Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Silindirik koordinatlarda hareket
1. SĐLĐNDĐRĐK KOORDĐNATLARDA (POLAR)
HAREKET DENKLEMLERĐ
Bugünkü Konular:
Silindirik koordinat takımı
kullanılarak hareket
denklemlerinin yazılması; hız ve
ivme değerlerinin hesaplanması
2. Uygulamalar
Silindirik koordinat takımı 3
boyutlu hareketler için
kullanılabilir.
Şekilde gösterilen oyuncakta
aşağıya doğru kaymakta olan
çocuk için ivme ve hız
ifadelerini yazmak istersek
silindirik koordinatlarda
hareket denklemlerinin
yazılması gerekmektedir.
.
3. Uygulamalar
Polar (silindirik) koordinat takımı 2 boyutlu hareketlerde de
kullanılabilir.
Eğer cisim 2 boyutta hareket ediyorsa ve merkeze göre
konumu r sürekli değişiyorsa polar koordinat sistemi
kullanılarak hareket denklemi yazılmalıdır.
4. KONUM (POLAR KOORDĐNATLARDA)
Şekilde gösterilen P noktasının konumu yazılmak istenirse r = rur.
Burada ifade edilen r noktanın merkeze olan uzaklığı yani normal
(radyal) yöndeki merkezden noktaya doğru ölçülen mesafesi; θ ise
noktanın pozitif yatay düzlemle saat yönüne ters yönde ölçülen açısıdır.
5. HIZ (POLAR KOORDĐNATLARDA)
Hız ifadesi konum vektörü cinsinden yazılırsa:
v = dr/dt = d(rur)/dt
v = rur + r
dur
dt
.
Değişken değiştirme ile:
dur/dt = (dur/dθ)(dθ/dt)
Bu ifadelerden dur/dθ = uθ so dur/dt = θuθ
v = rur + rθuθ elde edilir
.
. .
.
.
. .
Hız vektörünün iki bileşeni vardır; normal
(radyal) doğrultudaki r ve hız vektörünün
dönüşünü gösteren rθ ifadesi. Hız ifadesini
hesaplamak için bu iki bileşenin
bileşkesinin alınması gerekmektedir.
v = (r θ )2 + ( r )2
6. Bu ifade sadeleştirmeler yapılırsa
a = (r – rθ2)ur + (rθ + 2rθ)uθ
elde edilir.
.. . .. . .
.
Đvme ifadesini hesaplamak için a = (r – rθ2)2 + (rθ + 2rθ)2
Burada (r – rθ2) ifadesi ivmenin radyal ar
(normal) yöndeki bileşenini verir.
(rθ + 2rθ) ifadesi ise aθ yönündeki bileşeni
(ivmenin dönüş değerini) vermektedir.
..
.. . .
. . ... ..
Đvme ifadesi daha önce şu şekilde tanımlanmıştı:
a = dv/dt = (d/dt)(rur + rθuθ)
. .
ĐVME (POLAR KOORDĐNATLARDA)
7. SĐLĐNDĐRĐK KOORDĐNATLAR
Eğer cisim uzayda bir eğri üzerinde
hareket ediyorsa, konum vektörü şu
şekilde yazılabilir
rP = rur + zuz
Bu ifadenin türevi alınır ve değişken
dönüştürme işlemi uygulanırsa
Hız : vP = rur + rθuθ + zuz
Đvme : aP = (r – rθ2)ur + (rθ + 2rθ)uθ + zuz
.. . .. . .
. . .
..
8. ÖRNEK
Verilenler: r = 5 cos(2θ) (m)
θ = 3t2 (rad/s)
θo = 0
Đstenenler: θ = 30° durumundaki hız ve
ivme değerlerini bulunuz.
Plan: θ = 30° için konum vektörünün
türev ifadeleri alınıp değişken
dönüştürme işlemleri yapılır.
...
.
0
tt
∫∫
0o=
Çözüm: θ = θ dt = 3t2 dt = t3
θ = 30°, θ = = t3. Buradan: t = 0.806 s.
θ = 3t2 = 3(0.806)2 = 1.95 rad/s
t
6
π
.
.
9. Örnek
Bu değerler hız ifadesinde yerine yazılırsa
v = rur + rθuθ
v = -16.88ur + 2.5(1.95)uθ
v = (16.88)2 + (4.87)2 = 17.57 m/s
. .
θ = 6t = 6(0.806) = 4.836 rad/s2
r = 5 cos(2θ) = 5 cos(60) = 2.5m
r = -10 sin(2θ)θ = -10 sin(60)(1.95) = -16.88 m/s
r = -20 cos(2θ)θ2 – 10 sin(2θ)θ
= -20 cos(60)(1.95)2 – 10 sin(60)(4.836) = -80 m/s2
..
.
.. ..
.
.
10. Örnek
Aynı şekilde ivme ifadeleri elde edilirse :
a = (r – rθ2)ur + (rθ + 2rθ)uθ
a = [-80 – 2.5(1.95)2]ur + [2.5(4.836) + 2(-16.88)(1.95)]uθ
a = -89.5ur – 53.7uθ m/s2
a = (89.5)2 + (53.7)2 = 104.4 m/s2
.. . .. . .
11. ÖRNEK
Plan: Silindirik koordinat sistemi kullanalım. Tüm hareket
boyunca r=10 m sabit olduğu için türevi sıfırdır.
Verilenler:Aracın hızı sabittir1.5 m/s.
Đstenenler: Aracın ivmesini vektörel
olarak bulunuz
Cisim herhangi bir noktada iken bir
önceki konuma göre durum açısı
φ = tan-1( ) = 10.81°
φ ile θ arasındaki ilişki yazılmalıdır ?
12
2π(10)
Çözüm: r sabit ise hızın sadece iki bileşeni vardır:
vθ = rθ = v cosφ and vz = z = v sinφ
. .
12. ÖRNEK
Buradan: θ = ( ) = 0.147 rad/s
θ = 0
v cosφ
r
.
..
vz = z = v sinφ = 0.281 m/s
z = 0
r = r = 0
.
..
...
.. . .. . . ..
a = (r – rθ2)ur + (rθ + 2rθ)uθ + zuz
a = (-rθ2)ur = -10(0.147)2ur = -0.217ur m/s2
.
13. Şekildeki OA çubuğu o etrafında θ = (t3)
radyan açısı ile dönerken üzerindeki B
halkası dışarıya doğru r = (100 t2) mm
denklemi ile hareket etmektedir. Her iki
fonksiyonda da t sn olarak ifade
edilmektedir. t=1 sn deki ivme ve hız
değerlerini hesaplayınız.
14.
15. Silindirik Koordinatlarda Denge Denklemleri
Polar Koordinatlarda hareket
denklemleri yazılırken her bir
koordinat bileşeni için ayrı ayrı denge
denklemleri yazılır. Teğetsel ve
normal bileşenler dışında cismin
yüksekliğini belirten z koordinatında
da denge yazılır.
Silindirik koordinatlarda (r, θ , ve z koordinatları ile) denge
denklemleri kullanılarak hareket denklemleri elde edilirse:
∑ Fr = mar = m(r – rθ2)
∑ Fθ = maθ = m(rθ – 2rθ)
∑ Fz = maz = mz
.
. .
..
..
..
16. Burada kullanılan koordinat sistemi sabit bir koordinat
sistemidir. Eğrisel hareket için kullanılan n-t koordinat
sistemi gibi cisim merkezli sürekli değişen bir koordinat
sistemi değildir.
Eğer cisim sadece r – θ düzleminde hareket ediyorsa
(z koordinatı sabit), hareket denklemlerinde sadece bu iki
bileşen kullanılır. Bu durumda hareket denklemleri θ ‘nın
fonksiyonu olarak şu şekilde yazılabilir.
∑ Fr = mar = m(r – rθ2)
∑ Fθ = maθ = m(rθ – 2rθ)
.
. .
..
..
17. TEĞETSEL VE NORMAL BĐLEŞENLER
P kuvveti etkisi ile r = f (θ ) konumunda hareket eden cisme
etki eden normal kuvvet N ve teğetsel doğrultuda cismin
hareketine ters yönde sürtünme kuvveti F olsun. N ve F
kuvvetlerinin bulunduğu normal ve teğetsel koordinatların
polar koordinat başlangıcına göre durumunu ifade eden açı ψ
açısıdır.
18. Ψ Açısının Hesabı
Ψ açısı eğri üzerinde hareket eden
cismin polar koordinat sisteminden
çizilen normal doğrultunun uzantısı
ile eğriye çizilen teğet arasındaki
açısıdır.Bu açı aşağıdaki şekilde
hesaplanabilir,
θ
θψ
ddr
r
dr
r d
==tan
Eğer ψ açısı pozitif ise, normal doğrultudan saat yönüne ter
solarak ölçülmüştür, eğer negatif ise saat yönünde ölçülmüştür.
19. ÖRNEK
Plan: Serbest cisim diyagramını çizelim, silindirik
koordinatlarda hareket denklemlerini atalet kuvvetlerini
kullanarak yazalım
Çözüm: r = 2rc cosθ, buradan:
r = -2rc sinθ θ
r = -2rc cosθ θ2 – 2rc sinθ θ
.
.. ..
.
.
Verilenler: Şekildeki P cismi OA
çubuğunun dönmesi ile hareket
etmektedir. m = 2 , θ = 0.4 rad/s,
θ = 0.8 rad/s2, rc = 0.4 m olarak
verilmektedir
Đstenenler: θ = 30° olduğu konumda
OA kolunun cisme uyguladığı tepki
kuvvetini bulunuz.
.
..
20. ÖRNEK
Serbest Cisim Diyagramı: P cismi üzerindeki tüm kuvvetleri
gösterelim. Harekete tam ters yönde atalet kuvvetlerini yazalım.
°=30θ
t r
θ
n
=
θ
ψθ
θ
θ
θ
mg
Ns NOA
θma
rma
21. ÖRNEK
Kinematik: θ = 30° için
r = 2(0.4) cos(30°) = 0.693 m
r = -2(0.4) sin(30°)(0.4) = -0.16 m/s
r = -2(0.4) cos(30°)(0.4)2 – 2(0.4) sin(30°)(0.8) = -0.431 m/s2
..
.
Buradan ivme bileşenleri
ar = r – rθ2 = -0.431 – (0.693)(0.4)2 = -0.542 m/s2
aθ = rθ + 2rθ = (0.693)(0.8) + 2(-0.16)(0.4) = 0.426 m/s2
.. .
....
tan ψ = r/(dr/dθ) dr/dθ = -2rc sinθ
tan ψ = (2rc cosθ)/(-2rc sinθ) = -1/tanθ ∴ ψ = 120°
