Hanoi Kuleleri. Bu problem, 1883'te Fransız matematikçi Edouard Lucas tarafından bulundu.

1. HANOI KULELERI

2. ::::PROBLEM::::
• Bu problem, 1883'te Fransız matematikçi Edouard
Lucas tarafından bulundu ve oyuncak olarak
satılmaya başlandı.

3. ::::PROBLEM::::
• Diskten yapılmış bir kule ve iki boş çubuk
görülmektedir. Her keresinde bir diski hareket
ettirmek ve bir diski asla kendisinden küçük
bir disk üzerine koymamak şartıyla kuledeki
diskleri boş iki çubuğa en az kaç hamlede
aktarabilirsiniz? Problemi önce 2, 3 ve 4 gibi
az sayıda diskle çözmeye çalışıp bir formül
geliştirebilir misiniz?

4. ALGORITMASI
• 1. Disklerden 1 numaralı (en küçük diski) seçilen
yöndeki ilk oynanabilecek direğe taşı
• 2. Disklerden o andaki 1′den sonra gelen en küçük
diski, seçili yönde oynanabilecek ilk direğe taşı ( bu
adımda aslında oynanabilecek tek ihtimal vardır)
• Yukarıdaki iki adım, oyun bitene kadar tekrar eder.

5. • 1. adımda en küçük disk olan 1 numaralı diski sağ
isitmaketteki ilk direğe taşıyoruz:

6. • 2.adımda, bir numaralı en küçük diskten sonra gelen ilk
diski sağ istikamette oynanabilecek ilk direğe
oynatıyoruz. 2 numaralı direğe oynatamayız çünkü
orada bulunan küçük diskin üzerine daha büyük bir disk
gelmesi oyun kurallarını ihlal etmektedir. Geriye kalan tek
ihtimal olan 3 numaralı direğe, 2 numaralı diski
oynatıyoruz:

7. • Algoritmamızın iki adımını da tamamladık. Oyun
henüz bitmediği için algoritmanın ilk adımından
devam ediyoruz ve 1 numaralı, en küçük diski tekrar
seçmiş olduğumuz yön olan sağ isitmakette
oynanabilecek ilk direğe oynatıyoruz:

8. • Sıra algoritmanın ikinci adımında. Şu anda 1 numaralı
diski saymazsak, oynatabileceğimiz en küçük disk, 3
numaralı ve direk 1′de bulunan disktir. Bu diski seçtiğiiz
istimaketteki ilk boş direğe oynatıyoruz (aslında 1
numaralı en küçük diski saymazsak yapabileceğimiz
yegane oynatma hareketini yapıyoruz)

9. • Oyun henüz bitmiş değil. Algoritmayı baştan
çalıştırmamız gerekiyor. İlk adım ile devam edelim ve en
küçük diski seçtiğimiz istikametteki ilk direğe oynatalım. 1
numaralı en küçük disk şu anda direk 3′te bulunuyor. Bu
direğin sağına gitmemiz gerekiyor ancak şekilde sağında
direk olmadığı görülebilir. Daha önce de anlatıldığı üzere
direk 3′ün sağında direk 1 var kabulü yapılarak 1
numaralı diski, 1 numaralı direğe oynatıyoruz:

10. ALGORITMAMIZI UYGULAMAYA
DEVAM EDERSEK:
• Algoritmamızı uygulamaya devam edersek:

11. :::SONUÇ:::
• Kulede n sayıda disk varsa, en az 2n-1 hamle
gereklidir. Böylece 3 disk 7, 4 disk 15, 5 disk ise 31...
hamlede nakledilebilir. 8 disk için 255 hamle
gereklidir; 28-1=256-1=255

12. • Hindistan'daki Benares kentinde bir tapınakta
bulunan "Brahma Kulesi", "Hanoi Kulesi"nin benzeridir.
Brahma Kulesi'nde 64 altın disk vardır ve rahipler,
nesillerdir bu diskleri boş iki çubuğa aktarmakla
meşguldürler. (Bu 64 altın disk için) gerekli hamle
sayısı, 264-1'dir. Bu ise 2 x 1018e yakın 20 basamaklı bir
sayıdır. (Yaklaşık 1.84467441 × 1019) Rahipler, gece
gündüz çalışıp her saniyede bir disk aktarsalar bile;
işi bitirmek bile milyarlarca yıl alacaktır.
:::BRAHMA KULELERI:::

14. • Söz konusu sayı, asal değildir; fakat, n = 89 veya 107
veya 127 olarak alınırsa asal sayılar elde edilebilir.
Bunlara "Mersenne sayıları" denmektedir. Lucas, ilk
Mersenne sayısı olan 2127-1'i bulmuştu.
(170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727
) Ondan sonra 12 Mersenne sayısı daha bulundu.
Bunların en büyüğü, 1971'de IBM Araştırma merkezi
bilgisayarlarınca bulunan Mersenne sayısıdır: 219937-1.
(2^19937-1) Bu, 6002 basamaklı bir sayıdır.

15. • Hamilton yolları bulunurken de Hanoi kulelerinden
faydalanılmıştır.
• Ünlü İrlandalı matematikçi Hamilton, 1850'de "İcosa
Oyunu" adı altında bir oniki yüzlünün
(dodecahedron) bütün köşelerini dolaşıp başlanan
noktaya dönmeyi bulmuştu. Bu oyun, bütün
Avrupa'ya yayıldı. Hamilton, bu keşfinden yalnızca
25 sterlin kazanmıştı. Oyunu satanlar ise milyonlar
kazandı. Görüldüğü gibi küplerde de bütün köşeler
dolaşılarak başlangıç noktasına dönülmektedir.

16. Dinlediğiniz için teşekkür ederim..
D.Aslı KAPLAN