![Índice ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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Xeometria historia clase
- 1. Períodos Traballos dos Alumnos Galería de Fotos
- 4. Principais documentos conservados Tablilla Plimptom. Mesopotamia (aprox. 1900 a.C.) Papiro de Moscova (aprox. 1800 A. C.) Tratado CHOU PEI ( aprox. 1200 A.C.) Papiro de Rhind. Exipto (aprox. 1650 A. C.)
- 26. Mosaicos periódicos e aperiódicos
- 27. A Alhambra El CLAVO HUESO PAJARITA
- 37. El quinto postulado (Axioma de las paralelas “ si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos de un mismo lado menores de dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en los que están los ángulos menores de dos rectos” Enunciado original : Enunciado de Tolomeo: “ por un punto exterior una recta sólo se puede trazar una única paralela”
- 38. Diferencias entre las tres geometrías Elíptica Hiperbólica Euclídea
- 39. A cuarta dimensión Representación da gravidade como curvatura do espazo
- 44. A botella de Klein Representación da “botella de Klein”
Editor's Notes
- La estructura de la presentación comprende los nueve períodos y la metodología empleada en cada uno Los trabajos exigidos a los alumnos sobre cada uno de los períodos y una galería de fotos en las que podemos ver a los alumnos trabajando y exponiendo sus respectivos trabajos
- A escritura e por extensión, o coñecemento científico é considerado como un don divino Se cree que el origen de la Geometría está en el Antiguo Egipto. Así lo confirma uno de los escritos del historiador Herodoto que cuando hablando del rey Sesostris dice. Lenda das crecidas do Río Nilo:. Medición do terreo con cordas de nudos. É un claro exemplo de cómo surde unha rama da ciencia en resposta a un problema concreto da sociedade Aparecen os primeiros sistemas de numeración. Analízanse as particularidades de cada un deles e as semellanzas ou diferenzas co nosos sistema de numeración actual. Cítanse os principais documentos conservados de las distintas civilizacións(El papiro más importante, de unos 30 cm. de alto y 6 metros de largo se encuentra en el Museo Británico. Se denomina papiro de Rhind o de Ahmes. El otro gran papiro es el de Moscú, de 8 cm. de ancho y casi la misma longitud que el anterior. Ambos están escritos en forma jeroglífica y constan de una colección de problemas de los cuales se deducen los conocimientos matemáticos de la época). : Papiro de Rhind,Papiro de Moscú, Tratado CHOU PEI. As tablillas atopadas en Mesopotamia con ternas pitagóricas e o sistema empregado polos exipcios para construir ángulos rectos evidencian que xa era coñecido o teorema de pitágoras, aínda que non houbo unha demostración ata a época dos pitagóricos. O enfoque dado á Xeometría era exclusivamente práctico, a xeometría estaba ligada ás medicións prácticas (Comercio. División de terreo, Navegación). Non existían os matemáticos ou xeómetras. Cada un aplicaba a parte do coñecemento necesario na súa tarea As matemáticas desta época non empregan o método deductivo, non se enuncian nin demostran propiedades dada a visión puramente utilitaria que se fai do coñecemento. Usaban decimais. Aproximación a π = 3,16 Símbolos Alxebraicos Tratado CHOU PEI (Órbitas circulares, uso de fracciones, “La matemática de los nueve libros) Mesopotamia: Mayor Existencia de legados matemáticos que en Egipto (cuneiforme, grupo de tablillas con teoremas pitagóricos). Más resistentes las tablas de arcilla que los papiros de Egipto. Egipto: Habla de “la Flor de la Vida”, interesante. Símbolo que aparece en Egipto India: Construcción de templos religiosos, sistemas de numeración Nota: realmente era difícil separar la matemática en las diferentes ramas .
- Exemplo de problema xeométrico que se converte en un problema aritmético de gran envergadura
- Ver edumat
- Exemplo de problema geométrico que se convierte en un problema aritmético de importante envergadura
- Unha das características principais deste período é o comezo da existencia da matemática entendida como ciencia independente da súa aplicación práctica. Aparecen tamén os primeiros matemáticos célebres: Thales( 640 a.C.-560 a.C.) , Pitágoras (580 a.C.-500 a.C.) . EUDOXO (408 a.C.-355 a.C.) Thales é presentado como o autor da primeira demostración matemática, que ao parecer foi a da propiedade seguinte: “un diámetro divide ao círculo en dúas partes iguais”. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico O teorema de Thales sobre a proporcionalidade de segmentos. Diferentes corolarios do mesmo: proporcionalidade en figuras semellantes. Vense as aplicacións que pode ter este resultado en diferentes campos: elaboración de mapas e/ou planos, ampliación/redución de imaxes (proponse unha actividade de comprobación desta proporcionalidade tras modificar o tamaño dunha imaxe cun programa informático), construción de maquetas, etc. Pitágoras, es el primer matemático puro. Se interesó por el concepto de número, triángulo y otras figuras matemáticas. Sostuvo que todas las relaciones pueden ser reducidas a relaciones numéricas. Teorema de Pitágoras. Importancia da demostración matemática dunha propiedade (a propiedade era utilizada con anterioridade, pero foi demostrada por Pitágoras). Diferenzas entre comprobación empírica e demostración matemática. Demostracións do Teorema de Pitágoras ao longo da historia. O alumnado, coa axuda dun programa informático e dunha web interactiva, coñecen e comparan entre si diferentes demostracións xeométricas deste teorema. Construción de material didáctico manipulativo. Baseándose nas demostracións estudadas, proponse a construción de puzzles pitagóricos por parte dos alumnos. Analízanse as vantaxes e inconvenientes que ten o traballo manipulativo fronte ao emprego de ferramentas informáticas, como a web interactiva. Os pitagóricos como escola científica. Relación entre as matemáticas e a música: Pitágoras demostrou a relación entre a proporción existente entre dúas cordas e o ton obtido ao tocalas. Descubrimento dos números irracionais. O número de oro Φ no pentágono regular. Presenza do número de oro en representacións artísticas e obras arquitectónicas de tódalas épocas. Eudoxo de Cnido. Utilizou por primeira vez na historia o infinito dun xeito racional. Hizo el primer uso racional del infinito en las matemáticas: “Toda magnitud finita puede ser agotada madiante la substracción de una cantidad determinada” .En geometría, con su método exhaustivo dio solución a los números irracionales (que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros). O método de exhausción de Eudoxo. Importancia da estimación e da aproximación á hora de resolver problemas de medida de formas irregulares. Importancia deste método como primeira aproximación ao cálculo integral. Formulación do Teorema de Pitágoras en diferentes lenguas da antigüidade Uso de medios audiovisuais. Proxéctanse vídeos relacionados coas matemáticas deste época, analizando o beneficio do uso destes recursos na aula, e a adecuación dos contidos dos mesmos aos diferentes niveis educativos. Nota: en las noticias (El país (21 de agosto de 2005,“vuelve Pitágoras” )
- Exemplo de problema xeométrico que se converte en un problema aritmético de importante envergadura
- Exemplo de problema xeométrico que se converte en un problema aritmético de importante envergadura
- Exemplo de problema xeométrico que se converte nun problema aritmético de importante envergadura Criterios de semellanza de triángulos
- Exemplo de problema xeométrico que se converte en un problema aritmético de importante envergadura
- Poner el del año pasado está muy bien….. Poner actividad de la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. El quinto postulado necesario para esa demostración. “ Los elementos” de Euclides. Reunión de todos os coñecementos hasta a época. Exemplo de sistema lóxico Verdadeira reflexión teórica sobre as matemáticas e a súa natureza. Abstracción de la realidad. Método axiomático Diferencias entre: Definicións Axiomas, comúns a todas as lenguas pero os Postulados só para a Xeometría Teoremas Se pode falar de los poliedros regulares Importancia do proxecto da Biblioteca e o Museo de Alexandría. Trátase posiblemente da máis ambiciosa tarefa de concentración do saber mundial nunha cidade. Coñecemento do proxecto de nova biblioteca de Alexandría patrocinado pola UNESCO en colaboración con varios gobernos, inaugurada no ano 2002. Visita á web da biblioteca de Alexandría e posterior debate sobre a futura coexistencia dos libros con Internet e as novas tecnoloxías, valorando a importancia de cada un deles. “ Os Elementos” como obra cumio da matemática grega. Traballo de recompilación e sistematización de todo o saber matemático de épocas anteriores. Euclides é o primeiro matemático en facer unha seria reflexión teórica sobre a verdade matemática e a natureza deste ciencia. Trabállase co alumnado a importancia deste feito, e do paso dunha xeometría baseada na aplicabilidade a outra fundamentada na lóxica dedutiva. Diferenzas entre os diferentes niveis de “verdades matemáticas” contemplados nos “Elementos”: axiomas, postulados, definicións e teoremas. Método dedutivo como base dunha ciencia puramente abstracta: Euclides traballa con conceptos e non con formas extraídas da realidade. Importancia da redución ao mínimo posible do número de “verdades indemostrables” (postulados e axiomas). Incursións de Euclides noutras ramas da matemática: demostración da existencia de infinitos números primos. Relevancia dos “Elementos” de Euclides nas épocas posteriores á súa publicacións. Ata mediados do século XX foi o principal libro de texto para o ensino da Xeometría nas escolas occidentais. É o segundo libro con máis edicións ao longo da historia despois da Biblia. Análise crítica do libro dos “Elementos” como libro de texto para o ensino da Xeometría. Valoración dos inconvenientes e vantaxes do formato de presentación dos contidos. Comparación cos diferentes formatos dos libros de texto actuais.
- El carácter infinito de la recta es difícil de captar por los niños debido a : Por un lado , a un problema de fijación mental , pues toda representación de la recta es un segmento de longitud finita Por otro, a un problema de capacidad lógica, que no permite abarcar en ese periodo entidades tan abstractas. INLUSO la propia rectitud es un problema a causa del carácter ADIMENSIONAL del punto.
- Poñer noticia asociada. Fórmula de Euler
- Os tres problemas clásicos como exemplo do carácter intelectual da xeometría fronte á procura da súa aplicación práctica. Enunciado completo dos problemas e limitacións impostas para a solución dos mesmos. A xeometría con regra e compás. Análise da importancia, dende o punto de vista didáctico, do emprego de ferramentas de debuxo no aprendizaxe da Xeometría. Coñecemento e utilización de programas informáticos que simulan o uso da regra e o compás: Cabri. Elaboración de actividades baseadas no emprego deste programa adaptadas ao nivel de Educación Primaria. A duplicación do cubo. Lenda do templo de Apolo en Delos. Relación entre un problema matemático puramente abstracto e as crenzas relixiosas da sociedade grega . Imposibilidade da resolución dos problemas gregos polos medios permitidos. Imposibilidade de resolución dun problema matemático. Importancia das hipóteses presentes no enunciado. Coincidencias entre os tres problemas. Causa da imposibilidade de resolver cada un deles. Números irracionais, alxébricos e transcendentes. Ecuacións implícitas en cada un dos tres problemas (representación alxébrica dos mesmos). Hipócrates de Chíos. Método das lúnulas para a cuadratura do círculo. Estudio das solucións dadas aos tres problemas clásicos en Grecia, analizando en cada caso cómo eran incumpridas as condicións impostas. Coñecemento do momento histórico no que se demostrou a imposibilidade desta resolución con regra e compás. Demostracións da inexistencia dunha solución para un problema fronte á incapacidade para achar a mesma. Carácter intelectual y no funcional A cuadratura do círculo. Hablar del hombre de Leonardo da vinci. A trisección do ángulo A duplicación do cubo establece la relación x3 = 2a2 .Hipócrates de Chios. Contar historia del templo de Apolo. Problema del perrito ver a qué nos llevan estos problemas: Por qué eran imposibles de resolver carácterística común a alos tres. Restriccións: regra non graduada e compás xa que os gregos consideraban que esos eran os instrumentos elementais ao representar a recta e o círculo.( CONSTRUCCIÓN MÁS ELEGANTE, NO VULGAR Y DEGRADANTE(PLATÓN)) No século XIX demostrouse que non se podía.( Son irresolubles si nos limitamos a la regla sin graduar y al compás. Duplicación del cubo : l.Wantzel (1837) Cuadratura del círculo: F. Lindenman (1882) Trisección del ángulo: l.Wantzel (1837)) ".
- O centro do problema da cuadratura do círculo comeza no ano 1650 a.c, co papiro de Rhind, dende o escriba exipcio. Ahumes trancribe un documento, o menos dous séculos antes que trata sobre o cálculo de número “ pi ”. Sen embargo, os gregos, os máis grandes xeómetras da Antigüedade, legaronnos a formulación que damos actualmente a este problema. Moitos contemporáneos dos gregos foron tamén enfeitizados por este, por exemplo India, China e no mundo árabe. Leonardo nace en la ciudad de Vinci, cerca de Florencia, el 15 de abril de 1452 El hombre de Vitrubio (Leonardo da Vinci, real academia de Venecia) (El hombre de Vitrubio es un claro ejemplo del enfoque globalizador de Leonardo que se desarrolló muy rápidamente durante la segunda mitad de la década de 1480. Trataba de vincular la arquitectura y el cuerpo humano, un aspecto de su interpretación de la naturaleza y del lugar de la humanidad en el "plan global de las cosas". En este dibujo representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más importante era vincular lo que descubría en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza). Leonardo comprendió y utilizó el auténtico método experimental un siglo antes de que Francis Bacon filosofase sobre él, y antes de que Galileo lo pusiese en práctica. Leonardo no escribió tratados metodológicos, pero en sus cuadernos de apuntes nos dejó esparcidas sus ideas. Dice que las matemáticas, la geometría y la aritmética, pueden llegar a la certeza absoluta dentro de su propio ámbito, pues manejan conceptos mentales ideales de valor universal. En cambio, la verdadera ciencia (refiriéndose a las ciencias empíricas), se basa en la observación; si pudiera aplicarse a ella el razonamiento matemático podría lograrse mayor grado de certeza, siendo hoy en día, uno de los pasos fundamentales del método científico. "No hay certeza en la ciencia si no se puede aplicar una de las ciencias matemáticas
- Se puede decir que tiene origen en dos fábulas: Ver trabajo alumnos d3 curso04-05 la primera constituye el tema de una carta de Erastótenes al rey Ptolomeo. la segunda se centra en la solución a una peste.
- Lo de las cónicas tomar lo de estratexias e recursos. Aquí tenemos un ejemplo claro de relación con outras materias Apolonio: Cónicas. Representa el virtuosismo xeométrico. Precursor de moitos descubrimentos astronómicos. Introduzo os termos parábola, hipérbole, elipse. Propiedades de cada una de ellas.¿cómo se obtienen a parir de un cono) Arquímedes como exemplo de científico integral. Relación entre matemáticas e diferentes campos da física práctica e teórica: Mecánica, Óptica, Hidrostática, etc. Lei da panca. Principio de Arquímedes (presente en la construcción de barcos): . Importancia da formulación matemática dunha lei científica como paso final para a súa validación. O método de Arquímedes para achar a superficie de diferentes figuras curvas. Paso da observación empírica á formulación alxébrica da relación. O número . Exemplo do emprego do método de exhausción para a aproximación do seu valor. Erro absoluto e relativo. A estimación e a acotación como ferramentas no ensino da medida. Aproximación ao concepto de límite. Cálculo de áreas e volumes de figuras de corpos de revolución. Relación entre volumes de cilindro, cono e esfera. Comprobación empírica da mesma. A ciencia aplicada. Exemplos antigos e actuais de aplicacións prácticas das diferentes leis físicas enunciadas por Arquímedes. “ As cónicas” de Apolonio. Introducción dos termos “elipse”, “hipérbole” e “parábola”. Procedencia grega de multitude de termos matemáticos, análise etimolóxico dalgúns deles. Cortes dun cono. Obtención das catro seccións cónicas. Observación empírica das diferenzas entre as mesmas. Obtención das curvas cónicas mediante o movemento dunha lámpada cilíndrica sobre unha parede branca. Propiedades das seccións cónicas. Aplicacións á Óptica e á Acústica. Elaboración de experiencias de comprobación destas propiedades. Aplicacións prácticas das mesmas na actualidade: lentes esféricas, telescopios de reflexión e refracción, antenas parabólicas, etc. Aproximación ao número π. Método de Exhausción. Nos permite hablar de las áreas de polígonos inscritos y circunscritos Principio de Arquímedes (presente en la construcción de barcos): Leis da Palanca (catapultas en ataque a Siracusa) Iniciación ao cálculo integral. Actividad propuesta: Hacer para un octógono, es decir aproximen el área de un circunferencia a partir del octógono incrito y circunscrito. Llevar folio para todos. Si no da tiempo lo hacen para casa. Volume da esfera. Apolonio: Cónicas. Representa el virtuosismo xeométrico. Precursor de moitos descubrimentos astronómicos. Introduzo os termos parábola, hipérbole, elipse. Propiedades de cada una de ellas.¿cómo se obtienen a parir de un cono) Arquímedes: Física. Historia: coroa do rei Aproximación ao número π. Método de Exhausción. Nos permite hablar de las áreas de polígonos inscritos y circunscritos Principio de Arquímedes (presente en la construcción de barcos): Leis da Palanca (catapultas en ataque a Siracusa) Iniciación ao cálculo integral. Actividad propuesta: Hacer para un octógono, es decir aproximen el área de un circunferencia a partir del octógono incrito y circunscrito. Llevar folio para todos. Si no da tiempo lo hacen para casa. Volume da esfera.
- El cristalógrafo ruso Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formando mosaicos periódicos. Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas, por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes. La Alhambra es el único edificio del mundo donde se reúnen dichos grupos en su decoración. Recubrimentos do plano. Mosaicos regulares e semirregulares. Comprobación empírica da existencia de 3 mosaicos regulares. Demostración da imposibilidade de que existan máis. Elaboración de materiais manipulativos para a construción de mosaicos. Visionado de vídeos relativos ao tema, planeando actividades sobre os mesmos e valorando a adecuación dos mesmos aos diferentes niveis educativos. Coñecemento de recursos informáticos (programas e webs interactivas) que permiten a construcións de teselas e recubrimentos do plano orixinais a partires de polígonos regulares. Valoración das vantaxes do uso complementario de recursos manipulativos, audiovisuais e informáticos. Elaboración de teselas a partires doutras coñecidas. As transformacións isométricas no plano: translación, xiro e simetría. Frisos. Materiais para o estudio das transformacións. Exemplos de recubrimentos do plano en obras artísticas ou deseños da natureza. Análise das teselas dos mesmos. Os mosaicos na arte actual. Estudio da obra de M. C. Escher e Roger Penrose. Mosaicos aperiódicos. Principais aportacións de matemáticos árabes célebres: Al Khwarizmi, Al Karaji, Nasir Al Tusi. Contribución dos árabes ao achegaren a Europa as obras clásicas da matemática grega. A Escola de Tradutores de Toledo. A cultura árabe en España. Introducción en Europa do sistema de numeración indo-arábigo. Percorrido histórico dende a invasión árabe de España ata a aceptación xeral en Europa deste sistema. El italiano Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci (v.) , fue quien introdujo en Europa la notación indoarábiga, en 1202. Se produjo entonces una cáustica polémica entre los «abaquistas», aferrados a la notación romana para consignar los resultados de sus cálculos, realizados mediante ábacos, y los «algoristas», que desecharon de raíz la notación romana, sustituyéndola enteramente por la muy superior notación indo-arábiga. Figura vemos un abaquista compitiendo con un algorista. La lámina pertenece a un libro del siglo XVI, Margarita Philosophica .) En algunos lugares de Europa el cálculo por «algorismo» llegó a quedar formalmente prohibido por la ley, y tenía que realizarse en secreto. Hubo oposición incluso en algunos países de influencia árabe. La nueva notación no llegó a imponerse por completo hasta el siglo XVI, cuando pudo disponerse de papel en abundancia. Poco después, la imprenta se encargó de normalizar las formas de los diez guarismos. El ábaco fue cayendo gradualmente en desuso en Europa e Inglaterra. Todavía hoy sobreviven algunas reminiscencias, en las cuentas de colores de corralitos infantiles, como ayudas en la enseñanza de la notación decimal en los primeros niveles escolare Materiales para a exposición: vídeo da Alhambra, transparencias, Actividad :repartición de polígonos para a actividade de ver cales dos polígonos regulares recobren o plano. Transformaciones geométricas (giros, traslaciones y simetrías). Vídeo Mosaicos regulares y semiregulares ¿Por qué sólo figuras geométricas?. Ampliación:Escher A menudo me encuentro más cerca de los matemáticos que de mis colegas los artistas. Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios. M. C. ESCHER. y Penrouse( Sir Roger Penrose , Order of Merit , Royal Society (nacido 8 August 1931 ) es un físico matemático nacido en Inglaterra y Profesor Emérito de Matemáticas en la Universidad de Oxford . Está altamente considerado por su trabajo en físca matemática, en particular por sus contribuciones a la relatividad general y la cosmología . También ha dedicado su tiempo a las matemáticas recreativas y es un controvertido filósofo . Penrose es el hijo del científico Lionel S. Penrose y Margaret Leathes, y hermano del matemático Oliver Penrose y el ajedrecista Jonathan Penrose .) Lo que ha vuelto famoso a Penrose, además de criticado, es su teoría sobre la mente. El punto de vista de Penrose es que debe haber algo de naturaleza no computable en las leyes físicas que describen la actividad mental. Este argumento tiene como base el teorema de la incompletitud de Gödel que implica que la indemostrabilidad formal de una cierta proposición matemática es señal de que de hecho es verdadera Actividad: ver como sería tu cara si fuese simétrica Para cursos elevados podríamos hablar de penrouse y meternos con la teoría de grupos.
- La transformación de un polígono regular en otra figura equisuperficial produjo formas desconocidas hasta entonces en la historia del Arte.
- El cristalógrafo ruso Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formando mosaicos periódicos. Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas, por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes. La Alhambra es el único edificio del mundo donde se reúnen dichos grupos en su decoración.
- A Xeometría Analítica como unión de dúas ramas da Matemática: Xeometría e Álxebra. Coordenadas no plano. Coordenadas cartesianas na vida actual: Mapas e planos, xogos (xadrez, os barcos), programas informáticos, etc. Importancia dos números negativos no sistema cartesiano de coordenadas. Coordenadas tridimensionais. Coordenadas xeográficas. Relación entre ecuacións alxébricas e curvas. Trabállanse exemplos como a recta, circunferencia, elipse, parábola e hipérbole. Modificacións na figura ao variar coeficientes da ecuación. A Xeometría analítica como un paso clave na tarefa de abstracción dos conceptos xeométricos. Vantaxes e inconvenientes de desligar a xeometría do debuxo. Valoración da conveniencia de dar este paso en niveis temperáns do ensino. A importancia dunha notación axeitada. Análise da notación utilizada por Descartes para coeficientes (primeiras letras do abecedario) e variables (derradeiras letras do mesmo). Elaboración de actividades sobre coordenadas cartesianas baseadas en xogos de mesa e axeitadas ao ensino básico. Uso de ferramentas informáticas (programa Graphmatica) para o debuxo de gráficas no plano. Posicións relativas de dúas curvas. Método gráfico para a resolución de ecuacións e sistemas de ecuacións. Elaboración de actividades de orientación (xogos de pistas) a realizaren no exterior e baseadas no emprego dun sistema de coordenadas. Importancia do rigor na definición do sistema (orixe e unidades). As primeiras obras de Descartes foron filosóficas: “O discurso do método” (1937) Utilidade actual: videoxogos, rúas (ver en trabajos de los alumnos de hace dos años) Actividad propuesta: Contar anécdota: elegir a un alumno A, vendar los ojos a uno de los del trabajo y dirigirlo hacia ese alumno. Sistemas de ecuaciones.: Ver la posición relativa de una parábola y de una recta en el plano. Resolver sistema de ecuaciones y dibujar en una gráfica. Uso del programa graphmatica POner vídeo a tradición vernácula (se habla de las diferentes notaciones)
- O quinto postulado de Euclides. Discusión sobre a evidencia ou non da indemostrabilidade do mesmo. O quinto postulado ao longo da historia: tentativas de demostración. Girolamo Sacheri. Enunciados diferentes do quinto postulado. Implicación do mesmo en relación ás liñas paralelas ou á suma de ángulos dun triángulo. Os “pais” das xeometrías non euclídeas: Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann. Aportacións de cada un deles ao tema. Semellanzas e diferenzas entre os seus traballos. Gauss e as xeometrías non euclídeas. Tentativa de demostración empírica da suma dos ángulos dun triángulo. Causas da negativa de Gauss á publicación dos seus traballos (contradición coa filosofía de Kant). Exemplo de condicionamento filosófico da actividade científica. Liñas xeodésicas sobre unha superficie curva. A xeografía terrestre como exemplo dunha xeometría non euclídea. Trazado de percorridos minimais sobre a esfera terrestre. Elaboración dunha actividade sobre percorridos das liñas aéreas. Comparacións dos traxectos sobre unha esfera e unha representación plana da mesma. Inconvenientes da representación plana da Terra. As xeometrías non euclídeas e as teorías sobre o Universo. A gravidade entendida como curvatura do espazo producida polos corpos. Últimas novas relativas á concepción do Universo. A xeometría de Riemann como marco globalizador. Diferentes nomes do postulado ¿a qué se chaman xeometrías non euclídeas? ¿Cal foi o problema? 1829—nacemento das xeometrías non euclídeas Xeometría hiperbólica---Lobachevsky, Bolyai,Gauss Xeometría elíptica----y Riemann Medidas dos ángulos en cada unha delas Actividad: llevar naranjas o pelotas viejas, que hagan los compañeros las medidas de los ángulos.
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje
- La síntesis de Klein de la geometría como el estudio de las características de un espacio que son invariantes bajo grupo dado de transformaciones, conocido como el Erlanger Programm, profundo influenció el desarrollo matemático. O programa de Erlangen. Clasificacións das xeometrías baseadas nas transformacións. Xeometría euclídea, proxectiva e topoloxía. Exemplos reais de transformacións euclídeas, proxectivas e topolóxicas. Actividades para o estudio das mesmas en Educación Primaria. Estudio dalgún exemplo de figuras con propiedades xeométricas especiais: A botella de Klein e a banda de Möebius. Elaboración de experiencias sobre a construción e manipulación dunha banda de Möebius. O problema das pontes de Konigsberg. A teoría de grafos. Aplicacións desta rama da matemática avanzada: rutas minimais, conexións de redes, etc. Primeiros pasos na teoría de grafos: construción de figuras sen “levantar o lapis do papel”. O “problema das catro cores”. Aplicacións da topoloxía na elaboración de mapas . Discusións sobre a validación da demostración deste teorema. A teoría de nós. Coñecemento das aplicacións desta teoría no estudio das moléculas de ADN como exemplo de emprego das matemáticas como ciencia auxiliar noutros campos do coñecemento. Clasificación das Xeometrías según as transformacións que permitan homomorfismos Botella de Klein, Banda de Möbius O principais problemas: As Pontes de Köenigsberg El problema dos catro colores Teoría de nudos Actividades propuestas: Material: banda de cartulina, media, globo, cuerda para actividad de nudos
- Las botellas de Klein no se pueden construir en el espacio tridimensional sin que se produzca una intersección. La figura muestra una de tales superficies que se autointersectan.
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje Kenneth Appel y Wolfgang Haken, de la Universidad de Illinois, después de muchas horas de pensar y de trabajo Requirió 1200 horas de cálculos con ordenador. y diálogo con el computador, por fin pudieron anunciar, en junio de 1976, que, efectivamente, cuatro colores bastan
- Uso de programas sencillos que no requieran excesivo tiempo de aprendizaje