4. “
Mediile sunt niște mărimi medii care exprimă în mod sintetic
și generalizat ceea ce este normal, esențial și tipic pentru
unitățile unei colectivități distribuite după o anumită
caracteristică.
5. Media trebuie să îndeplinească următoarele condiții.
◍ Media trebuie definită obiectiv, fie printr-o
definiție fie printr-o formulă
◍ Trebuie să fie reprezentativă să prezinte toți
termenii seriei
◍ Să aibă o semnificație concretă, ușor de
observat și pentru nespecialiști
◍ Să fie ușor de calculat
◍ Trebuie să fie utilizată la calculele algebrice
ulterioare.
6. ◍ Fundamentale
◍ Mărimi medii cu aplicații
speciale
Mărimile medii se definesc între ele în funcție de
următoarele criterii:
◍ Mărmi medii de calcul
◍ Mărmi medii de poziție
1)După rolul în analiza statistică 2)După modul de obținere
8. Media aritmetică
Media aritmetică este
rezultatul sintetizării într-o
singură expresie numerică a
tuturor nivelurilor individuale
observate și se calculează
prin raportarea valorii
totalizate a caracteristicii la
numărul total al unităților.
Media armonică
Media armonică se
determină doar pentru
variabile cantitative şi se
aplică numai în cazuri
speciale. În general,
utilizarea acestui tip de
medie este recomandat
atunci când două variabile
interdependente se află în
raport de inversă
proporţionalitate.
Media pătratică
Media pătratică se
foloseşte în cazul în care
fenomenele înregistrează
creşteri, aproximativ, în
progresie exponenţială,
adică atunci când creşterea
este mai lentă la începutul
seriei şi din ce în ce mai
pronunţată spre sfârşitul
acesteia, fiind utilizată, deci,
în analiza tendinţelor
neliniare, de tip exponenţial.
Media geometrică
Media geometrică se
foloseşte în cazurile în care
fenomenele înregistrează
modificări, aproximativ, în
progresie geometrică. Se
utilizează mai frecvent în
situaţia în care diferenţele
dintre variantele
caracteristicii sunt mai mari
la începutul seriei şi din ce
în ce mai mici către sfârşitul
acesteia
Mărimile medii
9. Caracteristicile mediilor
◍ Mediile se prezintă ca mărimi cu caracter abstract în sensul că valoarea
medie de cele mai multe ori nu coincide cu nici una dintre valorile individuale
din care s-a calculat.
◍ Mediile se prezintă ca mărimi cu caracter abstract în sensul că valoarea
medie se determină atunci când caracteristica înregistrată este influențată
atât de factori cu influență directă cât și indirectă constant.
◍ Mediile sunt indicatori statistici cu cel mai mare grad de aplicabilitate practică
◍ Pentru a asigura un conținut real mediilor calculate, valorile individuale din
care se obțin trebuie să fie cât mai apropiate.
12. Exemplu
Aplicație. Valoarea vânzărilor realizate la nivelul unei firme pe o
perioadă de 6 luni se prezintă astfel (mii lei): 700, 650, 850, 750, 500, 450.
Să se calculeze valoarea medie lunară a vânzărilor firmei.
Rezolvare: Utilizăm media aritmetică simplă:
6
xi
x i1
n
700650850750500450
6
650 (mii lei)
13. Exemplu
Gruparea salariaților după producție a unei întreprinderi se prezintă
astfel (buc.):
Producția realizată de către salariați (xi) 280 225 310 450 340
Nr. salariaților (fi) 11 28 15 7 14
De calculat producția medie pe un salariat.
xi fi
xp i1
280*11 225*28 310*15 450*7 340*14 292,5(buc.)
fi
i1
11 28 15 7 14
16. Exemplu
Aplicație 13. Gruparea persoanelor după veniturile săptămânale se
caracterizează astfel:
Veniturile săpt. (lei) 100-140 140-180 180-220 220-260 260-300 total
Nr. pers. 3 10 30 20 12 75
Să se determine veniturile medii săptămânale cu ajutorul mediei pătratice.
Rezolvare: Prezentăm în tabelul de mai jos date intermediare pentru
determinarea mediei pătratice.
17. Rezolvare
x * f
3592000
75
Tabelul. Date intermediare pentru calcularea mediei pătratice
Veniturile săpt. (lei) Nr. pers. (fi) xi x 2
i
x 2
*fi
i
100-140
140-180
180-220
220-260
260-300
3
10
30
20
12
120
160
200
240
280
14400
25600
40000
57600
78400
43200
256000
1200000
1152000
940800
Total 75 x x 3592000
Utilizând datele tabelului, determinăm veniturile medii săptămânale
ale persoanelor analizate:
x patr 218,8 (lei)
Deci veniturile medii săptămânale ale persoanelor reprezintă 218,8 lei
20. Modul/Determinanta
Modul sau determinanta, reprezintă valoarea caracteristică cel mai des
întâlnită într-o distribuție. Ca urmare modul se determină în cazul seriilor cu
frecvențe diferite (𝑛1≠𝑛2≠... ≠𝑛𝑖).
1) În cazul unei variabile discrete sau a sriei simple, modul se află dupa următorii
pași:
a) Se gasește frecvența maximă a seriei(𝑛𝑖=𝑛𝑚𝑎𝑥)
b) Se citește în dreptul frecvenței maxime valoarea caracteristicii
corespunzătoare (𝑥𝑖=𝑀0)
2) Dacă seria este plurimodală atunci se găsesc valorile caracteristicei ce se
întâlnesc cel mai des.
21. Modul/Determinanta
1) În cazul unei variabile continue sau a unei serii compuse, în cazul datelor
grupate pe intervale de variație urmăm pașii :
a) Aflarea frecvenței maxime
b) Citirea intervalului modal corespunzător frecvenței maxime
c) Determinarea modului dupa formula: 𝑴𝟎 = 𝒙𝟎 + 𝐡 ∗
∆𝟏
∆𝟏 + ∆𝟐
22. Exemplu
Aplicație. Gruparea salariaţilor unui atelier după producţia zilnică
(metri) se prezintă astfel:
Producţia zilnică (metri) 6-10 10-14 14-18 18-22 22-26
Nr. salar. (pers.) 6 7 15 10 3
De calculat producţia medie zilnică cu ajutorulmodulului.
Rezolvare: frecvenţa maximă = 15, interv. modal = 4,
Mo x0
k
( f2
f 2 f1
f1 ) ( f2 f3 )
15 7
(15 7) (15 10)
24. Mediana
Mediana reprezintă acea valoare care împarte seria (ordonată crescător sau
descrescător) în două părţi egale.
Pentru seria simplă când numarul termenilor este impar avem:
a) Se ordonează crescător termenii seriei
b) Se calculează locul medianei:
c) Se determină valoarea medianei
𝐋𝐌𝐞
= 𝐔𝐌𝐞
=
𝒏𝒊 + 𝟏
𝟐
25. Mediana
Pentru seria simplă când numarul termenilor este par avem:
a) Se ordonează crescător termenii seriei
b) Se calculează locul medianei
c) Se calculează valoarea medianei ca medie aritmetică simplă a celor 2
termeni din centrul seriei.
26. Mediana
Pentru seriile cu distribuție de frecvențe avem:
a) Se stabilește locul medianei
b) Se stabilește inervalul medianei pe baza frecvenței cumulate crescător
c)Se calculează valoarea medianei după relația: Me= 𝒙𝟎 + 𝒉
𝐋𝐌𝐞−𝐍𝐢−𝟏
𝐧𝐦𝐞
27. Exemplu
Aplicație. Gruparea salariaţilor după producţiazilnică(buc.)se pre-
zintă astfel:
Producţia zilnică (buc.) 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20
Nr. salar. (pers.) 23 34 45 75 70 63 18
Să se determine producţiamedie zilnică cuajutorul medianei.
