1. Problem zečeva glasi: koliko zečevi brzo mogu da se razmnožavaju pod
odredjenim idealnim okolnostima? Odnosno, ako na početku 1.meseca imamo
jedan par zečeva i ako pretpostavimo da zečevi dostižu polnu zrelost nakon
mesec dana, tj. ulaze u fazu razmnožavanja, koliko ćemo imati parova zečeva
nakon godinu dana? Ovaj početni problem je proširen na sledeći: koliko parova
zečeva ćemo dobiti nakon n meseci, gde je n neki prirodan broj, pod
pretpostavkom da zečevi nikada ne umiru? Tako je dobijen jedan matematički
niz čiji članovi predstavljaju parove zečeva nakon odredjenog broja meseci.
Dobio je ime po Fibonačiju. Niz je takav da su prva dva člana jednaka
medjusobno i iznose jedan, a svaki sledeći član se dobija kao zbir prethodna dva
elementa u nizu, što je prikazano u formuli. Zbog ove osobine, Fibonačijev niz
spada u rekurentne (svaki element se dobija pomoću nekih prethodnih
elemenata) nizove, i to one najjednostavnije.
F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2, n≥3, nN
Slika takodje ilustruje kako se dobijaju članovi Fibonačijevog niza:
Fibonačijev niz je beskonačan, a učenici po grupama dobijaju listiće sa prvih 13
elemenata ovog niza. To će im omogučiti lakše rešavanje jednog narednog
zadatka.
Jedan belgijski matematičar, doktor i vojni oficir, Eduard Zekendorf, se bavio
Fibonačijevim nizom brojeva. Njegova teorema glasi: Svaki prirodan broj se
može na jedinstven način predstaviti kao suma jednog ili više nesusednih
Fibonačijevih brojeva. Takvo predstavljanje nekog broja zove se Zekendorfova
reprezentacija datog broja n.
2. Npr. Broj 105 se može na sledeći način predstaviti u obliku Zekendorfove
reprezentacije:
105 = 89 + 13 + 3
Naravno, postoje i neke druge reprezentacije ovog broja pomoću Fibonačijevih
elemenata, kao što je : 105 = 89 + 13 + 2 + 1, ali to nije Zekendorfova
reprezentacija datog broja, jer su 2 i 1 susedni Fibonačijevi elementi u nizu.
Sada, svaka grupa učenika izvlači kartice na kojima se nalaze po 3 prirodna
broja, a zatim je njihov zadatak da te brojeve predstave u vidu Zekendorfove
reprezentacije. (Npr. na jednoj kartici mogu da se nalaze brojevi: 77, 112, 258)
Sa Fibonačijevim brojevima se susrećemo gotovo svaki dan, a da to i ne
primetimo.
Fibonačijevi brojevi se pojavljuju na raznim biljkama, od dana klijanja pa sve do
cvata. Prilikom rasta mlade biljke, ona se grana i pušta lišće po Fibonačijevim
brojevima. Kada na stabljici biljke rastu novi listovi, oni stoje u obliku spirale oko
stabljike. Posmatrajmo listove numerisane brojevima 1, 4 i 9. Za recimo listove
1 i 4 možemo posmatrati broj medjuprostora i broj punih zaokreta spirale.
Dobijaju se brojevi 3 i 2 koji su susedni Fiboačijevi brojevi. Ako posmatramo
listove 1 i 9, broj medjuprostora će biti 8, a broj punih zaokreta spirale je 5.
Opet dolazimo do dva susedna Fibonačijeva broja. Priroda se brine za pravilan
raspored listova na stabljici kako donji listovi ne bi bili zasenjeni gornjim i kako bi
se svetlo najbolje iskoristilo.
Ono što je takođe uočeno da je broj latica na cvetu obično jednak Fibonačijevom
broju. Prvi primer je bela kala, koja ima samo jednu laticu. Euphorbia ili Božiji trn
ima dve latice. Sanguinaria canadensis ima 8 latica, raste u Severoistočnoj
Americi i veoma je otrovna. Ako je čovek stavi na kožu, ima užasne efekte, čak i
sa smrtnim ishodom. Rudbeckia hirta sa 13 latica lici na mali suncokret. Svojim
mirisom i izgledom jako privlači insekte, naročito leptire. Zatim, tu je Aster sa
21-om laticom i bela rada sa 34 latice.
