la frequenza di selezione dei 24 criteri. I risultati saranno
riportati nelle tabelle nel seguito ed in appendice. Per produrre gli output sono stati usati
dei codici R, opportunamente modificati, forniti da Rinke e Sibbertsen, 2016. Per
comodità nel seguito verranno considerati modelli con ritardo massimo paria a ,
per cui il massimo modello lineare che verrà considerato sarà un mentre, per i
modelli a soglia, il più grande sarà quello con specificati in ciascun regime.
Siccome non è ben chiaro se e come debbano essere inseriti i parametri addizionali dei
modelli non lineari (i parametri di soglia e di ritardo per i , soglia, ritardo e
parametro di transizione per i modelli ) si decide di sommarli agli altri parametri
nei termini di penalizzazione dei criteri di informazione. In questo modo la scelta di un
modello non lineare verrà effettuata solo nel caso in cui questo apporti un notevole
beneficio nell'adattamento ai dati rispetto ad un modello lineare.

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3.1. Selezione del numero di parametri
In questo paragrafo si vuole comprendere il comportamento dei criteri di informazione
relativamente alla scelta del numero di parametri all'interno di una determinata classe di
modelli, ovvero, data una realizzazione da un determinato modello con un numero
definito di parametri, si intende verificare quali criteri di informazione riescano a
selezionarne il corretto numero di parametri. Ciò ci permetterà di capire a quali criteri
affidarci quando, in un caso reale, non saremo a conoscenza del processo generatore dei
dati. Ho dunque generato delle serie da un modello considerando quattro
diverse numerosità campionarie, , , ed , e ho
adattato i modelli fino all'ordine massimo di 4, ottenendo in totale 16
combinazioni. In seguito ho calcolato le frequenze di selezione dei modelli stessi in
1000 replicazioni. A noi interessa vedere quando i criteri scelgono il vero modello,
dunque nelle figure seguenti sono rappresentate le frequenze di selezione di un
quando i dati sono generati proprio da un

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Ai fini della comprensione può essere utile ricorrere anche alle tabelle sottostanti,
comprendenti le precise frequenze relative riportate nelle immagini appena viste.
REGIME WEIGHTED INFORMATION
CRITERIA
n=100
0,311 0,445 0,55 0,661 0,459 0,566 0,507 0,611
n=250
0,337 0,444 0,657 0,724 0,375 0,47 0,612 0,671
n=500
0,311 0,424 0,735 0,776 0,323 0,438 0,68 0,745
n=1000
0,321 0,409 0,772 0,808 0,324 0,415 0,712 0,77
EQUALLY WEIGHTED INFORMATION
CRITERIA
n=100
0,425 0,695 0,757 0,85 0,486 0,646 0,722 0,839
n=250
0,537 0,762 0,89 0,941 0,598 0,795 0,852 0,926
n=500
0,567 0,779 0,948 0,97 0,601 0,795 0,91 0,96
n=1000
0,59 0,81 0,957 0,977 0,614 0,822 0,934 0,958
OVERALL INFORMATION
CRITERIA
n=100
0,519 0,78 0,918 0,954 0,632 0,828 0,872 0,932
n=250
0,59 0,811 0,971 0,985 0,634 0,832 0,938 0,973
n=500
0,612 0,817 0,982 0,988 0,622 0,823 0,965 0,982
n=1000
0,638 0,828 0,984 0,99 0,646 0,831 0,966 0,983

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Ciò che salta subito all'occhio è la peggiore capacità di selezione dei Regime Weighted
Criteria, che varia tra il e l' nei campioni grandi, contro un range
compreso tra il ed il nei criteri Equally Weighted e tra il ed il
per gli Overall. Un comportamento simile lo troviamo anche in caso di campioni più
piccoli. Notiamo inoltre che i criteri e non riescono in nessuno dei tre casi ad
avvicinarsi al di frequenza relativa di selezione del modello corretto ma
raggiungono al massimo l' . Questo comportamento è legato al fatto che ed
tendono a scegliere più parametri del necessario. In generale, inoltre, i criteri di
informazione che coinvolgono le stime non distorte della varianza aumentano la loro
capacità di selezione anche del , come avviene nell' Equally Weighted .
Da quanto visto, per la scelta del numero di parametri all'interno di una determinata
classe di modelli, risulta quindi conveniente usare i criteri BIC e WIC Equally Weighted
ed Overall. Per campioni di bassa numerosità possiamo considerare anche l' ,
il cui termine di penalizzazione corregge la tendenza all'overfitting dell'
tradizionale.

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3.2. Discriminazione tra modelli lineari e non lineari
In questo paragrafo si vuole capire se ed attraverso quali criteri si possa distinguere tra
modelli lineari e non lineari. A tal fine ho generato dei dati da un processo lineare
e ad esso ho adattato modelli e a regimi, sino al massimo al quarto
ordine. In seguito, calcolati i criteri di informazione ho contato, a fronte di 1000
replicazioni, le frequenze di selezione di ciascun modello. Anziché considerare uno ad
uno i 20 modelli ottenuti, in questo caso è più utile considerare le frequenze di selezione
aggregate per e in modo tale da poter vedere un confronto immediato fra le
frequenze di selezione dei criteri di informazione nella scelta tra linearità e non linearità.
Gli output ottenuti sono riportati nelle seguenti tabelle.
REGIME WEIGHTED INFORMATION CRITERIA
n=100
0 0 0,492 0,488 0 0 0,48 0,472
1 1 0,508 0,512 1 1 0,52 0,528
n=250
0 0 0,542 0,541 0 0 0,484 0,475
1 1 0,458 0,459 1 1 0,516 0,525
n=500
0 0 0,508 0,508 0 0 0,457 0,453
1 1 0,492 0,492 1 1 0,543 0,547
n=1000
0 0 0,443 0,44 0 0 0,408 0,402
1 1 0,557 0,56 1 1 0,592 0,598
EQUALLY WEIGHTED INFORMATION CRITERIA
n=100
0 0 0,495 0,485 0 0 0,542 0,522
1 1 0,505 0,515 1 1 0,458 0,478

16
n=250
0 0 0,588 0,576 0 0 0,57 0,56
1 1 0,412 0,424 1 1 0,43 0,44
n=500
0 0 0,593 0,585 0 0 0,566 0,56
1 1 0,407 0,415 1 1 0,434 0,44
n=1000
0 0 0,556 0,546 0 0 0,537 0,529
1 1 0,444 0,454 1 1 0,463 0,471
OVERALL INFORMATION CRITERIA
n=100
0,145 0,374 0,922 0,94 0,258 0,483 0,81 0,862
0,855 0,626 0,078 0,06 0,742 0,517 0,19 0,138
n=250
0,211 0,484 0,987 0,992 0,261 0,539 0,951 0,967
0,789 0,516 0,013 0,008 0,739 0,461 0,049 0,033
n=500
0,243 0,5 0,995 0,997 0,266 0,52 0,984 0,988
0,757 0,5 0,005 0,003 0,734 0,48 0,016 0,012
n=1000
0,278 0,533 1 1 0,285 0,543 0,997 0,998
0,722 0,467 0 0 0,715 0,457 0,003 0,002
Ciò che salta subito all'occhio è che Regime ed Equally Weighted ed ,
indipendentemente dal tipo di varianza considerato, non selezionano mai il modello
lineare. Per e la frequenza di errore si attesta intorno al 60% nel caso siano
frutto della media ponderata dei criteri di ciascun regime mentre nel caso questi siano
equamente pesati essa scende attorno al 45% in presenza di campioni numerosi. Se i
criteri di informazione vengono stimati attraverso il metodo Overall la selezione
migliora notevolmente per tutti i criteri, anche se le versioni con varianza distorta di
ed risultano ancora pessime e quelle con varianza corretta sono comunque
ancora troppo lontane dall'essere soddisfacenti. In conclusione risulta evidente che i

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migliori criteri utilizzabili per la selezione della classe dei modelli siano gli Overall
e e che si possano usare anche le loro versioni Equally Weighted.
Spostiamo ora la nostra attenzione al caso in cui il modello corretto sia non lineare.
Vogliamo dunque vedere quali criteri di informazione riescono a selezionarlo. In
pratica, stiamo chiedendo ai criteri di informazione di discriminare tra linearità e non
linearità ed in più di scegliere il modello col relativo numero corretto di parametri. Ho
dunque generato i dati da un , adattato modelli e e, con
procedura analoga al caso precedente (senza però, in questo caso, aggregare le
frequenze dei modelli lineari dividendole da quelle dei non lineari), ho ottenuto i
seguenti risultati.
FREQUENZE DI SELEZIONE DEI CRITERI DI INFORMAZIONE PER MODELLI AR E SETAR.
DATI GENERATI DA UN MODELLO SETAR(1,1) con n=100
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,484 0,504 0 0 0,421 0,445
AR(2) 0 0 0,007 0,004 0 0 0,013 0,005
AR(3) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0
AR(4) 0 0 0,002 0,002 0 0 0,003 0,002
SETAR(1,1) 0,26 0,375 0,222 0,284 0,341 0,431 0,25 0,31
SETAR(1,2) 0,109 0,12 0,077 0,065 0,119 0,119 0,084 0,079
SETAR(1,3) 0,078 0,083 0,04 0,03 0,077 0,076 0,041 0,03
SETAR(1,4) 0,094 0,064 0,042 0,025 0,065 0,055 0,033 0,021
SETAR(2,1) 0,092 0,092 0,047 0,043 0,091 0,093 0,058 0,053
SETAR(2,2) 0,033 0,027 0,004 0,003 0,03 0,027 0,008 0,002
SETAR(2,3) 0,022 0,012 0,003 0,001 0,015 0,009 0,004 0,001
SETAR(2,4) 0,02 0,012 0,002 0 0,015 0,006 0,002 0
SETAR(3,1) 0,074 0,074 0,033 0,022 0,075 0,071 0,039 0,029
SETAR(3,2) 0,024 0,012 0,003 0 0,018 0,009 0,004 0,002
SETAR(3,3) 0,03 0,017 0,002 0 0,025 0,014 0,002 0,001
SETAR(3,4) 0,016 0,012 0,003 0,002 0,014 0,009 0,003 0,003
SETAR(4,1) 0,083 0,066 0,025 0,014 0,072 0,055 0,028 0,016
SETAR(4,2) 0,028 0,017 0,003 0,001 0,02 0,016 0,004 0,001
SETAR(4,3) 0,019 0,009 0 0 0,012 0,007 0,001 0
SETAR(4,4) 0,018 0,008 0 0 0,011 0,003 0,001 0

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CRITERIA
AR(1) 0 0 0,496 0,519 0 0 0,473 0,492
AR(2) 0 0 0,008 0,004 0 0 0,019 0,007
AR(3) 0 0 0,002 0 0 0 0,002 0,001
AR(4) 0 0 0,002 0,002 0 0 0,004 0,002
SETAR(1,1) 0,278 0,54 0,273 0,361 0,492 0,687 0,3 0,392
SETAR(1,2) 0,105 0,108 0,063 0,038 0,122 0,097 0,066 0,042
SETAR(1,3) 0,088 0,064 0,034 0,019 0,051 0,031 0,024 0,01
SETAR(1,4) 0,105 0,039 0,031 0,009 0,039 0,015 0,012 0,002
SETAR(2,1) 0,091 0,089 0,033 0,028 0,112 0,098 0,043 0,034
SETAR(2,2) 0,028 0,015 0,004 0,002 0,02 0,009 0,005 0
SETAR(2,3) 0,027 0,011 0,004 0 0,012 0,005 0,002 0,001
SETAR(2,4) 0,016 0,004 0,002 0 0,004 0,001 0,002 0
SETAR(3,1) 0,08 0,065 0,024 0,013 0,066 0,035 0,028 0,012
SETAR(3,2) 0,021 0,002 0 0,001 0,011 0,001 0,001 0,001
SETAR(3,3) 0,018 0,004 0,001 0 0,005 0 0 0
SETAR(3,4) 0,013 0,004 0 0 0,003 0,002 0,001 0
SETAR(4,1) 0,082 0,039 0,02 0,004 0,045 0,014 0,013 0,003
SETAR(4,2) 0,024 0,012 0,003 0 0,012 0,004 0,004 0,001
SETAR(4,3) 0,017 0,003 0 0 0,005 0,001 0,001 0
SETAR(4,4) 0,007 0,001 0 0 0,001 0 0 0
OVERALL INFORMATION
CRITERIA
AR(1) 0,049 0,186 0,8 0,852 0,095 0,251 0,625 0,736
AR(2) 0,005 0,005 0,016 0,011 0,012 0,009 0,02 0,012
AR(3) 0 0 0,004 0,001 0,001 0 0,004 0,002
AR(4) 0 0 0,002 0,001 0,002 0,001 0,004 0,001
SETAR(1,1) 0,301 0,457 0,146 0,12 0,353 0,471 0,246 0,211
SETAR(1,2) 0,103 0,1 0,01 0,006 0,112 0,078 0,039 0,015
SETAR(1,3) 0,086 0,045 0,006 0,002 0,071 0,034 0,015 0,007
SETAR(1,4) 0,09 0,029 0 0 0,063 0,018 0,005 0
SETAR(2,1) 0,091 0,071 0,011 0,005 0,092 0,064 0,022 0,011
SETAR(2,2) 0,024 0,015 0 0 0,02 0,01 0,003 0
SETAR(2,3) 0,021 0,006 0 0 0,014 0,001 0 0
SETAR(2,4) 0,011 0,003 0 0 0,006 0,002 0 0
SETAR(3,1) 0,074 0,036 0,002 0,002 0,068 0,033 0,01 0,003
SETAR(3,2) 0,02 0,003 0,001 0 0,013 0,003 0 0
SETAR(3,3) 0,014 0,002 0 0 0,005 0,001 0 0
SETAR(3,4) 0,008 0,002 0 0 0,003 0,002 0,001 0

19
SETAR(4,1) 0,058 0,031 0,001 0 0,049 0,014 0,003 0,001
SETAR(4,2) 0,025 0,007 0,001 0 0,014 0,006 0,002 0,001
SETAR(4,3) 0,014 0,001 0 0 0,005 0,001 0,001 0
SETAR(4,4) 0,006 0,001 0 0 0,002 0,001 0 0
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,359 0,365 0 0 0,29 0,306
AR(2) 0 0 0,007 0,005 0 0 0,011 0,004
AR(3) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
AR(4) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
SETAR(1,1) 0,318 0,438 0,383 0,421 0,354 0,454 0,384 0,424
SETAR(1,2) 0,124 0,113 0,09 0,081 0,122 0,112 0,103 0,098
SETAR(1,3) 0,091 0,082 0,044 0,035 0,09 0,081 0,06 0,048
SETAR(1,4) 0,075 0,059 0,022 0,016 0,067 0,051 0,029 0,022
SETAR(2,1) 0,094 0,088 0,044 0,035 0,094 0,09 0,045 0,044
SETAR(2,2) 0,029 0,029 0,01 0,008 0,03 0,029 0,012 0,009
SETAR(2,3) 0,02 0,011 0,001 0,001 0,02 0,01 0,003 0,001
SETAR(2,4) 0,02 0,01 0,002 0,002 0,016 0,01 0,003 0,002
SETAR(3,1) 0,072 0,066 0,019 0,018 0,067 0,064 0,029 0,021
SETAR(3,2) 0,025 0,018 0,001 0,001 0,025 0,016 0,002 0,001
SETAR(3,3) 0,013 0,011 0,003 0,001 0,014 0,01 0,005 0,002
SETAR(3,4) 0,016 0,011 0,002 0,002 0,012 0,011 0,004 0,002
SETAR(4,1) 0,061 0,043 0,01 0,009 0,053 0,042 0,016 0,013
SETAR(4,2) 0,016 0,011 0,001 0 0,015 0,01 0,001 0,001
SETAR(4,3) 0,012 0,004 0 0 0,009 0,004 0,001 0
SETAR(4,4) 0,014 0,006 0 0 0,012 0,006 0 0
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,39 0,396 0 0 0,346 0,36
AR(2) 0 0 0,007 0,005 0 0 0,014 0,006
AR(3) 0 0 0,001 0 0 0 0,003 0,001
AR(4) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001

20
SETAR(1,1) 0,38 0,648 0,496 0,543 0,472 0,695 0,479 0,54
SETAR(1,2) 0,134 0,108 0,044 0,027 0,129 0,095 0,058 0,042
SETAR(1,3) 0,084 0,054 0,012 0,007 0,076 0,053 0,026 0,009
SETAR(1,4) 0,077 0,02 0,005 0,002 0,049 0,014 0,009 0,004
SETAR(2,1) 0,09 0,082 0,03 0,014 0,095 0,077 0,037 0,026
SETAR(2,2) 0,02 0,015 0,004 0,002 0,02 0,012 0,006 0,005
SETAR(2,3) 0,017 0,005 0,001 0 0,013 0,005 0,001 0
SETAR(2,4) 0,013 0,001 0 0 0,006 0,001 0 0
SETAR(3,1) 0,069 0,04 0,007 0,004 0,056 0,034 0,015 0,005
SETAR(3,2) 0,015 0,004 0 0 0,013 0 0 0
SETAR(3,3) 0,015 0,003 0 0 0,009 0,002 0,001 0
SETAR(3,4) 0,005 0 0 0 0,003 0 0 0
SETAR(4,1) 0,058 0,018 0,002 0 0,044 0,011 0,004 0,001
SETAR(4,2) 0,01 0,002 0 0 0,008 0,001 0 0
SETAR(4,3) 0,01 0 0 0 0,006 0 0 0
SETAR(4,4) 0,003 0 0 0 0,001 0 0 0
OVERALL INFORMATION
CRITERIA
AR(1) 0,016 0,049 0,633 0,687 0,019 0,062 0,441 0,514
AR(2) 0,001 0 0,007 0,007 0,001 0,001 0,006 0,004
AR(3) 0 0,001 0,002 0,001 0 0,001 0,004 0,002
AR(4) 0 0 0,001 0 0,001 0 0,002 0,001
SETAR(1,1) 0,41 0,629 0,333 0,296 0,442 0,632 0,475 0,446
SETAR(1,2) 0,139 0,108 0,013 0,006 0,132 0,107 0,036 0,02
SETAR(1,3) 0,074 0,051 0,002 0 0,075 0,05 0,006 0,002
SETAR(1,4) 0,07 0,018 0 0 0,063 0,014 0,001 0
SETAR(2,1) 0,084 0,072 0,007 0,003 0,081 0,067 0,021 0,009
SETAR(2,2) 0,018 0,014 0,001 0 0,016 0,014 0,003 0,001
SETAR(2,3) 0,015 0,004 0 0 0,014 0,003 0 0
SETAR(2,4) 0,011 0 0 0 0,009 0 0 0
SETAR(3,1) 0,065 0,032 0,001 0 0,059 0,031 0,005 0,001
SETAR(3,2) 0,016 0,002 0 0 0,014 0,001 0 0
SETAR(3,3) 0,012 0,003 0 0 0,009 0,002 0 0
SETAR(3,4) 0,004 0 0 0 0,004 0 0 0
SETAR(4,1) 0,044 0,017 0 0 0,045 0,015 0 0
SETAR(4,2) 0,009 0 0 0 0,007 0 0 0
SETAR(4,3) 0,01 0 0 0 0,008 0 0 0
SETAR(4,4) 0,002 0 0 0 0,001 0 0 0

21
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,203 0,209 0 0 0,171 0,176
AR(2) 0 0 0,006 0,005 0 0 0,008 0,004
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0,001 0
SETAR(1,1) 0,374 0,475 0,523 0,548 0,385 0,482 0,505 0,541
SETAR(1,2) 0,112 0,113 0,1 0,1 0,113 0,112 0,111 0,104
SETAR(1,3) 0,078 0,066 0,049 0,046 0,078 0,063 0,052 0,051
SETAR(1,4) 0,073 0,061 0,027 0,021 0,071 0,06 0,03 0,028
SETAR(2,1) 0,091 0,09 0,046 0,036 0,087 0,091 0,056 0,048
SETAR(2,2) 0,03 0,02 0,01 0,007 0,03 0,02 0,012 0,01
SETAR(2,3) 0,024 0,013 0,003 0,002 0,022 0,012 0,004 0,003
SETAR(2,4) 0,017 0,012 0,002 0,001 0,016 0,012 0,003 0,002
SETAR(3,1) 0,052 0,047 0,021 0,017 0,053 0,046 0,029 0,022
SETAR(3,2) 0,015 0,01 0,001 0,001 0,015 0,011 0,002 0,001
SETAR(3,3) 0,011 0,01 0 0 0,009 0,009 0 0
SETAR(3,4) 0,019 0,011 0 0 0,018 0,011 0,001 0
SETAR(4,1) 0,061 0,045 0,008 0,007 0,064 0,044 0,012 0,009
SETAR(4,2) 0,02 0,014 0,001 0 0,018 0,014 0,002 0,001
SETAR(4,3) 0,013 0,006 0 0 0,012 0,006 0 0
SETAR(4,4) 0,01 0,007 0 0 0,009 0,007 0,001 0
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,233 0,235 0 0 0,207 0,213
AR(2) 0 0 0,006 0,005 0 0 0,01 0,006
AR(3) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0,001 0
SETAR(1,1) 0,435 0,671 0,681 0,72 0,47 0,697 0,651 0,704
SETAR(1,2) 0,118 0,102 0,038 0,021 0,117 0,101 0,056 0,037
SETAR(1,3) 0,065 0,04 0,01 0,005 0,062 0,034 0,015 0,008
SETAR(1,4) 0,067 0,026 0,001 0 0,055 0,02 0,008 0
SETAR(2,1) 0,091 0,077 0,024 0,01 0,091 0,074 0,037 0,026
SETAR(2,2) 0,025 0,011 0,001 0,001 0,026 0,011 0,002 0,001
SETAR(2,3) 0,015 0,005 0 0 0,013 0,003 0 0
SETAR(2,4) 0,014 0,005 0 0 0,012 0,005 0 0
SETAR(3,1) 0,068 0,035 0,005 0,002 0,065 0,035 0,011 0,004

22
SETAR(3,2) 0,016 0,008 0 0 0,017 0,004 0 0
SETAR(3,3) 0,007 0,004 0 0 0,006 0,003 0 0
SETAR(3,4) 0,008 0 0 0 0,007 0 0 0
SETAR(4,1) 0,047 0,008 0 0 0,044 0,007 0,001 0
SETAR(4,2) 0,013 0,008 0 0 0,01 0,006 0 0
SETAR(4,3) 0,006 0 0 0 0,005 0 0 0
SETAR(4,4) 0,005 0 0 0 0 0 0 0
OVERALL INFORMATION
CRITERIA
AR(1) 0,001 0,002 0,29 0,331 0,001 0,003 0,15 0,196
AR(2) 0 0 0,004 0,004 0 0 0,003 0,002
AR(3) 0 0 0,001 0,001 0 0 0 0,001
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0,001 0
SETAR(1,1) 0,451 0,687 0,676 0,648 0,467 0,695 0,783 0,769
SETAR(1,2) 0,127 0,103 0,015 0,01 0,125 0,101 0,03 0,016
SETAR(1,3) 0,061 0,035 0 0 0,06 0,036 0,003 0,001
SETAR(1,4) 0,064 0,023 0 0 0,061 0,022 0 0
SETAR(2,1) 0,087 0,079 0,013 0,006 0,088 0,076 0,024 0,014
SETAR(2,2) 0,021 0,011 0 0 0,022 0,012 0,001 0
SETAR(2,3) 0,015 0,005 0 0 0,014 0,005 0 0
SETAR(2,4) 0,015 0,003 0 0 0,013 0,002 0 0
SETAR(3,1) 0,063 0,03 0,001 0 0,06 0,029 0,004 0,001
SETAR(3,2) 0,016 0,005 0 0 0,016 0,005 0 0
SETAR(3,3) 0,007 0,003 0 0 0,006 0,003 0 0
SETAR(3,4) 0,007 0 0 0 0,007 0 0 0
SETAR(4,1) 0,045 0,008 0 0 0,044 0,007 0,001 0
SETAR(4,2) 0,012 0,006 0 0 0,011 0,004 0 0
SETAR(4,3) 0,006 0 0 0 0,004 0 0 0
SETAR(4,4) 0,002 0 0 0 0,001 0 0 0
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,086 0,088 0 0 0,063 0,064
AR(2) 0 0 0,002 0,002 0 0 0,004 0,003
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0

23
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,36 0,475 0,637 0,668 0,369 0,477 0,622 0,653
SETAR(1,2) 0,15 0,134 0,105 0,094 0,147 0,134 0,108 0,106
SETAR(1,3) 0,068 0,065 0,062 0,058 0,069 0,064 0,067 0,062
SETAR(1,4) 0,074 0,06 0,035 0,031 0,07 0,06 0,044 0,037
SETAR(2,1) 0,103 0,088 0,035 0,03 0,103 0,09 0,043 0,037
SETAR(2,2) 0,022 0,018 0,004 0,004 0,022 0,018 0,007 0,004
SETAR(2,3) 0,023 0,018 0,009 0,005 0,022 0,017 0,009 0,009
SETAR(2,4) 0,012 0,005 0,001 0,001 0,011 0,005 0,001 0,001
SETAR(3,1) 0,062 0,057 0,014 0,011 0,063 0,056 0,018 0,014
SETAR(3,2) 0,016 0,01 0,002 0,001 0,016 0,01 0,003 0,002
SETAR(3,3) 0,017 0,008 0 0 0,017 0,008 0 0
SETAR(3,4) 0,009 0,004 0,001 0 0,009 0,004 0,002 0,001
SETAR(4,1) 0,049 0,034 0,006 0,006 0,048 0,033 0,007 0,006
SETAR(4,2) 0,012 0,008 0 0 0,012 0,008 0 0
SETAR(4,3) 0,011 0,008 0 0 0,011 0,008 0,001 0
SETAR(4,4) 0,012 0,008 0,001 0,001 0,011 0,008 0,001 0,001
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,106 0,106 0 0 0,09 0,091
AR(2) 0 0 0,003 0,003 0 0 0,005 0,004
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,465 0,703 0,838 0,868 0,483 0,71 0,813 0,849
SETAR(1,2) 0,13 0,095 0,03 0,016 0,123 0,093 0,047 0,03
SETAR(1,3) 0,066 0,04 0,002 0,002 0,067 0,037 0,009 0,002
SETAR(1,4) 0,053 0,02 0,002 0 0,049 0,02 0,003 0,002
SETAR(2,1) 0,105 0,076 0,015 0,003 0,106 0,077 0,026 0,018
SETAR(2,2) 0,014 0,008 0 0 0,015 0,008 0 0
SETAR(2,3) 0,012 0,002 0 0 0,009 0,001 0 0
SETAR(2,4) 0,008 0,003 0 0 0,007 0,003 0 0
SETAR(3,1) 0,056 0,03 0,004 0,002 0,056 0,029 0,006 0,004
SETAR(3,2) 0,008 0,003 0 0 0,008 0,003 0,001 0
SETAR(3,3) 0,005 0 0 0 0,004 0 0 0
SETAR(3,4) 0,008 0,001 0 0 0,008 0,001 0 0
SETAR(4,1) 0,053 0,016 0 0 0,05 0,015 0 0
SETAR(4,2) 0,011 0,002 0 0 0,009 0,002 0 0
SETAR(4,3) 0,002 0 0 0 0,002 0 0 0
SETAR(4,4) 0,004 0,001 0 0 0,004 0,001 0 0

24
OVERALL INFORMATION
CRITERIA
AR(1) 0 0 0,012 0,019 0 0 0,002 0,003
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,501 0,728 0,952 0,97 0,506 0,734 0,935 0,958
SETAR(1,2) 0,11 0,081 0,02 0,008 0,111 0,08 0,029 0,019
SETAR(1,3) 0,064 0,039 0,001 0 0,064 0,037 0,003 0,002
SETAR(1,4) 0,047 0,023 0 0 0,047 0,022 0,001 0
SETAR(2,1) 0,101 0,069 0,011 0,002 0,1 0,07 0,024 0,014
SETAR(2,2) 0,019 0,006 0 0 0,018 0,006 0,001 0
SETAR(2,3) 0,008 0,002 0 0 0,008 0,002 0 0
SETAR(2,4) 0,008 0,003 0 0 0,007 0,002 0 0
SETAR(3,1) 0,057 0,028 0,004 0,001 0,056 0,028 0,005 0,004
SETAR(3,2) 0,01 0,003 0 0 0,008 0,003 0 0
SETAR(3,3) 0,005 0 0 0 0,005 0 0 0
SETAR(3,4) 0,008 0,001 0 0 0,008 0,001 0 0
SETAR(4,1) 0,047 0,015 0 0 0,048 0,014 0 0
SETAR(4,2) 0,008 0,001 0 0 0,008 0 0 0
SETAR(4,3) 0,003 0 0 0 0,002 0 0 0
SETAR(4,4) 0,004 0,001 0 0 0,004 0,001 0 0
Le righe evidenziate indicano il modello corretto, mentre i coefficienti in grassetto
indicano i modelli che minimizzano il più delle volte i rispettivi criteri di informazione.
Anche in questo caso notiamo che Regime ed Equally Weighted ed non
selezionano mai il modello lineare e le loro versioni Overall tendono anch'esse allo zero
man mano che cresce la numerosità campionaria. e invece, a causa del loro
termine di penalizzazione hanno la tendenza a scegliere modelli lineari per campioni di
numerosità pari a 100, salvo poi migliorare man mano col crescere del numero di
osservazioni. Come nella simulazione precedente continuiamo a notare come i criteri
Regime Weighted presentino performance peggiori rispetto agli altri due casi.
Comparando i risultati appena ottenuti con le frequenze relative ad e adattati
a dei dati provenienti da un si vede che quando vi è asimmetria nel
numero di parametri dei regimi di un modello non lineare l'identificazione della stessa
non linearità risulta più semplice da cogliere da parte di tutti i criteri di informazione.
Nelle seguenti tabelle è riportata una parte dei risultati ottenuti nella simulazione (il

25
materiale completo si può trovare nella tabella 1 in appendice). Ho omesso
volontariamente i criteri Regime Weighted poiché in tutte le analisi precedenti abbiamo
visto che si comportano peggio rispetto alle altre due tipologie. Inoltre ho omesso anche
i modelli con più parametri, poiché risultavano avere frequenze relative di selezione
piuttosto basse.
n=100
AR(1) 0 0 0,041 0,055 0 0 0,034 0,042
AR(2) 0 0 0,097 0,093 0 0 0,104 0,101
AR(3) 0 0 0,016 0,005 0 0 0,026 0,015
AR(4) 0 0 0,002 0,002 0 0 0,004 0,002
SETAR(1,1) 0,019 0,063 0,084 0,137 0,046 0,108 0,06 0,112
SETAR(1,2) 0,297 0,483 0,458 0,522 0,43 0,564 0,449 0,524
SETAR(1,3) 0,13 0,136 0,084 0,061 0,153 0,119 0,102 0,076
SETAR(1,4) 0,084 0,048 0,024 0,01 0,067 0,031 0,03 0,017
n=1000
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,2) 0,047 0,101 0,368 0,442 0,047 0,103 0,282 0,363
SETAR(1,3) 0,556 0,691 0,591 0,534 0,572 0,695 0,643 0,596
SETAR(1,4) 0,124 0,07 0,007 0,002 0,125 0,069 0,015 0,007
n=100
AR(1) 0 0,003 0,089 0,142 0 0,007 0,03 0,063
AR(2) 0,003 0,014 0,228 0,244 0,009 0,026 0,129 0,16
AR(3) 0,003 0,004 0,028 0,017 0,004 0,004 0,02 0,015
AR(4) 0 0,001 0,005 0,003 0,002 0,004 0,004 0,005
SETAR(1,1) 0,028 0,061 0,052 0,064 0,035 0,069 0,064 0,091
SETAR(1,2) 0,323 0,506 0,445 0,431 0,386 0,55 0,508 0,515
SETAR(1,3) 0,151 0,14 0,076 0,055 0,158 0,134 0,104 0,077
SETAR(1,4) 0,068 0,041 0,011 0,005 0,063 0,026 0,018 0,011

26
n=1000
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,2) 0,044 0,102 0,4 0,483 0,045 0,104 0,32 0,391
SETAR(1,3) 0,566 0,692 0,574 0,503 0,572 0,696 0,639 0,581
SETAR(1,4) 0,122 0,07 0,005 0,002 0,12 0,068 0,011 0,007
Come possiamo vedere, il diverso numero di parametri per regime facilita la
discriminazione della non linearità, in particolar modo nei grandi campioni. In presenza
di numerosità esigue di osservazioni si può notare che sia i criteri bayesiani che quelli
pesati scelgono, seppur nella minoranza dei casi, modelli del tipo . Per n=100 è
inoltre evidente come i criteri di informazione scelgano un modello più
semplice di quello corretto (quello con 1 parametro in un regime e 2 nell'altro) mentre
all'aumentare dell'ampiezza del campione riescano ad identificare il numero corretto di
parametri in ogni regime. In appendice si troveranno anche le tabelle contenenti le
frequenze relative di selezione di modelli e quando il processo generatore
dei dati è un (vedi tabella 2). In quel caso risulterà ancora più evidente la
semplificazione del numero di parametri effettuata dai criteri nella scelta del modello in
quanto sia gli Equally Weighted che gli Overall scelgono un anche con
numerosità campionaria di 1000. Come nei casi precedenti, per campioni esigui si
continua a riscontrare la preferenza di e per i modelli lineari, soprattutto
quando consideriamo i criteri Overall.
Essendo i modelli una variazione dei in cui il passaggio tra regimi è
addolcito dalla presenza della funzione di transizione mi chiedo se quanto visto finora
sia valido anche per questa classe di modelli. Ricordando che si può assimilare
ad un modello lineare per mentre diventa un a 2 regimi per e che
si linearizza per sia per che per , sembra plausibile che il
comportamento dei criteri di informazione nella distinzione tra e non si
discosti significativamente rispetto a quello tra e . In ogni caso, proprio per

27
le considerazioni appena fatte avremo che sarà più facile distinguere la linearità tra un
modello autoregressivo lineare e lo logistico piùttosto che uno nella sua
variante esponenziale.

28
3.3. Determinazione della funzione di transizione nella scelta fra
ESTAR e LSTAR
Un altro aspetto di interesse è la capacità dei criteri di informazione nel discriminare tra
ed , ovvero vogliamo vedere se ed in quali casi essi siano o meno in
grado di riconoscere le diverse funzioni di transizione che contraddistinguono i due tipi
di . Per fare ciò ho generato delle serie da un (2,2)
(in cui ho fatto variare la numerosità campionaria), con parametro di transizione prima
uguale ad e poi a , ai quali ho adattato modelli ed . I risultati, che
sono riportati di seguito ed in maniera estesa nelle tabelle 3 e 4 in appendice,
evidenziano che le frequenze di selezione dei modelli nei campioni piccoli sono
notevolmente influenzate dal parametro . Per ed n=100 i criteri Overall ed
Equally Weighted, infatti, selezionano nella maggior parte dei casi modelli del tipo
, con e che prediligono quelli più parsimoniosi in termini di numero di
parametri. I Regime Weighted Criteria preferiscono invece gli . Quando ,
invece, i criteri selezionano la classe corretta, . Col crescere della numerosità
campionaria si può vedere come cresca la probabilità di tutti i criteri di captare la
funzione di transizione logistica anche quando il parametro di transizione è 20. In
particolare le frequenze di selezione risultano essere più alte per gli Overall e gli
Equally Weighted e ma sono comunque buone anche quelle di ed
.

29
FREQUENZE DI SELEZIONE DEI CRITERI DI INFORMAZIONE PER MODELLI LSTAR ED
ESTAR. DATI GENERATI DA UN MODELLO LSTAR(2,2) con
n=100
LSTAR(2,1) 0,013 0,037 0,046 0,076 0,038 0,05 0,044 0,054
LSTAR(2,2) 0,247 0,318 0,286 0,297 0,303 0,337 0,34 0,345
LSTAR(2,3) 0,039 0,028 0,016 0,007 0,044 0,029 0,026 0,01
ESTAR(2,1) 0,019 0,061 0,034 0,052 0,079 0,117 0,091 0,101
ESTAR(2,2) 0,202 0,246 0,279 0,273 0,178 0,188 0,219 0,214
ESTAR(2,3) 0,042 0,029 0,025 0,009 0,024 0,016 0,021 0,011
n=1000
LSTAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(2,2) 0,601 0,74 0,836 0,85 0,611 0,746 0,82 0,845
LSTAR(2,3) 0,076 0,053 0,008 0,002 0,078 0,054 0,012 0,009
ESTAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(2,2) 0,061 0,083 0,132 0,136 0,063 0,081 0,12 0,126
ESTAR(2,3) 0,009 0,006 0,004 0,002 0,009 0,006 0,006 0,004
n=100
LSTAR(2,1) 0,009 0,031 0,054 0,068 0,019 0,035 0,038 0,057
LSTAR(2,2) 0,28 0,336 0,332 0,311 0,313 0,346 0,348 0,335
LSTAR(2,3) 0,044 0,027 0,009 0,005 0,036 0,021 0,018 0,008
ESTAR(2,1) 0,023 0,049 0,063 0,064 0,033 0,058 0,061 0,064
ESTAR(2,2) 0,216 0,257 0,247 0,226 0,236 0,262 0,263 0,243
ESTAR(2,3) 0,039 0,029 0,012 0,004 0,038 0,021 0,014 0,008
n=1000
LSTAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(2,2) 0,605 0,755 0,897 0,902 0,611 0,758 0,882 0,895
LSTAR(2,3) 0,077 0,053 0,006 0,002 0,075 0,051 0,015 0,007
ESTAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(2,2) 0,059 0,074 0,089 0,092 0,06 0,075 0,087 0,089
ESTAR(2,3) 0,007 0,005 0,003 0,001 0,007 0,005 0,003 0,003

30
ESTAR. DATI GENERATI DA UN MODELLO LSTAR(2,2) con
n=100
LSTAR(2,1) 0,004 0,014 0,014 0,018 0,012 0,017 0,019 0,027
LSTAR(2,2) 0,181 0,227 0,211 0,216 0,252 0,268 0,248 0,234
LSTAR(2,3) 0,032 0,022 0,01 0,008 0,04 0,021 0,02 0,017
ESTAR(1,2) 0,144 0,25 0,247 0,341 0,253 0,321 0,296 0,36
ESTAR(2,2) 0,249 0,287 0,317 0,3 0,206 0,217 0,269 0,251
ESTAR(2,3) 0,04 0,029 0,025 0,011 0,013 0,009 0,019 0,007
n=1000
LSTAR(2,2) 0,389 0,48 0,538 0,545 0,401 0,489 0,54 0,549
LSTAR(2,3) 0,04 0,026 0,002 0 0,042 0,027 0,003 0,002
ESTAR(1,2) 0 0,001 0,002 0,002 0 0,001 0,002 0,002
ESTAR(2,2) 0,257 0,327 0,421 0,433 0,264 0,327 0,401 0,414
ESTAR(2,3) 0,045 0,037 0,013 0,008 0,049 0,037 0,016 0,013
n=100
LSTAR(2,1) 0,003 0,008 0,016 0,019 0,007 0,012 0,014 0,018
LSTAR(2,2) 0,184 0,22 0,23 0,215 0,204 0,23 0,232 0,23
LSTAR(2,3) 0,03 0,014 0,009 0,004 0,026 0,014 0,011 0,007
ESTAR(1,2) 0,145 0,259 0,383 0,441 0,192 0,301 0,322 0,4
ESTAR(2,2) 0,267 0,31 0,268 0,235 0,297 0,308 0,295 0,261
ESTAR(2,3) 0,043 0,025 0,014 0,003 0,038 0,026 0,023 0,008
n=1000
LSTAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(2,2) 0,425 0,518 0,614 0,618 0,429 0,519 0,607 0,614
LSTAR(2,3) 0,041 0,029 0,004 0,001 0,041 0,029 0,007 0,004
ESTAR(1,2) 0 0,001 0,003 0,004 0 0,001 0,003 0,003
ESTAR(2,2) 0,228 0,287 0,359 0,366 0,233 0,29 0,354 0,359
ESTAR(2,3) 0,042 0,032 0,012 0,007 0,04 0,032 0,013 0,012

31
3.4. Selezione del numero di regimi
In questo paragrafo si è cercato di capire, attraverso l'applicazione di modelli a
due e tre regimi a dati generati sia da modelli lineari che non lineari, quali criteri di
informazione siano più adatti per la corretta determinazione del numero di soglie,
qualora presenti, nei modelli dai quali sono state generate le serie. Nell'adattamento dei
a tre regimi ho, inoltre, considerato due diverse procedure della stima dei
parametri di soglia, che Gonzalo e Pitarakis (2002) hanno chiamato procedure ad 1 ed a
2 Step. Nel primo caso viene effettuata la stima della prima soglia e, data questa viene
stimata la seconda. Nell'approccio a 2 Step, in aggiunta a quanto fatto nel caso
precedente, viene ristimata la prima soglia condizionatamente al valore ottenuto per la
seconda che, a sua volta, viene ristimata sulla base della stima della prima soglia.
Nel calcolo dei criteri di informazione provenienti dai si ricorda
che, essendo presente un ulteriore parametro di soglia, questo andrà aggiunto al termine
di penalizzazione degli stessi criteri, il che porterà a favorire la scelta di modelli
più complessi esclusivamente quando questi porteranno un notevole beneficio
nell'adattamento ai dati.
Per i modelli a tre soglie consideriamo come ritardo massimo , in modo tale da
avere otto possibili combinazioni di .
Il primo caso che ho considerato riguarda l'applicazione dei modelli e a due
e tre regimi a serie generate da un modello lineare (si vedano le tabelle 5 e 6 in
appendice per i risultati completi).
Quello che si può notare è che per campioni grandi i criteri di informazione nella loro
versione Overall selezionano correttamente l' sia quando le soglie vengono
stimate mediante l' approccio ad 1 che a 2 Step. e risultano particolarmente
precisi, con frequenze di selezione prossime al 100%, mentre ed , seppur
risultino anch'essi portare alla scelta dell' , sono decisamente preferibili nelle loro
versioni con varianza corretta in quanto la loro frequenza relativa di selezione cresce di
circa punti percentuali.
Per quanto riguarda i criteri Equally Weighted notiamo invece come l'approccio a 2 Step
alla stima delle soglie porti i criteri di selezione a scegliere a 3 regimi e quindi

32
alla scelta di modelli sovraparametrizzati (in particolare i modelli più scelti sono
e ).
Per i criteri stimati da modelli adattati con procedura di stima delle soglie ad 1 Step si
può notare invece come vi sia una grande differenza nel comportamento tra ed
rispetto a e . I primi due, infatti, scelgono nella quasi totalità dei casi il
modello più complesso che abbiamo adattato, il , mentre gli altri
scelgono correttamente il modello lineare.
Per i Regime Weighted Criteria il discorso è analogo a quello fatto per gli Equally
Weighted con la principale differenza che la scelta per il fatta da ed
risulta meno drastica in termini di frequenza relativa di selezione.
Nei campioni di numerosità 100 i criteri Overall scelgono il modello lineare sia per
l'approccio ad 1 che a 2 Step, anche se entrambe le versioni dell' e l'Akaike corretto
rivelano frequenze di selezione relativamente basse. e Equally e Regime
Weighted del metodo ad 1 Step scelgono il modello corretto nella maggioranza dei casi
mentre i criteri di Akaike optano per i con 2 parametri di soglia (in primis
e ) . Per la procedura a 2 Step, invece, solo i due Equally
Weighted azzeccano la scelta del modello.
Un altro caso di interesse si può incontrare quando al posto di un modello lineare, le
serie dei dati vengono generate da un processo Self-Exciting con una soglia. Anche in
questo caso i risultati a cui faccio riferimento si trovano in appendice (vedi tabelle 7 e
8). Quello che possiamo notare è che nell'approccio 1-Step, per n=100, e
preferiscono la scelta di un mentre C e corretto preferiscono un modello a
tre regimi tranne nella versione Overall dei criteri, in cui questi scelgono tutti , ad
esclusione delle versioni di ed con varianza distorta, che tendono a
sovrastimare il numero reale di parametri, optando per la scelta di un .
Nell'approccio 2-Step si vede invece come i Regime Weighted Criteria tendano
all'unanimità a preferire modelli a 2 soglie, i , così come gli ed
della versione Equally Weighted in cui, però, e propendono per il modello
lineare . Solo i criteri Akaike e Akaike corretti nella loro versione Overall
risultano identificare il modello da cui sono stati generati i dati, il .
All'aumentare della numerosità campionaria nella stima ad 1 Step migliorano le stime di
e che propendono per il nelle loro versioni pesate e crescono

33
sensibilmente tutte le frequenze di selezione dei criteri Overall che, anche in questo
caso, scelgono il modello corretto (noto che con varianza distorta si comporta in
modo peggiore degli altri). Per quanto riguarda l'approccio a 2 Step, esso sembra essere
indicato solo per criteri Overall, dove tutti i criteri risultano in grado di captare la
presenza di 2 regimi ed anche il giusto numero di parametri. I criteri pesati scelgono
sempre .
L'ultimo caso che prenderò in considerazione è quello in cui il vero processo generatore
dei dati è un , , del tipo
(si vedano tabelle 9 e 10 in appendice). Ciò che emerge dall’osservazione delle tabelle è
che nell’approccio 1-Step, per piccoli campioni, le tre versioni dei criteri di
informazione non sbagliano la selezione del modello ma, al più, i e tendono a
preferire un modello con un parametro in meno nell’ultimo regime. Per quanto
riguarda la procedura a due Step, invece, la differenza più marcata si può notare nella
versione Overall dei criteri dove questi selezionano modelli con un solo
parametro di soglia ( ) mentre i criteri pesati scelgono con due
soglie, ma sottostimano il numero di parametri del secondo regime.
OVERALL INFORMATION CRITERIA – n=100
1 Step
SETAR(2,3) 0,117 0,146 0,174 0,187 0,13 0,153 0,159 0,18
SETAR(2,4) 0,189 0,167 0,143 0,123 0,183 0,161 0,155 0,133
SETAR(2,2,1) 0,197 0,265 0,327 0,369 0,235 0,284 0,298 0,347
SETAR(2,2,2) 0,356 0,282 0,208 0,157 0,317 0,262 0,246 0,189
2 Step
SETAR(2,3) 0,289 0,379 0,452 0,484 0,336 0,413 0,423 0,472
SETAR(2,4) 0,472 0,425 0,357 0,308 0,45 0,401 0,388 0,337
SETAR(2,2,1) 0,027 0,026 0,025 0,025 0,026 0,027 0,027 0,026
SETAR(2,2,2) 0,004 0,004 0,001 0,001 0,003 0,002 0,002 0,001

34
In presenza di campioni ampi, tutti i criteri di informazione selezionano il modello
corretto con frequenze relative molto alte. L’unica eccezione continua ad essere
costituita dagli Overall criteria derivanti dalla stima a 2 tappe delle soglie. Questi,
infatti, sembrano preferire modelli e non individuano praticamente mai il
modello da cui sono stati generati i dati.
OVERALL INFORMATION CRITERIA – n=1000
1 Step
SETAR(2,3) 0 0 0,006 0,007 0 0 0,003 0,005
SETAR(2,4) 0,251 0,263 0,268 0,268 0,252 0,264 0,269 0,268
SETAR(2,2,1) 0,006 0,01 0,031 0,044 0,006 0,01 0,026 0,029
SETAR(2,2,2) 0,709 0,705 0,683 0,67 0,709 0,705 0,689 0,686
2 Step
SETAR(2,3) 0,032 0,054 0,125 0,142 0,032 0,054 0,1 0,123
SETAR(2,4) 0,686 0,679 0,641 0,629 0,687 0,68 0,658 0,643
SETAR(2,2,1) 0,007 0,008 0,009 0,009 0,007 0,008 0,009 0,009
SETAR(2,2,2) 0,001 0 0 0 0,001 0 0 0

35
4. Applicazione su una serie reale - Il ciclo della lince
In questo paragrafo applicherò i criteri di informazione alla nota serie del ciclo della
popolazione della lince, composta di 114 osservazioni a frequenza annuale raccolte dal
1821 al 1934 nel MacKenzie River district in Canada, al fine di indagare quale sia il
modello che tali criteri reputano adatto a descrivere i dati. In questo caso, dunque,
essendo una serie reale, a differenza delle simulazioni precedenti, non si sa quale sia il
vero processo generatore dei dati. La serie in questione è di grande interesse nell'ambito
dell'ecologia, poiché evidenzia il fatto che la numerosità della popolazione di linci in
quel territorio assume un andamento ciclico con fluttuazioni ricorrenti ogni 8-11 anni
circa, come si può notare nel grafico sottostante.
Al fine dell'analisi della serie è preferibile usare la trasformazione logaritmica della
variabile della serie, che chiamerò loglynx, in modo da ridurne la variabilità. Su questa
trasformata adatto dei modelli autoregressivi fino all'ordine massimo e dei
ad una soglia con l'ordine massimo di ciascun regime sempre uguali a . Una
prima idea riguardo la preferenza di selezione all'interno dei posso averla
osservando l'output del comando R, contenuto nella libreria tsDyn (vedi Di Narzo,
2009),

36
selectSETAR(loglynx,mL=4,mH=4,thDelay=1)
che mette a confronto i valori del criterio , ricavato sommando gli
dei due regimi dei modelli considerati, ottenuti al variare del numero di
parametri presenti in ciascun regime e del valore assunto dalla soglia.
Results for 1 threshold
thDelay mL mH th pooled-AIC
1 1 4 2 7.621685 147.6940
2 1 3 2 7.621685 149.0813
3 1 4 2 7.658700 149.2228
4 1 4 2 7.515345 149.5801
5 1 4 3 7.621685 149.6854
6 1 4 2 7.401231 150.1350
7 1 4 2 7.392032 150.2902
8 1 4 2 7.235619 150.5641
9 1 4 2 7.031741 150.8792
10 1 3 2 7.658700 150.8794
I risultati mettono in risalto come l' selezioni preferibilmente o
.
Nella figura sottostante è inoltre possibile vedere una rappresentazione grafica di tutti i
criteri pooled-AIC relativi ai diversi modelli appena presi in considerazione, al variare
della soglia.

37
Da questa immagine è evidente come in tutti i modelli, esclusi i e i
, il valore della soglia che minimizza il criterio di Akaike considerato sia
compreso grossomodo nel range[7.0;7.8].
In ogni caso, essendo il campione preso in considerazione non molto ampio, sembra
opportuno calcolare tutti i criteri di informazione visti nelle simulazioni precedenti,
essendo nota la tendenza dell' all'overfitting in presenza di poche osservazioni.
Procedo dunque con l'adattamento ai dati dei modelli indicati in precedenza e, per
ognuno, stimo i 4 criteri al variare del tipo di varianza e del metodo di stima. Quanto
ricavato è riportato nelle tabelle seguenti che, al contrario delle simulazioni fatte nei
paragrafi precedenti, conterranno i criteri ottenuti anziché le rispettive frequenze di
selezione, essendo una la serie considerata.
AR(1) 61,767 63,785 -51,497 -49,479 61,875 63,893 -51,788 -49,771
AR(2) -28,939 -25,899 -139,47 -136,43 -28,721 -25,681 -140,76 -137,72
AR(3) -28,569 -24,497 -136,36 -132,29 -28,202 -24,130 -138,53 -134,45
AR(4) -31,501 -26,388 -136,56 -131,44 -30,945 -25,832 -139,56 -134,44
SETAR(1,1) -10,946 -9,919 -72,374 -71,347 -10,161 -9,134 -73,814 -72,787
SETAR(1,2) -16,230 -14,671 -68,070 -66,511 -15,258 -13,699 -69,805 -68,246
SETAR(1,3) -17,125 -14,422 -85,023 -82,320 -15,881 -13,178 -87,713 -85,011
SETAR(1,4) -18,743 -15,081 -87,819 -84,156 -17,206 -13,543 -91,183 -87,520
SETAR(2,1) -32,202 -30,406 -96,157 -94,361 -31,213 -29,417 -98,176 -96,381
SETAR(2,2) -33,271 -31,197 -92,576 -90,503 -32,065 -29,991 -94,644 -92,571
SETAR(2,3) -31,757 -29,326 -90,356 -87,924 -30,266 -27,835 -92,509 -90,077
SETAR(2,4) -30,464 -27,649 -88,336 -85,521 -28,623 -25,808 -90,553 -87,739
SETAR(3,1) -34,181 -31,589 -96,091 -93,500 -32,955 -30,364 -98,653 -96,061
SETAR(3,2) -36,300 -33,471 -93,730 -90,901 -34,856 -32,027 -96,296 -93,467
SETAR(3,3) -35,690 -32,522 -92,644 -89,476 -33,960 -30,792 -95,296 -92,128
SETAR(3,4) -34,378 -30,824 -90,615 -87,061 -32,299 -28,744 -93,330 -89,775
SETAR(4,1) -34,752 -31,343 -94,646 -91,238 -33,245 -29,836 -97,734 -94,325
SETAR(4,2) -36,316 -32,714 -91,884 -88,282 -34,589 -30,986 -94,931 -91,328
SETAR(4,3) -35,701 -31,753 -90,786 -86,838 -33,688 -29,740 -93,922 -89,973
SETAR(4,4) -35,266 -30,960 -89,868 -85,562 -32,901 -28,596 -93,066 -88,760

38
AR(1) 61,767 63,785 -51,497 -49,479 61,875 63,893 -51,788 -49,771
AR(2) -28,939 -25,899 -139,47 -136,43 -28,721 -25,681 -140,76 -137,72
AR(3) -28,569 -24,497 -136,36 -132,29 -28,202 -24,130 -138,53 -134,45
AR(4) -31,501 -26,388 -136,56 -131,44 -30,945 -25,832 -139,56 -134,44
SETAR(1,1) -5,819 -4,790 -58,941 -57,912 -10,161 -9,134 -60,144 -59,116
SETAR(1,2) -16,284 -14,734 -68,125 -66,575 -15,315 -13,765 -69,854 -68,304
SETAR(1,3) -17,045 -14,952 -68,042 -65,949 -15,467 -13,375 -69,612 -67,520
SETAR(1,4) -19,743 -17,091 -69,589 -66,937 -17,814 -15,162 -71,342 -68,691
SETAR(2,1) -19,730 -18,181 -71,779 -70,231 -18,532 -16,983 -73,225 -71,676
SETAR(2,2) -24,146 -22,066 -75,309 -73,229 -22,689 -20,609 -77,064 -74,984
SETAR(2,3) -22,617 -19,964 -72,994 -70,340 -20,702 -18,049 -74,898 -72,245
SETAR(2,4) -21,415 -18,160 -70,996 -67,740 -18,947 -15,691 -73,014 -69,759
SETAR(3,1) -21,159 -19,067 -71,984 -69,892 -19,808 -17,716 -73,808 -71,716
SETAR(3,2) -26,447 -23,817 -76,415 -73,785 -24,827 -22,197 -78,539 -75,909
SETAR(3,3) -25,452 -22,267 -74,643 -71,459 -23,364 -20,180 -76,907 -73,723
SETAR(3,4) -24,248 -20,457 -72,646 -68,855 -21,607 -17,816 -75,023 -71,232
SETAR(4,1) -21,637 -18,984 -71,242 -68,589 -20,101 -17,448 -73,434 -70,781
SETAR(4,2) -26,590 -23,393 -75,367 -72,169 -24,773 -21,575 -77,849 -74,652
SETAR(4,3) -25,594 -21,838 -73,590 -69,833 -23,316 -19,559 -76,217 -72,460
SETAR(4,4) -24,890 -20,556 -72,105 -67,770 -22,043 -17,709 -74,832 -70,498
AR(1) 61,767 63,785 -51,497 -49,479 61,875 63,893 -51,788 -49,771
AR(2) -28,939 -25,899 -139,47 -136,43 -28,721 -25,681 -140,76 -137,72
AR(3) -28,569 -24,497 -136,36 -132,29 -28,202 -24,130 -138,53 -134,45
AR(4) -31,501 -26,388 -136,56 -131,44 -30,945 -25,832 -139,56 -134,44
SETAR(1,1) -18,403 -15,363 -123,46 -120,42 -17,847 -14,807 -126,46 -123,42
SETAR(1,2) -40,477 -36,405 -142,80 -138,72 -39,692 -35,620 -146,62 -142,54
SETAR(1,3) -38,815 -33,702 -138,40 -133,28 -37,758 -32,645 -143,03 -137,91
SETAR(1,4) -41,891 -35,727 -138,74 -132,57 -40,519 -34,355 -144,16 -138,00
SETAR(2,1) -43,261 -39,189 -145,58 -141,51 -42,476 -38,404 -149,40 -145,33
SETAR(2,2) -54,215 -49,102 -153,80 -148,68 -53,158 -48,045 -158,42 -153,31
SETAR(2,3) -52,295 -46,131 -149,14 -142,98 -50,923 -44,760 -154,57 -148,40
SETAR(2,4) -51,190 -43,966 -145,30 -138,08 -49,459 -42,235 -151,52 -144,29
SETAR(3,1) -46,198 -41,085 -145,78 -140,67 -45,142 -40,029 -150,41 -145,30
SETAR(3,2) -58,831 -52,668 -155,68 -149,51 -57,460 -51,296 -161,10 -154,94
SETAR(3,3) -56,843 -49,619 -150,95 -143,73 -55,113 -47,888 -157,17 -149,95
SETAR(3,4) -55,802 -47,507 -147,18 -138,88 -53,666 -45,371 -154,18 -145,89
SETAR(4,1) -47,525 -41,361 -144,37 -138,21 -46,153 -39,990 -149,80 -143,63
SETAR(4,2) -59,722 -52,498 -153,83 -146,61 -57,991 -50,767 -160,05 -152,83
SETAR(4,3) -57,735 -49,440 -149,11 -140,81 -55,599 -47,304 -156,11 -147,82
SETAR(4,4) -56,554 -47,179 -145,19 -135,82 -53,966 -44,591 -152,98 -143,60

39
Ciò che risulta da subito evidente è la tendenza di e nelle loro versioni
Regime ed Equally Weighted a scegliere modelli autoregressivi del tipo . In ogni
caso, nella variante Overall questi selezionano sempre modelli a due regimi,
con 3 e 2 parametri. Dalle simulazioni effettuate in precedenza abbiamo potuto
constatare come questi criteri possano portare a due tipi di errori quando la numerosità
campionaria è ridotta: la selezione erronea di modelli lineari quando il vero processo
generatore dei dati è non lineare, oppure la selezione di un numero troppo ristretto di
parametri. Guardando invece ed , che sappiamo avere problemi
opposti a quelli di e , notiamo invece che nella loro versione Equally Weighted
selezionano un , il che porterebbe a pensare che il modello più adeguato possa
essere un autoregressivo di ordine 2 o 4. Tuttavia, negli esperimenti Monte Carlo
eseguiti in precedenza, si era notata l'inadeguatezza dei criteri Equally Weighted Akaike
e Akaike corretto in entrambe le loro declinazioni a varianza corretta o meno, mentre si
era ritenuta buona la performance degli Overall.
Di conseguenza ciò ci porterebbe a scartare l'ipotesi di linearità, a favore della scelta di
un modello ad una soglia.
Per quanto riguarda la scelta del numero di parametri, avevamo individuato che i criteri
più affidabili a questo scopo fossero, ancora una volta, gli Equally Weighted ed Overall
, , ed , ovvero tutti i criteri ad esclusione degli con
varianza distorta.
Come abbiamo visto, però, le loro versioni pesate propendono per modelli
autoregressivi; per questo motivo rivolgeremo la nostra attenzione agli Overall. I
risultati ci mostrano come tutti i criteri di informazione ci portino a selezionare un
con parametri nel primo regime e nel secondo.
Dall'adattamento in R del modello alla serie trasformata 'loglynx'
possiamo inoltre raccogliere alcune informazioni più dettagliate. In particolar modo si
può vedere che il valore stimato della soglia è pari a 7.622 e che il modello scelto sarà:

40
> setar32<-setar(loglynx,mL=3,mH=2,nthresh=1,thDelay=1)
> summary(setar32)
Non linear autoregressive model
SETAR model ( 2 regimes)
Coefficients:
Low regime:
const.L phiL.1 phiL.2 phiL.3
1.93665962 1.06542043 -0.08142838 -0.23475213
High regime:
const.H phiH.1 phiH.2
2.684105 1.599254 -1.011575
Threshold:
-Variable: Z(t) = + (0) X(t)+ (1)X(t-1)+ (0)X(t-2)
-Value: 7.622
Proportion of points in low regime: 69.37% High regime: 30.63%
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.254948 -0.250815 0.038108 0.263253 1.073084
Fit:
residuals variance = 0.1908, AIC = -173, MAPE = 5.478%
Coefficient(s):
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
const.L 1.936660 0.398435 4.8607 4.032e-06 ***
phiL.1 1.065420 0.101578 10.4887 < 2.2e-16 ***
phiL.2 -0.081428 0.157159 -0.5181 0.6054402
phiL.3 -0.234752 0.093336 -2.5151 0.0133855 *
const.H 2.684105 1.969865 1.3626 0.1758751
phiH.1 1.599254 0.106342 15.0387 < 2.2e-16 ***
phiH.2 -1.011575 0.258631 -3.9113 0.0001615 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Threshold
Variable: Z(t) = + (0) X(t) + (1) X(t-1)+ (0) X(t-2)
Value: 7.622
Si noti inoltre che il valore dell’ riportato in output ,
> AIC(setar32)
[1] -172.8313
equivale a quello riportato nella tabella precedente, l'Overall , a cui si è
sottratto
-58.831-114
[1] -172.831
Questa differenza, come già detto, è ininfluente ai fini del confronto tra i criteri di
informazione.

41
5. Conclusioni
In questo elaborato ho cercato di capire le caratteristiche di funzionamento dei criteri di
informazione nella discriminazione tra modelli lineari e non e, in secondo luogo, nella
selezione del corretto numero di parametri per i modelli selezionati ed eventualmente,
anche nella scelta della funzione di transizione e del numero di regimi. In particolare ho
soffermato la mia attenzione su due tipi di modelli non lineari, e ,
principalmente perché condividono un meccanismo di switch tra i regimi alquanto
simile. Dall'applicazione di tali modelli a diversi data set simulati da differenti processi,
lineari o meno, ho poi calcolato i criteri di informazione , , e , nelle
loro diverse declinazioni Regime Weighted, Equally Weighted ed Overall, dividendoli
per varianza dei residui corretta o distorta. Dagli esperimenti Monte Carlo condotti in
precedenza è emerso che la numerosità campionaria, la differenza di parametri nei
diversi regimi e la forma della funzione di transizione incidono sulla performance dei
criteri stessi. e , infatti, nei campioni più piccoli possono selezionare modelli
con meno parametri del dovuto o preferire modelli lineari a quelli non lineari mentre per
numerosità maggiori si comportano bene. Discorso opposto, invece, per il criterio
che con un numero esiguo di osservazioni tende a scegliere modelli non lineari a quelli
lineari. Anche il numero di parametri di ciascun regime influenza il funzionamento dei
criteri di informazione. Per esempio, in presenza di Self-Exciting con un numero
diverso di parametri in ogni regime i criteri saranno portati ad individuare più
facilmente la non linearità del modello generatore dei dati. Altro ruolo di grande
importanza è rivestito dal parametro di transizione che, variando, cambia il
comportamento assunto dai due modelli presi in considerazione, facendoli
convergere ad un modello autoregressivo qualora o facendo diventare
simile ad un o ancora simile ad un modello lineare per .
In questi casi estremi, a causa del minor numero di parametri e, di conseguenza, del
minor peso del termine di penalizzazione, i modelli e verranno preferiti agli
.
Nella tabella sottostante ho riassunto quanto visto nelle simulazioni condotte
precedentemente per numerosità campionarie ridotte, cioè quali criteri ho notato essere

42
preferibili nella determinazione di non linearità, numero di regimi, numero di parametri
e funzione di transizione. Nel caso di campioni vasti si è visto come tutti i criteri di
informazione Equally Weighted ed Overall siano adatti per tutte le applicazioni appena
elencate quindi non ho aggiunto questa casistica alla tabella.
PROBLEMA CRITERI UTILI
VARIANZA
RESIDUA VARIANTE
Non linearità BIC entrambe Overall
Equally Weighted
WIC entrambe Overall
Equally Weighted
AIC corretta Overall
AICc corretta Overall
Funzione di BIC entrambe Overall
transizione Equally Weighted
Equally Weighted
Equally Weighted
Ciò è valido quando il
parametro di transizione=1 Equally Weighted
Numero
Regimi 1-STEP AIC corretta Overall
BIC entrambe Equally Weighted
WIC entrambe Equally Weighted
Numero di BIC entrambe Overall
parametri Equally Weighted
Equally Weighted
Equally Weighted
Equally Weighted

43
Appendice
tabella 1
AR(1) 0 0 0,042 0,052 0 0 0,025 0,033
AR(2) 0 0 0,08 0,078 0 0 0,073 0,073
AR(3) 0 0 0,013 0,004 0 0 0,017 0,012
AR(4) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,002 0,001
SETAR(1,1) 0,115 0,163 0,122 0,171 0,139 0,196 0,107 0,153
SETAR(1,2) 0,211 0,3 0,37 0,401 0,269 0,322 0,359 0,414
SETAR(1,3) 0,093 0,09 0,073 0,064 0,099 0,09 0,095 0,069
SETAR(1,4) 0,063 0,042 0,025 0,017 0,05 0,035 0,034 0,022
SETAR(2,1) 0,052 0,059 0,041 0,051 0,062 0,06 0,042 0,051
SETAR(2,2) 0,09 0,091 0,077 0,059 0,096 0,09 0,076 0,07
SETAR(2,3) 0,042 0,03 0,025 0,019 0,036 0,026 0,026 0,02
SETAR(2,4) 0,033 0,018 0,013 0,006 0,022 0,018 0,015 0,006
SETAR(3,1) 0,026 0,024 0,008 0,009 0,026 0,02 0,013 0,011
SETAR(3,2) 0,082 0,072 0,04 0,03 0,074 0,06 0,049 0,023
SETAR(3,3) 0,032 0,022 0,011 0,007 0,024 0,016 0,012 0,007
SETAR(3,4) 0,028 0,018 0,008 0,002 0,022 0,01 0,008 0,005
SETAR(4,1) 0,025 0,016 0,008 0,006 0,016 0,015 0,009 0,008
SETAR(4,2) 0,062 0,035 0,035 0,021 0,039 0,028 0,029 0,018
SETAR(4,3) 0,021 0,012 0,007 0,002 0,013 0,01 0,007 0,004
SETAR(4,4) 0,025 0,008 0,001 0 0,013 0,004 0,002 0
AR(1) 0 0 0,041 0,055 0 0 0,034 0,042
AR(2) 0 0 0,097 0,093 0 0 0,104 0,101
AR(3) 0 0 0,016 0,005 0 0 0,026 0,015
AR(4) 0 0 0,002 0,002 0 0 0,004 0,002
SETAR(1,1) 0,019 0,063 0,084 0,137 0,046 0,108 0,06 0,112
SETAR(1,2) 0,297 0,483 0,458 0,522 0,43 0,564 0,449 0,524
SETAR(1,3) 0,13 0,136 0,084 0,061 0,153 0,119 0,102 0,076
SETAR(1,4) 0,084 0,048 0,024 0,01 0,067 0,031 0,03 0,017
SETAR(2,1) 0,019 0,037 0,022 0,031 0,042 0,042 0,024 0,028

44
SETAR(2,2) 0,091 0,077 0,063 0,036 0,087 0,062 0,067 0,041
SETAR(2,3) 0,049 0,024 0,019 0,012 0,03 0,018 0,021 0,012
SETAR(2,4) 0,039 0,013 0,008 0,002 0,016 0,005 0,008 0,004
SETAR(3,1) 0,009 0,01 0,007 0,005 0,014 0,011 0,008 0,004
SETAR(3,2) 0,078 0,046 0,032 0,016 0,055 0,02 0,032 0,011
SETAR(3,3) 0,038 0,011 0,004 0,002 0,011 0,004 0,005 0,002
SETAR(3,4) 0,027 0,009 0,005 0,001 0,006 0,001 0,004 0,001
SETAR(4,1) 0,009 0,007 0,007 0,003 0,008 0,006 0,005 0,003
SETAR(4,2) 0,064 0,023 0,022 0,006 0,023 0,008 0,012 0,005
SETAR(4,3) 0,023 0,007 0,003 0 0,009 0,001 0,004 0
SETAR(4,4) 0,024 0,006 0,002 0,001 0,003 0 0,001 0
AR(1) 0 0,003 0,089 0,142 0 0,007 0,03 0,063
AR(2) 0,003 0,014 0,228 0,244 0,009 0,026 0,129 0,16
AR(3) 0,003 0,004 0,028 0,017 0,004 0,004 0,02 0,015
AR(4) 0 0,001 0,005 0,003 0,002 0,004 0,004 0,005
SETAR(1,1) 0,028 0,061 0,052 0,064 0,035 0,069 0,064 0,091
SETAR(1,2) 0,323 0,506 0,445 0,431 0,386 0,55 0,508 0,515
SETAR(1,3) 0,151 0,14 0,076 0,055 0,158 0,134 0,104 0,077
SETAR(1,4) 0,068 0,041 0,011 0,005 0,063 0,026 0,018 0,011
SETAR(2,1) 0,021 0,032 0,018 0,015 0,023 0,033 0,023 0,021
SETAR(2,2) 0,088 0,065 0,026 0,014 0,09 0,056 0,044 0,023
SETAR(2,3) 0,046 0,022 0,004 0,001 0,035 0,017 0,011 0,002
SETAR(2,4) 0,033 0,011 0,004 0 0,021 0,006 0,004 0,003
SETAR(3,1) 0,007 0,011 0,001 0,001 0,012 0,009 0,004 0,001
SETAR(3,2) 0,076 0,041 0,009 0,006 0,06 0,029 0,02 0,009
SETAR(3,3) 0,033 0,012 0,001 0,001 0,024 0,004 0,002 0,001
SETAR(3,4) 0,023 0,006 0,001 0 0,012 0,004 0,002 0,001
SETAR(4,1) 0,009 0,007 0,001 0,001 0,007 0,009 0,005 0,001
SETAR(4,2) 0,052 0,018 0,001 0 0,042 0,01 0,008 0,001
SETAR(4,3) 0,019 0,004 0 0 0,008 0,002 0 0
SETAR(4,4) 0,017 0,001 0 0 0,009 0,001 0 0

45
AR(1) 0 0 0,003 0,004 0 0 0,001 0,001
AR(2) 0 0 0,023 0,022 0 0 0,018 0,019
AR(3) 0 0 0,003 0,003 0 0 0,003 0,003
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,137 0,161 0,022 0,035 0,141 0,162 0,019 0,024
SETAR(1,2) 0,194 0,299 0,599 0,651 0,211 0,314 0,526 0,616
SETAR(1,3) 0,166 0,145 0,135 0,112 0,175 0,146 0,168 0,134
SETAR(1,4) 0,067 0,039 0,008 0,004 0,06 0,038 0,022 0,007
SETAR(2,1) 0,057 0,062 0,019 0,019 0,056 0,064 0,019 0,022
SETAR(2,2) 0,066 0,068 0,087 0,083 0,072 0,075 0,089 0,086
SETAR(2,3) 0,059 0,048 0,027 0,011 0,053 0,044 0,034 0,023
SETAR(2,4) 0,03 0,019 0,007 0,005 0,026 0,017 0,01 0,007
SETAR(3,1) 0,024 0,017 0,006 0,005 0,025 0,015 0,007 0,006
SETAR(3,2) 0,064 0,061 0,033 0,024 0,06 0,056 0,042 0,028
SETAR(3,3) 0,029 0,015 0,005 0,005 0,028 0,011 0,008 0,005
SETAR(3,4) 0,007 0,005 0,002 0,001 0,006 0,003 0,002 0,002
SETAR(4,1) 0,02 0,014 0 0 0,021 0,014 0 0
SETAR(4,2) 0,04 0,023 0,017 0,012 0,034 0,023 0,025 0,013
SETAR(4,3) 0,031 0,019 0,003 0,003 0,026 0,013 0,005 0,003
SETAR(4,4) 0,009 0,005 0,001 0,001 0,006 0,005 0,002 0,001
AR(1) 0 0 0,002 0,003 0 0 0,001 0,002
AR(2) 0 0 0,028 0,026 0 0 0,025 0,022
AR(3) 0 0 0,005 0,005 0 0 0,008 0,005
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,001 0,001 0,003 0,007 0,001 0,001 0,001 0,005
SETAR(1,2) 0,288 0,492 0,711 0,792 0,326 0,522 0,626 0,742
SETAR(1,3) 0,291 0,28 0,163 0,12 0,315 0,289 0,205 0,154
SETAR(1,4) 0,089 0,053 0,005 0,003 0,087 0,047 0,02 0,004
SETAR(2,1) 0 0 0,001 0,002 0 0 0 0,001
SETAR(2,2) 0,059 0,051 0,039 0,025 0,062 0,054 0,05 0,034
SETAR(2,3) 0,062 0,039 0,017 0,007 0,05 0,03 0,024 0,014
SETAR(2,4) 0,034 0,013 0,001 0 0,031 0,012 0,002 0

46
SETAR(3,1) 0 0 0,001 0 0 0,001 0,001 0,001
SETAR(3,2) 0,056 0,037 0,019 0,007 0,049 0,029 0,024 0,013
SETAR(3,3) 0,044 0,017 0,002 0,002 0,034 0,008 0,005 0,002
SETAR(3,4) 0,011 0,002 0 0 0,007 0 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,037 0,011 0,003 0,001 0,025 0,005 0,008 0,001
SETAR(4,3) 0,021 0,004 0 0 0,01 0,002 0 0
SETAR(4,4) 0,007 0 0 0 0,003 0 0 0
AR(1) 0 0 0,002 0,005 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0,028 0,033 0 0 0,008 0,015
AR(3) 0 0 0,007 0,005 0 0 0,005 0,004
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0,001 0,002 0,003 0 0,001 0,002 0,003
SETAR(1,2) 0,298 0,495 0,774 0,817 0,318 0,525 0,711 0,792
SETAR(1,3) 0,297 0,298 0,147 0,111 0,306 0,286 0,194 0,145
SETAR(1,4) 0,092 0,059 0,005 0,003 0,087 0,054 0,017 0,006
SETAR(2,1) 0 0 0,002 0,003 0 0 0,001 0,002
SETAR(2,2) 0,055 0,046 0,015 0,013 0,055 0,045 0,03 0,014
SETAR(2,3) 0,068 0,036 0,01 0,003 0,064 0,033 0,017 0,01
SETAR(2,4) 0,027 0,01 0 0 0,024 0,01 0 0
SETAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(3,2) 0,051 0,031 0,007 0,003 0,053 0,026 0,011 0,007
SETAR(3,3) 0,044 0,013 0,001 0,001 0,038 0,01 0,003 0,001
SETAR(3,4) 0,011 0,001 0 0 0,009 0,001 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,033 0,008 0 0 0,027 0,007 0,001 0,001
SETAR(4,3) 0,019 0,002 0 0 0,015 0,002 0 0
SETAR(4,4) 0,005 0 0 0 0,004 0 0 0

47
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0,001 0,001 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,126 0,142 0,002 0,003 0,127 0,143 0,001 0,002
SETAR(1,2) 0,132 0,209 0,557 0,632 0,139 0,218 0,48 0,556
SETAR(1,3) 0,265 0,286 0,306 0,251 0,272 0,283 0,353 0,308
SETAR(1,4) 0,065 0,039 0,008 0,005 0,063 0,038 0,015 0,008
SETAR(2,1) 0,045 0,053 0,006 0,007 0,046 0,053 0,005 0,007
SETAR(2,2) 0,054 0,056 0,058 0,055 0,054 0,056 0,061 0,057
SETAR(2,3) 0,076 0,062 0,029 0,021 0,073 0,061 0,038 0,028
SETAR(2,4) 0,028 0,018 0,002 0,001 0,03 0,016 0,005 0,002
SETAR(3,1) 0,028 0,024 0 0 0,028 0,024 0 0
SETAR(3,2) 0,047 0,048 0,015 0,013 0,045 0,05 0,018 0,017
SETAR(3,3) 0,043 0,016 0,006 0,003 0,041 0,014 0,01 0,006
SETAR(3,4) 0,01 0,004 0,001 0 0,007 0,003 0,002 0,001
SETAR(4,1) 0,012 0,004 0 0 0,011 0,004 0 0
SETAR(4,2) 0,029 0,024 0,006 0,006 0,029 0,022 0,006 0,006
SETAR(4,3) 0,033 0,014 0,003 0,002 0,029 0,014 0,006 0,002
SETAR(4,4) 0,007 0,001 0 0 0,006 0,001 0 0
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0,003 0,003 0 0 0,002 0,002
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,2) 0,162 0,301 0,593 0,676 0,176 0,315 0,512 0,595
SETAR(1,3) 0,435 0,488 0,353 0,293 0,446 0,488 0,398 0,354
SETAR(1,4) 0,101 0,06 0,01 0,005 0,102 0,06 0,016 0,01
SETAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(2,2) 0,031 0,024 0,024 0,014 0,03 0,022 0,029 0,023
SETAR(2,3) 0,091 0,065 0,009 0,006 0,089 0,061 0,022 0,009
SETAR(2,4) 0,024 0,01 0 0 0,023 0,008 0,003 0

48
SETAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(3,2) 0,024 0,016 0,004 0,003 0,02 0,017 0,008 0,004
SETAR(3,3) 0,058 0,019 0,002 0 0,055 0,016 0,006 0,001
SETAR(3,4) 0,015 0,006 0 0 0,011 0,004 0,001 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,011 0,007 0,002 0 0,01 0,006 0,002 0,002
SETAR(4,3) 0,044 0,004 0 0 0,034 0,003 0,001 0
SETAR(4,4) 0,004 0 0 0 0,004 0 0 0
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,2) 0,163 0,3 0,64 0,7 0,17 0,309 0,548 0,638
SETAR(1,3) 0,443 0,499 0,335 0,283 0,446 0,501 0,396 0,337
SETAR(1,4) 0,108 0,062 0,007 0,004 0,106 0,06 0,014 0,007
SETAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(2,2) 0,03 0,027 0,011 0,01 0,029 0,027 0,024 0,011
SETAR(2,3) 0,093 0,058 0,004 0,003 0,09 0,056 0,013 0,004
SETAR(2,4) 0,023 0,008 0 0 0,023 0,007 0 0
SETAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(3,2) 0,021 0,013 0,002 0 0,021 0,013 0,002 0,002
SETAR(3,3) 0,049 0,02 0 0 0,051 0,015 0,001 0
SETAR(3,4) 0,014 0,004 0 0 0,011 0,004 0,001 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,012 0,006 0,001 0 0,012 0,005 0,001 0,001
SETAR(4,3) 0,039 0,003 0 0 0,037 0,003 0 0
SETAR(4,4) 0,005 0 0 0 0,004 0 0 0

49
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,111 0,113 0 0 0,111 0,114 0 0
SETAR(1,2) 0,041 0,086 0,353 0,424 0,041 0,087 0,279 0,349
SETAR(1,3) 0,409 0,495 0,55 0,495 0,416 0,497 0,597 0,554
SETAR(1,4) 0,094 0,054 0,009 0,004 0,096 0,053 0,017 0,009
SETAR(2,1) 0,028 0,032 0 0 0,028 0,034 0 0
SETAR(2,2) 0,026 0,028 0,031 0,032 0,027 0,028 0,027 0,031
SETAR(2,3) 0,098 0,08 0,033 0,025 0,098 0,078 0,047 0,033
SETAR(2,4) 0,025 0,009 0,002 0,002 0,025 0,009 0,004 0,002
SETAR(3,1) 0,014 0,01 0,001 0,001 0,014 0,008 0,001 0,001
SETAR(3,2) 0,014 0,014 0,006 0,005 0,014 0,015 0,008 0,006
SETAR(3,3) 0,055 0,035 0,007 0,007 0,054 0,034 0,009 0,007
SETAR(3,4) 0,019 0,007 0 0 0,015 0,007 0 0
SETAR(4,1) 0,003 0,003 0 0 0,003 0,003 0 0
SETAR(4,2) 0,018 0,015 0,005 0,004 0,016 0,015 0,008 0,005
SETAR(4,3) 0,037 0,012 0,002 0,001 0,035 0,011 0,002 0,002
SETAR(4,4) 0,008 0,007 0,001 0 0,007 0,007 0,001 0,001
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,2) 0,047 0,101 0,368 0,442 0,047 0,103 0,282 0,363
SETAR(1,3) 0,556 0,691 0,591 0,534 0,572 0,695 0,643 0,596
SETAR(1,4) 0,124 0,07 0,007 0,002 0,125 0,069 0,015 0,007
SETAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(2,2) 0,009 0,008 0,009 0,009 0,009 0,008 0,012 0,009
SETAR(2,3) 0,103 0,076 0,017 0,011 0,102 0,074 0,032 0,017
SETAR(2,4) 0,022 0,006 0,001 0 0,024 0,005 0,002 0,001

50
SETAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(3,2) 0,002 0,003 0,004 0,001 0,002 0,004 0,007 0,004
SETAR(3,3) 0,059 0,027 0,003 0,001 0,055 0,026 0,005 0,003
SETAR(3,4) 0,019 0,003 0 0 0,014 0,002 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,004 0,001 0 0 0,004 0,001 0,002 0
SETAR(4,3) 0,047 0,011 0 0 0,04 0,01 0 0
SETAR(4,4) 0,008 0,003 0 0 0,006 0,003 0 0
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,2) 0,044 0,102 0,4 0,483 0,045 0,104 0,32 0,391
SETAR(1,3) 0,566 0,692 0,574 0,503 0,572 0,696 0,639 0,581
SETAR(1,4) 0,122 0,07 0,005 0,002 0,12 0,068 0,011 0,007
SETAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(2,2) 0,011 0,007 0,008 0,005 0,011 0,007 0,006 0,008
SETAR(2,3) 0,1 0,077 0,011 0,006 0,099 0,075 0,019 0,011
SETAR(2,4) 0,023 0,006 0 0 0,022 0,006 0,001 0
SETAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(3,2) 0,002 0,003 0,001 0 0,002 0,003 0,003 0,001
SETAR(3,3) 0,058 0,024 0,001 0,001 0,057 0,022 0,001 0,001
SETAR(3,4) 0,019 0,003 0 0 0,019 0,003 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,004 0,001 0 0 0,004 0,001 0 0
SETAR(4,3) 0,045 0,012 0 0 0,043 0,012 0 0
SETAR(4,4) 0,006 0,003 0 0 0,006 0,003 0 0

51
tabella 2
AR(1) 0 0 0,154 0,188 0 0 0,116 0,144
AR(2) 0 0 0,091 0,073 0 0 0,099 0,083
AR(3) 0 0 0,005 0,004 0 0 0,01 0,005
AR(4) 0 0 0,003 0,002 0 0 0,003 0,002
SETAR(1,1) 0,173 0,25 0,165 0,232 0,228 0,292 0,159 0,225
SETAR(1,2) 0,153 0,19 0,189 0,212 0,178 0,2 0,195 0,222
SETAR(1,3) 0,078 0,077 0,058 0,042 0,075 0,072 0,054 0,037
SETAR(1,4) 0,074 0,057 0,048 0,028 0,055 0,05 0,036 0,021
SETAR(2,1) 0,092 0,117 0,085 0,093 0,113 0,125 0,108 0,11
SETAR(2,2) 0,079 0,07 0,076 0,061 0,077 0,066 0,081 0,07
SETAR(2,3) 0,054 0,044 0,029 0,013 0,045 0,032 0,031 0,015
SETAR(2,4) 0,04 0,026 0,02 0,008 0,031 0,017 0,019 0,006
SETAR(3,1) 0,051 0,052 0,029 0,022 0,051 0,046 0,032 0,026
SETAR(3,2) 0,037 0,024 0,016 0,004 0,033 0,023 0,019 0,011
SETAR(3,3) 0,022 0,01 0,002 0,002 0,015 0,006 0,003 0,002
SETAR(3,4) 0,019 0,008 0 0 0,009 0,005 0,003 0
SETAR(4,1) 0,046 0,036 0,013 0,011 0,041 0,033 0,014 0,013
SETAR(4,2) 0,038 0,023 0,013 0,003 0,027 0,019 0,014 0,006
SETAR(4,3) 0,025 0,01 0,002 0 0,015 0,008 0,001 0
SETAR(4,4) 0,019 0,006 0,002 0,002 0,007 0,006 0,003 0,002
AR(1) 0 0 0,164 0,194 0 0 0,147 0,176
AR(2) 0 0 0,103 0,078 0 0 0,122 0,102
AR(3) 0 0 0,006 0,005 0 0 0,011 0,006
AR(4) 0 0 0,004 0,003 0 0 0,005 0,003
SETAR(1,1) 0,081 0,204 0,155 0,249 0,185 0,324 0,156 0,258
SETAR(1,2) 0,164 0,233 0,194 0,208 0,223 0,253 0,193 0,207
SETAR(1,3) 0,073 0,072 0,05 0,033 0,069 0,051 0,047 0,027
SETAR(1,4) 0,065 0,035 0,032 0,01 0,039 0,022 0,022 0,007

52
SETAR(2,1) 0,086 0,135 0,082 0,096 0,137 0,148 0,098 0,095
SETAR(2,2) 0,134 0,127 0,103 0,076 0,127 0,095 0,102 0,081
SETAR(2,3) 0,07 0,039 0,035 0,015 0,043 0,024 0,031 0,014
SETAR(2,4) 0,052 0,023 0,023 0,01 0,02 0,007 0,015 0,005
SETAR(3,1) 0,051 0,042 0,025 0,016 0,045 0,032 0,018 0,011
SETAR(3,2) 0,045 0,029 0,008 0,004 0,038 0,019 0,015 0,005
SETAR(3,3) 0,029 0,014 0,003 0,001 0,014 0,003 0,004 0,001
SETAR(3,4) 0,027 0,006 0,001 0 0,005 0,001 0,001 0
SETAR(4,1) 0,032 0,016 0,006 0,002 0,023 0,015 0,003 0,002
SETAR(4,2) 0,053 0,019 0,004 0 0,026 0,006 0,008 0
SETAR(4,3) 0,019 0,005 0,001 0 0,003 0 0,002 0
SETAR(4,4) 0,019 0,001 0,001 0 0,003 0 0 0
AR(1) 0,01 0,039 0,344 0,467 0,019 0,051 0,176 0,29
AR(2) 0,014 0,042 0,24 0,23 0,027 0,053 0,194 0,194
AR(3) 0,005 0,004 0,009 0,006 0,006 0,006 0,012 0,005
AR(4) 0,001 0,001 0,004 0,002 0,002 0,001 0,006 0,003
SETAR(1,1) 0,09 0,194 0,113 0,106 0,119 0,222 0,145 0,172
SETAR(1,2) 0,172 0,236 0,147 0,107 0,202 0,249 0,197 0,173
SETAR(1,3) 0,065 0,059 0,016 0,008 0,058 0,049 0,036 0,017
SETAR(1,4) 0,053 0,028 0,002 0 0,045 0,022 0,012 0,001
SETAR(2,1) 0,086 0,119 0,057 0,044 0,105 0,119 0,092 0,072
SETAR(2,2) 0,15 0,124 0,049 0,025 0,152 0,116 0,077 0,054
SETAR(2,3) 0,069 0,042 0,011 0,003 0,06 0,033 0,019 0,007
SETAR(2,4) 0,051 0,018 0 0 0,033 0,013 0,004 0,001
SETAR(3,1) 0,043 0,03 0,004 0,002 0,037 0,028 0,014 0,006
SETAR(3,2) 0,045 0,023 0,003 0 0,042 0,014 0,008 0,003
SETAR(3,3) 0,024 0,009 0,001 0 0,019 0,005 0,003 0,001
SETAR(3,4) 0,022 0 0 0 0,011 0 0 0
SETAR(4,1) 0,024 0,013 0 0 0,02 0,007 0,002 0,001
SETAR(4,2) 0,045 0,011 0 0 0,026 0,009 0,002 0
SETAR(4,3) 0,018 0,008 0 0 0,014 0,003 0,001 0
SETAR(4,4) 0,013 0 0 0 0,003 0 0 0

53
AR(1) 0 0 0,035 0,043 0 0 0,028 0,031
AR(2) 0 0 0,04 0,034 0 0 0,039 0,032
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
SETAR(1,1) 0,187 0,228 0,146 0,181 0,202 0,233 0,127 0,159
SETAR(1,2) 0,189 0,225 0,208 0,23 0,193 0,229 0,181 0,213
SETAR(1,3) 0,044 0,046 0,034 0,038 0,044 0,048 0,03 0,035
SETAR(1,4) 0,048 0,042 0,029 0,022 0,043 0,041 0,029 0,024
SETAR(2,1) 0,074 0,094 0,148 0,153 0,086 0,101 0,14 0,154
SETAR(2,2) 0,139 0,148 0,24 0,216 0,149 0,15 0,269 0,246
SETAR(2,3) 0,074 0,06 0,049 0,034 0,065 0,05 0,062 0,042
SETAR(2,4) 0,05 0,026 0,027 0,018 0,039 0,026 0,035 0,021
SETAR(3,1) 0,031 0,028 0,013 0,008 0,028 0,028 0,014 0,014
SETAR(3,2) 0,045 0,036 0,015 0,011 0,049 0,035 0,02 0,014
SETAR(3,3) 0,022 0,011 0,002 0,002 0,019 0,01 0,002 0,002
SETAR(3,4) 0,01 0,003 0,002 0,001 0,006 0,002 0,003 0,001
SETAR(4,1) 0,034 0,025 0,004 0,003 0,031 0,022 0,006 0,004
SETAR(4,2) 0,025 0,013 0,006 0,005 0,021 0,012 0,012 0,006
SETAR(4,3) 0,014 0,005 0,001 0,001 0,012 0,005 0,001 0,001
SETAR(4,4) 0,014 0,01 0 0 0,013 0,008 0,001 0
AR(1) 0 0 0,047 0,054 0 0 0,034 0,042
AR(2) 0 0 0,07 0,062 0 0 0,076 0,067
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
SETAR(1,1) 0,034 0,079 0,116 0,178 0,054 0,099 0,093 0,144
SETAR(1,2) 0,082 0,15 0,198 0,222 0,097 0,163 0,176 0,216
SETAR(1,3) 0,017 0,02 0,024 0,015 0,019 0,021 0,02 0,019
SETAR(1,4) 0,025 0,02 0,015 0,008 0,018 0,016 0,017 0,01
SETAR(2,1) 0,059 0,116 0,128 0,131 0,087 0,141 0,113 0,125
SETAR(2,2) 0,334 0,377 0,316 0,286 0,369 0,378 0,338 0,319
SETAR(2,3) 0,125 0,094 0,051 0,031 0,103 0,072 0,068 0,036
SETAR(2,4) 0,104 0,039 0,015 0,003 0,062 0,021 0,026 0,004
SETAR(3,1) 0,019 0,014 0,004 0,001 0,019 0,014 0,007 0,003

54
SETAR(3,2) 0,068 0,044 0,01 0,006 0,069 0,042 0,017 0,011
SETAR(3,3) 0,027 0,006 0 0 0,019 0,002 0 0
SETAR(3,4) 0,015 0,005 0,001 0,001 0,01 0,004 0,001 0,001
SETAR(4,1) 0,014 0,006 0,001 0,001 0,015 0,005 0,002 0,001
SETAR(4,2) 0,052 0,025 0,002 0,001 0,043 0,018 0,008 0,001
SETAR(4,3) 0,015 0,002 0,001 0 0,009 0,002 0,002 0
SETAR(4,4) 0,01 0,003 0 0 0,007 0,002 0,001 0
AR(1) 0,002 0,002 0,077 0,109 0,002 0,002 0,045 0,059
AR(2) 0,003 0,009 0,129 0,137 0,005 0,012 0,089 0,101
AR(3) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
AR(4) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
SETAR(1,1) 0,031 0,076 0,125 0,165 0,039 0,077 0,104 0,147
SETAR(1,2) 0,075 0,149 0,221 0,22 0,081 0,157 0,201 0,233
SETAR(1,3) 0,02 0,019 0,009 0,005 0,019 0,019 0,017 0,009
SETAR(1,4) 0,021 0,02 0,005 0,001 0,021 0,02 0,008 0,005
SETAR(2,1) 0,066 0,104 0,116 0,111 0,069 0,108 0,122 0,124
SETAR(2,2) 0,352 0,398 0,281 0,228 0,377 0,405 0,341 0,284
SETAR(2,3) 0,129 0,09 0,021 0,016 0,124 0,084 0,039 0,021
SETAR(2,4) 0,088 0,038 0,004 0,001 0,074 0,036 0,008 0,004
SETAR(3,1) 0,02 0,014 0,002 0,001 0,016 0,014 0,006 0,003
SETAR(3,2) 0,067 0,041 0,006 0,004 0,061 0,038 0,01 0,006
SETAR(3,3) 0,027 0,004 0 0 0,025 0,003 0 0
SETAR(3,4) 0,015 0,004 0 0 0,013 0,003 0 0
SETAR(4,1) 0,012 0,007 0,001 0,001 0,012 0,003 0,001 0,001
SETAR(4,2) 0,051 0,023 0,001 0,001 0,047 0,017 0,007 0,001
SETAR(4,3) 0,009 0 0 0 0,006 0 0 0
SETAR(4,4) 0,012 0,002 0 0 0,009 0,002 0 0

55
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0,003 0,003 0 0 0,003 0,002
AR(3) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,231 0,256 0,051 0,065 0,234 0,257 0,037 0,051
SETAR(1,2) 0,191 0,226 0,083 0,105 0,196 0,225 0,066 0,082
SETAR(1,3) 0,077 0,058 0,011 0,012 0,077 0,058 0,009 0,011
SETAR(1,4) 0,045 0,027 0,008 0,007 0,04 0,027 0,007 0,007
SETAR(2,1) 0,047 0,057 0,173 0,198 0,049 0,059 0,162 0,182
SETAR(2,2) 0,162 0,204 0,521 0,5 0,173 0,213 0,528 0,523
SETAR(2,3) 0,067 0,062 0,091 0,066 0,064 0,055 0,108 0,086
SETAR(2,4) 0,034 0,017 0,028 0,021 0,027 0,016 0,035 0,025
SETAR(3,1) 0,016 0,012 0,007 0,006 0,016 0,012 0,01 0,007
SETAR(3,2) 0,04 0,03 0,015 0,01 0,042 0,027 0,018 0,015
SETAR(3,3) 0,015 0,005 0,005 0,003 0,013 0,006 0,007 0,005
SETAR(3,4) 0,007 0,006 0 0 0,007 0,006 0,002 0
SETAR(4,1) 0,017 0,015 0,001 0,002 0,018 0,015 0,002 0,001
SETAR(4,2) 0,035 0,018 0,001 0 0,03 0,018 0,003 0,001
SETAR(4,3) 0,009 0,004 0,001 0,001 0,008 0,003 0,002 0,001
SETAR(4,4) 0,007 0,003 0 0 0,006 0,003 0 0
AR(1) 0 0 0,004 0,004 0 0 0,002 0,004
AR(2) 0 0 0,014 0,014 0 0 0,016 0,013
AR(3) 0 0 0,003 0,001 0 0 0,003 0,002
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,004 0,009 0,02 0,03 0,005 0,009 0,011 0,022
SETAR(1,2) 0,007 0,02 0,06 0,081 0,01 0,021 0,046 0,064
SETAR(1,3) 0,002 0,003 0,005 0,004 0,003 0,003 0,003 0,004
SETAR(1,4) 0,006 0,005 0,004 0,003 0,005 0,005 0,004 0,003
SETAR(2,1) 0,025 0,061 0,105 0,14 0,031 0,067 0,084 0,113
SETAR(2,2) 0,466 0,61 0,663 0,64 0,498 0,626 0,667 0,664
SETAR(2,3) 0,171 0,138 0,087 0,061 0,165 0,124 0,112 0,081
SETAR(2,4) 0,087 0,032 0,016 0,009 0,061 0,027 0,026 0,012
SETAR(3,1) 0,006 0,008 0,002 0,002 0,008 0,008 0,002 0,002

56
SETAR(3,2) 0,083 0,066 0,016 0,011 0,093 0,061 0,018 0,016
SETAR(3,3) 0,031 0,01 0,001 0 0,023 0,012 0,002 0
SETAR(3,4) 0,019 0,006 0 0 0,015 0,006 0,002 0
SETAR(4,1) 0,002 0,002 0 0 0,001 0,002 0 0
SETAR(4,2) 0,063 0,022 0 0 0,057 0,023 0,001 0
SETAR(4,3) 0,016 0,006 0 0 0,016 0,005 0,001 0
SETAR(4,4) 0,012 0,002 0 0 0,009 0,001 0 0
AR(1) 0 0 0,002 0,002 0 0 0,001 0,002
AR(2) 0 0 0,014 0,018 0 0 0,005 0,007
AR(3) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,002 0,006 0,029 0,048 0,002 0,006 0,023 0,028
SETAR(1,2) 0,009 0,019 0,081 0,118 0,011 0,02 0,058 0,082
SETAR(1,3) 0,002 0,007 0,007 0,005 0,002 0,007 0,004 0,007
SETAR(1,4) 0,008 0,006 0,003 0,002 0,007 0,007 0,004 0,003
SETAR(2,1) 0,02 0,045 0,129 0,15 0,02 0,05 0,095 0,131
SETAR(2,2) 0,463 0,617 0,679 0,622 0,48 0,623 0,711 0,683
SETAR(2,3) 0,179 0,151 0,04 0,027 0,179 0,15 0,07 0,041
SETAR(2,4) 0,087 0,034 0,002 0,001 0,085 0,031 0,008 0,002
SETAR(3,1) 0,006 0,009 0,002 0 0,007 0,008 0,003 0,002
SETAR(3,2) 0,082 0,054 0,011 0,006 0,082 0,051 0,017 0,011
SETAR(3,3) 0,033 0,011 0 0 0,028 0,008 0 0
SETAR(3,4) 0,021 0,008 0 0 0,021 0,008 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,063 0,025 0 0 0,055 0,023 0 0
SETAR(4,3) 0,016 0,007 0 0 0,015 0,007 0 0
SETAR(4,4) 0,009 0,001 0 0 0,006 0,001 0 0

57
CRITERIA
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0,23 0,237 0,005 0,008 0,23 0,238 0,004 0,005
SETAR(1,2) 0,225 0,247 0,012 0,015 0,228 0,249 0,01 0,012
SETAR(1,3) 0,05 0,042 0 0 0,049 0,04 0 0
SETAR(1,4) 0,053 0,033 0 0 0,051 0,032 0 0
SETAR(2,1) 0,031 0,034 0,13 0,141 0,031 0,034 0,118 0,13
SETAR(2,2) 0,17 0,257 0,691 0,709 0,179 0,26 0,662 0,697
SETAR(2,3) 0,083 0,067 0,118 0,094 0,081 0,065 0,137 0,112
SETAR(2,4) 0,034 0,017 0,027 0,022 0,03 0,016 0,043 0,026
SETAR(3,1) 0,007 0,007 0,003 0,003 0,007 0,007 0,003 0,003
SETAR(3,2) 0,036 0,024 0,008 0,005 0,037 0,024 0,012 0,008
SETAR(3,3) 0,012 0,006 0,003 0,001 0,014 0,006 0,005 0,004
SETAR(3,4) 0,011 0,005 0 0 0,01 0,005 0,001 0
SETAR(4,1) 0,004 0,003 0,002 0,001 0,004 0,003 0,002 0,002
SETAR(4,2) 0,036 0,015 0,001 0,001 0,036 0,015 0,002 0,001
SETAR(4,3) 0,015 0,006 0 0 0,01 0,006 0,001 0
SETAR(4,4) 0,003 0 0 0 0,003 0 0 0
CRITERIA
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001
SETAR(1,2) 0 0 0,006 0,008 0 0 0,003 0,006
SETAR(1,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(2,1) 0,001 0,003 0,022 0,037 0,001 0,005 0,013 0,023
SETAR(2,2) 0,481 0,686 0,846 0,879 0,509 0,695 0,812 0,856

58
SETAR(2,3) 0,215 0,173 0,103 0,067 0,205 0,169 0,133 0,094
SETAR(2,4) 0,085 0,038 0,01 0,003 0,075 0,033 0,02 0,008
SETAR(3,1) 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001 0 0
SETAR(3,2) 0,069 0,052 0,01 0,004 0,069 0,05 0,013 0,01
SETAR(3,3) 0,029 0,013 0 0 0,031 0,013 0,001 0
SETAR(3,4) 0,022 0,003 0 0 0,019 0,003 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,057 0,019 0 0 0,058 0,019 0,002 0
SETAR(4,3) 0,03 0,011 0,001 0 0,022 0,011 0,001 0,001
SETAR(4,4) 0,01 0,001 0 0 0,01 0,001 0 0
OVERALL INFORMATION
CRITERIA
AR(1) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(3) 0 0 0 0 0 0 0 0
AR(4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,1) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001
SETAR(1,2) 0 0 0,011 0,013 0 0 0,006 0,011
SETAR(1,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(1,4) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(2,1) 0,001 0,002 0,026 0,041 0,001 0,002 0,015 0,024
SETAR(2,2) 0,459 0,673 0,9 0,899 0,468 0,678 0,872 0,894
SETAR(2,3) 0,233 0,185 0,053 0,04 0,235 0,182 0,083 0,058
SETAR(2,4) 0,093 0,049 0,002 0,001 0,091 0,049 0,005 0,002
SETAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(3,2) 0,06 0,045 0,007 0,005 0,059 0,045 0,015 0,01
SETAR(3,3) 0,034 0,012 0 0 0,033 0,012 0,001 0
SETAR(3,4) 0,025 0,003 0 0 0,024 0,003 0 0
SETAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
SETAR(4,2) 0,059 0,019 0 0 0,056 0,017 0,002 0
SETAR(4,3) 0,025 0,011 0 0 0,022 0,011 0 0
SETAR(4,4) 0,011 0,001 0 0 0,011 0,001 0 0

59
tabella 3
FREQUENZE DI SELEZIONE DEI CRITERI DI INFORMAZIONE PER MODELLI LSTAR ED ESTAR.
DATI GENERATI DA UN MODELLO LSTAR(2,2) con n=100 e ϒ=1
LSTAR(1,1) 0,115 0,196 0,09 0,145 0,241 0,291 0,065 0,098
LSTAR(1,2) 0,061 0,052 0,031 0,026 0,022 0,021 0,016 0,012
LSTAR(1,3) 0,017 0,009 0,007 0,003 0,002 0,001 0 0
LSTAR(1,4) 0,007 0,005 0,002 0,001 0,005 0,005 0,001 0,001
LSTAR(2,1) 0,175 0,227 0,118 0,15 0,216 0,243 0,077 0,104
LSTAR(2,2) 0,168 0,203 0,258 0,249 0,183 0,188 0,268 0,273
LSTAR(2,3) 0,069 0,059 0,043 0,037 0,061 0,05 0,042 0,032
LSTAR(2,4) 0,089 0,049 0,031 0,016 0,06 0,035 0,038 0,025
LSTAR(3,1) 0,056 0,05 0,01 0,009 0,056 0,049 0,01 0,011
LSTAR(3,2) 0,023 0,018 0,016 0,009 0,018 0,012 0,013 0,011
LSTAR(3,3) 0,04 0,023 0,014 0,007 0,005 0,001 0,01 0,004
LSTAR(3,4) 0,014 0,006 0,003 0,001 0,001 0 0,004 0
LSTAR(4,1) 0,03 0,026 0,008 0,004 0,042 0,033 0,012 0,01
LSTAR(4,2) 0,013 0,006 0,004 0,001 0,009 0,002 0,007 0,008
LSTAR(4,3) 0,01 0,002 0,001 0 0,003 0 0,001 0,001
LSTAR(4,4) 0,038 0,008 0,004 0,001 0 0 0,004 0
ESTAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(1,2) 0,007 0,006 0,064 0,083 0,007 0,008 0,1 0,12
ESTAR(1,3) 0 0,001 0,005 0,003 0,001 0,001 0,009 0,009
ESTAR(1,4) 0 0 0 0 0 0 0,004 0
ESTAR(2,1) 0,007 0,008 0,031 0,048 0,012 0,012 0,074 0,088
ESTAR(2,2) 0,027 0,03 0,19 0,174 0,037 0,032 0,18 0,16
ESTAR(2,3) 0,004 0,002 0,013 0,005 0,003 0,002 0,018 0,011
ESTAR(2,4) 0,001 0,001 0,006 0,002 0,003 0,001 0,011 0,003
ESTAR(3,1) 0,004 0,005 0,008 0,008 0,004 0,006 0,012 0,009
ESTAR(3,2) 0,004 0,002 0,021 0,008 0,002 0,001 0,008 0,002
ESTAR(3,3) 0,006 0,003 0,01 0,003 0,001 0,001 0,008 0,004
ESTAR(3,4) 0 0 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002
ESTAR(4,1) 0,002 0,002 0,003 0,002 0,003 0,002 0,002 0,001
ESTAR(4,2) 0,007 0,001 0,008 0,004 0,001 0,001 0,002 0,001
ESTAR(4,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(4,4) 0,006 0 0 0 0 0 0,002 0

60
CRITERIA
LSTAR(1,1) 0,006 0,018 0,033 0,069 0,011 0,021 0,019 0,047
LSTAR(1,2) 0,006 0,01 0,025 0,025 0,008 0,009 0,013 0,011
LSTAR(1,3) 0,002 0,001 0,007 0,004 0,001 0,001 0 0
LSTAR(1,4) 0,002 0,001 0,005 0,001 0,002 0,002 0,002 0,001
LSTAR(2,1) 0,013 0,037 0,046 0,076 0,038 0,05 0,044 0,054
LSTAR(2,2) 0,247 0,318 0,286 0,297 0,303 0,337 0,34 0,345
LSTAR(2,3) 0,039 0,028 0,016 0,007 0,044 0,029 0,026 0,01
LSTAR(2,4) 0,038 0,021 0,005 0 0,032 0,015 0,013 0,003
LSTAR(3,1) 0,004 0,004 0,005 0,003 0,007 0,005 0,004 0,004
LSTAR(3,2) 0,036 0,022 0,032 0,017 0,02 0,014 0,015 0,011
LSTAR(3,3) 0,035 0,014 0,01 0,002 0,026 0,01 0,012 0,003
LSTAR(3,4) 0,008 0,001 0,005 0 0,003 0 0 0
LSTAR(4,1) 0,005 0,003 0,004 0,002 0,007 0,005 0,003 0,004
LSTAR(4,2) 0,023 0,009 0,012 0,003 0,011 0,006 0,006 0,001
LSTAR(4,3) 0,007 0,001 0 0 0,003 0 0 0
LSTAR(4,4) 0,021 0,004 0,001 0 0,008 0,001 0,002 0
ESTAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(1,2) 0,055 0,1 0,1 0,134 0,084 0,127 0,115 0,152
ESTAR(1,3) 0,009 0,007 0,005 0,005 0,015 0,014 0,009 0,009
ESTAR(1,4) 0,01 0,004 0,002 0,002 0,014 0,004 0,003 0,001
ESTAR(2,1) 0,019 0,061 0,034 0,052 0,079 0,117 0,091 0,101
ESTAR(2,2) 0,202 0,246 0,279 0,273 0,178 0,188 0,219 0,214
ESTAR(2,3) 0,042 0,029 0,025 0,009 0,024 0,016 0,021 0,011
ESTAR(2,4) 0,032 0,008 0,007 0,002 0,012 0,005 0,005 0,004
ESTAR(3,1) 0,008 0,005 0,007 0,002 0,009 0,006 0,008 0,006
ESTAR(3,2) 0,032 0,017 0,024 0,01 0,018 0,005 0,01 0,001
ESTAR(3,3) 0,025 0,017 0,006 0 0,02 0,006 0,011 0,002
ESTAR(3,4) 0,014 0,001 0 0 0,002 0,002 0,001 0,001
ESTAR(4,1) 0,002 0,001 0,004 0,002 0,004 0 0 0,001
ESTAR(4,2) 0,024 0,007 0,009 0,003 0,012 0,004 0,007 0,003
ESTAR(4,3) 0,01 0,001 0,002 0 0,001 0 0 0
ESTAR(4,4) 0,024 0,004 0,004 0 0,004 0,001 0,001 0

61
LSTAR(1,1) 0,003 0,021 0,06 0,087 0,007 0,027 0,042 0,068
LSTAR(1,2) 0,003 0,007 0,013 0,014 0,003 0,009 0,011 0,014
LSTAR(1,3) 0 0,003 0,002 0,002 0,002 0,003 0,003 0,002
LSTAR(1,4) 0,001 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(2,1) 0,009 0,031 0,054 0,068 0,019 0,035 0,038 0,057
LSTAR(2,2) 0,28 0,336 0,332 0,311 0,313 0,346 0,348 0,335
LSTAR(2,3) 0,044 0,027 0,009 0,005 0,036 0,021 0,018 0,008
LSTAR(2,4) 0,029 0,011 0,003 0,001 0,018 0,008 0,005 0,001
LSTAR(3,1) 0,007 0,005 0,004 0,004 0,008 0,006 0,005 0,004
LSTAR(3,2) 0,029 0,018 0,01 0,006 0,028 0,015 0,013 0,008
LSTAR(3,3) 0,026 0,011 0,001 0 0,019 0,008 0,005 0
LSTAR(3,4) 0,007 0,002 0 0 0,003 0,001 0 0
LSTAR(4,1) 0,004 0,003 0,001 0 0,003 0,003 0,003 0
LSTAR(4,2) 0,02 0,006 0,002 0 0,01 0,005 0,004 0
LSTAR(4,3) 0,006 0,002 0 0 0,003 0,001 0,001 0
LSTAR(4,4) 0,017 0,002 0 0 0,006 0,001 0 0
ESTAR(1,1) 0 0 0,001 0,001 0 0 0 0,001
ESTAR(1,2) 0,055 0,107 0,165 0,196 0,084 0,115 0,129 0,17
ESTAR(1,3) 0,009 0,007 0,007 0,004 0,008 0,007 0,007 0,006
ESTAR(1,4) 0,009 0,002 0,001 0 0,008 0,003 0,001 0
ESTAR(2,1) 0,023 0,049 0,063 0,064 0,033 0,058 0,061 0,064
ESTAR(2,2) 0,216 0,257 0,247 0,226 0,236 0,262 0,263 0,243
ESTAR(2,3) 0,039 0,029 0,012 0,004 0,038 0,021 0,014 0,008
ESTAR(2,4) 0,027 0,01 0,002 0,001 0,019 0,007 0,005 0,001
ESTAR(3,1) 0,007 0,005 0,002 0,002 0,005 0,004 0,003 0,002
ESTAR(3,2) 0,036 0,022 0,003 0,002 0,03 0,015 0,006 0,002
ESTAR(3,3) 0,034 0,015 0,001 0,001 0,03 0,012 0,008 0,001
ESTAR(3,4) 0,012 0 0 0 0,005 0 0 0
ESTAR(4,1) 0,002 0,001 0 0 0,001 0,001 0,001 0
ESTAR(4,2) 0,021 0,005 0,003 0,001 0,015 0,003 0,003 0,003
ESTAR(4,3) 0,007 0,001 0,001 0 0,003 0,001 0,001 0,001
ESTAR(4,4) 0,018 0,005 0,001 0 0,007 0,002 0,002 0,001

62
ESTAR.
DATI GENERATI DA UN MODELLO LSTAR(2,2) con n=250 e ϒ=1
CRITERIA
LSTAR(1,1) 0,09 0,137 0,025 0,033 0,123 0,159 0,012 0,023
LSTAR(1,2) 0,05 0,039 0,009 0,008 0,037 0,033 0,006 0,007
LSTAR(1,3) 0,019 0,007 0 0 0,007 0,003 0 0
LSTAR(1,4) 0,02 0,009 0 0 0,009 0,006 0 0
LSTAR(2,1) 0,233 0,272 0,043 0,048 0,247 0,276 0,031 0,039
LSTAR(2,2) 0,204 0,247 0,498 0,509 0,217 0,248 0,505 0,53
LSTAR(2,3) 0,089 0,073 0,049 0,042 0,09 0,073 0,058 0,046
LSTAR(2,4) 0,068 0,044 0,015 0,009 0,068 0,044 0,028 0,016
LSTAR(3,1) 0,069 0,049 0,002 0,002 0,062 0,047 0,002 0,002
LSTAR(3,2) 0,011 0,006 0,005 0,005 0,006 0,006 0,012 0,007
LSTAR(3,3) 0,019 0,018 0,006 0,004 0,017 0,017 0,009 0,003
LSTAR(3,4) 0,013 0,007 0,004 0,003 0,011 0,005 0,005 0,003
LSTAR(4,1) 0,055 0,038 0,001 0,001 0,05 0,037 0 0
LSTAR(4,2) 0,004 0,004 0 0 0,004 0,003 0 0
LSTAR(4,3) 0,003 0,002 0 0 0,002 0,002 0 0
LSTAR(4,4) 0,018 0,014 0,001 0 0,014 0,008 0,003 0
ESTAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(1,2) 0 0 0,006 0,012 0 0 0,006 0,01
ESTAR(1,3) 0 0 0,001 0 0 0 0,001 0,001
ESTAR(1,4) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(2,1) 0,003 0,003 0,005 0,006 0,003 0,003 0,004 0,007
ESTAR(2,2) 0,021 0,025 0,301 0,305 0,026 0,024 0,285 0,291
ESTAR(2,3) 0,004 0,003 0,007 0,005 0,004 0,003 0,012 0,005
ESTAR(2,4) 0 0 0,001 0,001 0 0 0,004 0,002
ESTAR(3,1) 0,001 0,001 0,001 0 0,001 0,001 0,001 0,001
ESTAR(3,2) 0 0 0,012 0,005 0 0 0,008 0,005
ESTAR(3,3) 0,002 0 0,001 0 0 0 0,002 0
ESTAR(3,4) 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001 0 0
ESTAR(4,1) 0,001 0 0,001 0,001 0 0 0 0
ESTAR(4,2) 0,001 0,001 0,006 0,001 0,001 0,001 0,006 0,002
ESTAR(4,3) 0,001 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(4,4) 0 0 0 0 0 0 0 0

63
CRITERIA
LSTAR(1,1) 0 0 0 0,002 0 0 0 0,001
LSTAR(1,2) 0 0 0,001 0,001 0 0 0 0,001
LSTAR(1,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(1,4) 0 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(2,1) 0 0 0,003 0,005 0 0 0,001 0,004
LSTAR(2,2) 0,409 0,543 0,518 0,538 0,493 0,596 0,555 0,584
LSTAR(2,3) 0,057 0,036 0,011 0,008 0,071 0,04 0,021 0,013
LSTAR(2,4) 0,028 0,011 0 0 0,035 0,018 0,002 0
LSTAR(3,1) 0,001 0,001 0 0 0,001 0,001 0 0
LSTAR(3,2) 0,046 0,027 0,021 0,014 0,032 0,021 0,026 0,02
LSTAR(3,3) 0,045 0,016 0,004 0,002 0,034 0,012 0,008 0,002
LSTAR(3,4) 0,018 0,007 0,001 0,001 0,012 0,003 0,002 0,001
LSTAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
LSTAR(4,2) 0,024 0,01 0,006 0,001 0,012 0,004 0,006 0,001
LSTAR(4,3) 0,008 0 0 0 0,003 0 0 0
LSTAR(4,4) 0,013 0,005 0 0 0,007 0,005 0,002 0
ESTAR(1,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(1,2) 0,002 0,004 0,007 0,012 0,004 0,007 0,005 0,01
ESTAR(1,3) 0 0,001 0,001 0 0,001 0,001 0,001 0,001
ESTAR(1,4) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(2,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(2,2) 0,215 0,283 0,395 0,405 0,217 0,257 0,339 0,348
ESTAR(2,3) 0,035 0,021 0,012 0,003 0,027 0,018 0,011 0,006
ESTAR(2,4) 0,026 0,013 0,002 0,001 0,025 0,01 0,005 0,003
ESTAR(3,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(3,2) 0,022 0,007 0,014 0,007 0,009 0,004 0,009 0,005
ESTAR(3,3) 0,017 0,005 0 0 0,004 0,001 0,001 0
ESTAR(3,4) 0,006 0,001 0 0 0,003 0 0 0
ESTAR(4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0
ESTAR(4,2) 0,018 0,005 0,004 0 0,008 0,002 0,005 0
ESTAR(4,3) 0,004 0,002 0 0 0 0 0,001 0
ESTAR(4,4) 0,006 0,002 0 0 0,002 0 0 0

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