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Diferenciación numérica a través de la Extrapolación de Richardson
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Extrapolación Richardson
1.
Extrapolación de Richardson Diferenciación
Numérica mediante la extrapolación de Richardson Ing. Eric Sira R.
2.
Extrapolación de Richardson De
la fórmula centrada de derivación 1 ℎ2 ℎ4 𝑓′ 𝑥0 = 2ℎ 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 − ℎ) − 6 𝑓 3 𝑥0 − 120 𝑓 5 𝑥0 − ⋯ ℎ2 ℎ4 𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑁(ℎ) − 𝑓 3 𝑥0 − 120 𝑓 5 𝑥0 − ⋯ (1) 6 Donde: 1 𝑁 ℎ = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ Sea ℎ = ℎ/2 en (1) ℎ ℎ2 ℎ4 𝑓′ 𝑥0 = 𝑁( ) − 𝑓 3 𝑥0 − 𝑓 5 𝑥0 − ⋯ (2) 2 24 1920 Ing. Eric Sira R.
3.
Extrapolación de Richardson Sumando
algebraicamente 4 veces la ecuación (2) y restando de la (1) ℎ4 𝑓′ 𝑥0 = 𝑁2 (ℎ) − 𝑓 5 𝑥0 − ⋯ 480 Donde: ℎ ℎ 𝑁1 2 − 𝑁1 ℎ 𝑁2 ℎ = 𝑁1 + 2 3 𝑁1 (ℎ) = 𝑁(ℎ) Forma General: ℎ ℎ 𝑁𝑗−1 2 − 𝑁𝑗−1 ℎ 𝑁𝑗 ℎ = 𝑁𝑗−1 + 2 4 𝑗−1 − 1 Ing. Eric Sira R.
4.
Extrapolación de Richardson EJEMPLO:
Determinar 𝑁3 (ℎ) si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 con 𝑥0 = 2 y ℎ = 0.2 Cálculo de la columna 𝑁1 (ℎ) de acuerdo a la expresión 1 𝑁1 ℎ = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ Paso 𝑥0 − ℎ 𝑥0 + ℎ 𝑓(𝑥0 − ℎ) 𝑓(𝑥0 + ℎ) 𝑁1 (ℎ) ℎ 0,20 1,80 2,20 10,8894 19,8550 22,4140 ℎ/2 0,10 1,90 2,10 12,7032 17,1490 22,2290 ℎ/4 0,05 1,95 2,05 13,7059 15,9242 22,1830 Ing. Eric Sira R.
5.
Extrapolación de Richardson Cálculo
de 𝑁2 (ℎ) ℎ ℎ 𝑁1 − 𝑁1 ℎ 2 𝑁2 ℎ = 𝑁1 + 2 3 𝑁1 (ℎ) 𝑁2 (ℎ) 22,2288 − 22,4142 ℎ 22,4142 𝑁2 ℎ = 22,2288 + 3 ℎ/2 22,2288 ℎ/4 22,1826 ℎ 22,1826 − 22,2288 𝑁2 = 22,1826 + 2 3 Ing. Eric Sira R.
6.
Extrapolación de Richardson Cálculo
de 𝑁3 (ℎ) ℎ ℎ 𝑁2 − 𝑁2 ℎ 2 𝑁3 ℎ = 𝑁2 + 2 15 𝑁1 (ℎ) 𝑁2 (ℎ) 𝑁3 (ℎ) ℎ 22,4142 22,1672 − 22,1670 𝑁3 ℎ = 22,1672 + ℎ/2 22,2288 22,1670 15 ℎ/4 22,1826 22,1672 Finalmente, 𝒇′(𝒙 𝟎 ) ≅ 𝑵 𝟑 𝒉 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟔𝟕𝟐 Ing. Eric Sira R.
7.
Extrapolación de Richardson Analíticamente,
𝑓′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 + 1 TABLA DE COMPARACIÓN 𝑓′(2) 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙 (%) 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 22,16716830 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑎𝑟𝑑𝑠𝑜𝑛 22,16716831 0,00000006 𝐹𝑜𝑟𝑚. 𝐶𝑡𝑟𝑎𝑙 3 𝑝𝑡𝑠. 22,18256486 0,06945660 Ing. Eric Sira R.
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